二次根式化简的方法

二次根式化简的方法与技巧
所谓转化：解数学题的常用策略。

常言道：“兵无常势，水无常形。

”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。

二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。

现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、
巧用公式法
例1计算b
a b a b
a b
a b a +
-+
-
+-2
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与
b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，
(
)
0≠-b a 而同时公式：
()
b a -2
=a
2
-2ab +b
2
，a
2
-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将
b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=
(
)b a b
a -
-2
+(
)(
)b
a b
a b
a +
-+=(
)b a -+
(
)
b a -=2a -2b
二、适当配方法。

例2．计算：
3
216
3223-
+
--
+
分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子
必有含1+
32-的因式，于是可以发现3+22=(
)
2
2
1+
，且
()
21363+
=
+
，通过因式分解，分子所含的1+
32-的因式就出来了。

解：原式=
()(
)3
216
3223-
+
+-+=()
(
)=-
++-+
3
212
132
12
1+
2
三、正确设元化简法。

例3：化简
5
3262+
+
分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=
ab ，正好与分子吻合。

对于分子，我
们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加
02
2
2
=-+c
b a ，因此可能能使分子也有望化为含有
c b a ++因式的积，这
样便于约分化简。

解：设,2a =,
3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以：
原式
=
()()()
5
32222
2
2
2
2
-+=-+=++-+++=
+-+=
++-++=
++c b a c
b a
c b a c b a bc
a c
b a c
b a c
b a ab c
b a ab
四、拆项变形法 例4，计算
(
)(
)
76655627+
+
+
+
分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。

通过约分化简，如转化成：b
a
ab
b a 11+
=+再化简，便可知其答案。

解：原式==(
)()(
)()
()()(
)()
7
66
5767
66
56576657665+
+
++
+
+
+=
++
++
+
5767567
61651-=-+-=+
+
+
五、整体倒数法。

例5、计算
(
)(
)1
3251
33
5++++
分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：b
a
ab
b a 11+
=
+，化简但还
要通过折项变形，使其具有公因式。

解：设A=
(
)(
)1
3251
33
5++++
(
)(
)
(
)()(
)()
133513351
33
51
3251++
++
+
=
++++=
A
则=2
3
52
133
511
31-+
-=
+
+
+
所以A=
2
151
52+=
-
六、借用整数“1”处理法。

例6、计算
6
3232231+
+
-+
分析：本例运用很多方面的知识如： 1=
(
)(
)
()b a --
+.232
3和×
()2
2b a b a -=
+，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约
分化简。

解：原式 =
(
)(
)
(
)(
)
(
)6
322
36232
36
323223232
3+
+
-+-+=
+
+
-+-+
=
236
23)
623)(23(-
=
+
+
+--
七、 恒等变形整体代入结合法
分析：本例运用整体代入把x+y 与xy 的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y 与xy 代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y 与xy 的因式，
如x 2
－xy+y 2
=(x+y)
2
－3xy ，然后再约分化简。

例7：已知X=
2
1（57+
），y =2
1(-75)，求下列各式的值。

（1）x 2－xy+y 2; (2)
y
x + x y
解：因为X=2
1（57+），y =2
1(
-75
)，所以：x+y=
7
，xy=2
1。

（1） x 2－xy+y 2=（x+y ）2－3 xy=(
7
)2－3×2
1=2
11
（2）
y
x +
x
y =
xy
y x 2
2+=
()
=
-+xy
xy
y x 22
122
1212)7(2
=⨯
-
八、降次收幂法： 例8、已知x=2+
3
，求
7
25232
-+-x x x 的值。

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。

如例题中把多项式
142
-+x x 转化为4x －1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由x=2+
3
,得x －2=
3。

(x-2)
2
=3整理得：x 2=4x －1。

所以：3x 2－2 x+5=3（4 x －1）－2 x+5=10（2+
3
）+2=22+10
3
22 x －7（2+
3
）-7=23－3，所以原式=
3
323
1022-+-=42+33
74。