解直角三角形的综合练习

解直角三角形的应用

1、（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格

点，则sinA 的值为

A ．12

B ．

5

5

C ．

1010

D ．

25

5

【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝

CD

AC ＝210

＝55．

【答案】B

2、（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF=120°.

（1）当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； （2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________.

C B A

图4

C

B

A

图4

D

【解析】：AE=

21AB=3.在Rt △ADE 中，tan ∠ADE=3

3

=AD AE =3.所以∠ADE=60°，所以DE=

322

13

cos ==∠ADE

AD ，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E 作EG ⊥DC 于G ，则DF=2DG=2×DE ·cos30°=2×23×

2

3

=6；（2）过C 作CH ⊥直线AB 于E ，那么CH=AD=3，由勾股定理D 得BH=1。所以CD=7。易知△BCE ～△EDC ，所以BE ：CE=CE ：CD ，所以CE 2=CD ×DC ，设BE=x ，则CE 2=7x 。在Rt △CEH 中，由勾股定理得CE 2=EH 2+CH 2，得（x+1）

2+3=7x ，解之，得

x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE 的

长为5或2。

【答案】：（1）6；（2）2或5

3、(2012广安中考试题第23题，8分)（8分）如图10，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60o 方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民。此时，C 地位于中国海监船的南偏东45o 方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

图10

思路导引：构造直角三角形，便于运用题目中的特殊角的三角函数值，解直角三

角形问题

解析：如图过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，根据题意得出 ∠DAC=45°，∠DAB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴sin ∠DAC=CD AC ，cos ∠DAC=AD AC ，cos ∠DAC=BD

AD

, 即是tan45°=

10CD ,CD=10, cos45°=10

AD ,AD=10×22=52,

∵tan60°=

52

BD

∴BD=52×3=56 ∴BC=56－52≈5.20（海里），

中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地所需时间是

101

303

（时）， 某国军舰以每小时13海里的速度向正西方向的C 地所需时间是5.2013=2

5

（时），

因为2

5

＞13，所以中国海监船以每小时30海里的速度赶往C ，能及时救援

我国渔民.

点评：结合图形信息解直角三角形问题，注意转化方法的运用，即是构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式，进行有关线段以及角度计算，多个数据注意按照某种要求比较其大小，得出问题的答案.

4、（2012深圳市 11 ，3分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30 ，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）

A. ()+63米

B. 12米 C ()+423米 D. 10米 【解析】：本题主要考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及性质，可

根据题意正确添加辅助性，构造基本图形求解

【解答】：如图3—1，根据坡角易求树的下半部分的高为2米，树的上半部分所

在直角三角形的水平距离为()+823米，由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为()+43米，知树的高度为()+63米，选择A

【点评】：要熟悉教材。北师大版八年级下学期课本中，对如何求旗杆的高度有

三个基本模型，掌握这三个基本图形，是求解的关键。

5、（2012年吉林省，第20题、7分．）如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=127°，沿BD 方向前进，取∠BDE=37°，测得BD=520m ，并且AC,BD 和DE 在同一平面内．

图3

30°

2

1

图3-1

（1）施工点E离D多远正好能使A,C,E成一直线（结果保留整数）；

（2）在（1）的条件下，若BC=80m,求公路CE段的长（结果保留整数）

（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）

【解析】（1）如果点A, B, C,E在同一条直线上时，∠ABD就是△BDE的外角，就能确定△BDE是直角三角形，根据三角函数即可求出DE的长．

（2）在Rt△BDE中，BD=520,∠BDE=37°可以求得BE的长，从而求出CE长．【答案】

（1）∵点A,B,C,E在同一条直线上，

∴∠ABD=∠BDE+∠AED

∴∠AED=127°-37°=90°．

∴cos∠BDE=DE BD

DE=BDcos37°

DE=520×0.80

DE≈416

∴施工点E离D点为416m时，A,C,E成一直线(2)在Rt△BDE中，BD=520,∠BDE=37

∴sin∠BDE=BE BD

∴BE=BDsin∠BDE