人教版数学八年级上册 14.2乘法公式(共29张PPT)

(a+b)2=(a+b) (a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
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两数和的完全平方公 式
(a+b)2= a2+2ab+b2
两数和的平方, 等于这两个数的平方和， 加上这两个数的乘积的2倍。
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动手算一算
• 计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(p−1)2= (p−1)(p−1) = p2−2p+1 。 (m−2)2= m2−4m+4。
(a+b)2和(−a−b)2相等吗？ (−a−b)2=(−a)2−2·(−a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b )2 (a−b)2和(b−a)2相等吗？ (b−a)2=b2−2ab+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2 (−a+b)2和(a−b)2相等吗？ (−a+b)2= (b−a)2=(a−b)2
(a−b)2=[a+(−b)]2 =a2+2a(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2
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两数差的完全平方公 式
(a−b)2= a2−2ab+b2
两数差的平方, 等于这两个数的平方和， 减去这两个数的乘积的2倍。
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动脑想一想
• 你能仿照刚才的方
b
法，用旁边的这幅
图，直观地说明两 a
数差的完全平方公
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动笔练一练
利用完全平方公式计算下列各题
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(−2x+5)2= (−4x−3y)2 =
4x2−20x+25 16x2+24xy+25x2
982=
9604
512=
2601
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动笔练一练
计算(2x−1)2−(3x+1)2 解：原式= 4x2−4x+1−(9x2+6x+1) = 4x2−4x+1−9x2−6x−1 = −5x2−10x
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复习和回顾
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个 数的平方差。
同号项的平方减去异号项的平方！
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b米
a米
a米
b米
思考和交流
• 学校为了美化环境，决 定把原来的一块边长为 a米的正方形花坛扩大。 扩建完的花坛仍为正方 形，边长增加b米。
• 新修建的花坛面积可以 怎么表示？
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第十四章 整式的乘法和因式分解
• 14.2 乘法公式 第一课时 14.2.2 完全平方公式
1
1. 经历探索完全平方公式的过程，会结合几 何图形直观解释这一公式，并会根据多项 式的乘法法则推导完全平方公式。
2. 熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能 灵活运用完全平方公式进行相关计算。
3. 掌握完全平方公式的相关推论。
(a+b)2=9
a2+2ab+b2=9
a2−2ab+b2=1
a2+b2=5
(a−b)2=1
a−b=1
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两个重要关系
a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab
一般地，在a，b，a+b，ab，a−b， a2+b2中， 只要能够知道其中两个的式子取值，就能够 根据完全平方公式，求出另外四个式子的值！
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完全平方的变号作 用
• 计算完全平方的结果时，最好先把括号里 的首项化为正，这样便于对应公式。
• 更一般地，根据幂的乘方，可得如下规律：
(−a−b)2k=(a+b)2k ， (−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k
其中，k为正整数
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动脑想一想
计算： (−2a−3b)2
• 解：原式=(2a+3b)2
b米 ab b2
a米 a2 ab
a米
b米
动脑想一想
• 整个正方形的边长
为(a+b)，因此面积
• 可 将整以个表示正为方(a形+b分)2为 。
四部分，面积可以
表示 为
a2+2ab+b2。
• 你能得到什么猜想？
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动手算一算
• 计算下面的多项式，你能发现什么规律？
(p+1)2= (p+1)(p+1) = p2+2p+1。 (m+2)2= m2+4m+4。
式吗？
b
a
(a−b)2= a2−2ab+b2
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完全平方公式
• 上述两个公式叫做（乘法的）完全平方公 式，可以简写成下面的形式：
(a±b)2= a2±2ab+b2
首平方，尾平方 积的2倍放中央，中间符号同前方。
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(a±b)2和a2±b2
• 注意：
• (a±b)2读作a与b的和（或差）的平方 • a2±b2读作a与b的平方的和（或差） • (a±b)2先算和差，再平方； a2±b2先算各
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学完本节课你应该知 道
(a±b)2= a2±2ab+b2
图形解释
变号
完全平方 法则 公式
重要 推论
(−a−b)2k=(a+b)2k ， k为正整数 (−a+b)2k=(a−b)2k= (b−a)2k，k为正整数
a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab
若(x−1)2=x2+kx+1，则49−k的值是多少? 解：k=−2 49−k =492=(50−1)2=2500+1−100=2401
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动笔练一练
• 解不等式： (2x−5)2+(3x+1)2>13(x2−10) 解：(4x2−10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2−130 4x2−10x+25+9x2+6x+1>13x2−130 13x2−4x+26>13x2−130 −4x>−156 x<44
• 解：原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404
公式中的a，b还可以是数字
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动脑想一想
计算： 992
• 解：原式=(100−1)2 =1002−2×100×1+12 =10000−200+4 =9801
公式中的a，b还可以是数字
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动脑想一想
先把首项变成正，
•
=4a2+12ab+9b2 方便对应公式
(a+b)2k= (−a−b)2k，k为正整数
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动脑想一想
计算： (−2x+5)2
• 解：原式=(2x−5)2
•
=4x2−20x+25
先把首项变成正， 方便对应公式
(−a+b)2k=(a−b)2k ，k为正整数
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动脑想一想
已知：a>b，且a+b=3，ab=2，则a−b=？
自的平方，再求和。
若a≠0且b≠0，则(a±b)2≠a2±b2
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动脑想一想
计算： (4m+n)2
• 解：原式=(4m)2+2·(4m)·n+n2
•
=16m2+8mn+n2
把4m看成a 把n看成b
(a+b)2= a2+2ab+b2
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动脑想一想
(a−b)2= a2−2ab+b2
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动脑想一想
计算： 1022