协整与误差修正模型

.第六讲协整与误差修正模型一、非平稳过程与单位根检验二、长期均衡关系与协整三、误差修正模型可编辑.一、非平稳过程与单位根检验1、非平稳过程1）随机游走过程（random walk）。

y t = y t-1 + u t, u t IID(0, 2)10y=y(-1)+u5-5-1020406080100120140160180200差分平稳过程（difference- stationary process）。

可编辑.可编辑2）有漂移项的非平稳过程（non-stationary process with drift ）或随机趋势非平稳过程（stochastic trend process ）。

y t = + y t -1 + u t , u t IID(0,2)迭代变换：y t =+ (+ y t -2 + u t -1) + u t = … = y 0 + t +∑-ti i u 1=t +∑-ti i u 120406080100400450500550600650700750800-80-60-40-2020100200300400500600700800差分平稳过程.3）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程。

y t = + t + u t, u t IID(0, 2)2520151055101520253035404550趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程：y t = + u t - u t-1。

所以应该用退势的方法获得平稳过程。

y t - t = + u t。

可编辑.4）确定性趋势非平稳过程（non-stationary process with deterministic trend）y t = + t + y t-1+ u t, u t IID(0, 2)1801601401201008060400450500550600650700750800确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，yt = + t + ut。

确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt - t = + yt-1+可编辑.ut 。

只有既差分又退势才能得到平稳过程，yt - t = + ut。

5）单位根过程前述的差分平稳过程可改写为：（1-L）yt= m + ut滞后算子多项式1-L=0的根L=1称为“单位根”。

含有单位根的随机过程称为单位根过程。

如果一个序列在成为平稳序列之前必须经过d次差分，则该序列被称为d 阶单整，记为I（d)。

可编辑.2.单位根检验1）DF（ADF）检验法（Dickey-Fuller,1979）观察如下模型：y t = y t-1 + u t , u t IID(0, 2) (1.a) y t = + y t-1+ u t , u t IID(0, 2) (2.a)y t = +t + y t-1+ u t , u t IID(0, 2) (3a)若//<1,则y t平稳；若//=1,则y t一阶单整；若//〉1,则y t发散。

可编辑.可编辑假设H 0： =1，y t 非平稳；H 1： <1。

y t 平稳检验统计量DF =)ˆ()1ˆ(ββs - 当DF 〉临界值时，不拒绝原假设，y t 非平稳。

前述三个方程可改写为： y t = y t -1 + u t , u t IID(0,2) (1.b)y t = + y t -1 + u t , u t IID(0, 2)（2.b)y t = +t + y t -1 + u t , u t IID(0, （3.b)其中= -1。

于是H 0：= 0，y t 非平稳；H 1： < 0。

y t 平稳检验统计量DF =)ˆ(ˆρρs =)ˆ(ˆβρs 。

.可编辑其中βˆ和ρˆ分别表示 和 的OLS 估计量。

注意： 检验顺序（3.b)、（2.b)、 (1.b)2）ADF 检验（增项或扩展的DF ）如果被检验的真实过程是一个AR(p) 过程，而检验式是AR(1)形式，那么由于对y t 形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。

当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF 分布。

假定y t 是AR(p) 过程：y t = 1 y t -1 +2 y t -2 + … + p y t -p + u t检验式应写为：y t =y t -1 + j t p j j y --=*∑11∆φ + u ty t = y t -1 +.可编辑j t p j jy --=*∑11∆φ+ u t其中= -1 = (∑=pi i 1φ)-1，j * = -∑+=pj i i1φ, j = 1, 2, …, p – 1。

如果 = 0成立，则y t 含有单位根。

称此检验为ADF 检验。

在ADF 检验式中也可以加入漂移项 和时间趋势项t 。

对于式：y t = y t -1 +j t p j j y --=*∑11∆φ+ + u tH 0：y t 是一个非平稳过程，H 1：y t 是一个均值非零的平稳过程。

对于式：y t = y t -1 +j t p j j y --=*∑11∆φ+ + t + u t.H0：y t是一个非平稳过程，H1：y t是一个确定性趋势平稳过程。

注意：差分滞后项y t-j个数的选择非常重要。

滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。

当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）。

3）PP检验（Phillips-Perron,1988）用非参数方法检验AR（1）的平稳性。

对于方程：y t = + y t-1 + u t构造一个具有体分布的检验统计量t p,p。

H0：= 0，y t非平稳；H1：< 0。

y t平稳可编辑.使用PP检验必须定义截断滞后因子的滞后阶数q。

4）KPSS检验（Kwiatkowski- Phillips-Schmidt-Shin,1992）用从待检验序列y t中剔出截距项和趋势项的序列e t构造LM统计量。

H0：y t是一个平稳过程，H1：y t是一个非平稳过程5）ERS检验（Elliot-Rothenberg-Stock Point Optimal，1996）在待检验序列y t的拟差分序列回归基础上构造的统计量进行检验。

H0：y t有一个单位根，H1：y t是一个平稳过程。

6）NP检验（Ng-Perron，2001）可编辑.基于被检验序列y t 的广义最小二乘退势序列y t d构造了四个检验统计量检验序列的平稳性。

二、长期均衡关系与协整1、长期均衡经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。

可编辑.可编辑假设X 与Y 间的长期“均衡关系”由式： 描述 式中:mt 是随机扰动项。

该均衡关系意味着:给定X 的一个值，Y 相应的均衡值也随之确定为 a 0+a 1X 。

在时期t ，假设X 有一个变化量DX t ，如果变量X 与Y 在时期t 与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y 的相应变化量由式给出:式中，v t =m t -m t-1 一个重要的假设就是:随机扰动项m t 必须是平稳序列。

01t t tY X ααμ=++1t t t Y X v α∆=∆+.2、协整如果序列{X1t,X2t,…,X kt}都是d阶单整，存在向量a=(a1,a2,…,a k)，使得Z t= aX T ~ I(d-b)其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,X k)T，则认为序列{X1t,X2t,…,X k}是(d,b)阶协整，记为X t~CI(d,b)，a为协整向量（cointegrated vector）。

可编辑.由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整；三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。

从协整的定义可以看出：●（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。

●尽管这两时间序列是非稳定的，但可以用经典的回归分析方法建立回归模可编辑.型。

●检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。

●从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。

3、协整检验一是基于回归模型残差的协整检验；二是基于回归系数的协整检验。

变量间的Engle-Granger检验（Engle-Granger，1987）。

基于回归模型残差的协整检验，也称为EG检验，步骤如下：可编辑.可编辑第一步，若序列Y t 和X 1t ，…，X k 均为一阶单整，用OLS 方法估计方程 ：Y t =a 0+a 1X 1t +…+a k X kt +m t并计算估计模型的残差 e t ，第二步，检验残差序列是否平稳（通常用ADF 检验）。

若残差序列平稳，则可以确定变量之间存在协整关系；否则，变量之间不存在协整关系需要注意是，这里的DF 或ADF 检验是针对协整回归计算出的误差项 e t ，而非真正的非均衡误差m t 进行的。

.可编辑而OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量d 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。

于是对 e t 平稳性检验的DF 与ADF 临界值应该比正常的DF 与ADF 临界值还要小。

三、误差修正模型1、误差修正模型误差修正模型（Error Correction Model ，简记为ECM ）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson 、 Hendry 、Srba 和Yeo 于1978年提出的，称为DHSY 模型。

.可编辑 下面通过一个具体的模型来说明它的结构：假设两变量X 与Y 的长期均衡关系为: Y t =a 0+a 1X t +m t由于现实经济中X 与Y 很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X 与Y 间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式t t t t t Y X X Y εμβββ++++=--11210由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS 法。

对上述模型适当变形得： t t t t t t t t t X Y X Y X X Y εμββμβμβεμββββ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-----∆=+--++∆+=∆----12101111211011)1()1()(.可编辑简记：t t t t t X Y X Y εααλβ+---∆=∆--)(11011该式称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。