线性代数课后习题答案全)习题详解
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前言
因能力有限,资源有限,现粗略整理了《工程数学 线性代数》课后习题,希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)2
22111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 (1)=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
=416824-++-=4-
(2)=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
(3)=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
(4)y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0
(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为
2
)
1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个
(6)逆序数为)1(-n n
3 2 1个 5 2,5
4 2个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个
4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… …
)2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个
3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
解 由定义知,四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.
由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式:
(1)⎥⎥⎥⎥
⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢71
10
025*********
4; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-26
52321121314
1
2; (3)⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)⎥⎥⎥⎥⎦
⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢---d c b a
1
00
110011001
解
(1)
71100251020214
214
34327c c c c --0
10014
23102
02110
214---=34)1(1431022
11014+-⨯---=14
31022110
14-- 3
21132c c c c ++14
171720010
99-=0
(2)
260
5232112131
412-24c c -2605032122130
412-24r r -0412032122130
412- 14r r -0
000032122130412-=0
(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1
111111
11---adfbce =abcdef 4
(4)
d c b a 100110011001---21ar r +d
c b a ab 1001
100
110
10---+=12)1)(1(+--d
c a ab 1011
1--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad
a a
b =23)1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明: (1)1
11222
2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3
3+;
(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2222222
2
2222222
=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;
(4)4
44422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;
(5)1
22
110000
0100001a x a a a a x x x n n n +-----
n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明
(1)0
0122222221
312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)
1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a
(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开
按第一列
左边
bz
ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分
bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z
y x y x z x
z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分