11菱形的性质与判定(2)作业
北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)
北师大版初三上册数学11．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，那个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则那个菱形的周长为(A) A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图)5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C )A．3 B．4 C．8 D．838．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5 B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB 中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__．13．如图是依照四边形的不稳固性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图)14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__53__cm.16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，A D的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B ＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△C DF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE ＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的判定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的判定1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图)4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图)6．(易错题)如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB ＝BC ＝CD ＝DA ；②AC ，BD 互相垂直平分；③平行四边形AB CD ，且AC ⊥BD ；④平行四边形ABCD ，且AC ＝BD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．(2021·淄博)已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__AD ＝D C(答案不唯独)__．8．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件__OA ＝OC 或AD ＝BC 或AD ∥BC 或AB ＝BC__，使四边形ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)已知：如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝D O ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF(ASA) (2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形 10．(2021·徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．依照两人的作法可判定( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为那个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CF D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形 14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？什么缘故？ 解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含6 0°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF是什么样的专门四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠B AF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。
1.1 菱形的性质与判定(2)
导学达标
想一想
平行四边形的不少性质定理与判 定定理都是互逆命题.受此启发, 猜想:菱形有哪些判定方法？四 边相等的四边形是菱形,对角线 垂直的平行四边形是菱形
导学达标
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD
交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
第一章 特殊平行四边形
菱形的性质与判定（二）
x6y6课前ຫໍສະໝຸດ 评温故知新1.菱形的定义?菱形的性质有哪些？
2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,则只需
补充
就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O并 且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
1.我学会了哪些知识？ 2.我获得了哪些感受？
总结提升
菱形的判定方法： 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是 菱形。
2.菱形的判定定理：①对角线互相垂直的平行四 边形②四条边都相等的四边形；③对角线互相垂 直平分的四边形。
独立 作业
巩固强化
•习题1.2 知识技能 2、3
四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形
定理 四条边相等的四边形是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
(
)
导学达标
练习测标
1.课本P7随堂练习 2.课本P8习题1.2 知识技能 1
达标小结 我的收获我来说
学习目标
• 1.理解菱形的判别条件及其证明，并能 利用这两个定理解决一些简单的问题。
• 2.经历实际操作，探索菱形判定定理的 证明过程，发展合情推理能力和初步的 演绎推理的能力；
1.1菱形的性质与判定(2)
思考题:
如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形 ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
答：四边形ABCD是菱形 理由：∵BD垂直平分AC ∴OA= OC ，∠AOD=∠BOC=90 ° D ∵AD∥BC ┐ ∴∠1= ∠2 A O ∴△AOD≌△BOC ∴AD= BC B ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ AC⊥BD. ∴四边形ABCD是菱形
∵ ∠AOE= ∠COF ∴ △AOE ≌ △COF
D
∴ AE = CF B ∵ AE∥CF ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ AC⊥EF. ∴四边形ABCD是菱形
O F C
明 溪 县 城 关 中 学
Ming xi cheng guan zhong xue
练习4：如图， ABCD中，BE平分∠ABC 交AD于点E，且CE平分∠DCB，若BC长10。 求平行四边形ABCD的周长，并说明理由
明 溪 县 城 关 中 学
Ming xi cheng guan zhong xue
例1:如下图，平行四边形ABCD的两条 对角线AC，BD相交于O点，AB= 5 ， AO=2，OB=1．四边形ABCD是菱形吗？ 为什么？
解：∵ AB= 5 ，AO=2，OB=1. ∴ AO2+OB2=4+1=5 AB2=5 ∴AB2=AO2+OB2 ∴ ∠AOB是直角 ∴AC⊥BD. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形.
1.典型例题： 如图，四边形ABCD是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD长为10cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴DE=1/2BD=5，AC=2AE ，AC⊥BD. 在Rt△ADE中 ∴ AE2=AD2-DE2=169-25=144 ∴AE=12cm ∴ AC=2AE=24 cm ∴S菱形ABCD=1/2BD· AC=1/2× 10×24=120
1.1 菱形的性质与判定 第2课时九年级上册数学北师大版
1.1 菱形的性质与判定（第2课时）
1. 菱形的定义? 2. 如图1，已知四边形ABCD是一个菱形，则它的边有什么特 点？对角线有什么特点？
图1
3. 如图2，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 并且AC=6 cm， BD=8 cm，则菱形ABCD的周长为
20 cm.
图2
根据菱形的定义，邻边相等的平行四边形是菱形. 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四 边形是菱形？先想一想，再与同伴交流.
小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题. 受此启 发，我猜想：四边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行 四边形是菱形.
小颖的想法
我觉得，对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形. 但“四 边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形 是菱形”一样.
先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将 纸展开，就得到了一个菱形.
对折
再对折 沿虚线剪开
你能说说这样做的道理吗？
上述方法是利用轴对称制作了一个四边相等的四边形， 因此一定是菱形.
例1 已知：如图9，在□ABCD中，对角线AC与BD交 于点O， AB= 5 ，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形.
C
图5
以下是小刚的做法：
如图6，分别以A，C为圆心，以大于
1 2
A
AC的长度为半径作弧，两弧分别交于点B，
D，依次连接 A，B，C，D，四边形ABCD
看上去是菱形.
B
C D 图6
你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流.
探究2 四条边相等的四边形是菱形吗？
已知：如图7，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
北师版九年级上册数学作业课件(BS) 第一章 特殊平行四边形 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
知识点三： 四边相等的四边形是菱形 7．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能 得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
8．(兰州中考)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧， 两条弧分别相交于点B和D.依次连接点A，B，C，D，连接BD交AC于 点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长．
北师版
第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
知识点一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，要使▱ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( B ) A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2 ． 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， AE 是 ∠ DAB 的 平 分 线 ， 且 交 BC 于 点 E ， EF∥AB交AD于点F，则四边形ABEF一定是__菱__形___．
10．如图，已知点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD， BC ， AC 的 中 点 ， 当 四 边 形 ABCD 的 边 至 少 满 足 条 件 ： ______A_B_＝__C__D_(_答__案__不__唯__一__)_________时，四边形EFGH是菱形．
11．(教材P9“随堂练习”T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE， 连接CE，AF. (1)求证：AF＝CE； (2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由．
1.1 菱形的性质与判定 北师大版九年级数学上册同步练习(含解析)
北师大版九上1.1菱形的性质与判定同步练习一、选择题（共10题）1. 菱形不具备的性质是( )A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2. 菱形ABCD中，∠A:∠B=1:5，若其周长为8，则菱形ABCD的高为( )B．4C．1D．2 A．123. 菱形ABCD中，AB=2，∠D=120∘，则对角线AC的长为( )A．1B．3C．2D．234. 菱形ABCD中，AC=10，BD=24，则该菱形的周长等于( )A．13B．52C．120D．2405. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )A．12B．16C．20D．246. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使平行四边形ABCD成为菱形的是( )A．AB=BC B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．∠A=∠B=∠C=90∘7. 如图，B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ABDC 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四条边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形8. 点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，AC，BD交于点O，当四边形ABCD的对角线满足( )条件时，四边形EFGH是菱形．A．AC⊥BD B．AC=BDC．OA=OC，OB=OD D．OA=OB9. 平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(―3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0,―2)，则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形10. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．BA=BC B．AC，BD互相平分C．AC=BD D．AB∥CD二、填空题（共10题）11. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是cm．12. 已知菱形两条对角线的长分别为4和6，则菱形的边长为．13. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是cm2．14. 如图，若菱形的边长为4，∠BAD=120∘，则较短对角线AC长为．15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为DC的中点，若OE=3，则菱形的周长为．16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥AD于点E，反向延长交BC于点F，则EF的长为．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为．18. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥CE．从中选择条件可使四边形BECF是菱形．19. 如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：，使得四边形AEDF是菱形．三、解答题（共7题）21. 【测试4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 连接DG，若DG=BG，则四边形BECF是什么特殊四边形？请说明理由．23. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：(1) ∠CEB=∠CBE；(2) 四边形BCED是菱形．24. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．(1) 求证AB=BC；(2) 若AB=2，AC=23，求平行四边形ABCD的面积．25. 在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF，求证：(1) △ABF≌△DAE．(2) DE=BF+EF．26. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE=DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 试判断四边形AECF的形状，并说明理由．27. 如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；(2) 若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】B10. 【答案】B二、填空题（共10题）11. 【答案】212. 【答案】1313. 【答案】2414. 【答案】415. 【答案】2416. 【答案】24517. 【答案】618. 【答案】②19. 【答案】AD=BC20. 【答案】如：AB=AC，答案不唯一三、解答题（共7题）21. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN 是对角线 BD 的垂直平分线，∴OB =OD ，MN ⊥BD ，在 △MOD 和 △NOB 中，∠DMO =∠BNO,∠MOD =∠NOB,OD =OB,∴△MOD ≌△NOB (AAS)，∴OM =ON ，∵OB =OD ，∴ 四边形 BNDM 是平行四边形，∵MN ⊥BD ，∴ 四边形 BNDM 是菱形．(2) ∵ 四边形 BNDM 是菱形，BD =24，MN =10，∴BM =BN =DM =DN ，OB =12BD =12，OM =12MN =5，在 Rt △BOM 中，由勾股定理得：BM =OM 2+OB 2=52+122=13， ∴ 菱形 BNDM 的周长 =4BM =4×13=52．22. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∠BAE =∠DCF ，在 △ABE 和 △CDF 中，AB =CD,∠BAE =∠DCF,AE =CF,∴△ABE ≌△CDF (SAS)；(2) 四边形 BEDF 是菱形；理由如下：如图所示：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∵AE =CF ，∴DE =BF ，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，∴OB =OD ，∵DG =BG ，∴EF ⊥BD ，∴ 四边形 BEDF 是菱形．23. 【答案】(1) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ ∠ABC =∠ABD ．∵ CE ∥BD ，∴ ∠CEB =∠DBE ，∴ ∠CEB =∠CBE ．(2) ∵ △ABC ≌△ABD ，∴ BC =BD ．∵ ∠CEB =∠CBE ，∴ CE =CB ，∴ CE =BD ．∵ CE ∥BD ，∴ 四边形 CEDB 是平行四边形．∵ BC =BD ，∴ 四边形 CEDB 是菱形．24. 【答案】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥BC ，所以 ∠DAC =∠BCA ，因为 ∠BAC =∠DAC ，所以 ∠BAC =∠BCA ，所以 AB =BC ．(2) 连接 BD 交 AC 于点 O ，因为四边形 ABCD 是平行四边形，AB =BC ，所以四边形 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，OA =OC =12AC =3，OB =OD =12BD ，所以 OB =AB 2―OA 2=22―(3)2=1，所以 BD =2OB =2，所以 S 平行四边形ABCD =12AC ⋅BD =12×23×2=23．25. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，AD ∥BC ，∴∠BOA =∠DAE ，∵∠ABC =∠AED ，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠ABF =∠BPF ，∠BPA =∠DAE ，∴∠ABF =∠DAE ，∵AB =DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2) ∵△ABF ≌△DAE ，∴AE =BF ，DE =AF ，∵AF =AE +EF =BF +EF ，∴DE =BF +EF ．26. 【答案】(1) ∵ 正方形 ABCD ，∴AB =AD ，∠ABE =∠ADF =135∘，在 △ABE 和 △ADF 中，AB =AD,∠ABE =∠ADF,BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS)．(2) 四边形 AECF 为菱形．证明：连接 AC ，∵△ABE ≌△ADF ，∴AE =AF ，∵正方形ABCD，∴EF垂直平分AC，∴EA=EC，FA=FC，∴EA=EC=FA=FC，∴四边形AECF是菱形．27. 【答案】(1) ∵O是AC的中点，∴OA=OC，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO．在△AOD和△COB中，∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴△AOD≌△COB，∴OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2) ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴平行四边形ABCD的面积=1AC⋅BD=24．2。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．一、菱形的性质【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？课堂练习：1.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．C．4 D．F EDCBA2.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、B 、16C 、D 、83. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）二、填空题4. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积 为5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于二、菱形的判定【例5】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【例6】☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ， 求证：四边形BEDF 是菱形第4题第5题第6题ODEFCABC'DCB A E【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例8】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '. 求证：四边形CDC E '是菱形．【例9】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA巩固练习：一．选择题1．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误！未找到引用源。
1.1 菱形的性质与判定(2)
C
B
五
课堂小结
（1） （2）
O
C
B 所以如果平行四边形的对角线互相垂直，那么 这个四边形一定是 形。你能用定义证明这 个结论吗？（口述你的理由）
于是我们等到菱形的判定定理1 定理1：
用符号语言可以表示为： ∵ ,且
∴四边形ABCD是
.
A
D
O
C
。 B 。
3、活动三、探究菱形的判定定理2。 问题：四条边相等的四边形是平行 四边形吗？是菱形吗？你能用定义 说明理由吗？
A D
B
C
于是我们等到菱形的判定定理2：
定理2：
用符号语言可以表示为： ∵ ,
Hale Waihona Puke ,AD∴
.
B C
4、小结点拔
总结分析： 三种判定方法是证明菱形的基础定理，条件对比 （1）平行四边形+邻边的数量关系（相等）；
（2）平行四边形+对角线的位置关系（垂直）；
（3）四条边的数量关系（相等）。
三个定理条件的共同特点：与角无关。
杨金光
一、复习回顾
你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？
边：___________; _________， 角：_________ _ ; __________， 对角线：_____；__________；________， 对称性： __________； __________。
二、新课探究
5、交流菱形的面积计算方法： （1） ，
（2）
，
（3）
，
三 例题学习
例1、在□ABCD中，对角线AC和BD相交于 点O，并且AB=，OB=1，， 求证：（1）AC⊥BD ， （2）□ABCD是菱形吗？说说你的理由. （3）求四边形ABCD的面积. D A
菱形的性质与判定之八大考点(解析版)--初中数学专题训练 (2)
菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。
【2021中考数学】菱形及其性质(二)含答案
2021年中考复习数学分类专题提分训练：菱形及其性质（二）1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为（）A．65 B．120 C．130 D．2402．数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明：已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．甲的证法：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，又∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD，∴∠AOB＝∠AOD∵∠AOB+∠AOD＝180°，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD．乙的证法：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，∴AO⊥OB，∴AC⊥BD．则关于两人的证明过程，说法正确的是（）A．甲、乙两人都对B．甲对，乙不对C．乙对，甲不对D．甲、乙两人都不对3．如图，菱形ABCD中，∠A＝50°，DE⊥AB于点E．则∠BDE的度数为（）A．25°B．35°C．40°D．50°4．下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形B．一条对角线平分一组对角的四边形C．四条边都相等的四边形D．对角线互相垂直平分的四边形5．平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件是（）A．AB＝AC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD6．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．∠ABC＝∠ADC C．∠ABC＝90°D．AC⊥BD7．下列条件能判定四边形是菱形的是（）A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形8．下列命题正确的是（）A．邻角相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形9．如图，2条宽为1的带子以α角交叉重叠，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．sinαB．C．D．10．如图：把两张宽度都为1的长方形纸条重叠在一起，则重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．1 B．sinαC．D．11．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．2D．312．菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5：4，则它的锐角度数为（）A．30°B．45°C．60°D．80°＝48，且AE＝6，则菱形的边长为（）13．如图，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCDA．12 B．8 C．4 D．214．如图是一个边长为15cm的活动菱形衣帽架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，那么∠1的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°15．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC边上的中点，AC＝12cm，BD＝16cm，则OE的长为（）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm16．将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）A．15 B．18 C．21 D．2417．如图，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连接DE、DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（）A．BD＝DC B．AB＝AC C．AD＝BC D．AD⊥BC18．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2 B．C．1 D．19．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，AE⊥BC于E，交BD于F，已知AF＝3，则BE＝（）A．B．C．D．20．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（）A．B．C．D．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝12，∴BD＝2OB＝24，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×10×24＝120；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，又∵AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（SSS），∴∠AOB＝∠AOD∵∠AOB+∠AOD＝180°，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD．即甲的证法正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，∴AO⊥OB，∴AC⊥BD．即乙的证法正确；故选：A．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝50°，∴AD＝AB，∴∠ADB＝65°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°，∴∠BDE＝65°﹣40°＝25°，故选：A．4．解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，∴选项B符合题意；C、∵四边相等的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：B．5．解：A、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意；C、∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；D、平行四边形ABCD中，AB⊥BD，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：C．6．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝∠ADC，不能得出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；故选：D．7．解：根据菱形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形可直接选出答案，故选：C．8．解：A、错误，直角梯形中有邻角相等，但不是菱形；B、错误，只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；C、错误，筝形的对角线互相垂直，但不是菱形；D，正确，故选D．9．解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形为ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，∴BC＝AB＝，∴重叠部分的面积即阴影部分的面积＝BC•AE＝．故选：B．10．解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为1，∴AE＝AF＝1，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC＝AB，∵＝sinα，∴BC＝AB＝，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE＝1×＝，故选：C．11．解：如图，设BF交CE于点H，∵菱形ECGF的边CE∥GF，∴△BCH∽△BGF，∴CH：FG＝BC：BG，即CH：4＝2：6，解得CH＝，所以，DH＝CD﹣CH＝2﹣，∵∠A＝120°，∴∠ECG＝∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴点B到CD的距离为2×＝，点G到CE的距离为4×＝2，∴阴影部分的面积＝S△BDH +S△FDH，＝×+×＝故选：A．12．解：∵菱形对角线互相垂直平分，∴△ABO为直角三角形，∵5∠ABO＝4∠BAO，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠ABO＝40°，∠BAO＝50°，∵菱形的对角线即角平分线，∴∠ABC＝2∠ABO＝80°．故选：D．13．解：AE为菱形ABCDBC边上的高，且菱形的面积为S＝BC×AE，已知S＝48，AE＝6，菱形ABCD∴BC＝8，故菱形的边长为8，故选：B．14．解：因为菱形的边长为15cm，AB＝15cm，∴三角形的顶点与点A、B连接成为等边三角形，∴∠1＝60°，故选：B．15．解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝8，OA＝OC＝AC＝6，在Rt△OBC中，BC＝＝＝10，∵E为BC边上的中点，∴OE＝BC＝5（cm）．故选：B．16．解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线，这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形．共得21个菱形．故选：C．17．解：添加BD＝CD，∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF，∴平行四边形ADEF为菱形．添加AB＝AC，则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点再证明即可；添加AD⊥BC，再由AD是△ABC的角平分线可证明△ABD≌△ACD，进而得到BD＝CD，再证明四边形ADEF 为菱形即可，故选：C．18．解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．19．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，OA＝AC∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC，∠CAE＝∠BAC＝30°，∴BE＝AC＝AO＝AF•cos30°＝3×，故选：B．20．解：延长GP交DC于点H，∵AB＝AD，BG＝BE，∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠GCP＝60°，∴＝．故选：B．。
菱形的性质与判定(2)
情境1：
小明同学提出：用一长一短的两根细木 条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一 个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如 下图），做成一个四边形，转动木条，这个 四边形什么时候变成菱形？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
命题1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知： ABCD,对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD
5cm
5cm
（1）
答案（1） 是，因为AC⊥BD
（2）
判定1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
答案（2） 是，因为 A B = A D 定义 ：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
3. 在菱形ABCD中，不一定成立的（ C ）
A 、 四边形ABCD是平行四边形 B 、 AC⊥BD
C、 △ABD是等边三角形
文字语言
一组邻边相 等的平行四 边形是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
图形语言
A
D
B
C
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
பைடு நூலகம்
A
D
O
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
A
D ∵AB=BC=CD=DA
B
C
∴四边形ABCD是菱形
五四制鲁教版八年级下册
1菱形的性质与判定 (2)
回顾反思 类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
菱形的
D
定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质 菱形的 对角线互相垂直且平分每一组对角 A O C 性质 菱形的四条边都相等
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)
专题02 菱形的性质与判定(重难题型)1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（ ）A ．12B C D 【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，∵60ABC Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC Ð=°=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴AC BD ==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC Ð=°，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE =30°，,利用勾股理求出AC =，则AP =+PC ，PE =12AP =12PC ，由∠PCF =∠DCA =30°，得到PF =12PC ，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°，AB =2，∴AB=BC =CD =DA =2，∠BAD =60°，AC ⊥BD ，∴∠CAE =30︒，∵AC ⊥BD ，∠CAE =30°，AD =2，∴AC =∴AP =+PC ，在直角△AEP 中，∵∠PAE =30°，AP =+PC ，∴PE =12AP +12PC ，在直角△PFC 中，∵∠PCF =30°，∴PF =12PC ，∴PE PF -+12PC -12PC ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．3．如图，菱形ABCD 边长为4，60BAD Ð=°，E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），F 是CD 上一动点，4AE CF +=，则BEF V 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】如解图，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为4，60BAD Ð=°，∴ABD △和BCD △均为等边三角形，∴60FDB EAB Ð=Ð=°，∵4AE CF +=，4DF CF +=，∴AE DF =，∵AB BD =，∴BAE BDF @△△，∴BE BF =，ABE DBF Ð=Ð，∴60EBF ABD Ð=Ð=°，∴BEF V 是等边三角形，∴当BE AD ^时，BEF V 的面积最小，此时BE =，BEF V 2=．4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．6B ．52C ．1D ．12【答案】C【详解】如解图，作点N 关于AC 的对称点E ，连接ME ，PE ，则PN PE =，∴MP PN MP PE ME +=+³，∴当M 、P 、E 三点共线时，MP PN +最小，最小值为ME 的长．∵四边形ABCD 是菱形，N 是BC 的中点，∴E 是CD 的中点，∵M 是AB 的中点，∴//DE AM ，DE AM =，∴四边形AMED 是平行四边形，∴1ME AD ==，即MP PN +的最小值为1．5．如图，在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且6AC =，连接DE ，DF ，BE ，BF ．若P 是菱形ABCD 的边上的点，则满足PE PF +=的点P 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【详解】如解图，不妨假设点P 在线段AD 上，作点E 关于AD 的对称点'E ，连接'FE 交AD 于点P ，连接'AE ，此时PE PF +的值最小．∵四边形ABCD 是菱形，6AC =，点E 、F 将AC 三等分，60DAB Ð=°，∴1302DAC DAB Ð=Ð=°，2AE EF ==，∵点'E 为点E 关于AD 的对称点，∴'2AE AE ==，'23060E AE Ð=´°=°，∴'E AE △为等边三角形，∴'2E E EF ==，∴''30FE E E FE Ð=Ð=°，∴'90AE F Ð=°，∴'E F =∴PE PF +的最小值为，当点P 由A 运动到D 时，PE PF +的值由最大值6减小到4，∵PE PF +=，4<<，∴线段AD 上存在两个点P ，满足PE PF +=∴根据对称性可知：菱形ABCD 的边上的存在8个点P 满足条件．6．如图，已知Rt ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）A ．143B ．245C ．103D ．125【答案】B【详解】如解图，作点F 关于AB 、BC 的对称点'F 、''F ，连接'''F F ，'F D ，''F E ，由对称的性质得'FD F D =，''FE F E =，''''''DE FD EF DE F D F E F F ++=++³，可知当F 固定时，'''DE F D F E ++的最小值就是线段'''F F 的长．作AC 关于AB 、BC 的对称线段'AC 、'A C ，连接''A C ，可以发现'F 、''F 是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． '''F F 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，∴'248CC =´=，'326AA =´=，5AC =．设菱形的高为x ，则''16852ACA C S x =´´=菱形，解得245x =，故DE EF FD ++的最小值为245．7．如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF ④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =C E = AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF = BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE = AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，2AD =，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF=BE，设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即BE的长是1.5；故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形ADFH是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得EF===③正确；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=32，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，=12S矩形ABCD+S△CGF，=12AB•AD+12CG•GF，=12×4×2+12×2×32，=4+3 2=112；故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，F 是CD 的中点，作BE AD ^于点E ，连接EF 、BF ，则下列结论错误的是（ ）A ．CBF ABFÐ=ÐB ．FE FB =C ．2EFB DEBCS S =四边形△D ．3BFE DEFÐ=Ð【答案】D【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF FG =，^BE BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ．∵2AB AD =，∴2CD AD =，∵F 是CD 的中点，∴DF FC =，∴CF CB =，∴CFB CBF Ð=Ð，∵//CD AB ，∴CFB ABF Ð=Ð，∴CBF ABF Ð=Ð，故A 正确，∵//DE CG ，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴DFE FCG ≌△△()AAS ，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB =°∠，∵//AD BC ，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，∴BF EF FG ==，故B 正确，∵DFE CFG S S =△△，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形△△ ，故C 正确，∵AH HB =，DF CF =，AB CD =，∴CF BH =，∵//CF BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形，∴BFC BFH Ð=Ð，∵FE FB =，//FH AD ，BE AD ^，∴FH BE ^，∴BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3EFC DEF Ð=Ð，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，在ABC V 中，,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD CE ^于点O ，点F 是OB的中点，若8,6OB OC ==，则EF 的长是（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】如图（见解析），取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，先利用勾股定理可得10BC =，再根据三角形中位线定理可得15,//2DE BC DE BC ==，15,//2FG BC FG BC ==，然后根据菱形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，8,6,OB OC BD CE ==^Q ，10BC \==，,BD CE Q 分别是边,AC AB 上的中线，DE \是ABC V 的中位线，15,//2DE BC DE BC ==\，同理可得：15,//2FG BC FG BC ==，5,//DE FG DE FG \==，\四边形DEFG 是平行四边形，又BD CE ^Q ，\平行四边形DEFG 是菱形，5EF DE \==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A ．甲、乙对，丙错B ．乙、丙对，甲错C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错【答案】A【分析】先利用菱形ABCD 的性质证明,FOB FOD V V ≌可得,FB FD =再同理可得 ,,FD ED ED EB == 从而判断甲正确；连接BD 交AC 于O ， 利用四边形ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ， 再证明OF =OE ，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．【详解】解：Q 菱形,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD \===^==90,FOB FOD \Ð==Ð=°,FO FO =Q,FOB FOD \V V ≌,FB FD \=同理可得：,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE \===∴四边形FBED 是菱形．故甲正确；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；故选：.A 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线AC ＝16，点E F 、分别是边CD BC 、的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 长为（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】C【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG =BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD =2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD =DA =10，EF ∥BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC =16，∴AC ⊥BD ，AO =CO =8，OB =OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，∴BD =EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD =10，CO =8，∴OB =OD 6=，∴BD =2OD =12，∴EG =BD =12；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ^于点H ，连接OH ，若3OA =，2OH =．则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．24【答案】A【分析】由Rt △BHD 中，点O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH =2，则，BD =4，由菱形对角线的性质可得AC =6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∵DH AB ^，∴90BHD Ð=°，∴2BD OH =，∵2OH =，∴4BD =，∵3OA =，∴6AC =，∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =´=´´=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形ABCD 中，30A Ð=°，以点,A B 为圆心，取大于12AB 的长为半径，分别作弧相交于,M N 两点，作直线MN 交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连结,BE BD ，若2AE =，则下列结论错误的是（ ）A ．45DBE Ð=°B ．2BE =C ．菱形ABCD 的面积为D ．2ED =-【答案】C【分析】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．【详解】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线∴BE =AE =2故选项B 正确∵BE =AE ，∠A =30゜∴∠EBA =∠A =30゜∵四边形ABCD 是菱形∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =12(180゜−∠A )=75゜∴∠DBE =∠ABD −∠EBA =45゜故选项A 正确设MN 交AB 于点F ，如图∵MN ⊥AB ，∠A =30゜∴EF =12AE =1由勾股定理得：AF ==∴AD =AB =2AF =∴ED =AD −AE ==−2故选项D 正确如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G在Rt △ADG 中，∠A =30゜，则12DG AD ==∴6ABCD S AB DG =´==菱形从而选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB 的垂直平分线．14．如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,CD BC 的中点，P 是对角线BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线AC 长为6，则PMN V 周长的最小值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】C【分析】作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据轴对称、菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．再根据题意即可证明M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．即当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．根据勾股定理可求出28BD DO ==，再利用中位线的性质即可求出MN 长，最后由M N AB ¢=，求出9N M N M ¢+=即为PMN V 的周长最小值．【详解】如图，作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据对称的性质和菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．又∵点N 为BC 中点，∴M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．∵P M P M ¢¢¢=，∴根据两点直线线段最短可知，当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．∵AC =6，∴132AO AC == ．在Rt AOD △中，4DO ===，∴28BD DO ==．∵点M ，N 分别为DC ，BC 的中点，∴142MN BD ==．∵点M ¢，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM BN ¢=，又∵//A N M B ¢，∴四边形ABNM ¢为平行四边形．∴5M N AB ¢==，∴549M N MN =+¢=+，即PMN V 的周长最小值为9．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当P ¢点为P 点时，PMN V 的周长最小是解答本题的关键．15．已知，如图，在菱形ABCD 中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ADM12=S△ABM【答案】B【分析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM在R t V ABM中，BM=，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADM12=S△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．16．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A ，C 重合），且//PE BC 交AB 于E ，//PF CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．10B ．7.5C ．5D ．2.5【答案】D【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP 与EF 相交于O 点．∵四边形ABCD 为菱形，∴BC //AD ，AB //CD ．∵PE //BC ，PF //CD ，∴PE //AF ，PF //AE ．∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE ．即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC •BD =5，∴图中阴影部分的面积为12×5=2.5．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 的面积为24，对角线AG 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，EF BD ^于点F ，EG AC ^于点G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ^，12S AC BD =´，证出四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，得出EF 、EG 都是OBC D 的中位线，则1124EF OC AC ==，1124EG OB BD ==，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，12OA OC AC \==，12OB OD BD ==，AC BD ^，EF BD ^Q 于F ，EG AC ^于G ，\四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，Q 点E 是线段BC 的中点，EF \、EG 都是OBC V 的中位线，1124EF OC AC \==，1124EG OB BD ==，\矩形EFOG 的面积116EF EG AC BD =´=g ；又∵菱形ABCD 的面积为=1242AC BD =g ，∴48AC BD =g ∴矩形EFOG 的面积=12438´=．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC =∠111D A C ,根据平移的性质得到C 1C =A 1A ，根据矩形的性质得到A 1D =BC ，再根据SAS 证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC 1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC 1D 1是菱形．②正确；根据当x ＝2时，点C 1与点A 重合，根据平移的性质,CC 1=DD 1=2,矩形的对角线相等，BD =AC ，证明BD ＝DD 1，∠BDD 1＝60°得出△BDD 1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC 1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；【详解】解：∵AC ＝A 1C 1，∴AA 1＝CC 1∵BC ＝D 1A 1，∠AA 1D 1＝∠BCC 1，∴△A 1AD 1≌△CC 1B ，故①正确，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，AB ＝1，∴AC ＝A 1C 1＝2，当x ＝1时，AC 1＝CC 1＝1，∴AC 1＝AB ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 1是等边三角形，同法可证：△AD 1C 1是等边三角形，∴AB ＝BC 1＝AC 1＝AD 1＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确，当x ＝2时，BD ＝AC ＝2，DD 1＝2，∠BDD 1＝60°，∴△BDD 1是等边三角形，故③正确，当0＜x ＜2时，S ＝12 •12 （2﹣x ）（2﹣x （2﹣x ）2，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．如图，四边形ABCD 为菱形，70ABC Ð=°，延长BC 到E ，在DCE Ð内作射线CM ，使得15ECM Ð=°，过点D 作DF CM ^，垂足为F ，若DF =，则对角线BD 的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】先由菱形的性质得出70DCE Ð=°，求得55DCF Ð=°，再根据直角三角形两锐角互余得35CDF Ð=° ,连接AC 交BD 于点O ，根据菱形的性质得90DOC Ð=°，35BDC Ð=°，根据AAS 证明CDO CDF D @D 可得DO DF ==，从而可求出BD =．【详解】解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，90DOC Ð=°，BD =2DO∴70DCE ABC Ð=Ð=°∵15ECM Ð=°∴55DCM Ð=°∵DF CM^∴35CDF Ð=°∵四边形ABCD 是菱形，∴113522CDB ADC ABC Ð=Ð=Ð=° ∴CDF CDO Ð=Ð在CDO D 和CDF D 中，90CDO CDF COD CFD CD CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴CDO D ≌CDFD∴DO DF ==∴2BD DO ==故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC 并证明CDO D ≌CDF D 是解答此题的关键．20．如图，菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点P 作PE AB ^交AB 于点E ，过点C 作CF AB ^交AB 于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，∴∠ABP =30°，12PE BP \=，12BP PC PE PC \+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，sin 3sin 60CF BC ABC \=´Ð=´°=即12BP PC +，【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．21．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE AE =，则OE 的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA ，OD ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出AD ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝12×6＝3，OC ＝12AC ＝12×8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，CD 5=，∵OE ＝AE ，∴∠DAC ＝∠EOA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴∠EOA ＝∠DCA ，∴OE //CD ，∵AO ＝OC ，∴OE 是△ADC 的中位线，∴OE ＝12CD ＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE 是△ADC 的中位线，是解题的关键．22．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．（1）求证：ABE △≌CDF V ；（2）证明四边形BEDF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)利用SAS 证明即可；(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD =，且BAE DCF Ð=Ð，又∵AE CF =，∴ABE △≌CDF V ．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，且O 为AC ，BD 中点，又∵AE CF =，∴EO FO =∴BD 与EF 互相垂直且平分，故四边形BEDF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，8cm,60AB ACB =Ð=°，点M 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度匀速运动，至点D 时停止运动，连接MO 并延长交BC 于点N ，设点M 的运动时间为s t ．（1）求证：DM BN =；（2）当四边形ABOM 的面积为2时，求t 的值；（3）求当t 为何值时，AOM V 的外心在它的边上．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴,//OB OD AD BC =，∴MDO NBO Ð=Ð．又∵DOM BON Ð=Ð，∴()DOM BON ASA V V ≌，∴DM BN =；（2）解：如解图①，分别过点A 、O 作BC AD 、的垂线，垂足分别为点E 、F ，例题解图①∵8cm,60,AB ACB AB BC =Ð=°=，∴ABC V 是等边三角形，∴AE =，∴12OF AE ==．∵212AOB MOA ABC MOA ABOM S S S S S =+=+=V V V V 四边形，∴111222BC AE AM OF ´×+×=即t =4t =；（3）解：∵AOM V 的外心在它的边上，∴AOM V 为直角三角形，分以下两种情况讨论：①如解图②，当90AMO Ð=°时， AOM V 的外心在AO 上，例题解图②∵8cm,60AB ACB =Ð=°，∴1 4 cm 2AO AB ==，由（2）可知MO =，∴AM =，∴()2 t s =；②当90AOM Ð=°时， AOM V 的外心在AM 上，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，∴90AOD Ð=°，∴此时点M 运动到点D 处，∴()8 t s =；综上所述，当t 为2s 或8s 时， AOM V 的外心在它的边上．24．如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ^，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AB CD ，OD OB =，再证明DOF BOE ≌△△，进而即可得到答案；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再证明平行四边形AECF 是菱形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，OD OB =，∵//AB CD ，∴DFO BEO Ð=Ð，FDO EBO Ð=Ð．∴DOF BOE ≌△△，∴OE OF =，∵2OE =，∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：∵ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA OC =，又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC^∴平行四边形AECF 是菱形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．25．四边形ABCD 为菱形，BD 为对角线，在对角线BD 上任取一点E ，连接CE ，把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，使得ECF BCD Ð=Ð，点E 的对应点为点F ，连接DF ．（1）如图1，求证：BE DF =；（2）如图2，若2DFC DBC Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD （BE 和DE 除外）．【答案】（1）见解析；（2）,BE BC ；,BE CF ；,DF DE ；,DF CE ；,DF CF【分析】（1）证明()BCE DCF SAS D @D ，可得结论．（2）证明ED EC =，结合全等三角形的性质，可得结论．【详解】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF，DF＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得AE=【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∵DE＝EF，BE＝EC，∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是AB边中点，E是BC中点，∴DE∥AC，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴四边形CFBD是菱形．（2）∵四边形CFBD是菱形，∴∠CEF＝90°．∵DF＝2，∴EF＝1，∵CF=，∴由勾股定理得，CE＝3，∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，∴AC＝2，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得AE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．27．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC Ð=°，求ABE Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE V ≌DCE V ，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB Ð=Ð=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB Ð=Ð=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∴CE DE=∵四边形ABCD 是菱形∴ACB ACD Ð=∠，BC CD=∵CE CE=∴BCE V ≌DCEV ∴BE DE=∴BE CE=（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC=∴BAC ACB Ð=Ð，∴180180725422ABC ACB -Ð-Ð===°°°°∵BE CE =∴54EBC ACB Ð=Ð=°∴725418ABE ABC EBC Ð=Ð-Ð=-=°°°．【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．28．问题：如图，在ABCD Y 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）①10；②5；（2）13，23，2【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解；②证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD \，DEA EAB \Ð=Ð．AE ∵平分DAB Ð，DAE EAB \Ð=Ð．DAE DEA \Ð=Ð．5DE AD \==．同理可得：5B C C F ==．Q 点E 与点F 重合，10AB CD \==．②如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===，∴▱ABCD 是菱形，5CF BC ==Q ，\点F 与点D 重合，5EF DC \==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===，13AD AB \=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==Q ，23AD DE AB AB \==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==Q ，2AD DE AB CD\==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．29．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P 是BC 的中点，分别以BP 、CP 为底边在BC 的同侧作等腰ABP △和等腰DCP V ，且120BAP CDP Ð=Ð=°，连接AC 、BD 交于点O ．求证：AC DB =．解决问题（1）请你解决老师提出的问题；合作交流创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接OP ，创新小组发现AOP DOP Ð=Ð；（2）请你证明创新小组发现的结论；（3）如图③，将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋转至//AP BD 停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AODP 是菱形（答案不唯一），理由见解析【详解】（1）证明：120BAP Ð=°Q ，ABP △是等腰三角形，BAP \Ð是等腰三角形的顶角．AB AP =∴．1801801203022BAP ABP APB °-а-°\Ð=Ð===°．同理得DP DC =，30DPC DCP Ð=Ð=°．∵P 是BC 的中点，BP CP \=．()ABP DCP ASA \△≌△．.AB DC AP DP \===180APC APB Ð+Ð=°Q ，18030150APC \Ð=°-°=°，同理得150DPB Ð=°，.APC DPB \Ð=Ð()APC DPB SAS \△≌△．AC DB \=；（2）证明：APB DPC Ð=ÐQ ，.APB BPC DPC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð.APC DPB \Ð=Ð又.APC DPB \Ð=Ð，CP BP =，()APC DPB SAS \△≌△．.APC DPB S S \=△△如解图①，过点P 分别作PE AC ^，PF BD ^．垂足分别是E ，F ，1122AC PE DB PF \×=×，PE PF \=．OP ∴平分AOD Ð．即AOP DOP Ð=Ð；图①（3）解：四边形AODP 是菱形．（答案不唯一）理由如下：如解图②，记BD 与CP 的交点为L ，AP//BD Q ，AB PD =，120BAP Ð=°，60ABD PDB \Ð=Ð=°，120APD Ð=°，30CPD Ð=°Q ，180180603090PLD PDB CPD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，即CP BD ^，CP AP \^，即90APC Ð=°，180903060CAP \Ð=°-°-°=°，60120180CAP APD \Ð+Ð=°+°=°，。
11 菱形的性质与判定(备作业)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)(原卷版)
1.1菱形的性质与判定一、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．四边相等的四边形是菱形B ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相平分的四边形是菱形2．已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为4和6，则该菱形面积是（ ）A ．48B ．24C ．12D ．63．菱形的周长为32cm ，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）A ．8cm 和B ．4cm 和C ．8cm 和D ．4cm 和4．如图，在菱形ABCD 中，,AE AF 分别垂直平分,BC CD ，垂足分别为,E F ，则EAF ∠的度数是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）A ．3.5B ．4C ．7D ．146．如图，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE 的位置，连接AD BD ，，则下列结论：①AD BC =；②BD AC ，互相平分；③四边形ACED 是菱形；④ACD DCE ∠=∠.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF 、分别是BAD ∠和BCD ∠的平分线，若添加以下一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形，则这个条件是（ ）A ．AE AF =B ．EF AC ⊥ C ．60B ∠=D ．AC 是EAF ∠的平分线8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E的坐标为( )A ．(B ．)2C ．)D ．( 9．如图，在菱形ABCD 中，EF ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）A ．112S S =B ．112S S <C ．112S S >D ．152S S =10．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝44°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连结DF ，则∠CDF 等于( )A ．112°B ．114°C ．116°D ．118°11．如图，菱形ABCD 的边长为9，面积为P 、E 分别为线段BD 、BC 上的动点，则PE PC +的最小值为（ ）A B ．C ．D ．912．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H .给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ：②GC 平分∠BGD ；③S四边形BCDG ＝4CG 2；④∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．菱形的对角线长分别为5cm 和12cm ，则菱形的周长是________cm ．14．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线BD ＝16，点O 是线段BD 上的动点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AD 于F ．则OE +OF ＝___．15．已知菱形ABCD 的周长为20cm ，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是__________________．16．如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，BF ，则CDF ∠=______.17．如图，四边形ABCD 为菱形，O 是两条对角线的交点，过点O 的三条直线将菱形分成阴影和空白两部分．当菱形的面积为60时，阴影部分的面积是________．18．三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为________cm ．19．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，从(1)AB ＝CD ；(2)AB ∥CD ；(3)OA ＝OC ；(4)OB ＝OD ；(5)AC ⊥BD ；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒四边形ABCD 是菱形；________⇒四边形ABCD 是菱形．20．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是的边AB ，BC 边的中点.若5AB =， 8BD =，则线段EF 的长为______．21．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．22．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，点P 是AC 延长线上的一个动点，过点P 作PE ⊥AD ，垂足为E ，作DC 延长线的垂线，垂足为F ，则|PE-PF|=_____．23．含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，…，和点B 1，B 2，B 3，B 4，…，分别在直线y=kx 和x 轴上．已知B 1（2，0），B 2（4，0），则点A 1的坐标是_____；点A 3的坐标是_____；点A n 的坐标是____（n 为正整数）．24．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD 、CG ．给出以下结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④2.BCDG S AB =四边形其中正确的有______．三、解答题25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，D 为AB 的中点，//AE CD ，//CE AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若60B ︒∠=，6BC =，求菱形ADCE 的高．26．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，点E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．（1）证明：∠BAC ＝∠DAC ；（2）若AB//CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E 的位置，使∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．27．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF.(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．28．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作//AG DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：//DE BF ；（2）若90G ∠=︒，求证：四边形DEBF 是菱形．29．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，2FH =，求菱形ABCD 的周长．30．如图，在四边形ABCD 中，,AB DC AB AD =//，对角线,AC BD 交于点,O AC 平分BAD ∠，过点C作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：DAC DCA ∠=∠；（2）求证：四边形ABCD 是菱形；（3）若AB 2==，求OE 的长．31．如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．（1）连结BE ，CD ，求证：BE=CD ；（2）如图2，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为 度时，边AD′落在AE 上；②在①的条件下，延长DD’交CE 于点P ，连接BD′，CD′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．32．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：182y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：13y x =交于点A ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若M 是线段OA 上的点，且COM 的面积为24，求直线CM 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设E 是射线CM 上的点，在平面内是否存在点F ，使以O 、C 、E 、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和A B C '''重合放置，其中90C ∠=︒，30B B ∠∠'==︒，2AC AC '==．（1）操作发现：如图②，固定ABC ，将A B C ''绕点C 旋转，当点A '恰好落在AB 边上时． ①CA B ∠''=__，旋转角α=___（090α<<），线段A B ''与AC 的位置关系是____． ②设A BC '的面积为1S ，AB C '的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是___．（2）猜想论证：当A B C ''绕点C 旋转到③所示的位置时，徐富老师猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了A BC '和AB C '中BC ，B C '边上的高A D '，AE ，请你证明徐富老师的猜想．（3）拓展探究：如图④，60MON ∠=︒，OP 平分MON ∠，点N 为动点，//PQ MO 交ON 于点Q ，若在射线OM 上作点F ，使//PF OQ ，请证明PNF OPQ S S =△△．。
1.1 菱形的性质与判定 (2)
1.1 菱形的性质与判定一．选择题（共18小题）1．（2020秋•禅城区期末）关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．四条边相等D．对角线相等2．（2020秋•昌图县期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）A．对角线垂直B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2020秋•丘北县期末）菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．4B．2√3C．2D．14．（2020秋•中站区期末）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2√3B．4√3C．4D．85．（2020秋•秦都区期末）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（）A．10√3cm B．10cm C．5√3cm D．5cm 6．（2020秋•南岸区期末）下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是菱形7．（2021•碑林区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（）A．2√5B．2√3C．√5D．√38．（2020秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°9．（2020秋•周村区期末）如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（）A．15°B．30°C．40°D．50°10．（2020秋•雅安期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（）A．2.5B．3C．4D．511．（2020秋•瓜州县期末）如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（）A．4√2B．8√2C．16D．16√2 12．（2020秋•阳山县期末）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（）A．48B．24C．14D．12 13．（2019春•河南期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的个数有（）A．0B．1C．2D．3 14．（2019•徐汇区二模）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（）A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC 15．（2020春•如东县期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．3√3B．3+3√3C．6+√3D．6√3 16．（2020春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等17．（2019春•鼓楼区期末）如图将菱形竖直位置的对角线向右平移acm，水平位置的对角线向上平移bcm，平移后菱形被分成四块，最大一块与最小一块的面积和记为S1，其余两块的面积和记为s2，则s1与s2的差是（）A．abcm2B．2abcm2C．3ab cm2D．4ab cm2 18．（2020秋•莆田期中）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴，且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）二．填空题（共14小题）19．（2020秋•龙沙区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一个条件，则四边形ABCD为菱形．20．（2020秋•建平县期末）菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6√3，则它的面积为．21．（2020秋•兰州期末）若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为．22．（2020秋•昌图县期末）若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为．23．（2020秋•舞钢市期末）如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是cm．24．（2020秋•宝鸡期末）如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F 分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为．25．（2020秋•漳州期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE ⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝．26．（2020秋•丹东期末）菱形ABCD的周长为52cm，它的一条对角线长10cm，则另一条对角线的长是．27．（2020秋•德惠市期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC、BC的中点，如果EF ＝5，那么菱形ABCD的周长．28．（2020秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠C＝60°，点P 是射线CE上的动点，线段AP的垂直平分线MN交AD于点F，连接PF，若△DPF是等腰三角形，则PF的长为．29．（2020秋•南岗区校级月考）在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点E在直线BC 上，CE＝1，连接AE，则线段AE的长为．30．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．31．（2019•安徽模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是边AB上一动点（不与点A、B重合），过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长等于．32．（2019春•天台县期末）如图，四边形ABCD为菱形，∠D＝60°，AB＝4，E为边BC 上的动点，连接AE，作AE的垂直平分线GF交直线CD于F点，垂足为点G，则线段GF的最小值为．三．解答题（共18小题）33．（2020秋•青羊区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD ＝60°，AC＝12，求菱形对角线BD的长．34．（2020秋•南山区期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．35．（2020秋•三水区期末）如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF ⊥BC于点F．求证：AE＝CF．36．（2020秋•顺德区期末）菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．37．（2020秋•周村区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．38．（2020秋•天桥区期中）如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．39．（2020秋•漳州期中）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．40．（2020秋•舞钢市期中）如图，E和F分别是菱形ABCD的边AB和AD的中点，且AB ＝5，AC＝6．（1）判断△OEF的形状，并说明理由．（2）求线段EF的长．41．（2020秋•郑州期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．42．（2020秋•揭西县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB 于点E，连接CE，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．43．（2020秋•武功县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．若BE＝DE，求证：四边形EBFD是菱形．44．（2020秋•皇姑区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO 并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．45．（2020秋•会宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．46．（2020秋•金塔县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．47．（2020•鲤城区校级模拟）如图，菱形ABCD，∠BAD＝60°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，BE．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）若∠BAF＝45°，AE＝5，求BF的长．48．（2020秋•南岗区校级月考）已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：△BDE是等腰三角形．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，连接EC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积与△BEF相等的所有三角形．49．（2019秋•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF 平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．50．（2020春•通州区期末）如图，菱形ABCD的边长是10厘米，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12厘米，点P，N分别在BD，AC上，点P从点D出发，以每秒2厘米的速度向终点B运动，点N从点C出发，以每秒1厘米的速度向点A运动，点P移动到点B 后，点P，N停止运动．（1）当运动多少秒时，△PON的面积是8平方厘米；（2）如果△PON的面积为y，请你写出y关于时间t的函数表达式．。
菱形性质及判定(10) 2
菱形性质与判定(2)一、知识盘点1、定义（1）在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus)（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形(rhombus)（3）四条边都相等的四边形是菱形(rhombus)2、性质（1）对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角（2）四条边都相等（3）对角相等，邻角互补（4）菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形（5）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍（6）菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质3、判定前提条件：在同一平面内（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形4、菱形的面积计算（1）菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半（2）拓展：对角线互相垂直的平行四边形，其面积就等于对角线乘积的一半。
5、与菱形有关的特征依次连接四边形各边中点所得的四边形称为平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形。
二、例题1、如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB 于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．2、如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．3、如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且A B C EF ∠B=∠EAF=60º，∠BAE=18º，求∠CEF 的度数．4、如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A 、48cmB 、36cmC 、24cmD 、18cm5、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB =3，则BC 的长为：A ．1B ．2C ．2D ．37、已知菱形的两条对角线的长分别为5和6，则它的面积是________．8、下列命题中正确的是（A ）对角线相等的四边形是菱形 （B ）对角线互相垂直的四边形是菱形（C ）对角线相等的平行四边形是菱形（D ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形9、如图，小区的一角有一块形状为等梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是A 、等腰梯形B 、矩形C 、菱形D 、正方形10、如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．(1)求证：BE ＝BF ；(2)当菱形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6时，求BE 的长．11、（2010成都）．已知：如图，在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：op=oQ ；12、如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC⑴求证：四边形BCEF 是菱形A B C D E F ⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE13、已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=AD （如图7所示），∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连结DE.（1）在图7中，用尺规作∠BAD 的平分线AE （保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED 是菱形；（2）∠ABC ＝60°，EC=2BE ，求证：ED ⊥DC.14、如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．(1)求证：BE ＝BF ；(2)当菱形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6时，求BE 的长．15、如图，在平行四边形ABCD 中EF ‖BD ，分别交BC 、CD于点P 、Q ，交AB 、AD 的延长线于点E 、F 。
菱形的性质和判定(含解析)
菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。
5B 。
7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。
5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。
解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。
菱形的性质与判定(2)
课 堂 精 讲
然后可证出△AEF是等边三角形，从而可得 AF=EF=DE=AD，再根据四边相等的四边形是 菱形可得四边形ADEF是=AE，∠DAE=60°， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°, ∴∠BAE=30°. ∵AB=AF，∠BAF=30°，∴AF=AE，∠EAF=60°. ∴△AEF是等边三角形. ∴AF=EF=DE=AD. ∴四边形ADEF是菱形.
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【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， 在△AEO和△CFO中 ∵ ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴AE=CF； （2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形， 理由：由（1）△AEO≌△CFO，同理可得： △DEO≌△BFO，则DP=BO， ∵EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形.
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课 后 作 业
5.如图，小聪在作线段AB的垂直 平分线时，他是这样操作的： 分别以A和B为圆心，大于 AB的 长为半径画弧，两弧相交于C、D， 则直线CD即为所求. 根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是______. 菱形 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O，点E在BD的延长线上， 且△EAC是等边三角形. （1）求证：四边形ABCD是菱形. （2）若AC=8，AB=5，求ED的长.
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知识点1.菱形的判定 【例1】如图，在正方形ABCD中，以AD为边作等 边三角形ADE，点E在正方形内部，将AB绕着点A 顺时针旋转30°得到线段AF，连结EF. 求证：四边形ADEF是菱形. 【分析】首先利用等边三角形 的性质可得AD=DE=AE，∠DAE =60°，进而可得∠BAE=30°， 再根据将AB绕着点A顺时针旋 转30°得到线段AF可得 AB=AF，∠BAF=30°,
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小组________________ 姓名______________
1.判断题，对的画“√”错的画“×”
(1).对角线互相垂直的四边形是菱形；（）
(2).一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形；（）
(3)..对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；（）
(4).对角线相等的四边形是菱形；（）
2.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，
重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，
∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于_______；
3.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．
（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．
3.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
A
E
D
B C。