第13章股票期权定价BS模型ppt课件
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
BS模型详细推导PPT课件
2
期权定价现状
文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
目前国际上的期权定价方法五花八门，主流的主要有四种：Black-Scholes方法 （简称B-S）、二叉树定价法、蒙特卡罗模拟法以及有保值参数和杠杆效应的解 析表达式等等。其中Black-Scholes方法是这里面唯一的解析方法，而其余三种都 是数值法。
那么 2t dt 。所以有 dS 2 2S 2dt
18
文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
将这个结果代入上面泰勒展开式，略去二阶以上（包括二阶）的高阶小量，
就得到
df
f S
dS f S
dt
1 2
2 f S 2
2S 2dt
再把 dS Sdt Sdz 代入，就有
z t （6.1）
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态 分布）中取的一个随机值。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系本人改正。
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z 的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得
N
z(T ) z(0) i t
原理：构建一个投资策略组合，买入一种股票的同时，卖出一份一定份额的改股票的看涨 期权，可以构造一个无风险的投资组合，即投资组合的收益完全独立于股票价格的变化
在资本市场均衡条件下，根据资本资产定价模型，这种投资组合的收益应等于短期利率。 因此，期权收益可以用标的股票和无风险资本构造的投资组合来复制，在无套利机会存在 的情况下，期权价格等于购买投资组合的成本，即期权价格依赖于股票价格的波动量、无 风险利率、期权到期时间、敲定价格、股票市价
[经济学]第13章 股票期权定价：B-S模型
![[经济学]第13章 股票期权定价：B-S模型](https://img.taocdn.com/s3/m/dfcf72ffb9f3f90f76c61bfc.png)
金融工程学
13.21
13.5 Black-Scholes模型的分析
f 1 f 2 2 由L ( S )t 2 t 2 S L L 又： rf t rf L L t 令t 0并展开L和L，
2
则得到著名的B - S随机微分方程： f f 1 2 2 f rf S S rf f 2 t S 2 S
且其标准差为:
T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
金融工程学
2019/2/18
13.10
Байду номын сангаас
对数正态分布
ln ST ~ ln S 0 ( m 2 2)T , T or ST ln ~ ( m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
s t
13.18
金融工程学
波动率的影响因素
波动率在开市时比闭市时高 (i.e.资产可交 易) 正因如此期权估值时的天数以“交易日” 计算而非日历日
2019/2/18
金融工程学
13.19
13.5 Black-Scholes模型的分析
期权价格及股票价格都受同样的未来不确定性 的影响 不确定风险可通过持有包含股票及期权的资产 组合来回避 资产组合是瞬间无风险的，且因此即刻获得无 风险收益率
1. 观察值 S0, S1, . . . , Sn 间隔
为t年 2. 定义连续复利收益率为ui:
Si ui ln S i 1
3. 对 ui 的标准差的估计值s 4. 历史波动率估计值:
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
莫顿期权定价模型PPT课件
x
t
• 在随机微分中我们得到：
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
(x)2
• 因为最后一项的阶数为Dt
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen
12
Rong, 2008
将Dx代入
将x=a t+b t代入最后一项，
并忽略比 t高阶的项,则
Sdz
S
t 2 S 2
S
在一个小的时间间隔中，f的变化值 为f ：
f
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )t f
Sz
S
t 2 S 2
S
可编辑
25
为了消除风险源 ，z可以构建一个包括一单位衍生证券 空头和 单f位标的证券多头的组合。
S
令 代表该投资组合的价值，则：
,
G t
0
代入式dG 所
( G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
)dt
G x
bdz
我们就可G得 l到n S
dG d ln S ( 2 )dt dz
遵循的随机过程为
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
( 2 )dt
表示： dS Sdt Sdz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
可编辑
17
期权定价理论-PPT课件
B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
s x ,( a s , t ) s ,( b s , t ) s t t t t t t d s s d t s d w t t t t
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满
足Δt
2019/3/11 5
wt t t
这 里 ， w w w , i d N ( 0 , 1 ) t t t 1 t i
（13.1）
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
2 2 f f 1 f 2 f f ( t x x ) xt 2 t x 2 x xt 2 1 f 2 t 2 （13.8） 2 t
在连续时间下，即 Dt ? 0 从而 Dt 2 ? 0 D t ? 0
b t
2 2
（13.10）
2 且 当时 t 0 ， 有 t 0 , 从 而
t 0
l i m D ( x )[ b t ] D ( ) 0 2
2 2 2 2
即Δx2不呈现随机波动！
由（13.10）可得
E ( x ) E ( b t ) b t E () （13.11）
2 f f 1 f 2 d f d t d x 2d x t x 2 x
f f 1 f 2 d t ( a d t b d w ) 2b d t t x 2 x
金融工程第章期权定价的BS公式PPT课件
3
股票价格如何变化的假设
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
2020/1/13
Edition, Copyright © John C. Hull 2008
4
对数正态分布
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
13
A、预期收益率
风险中性定价：预期收益率无关
算术平均收益率和几何平均收益率
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
2020/1/13
Edition, Copyright © John C. Hull 2008
14Biblioteka B、波动率2020/1/13
Edition, Copyright © John C. Hull 2008
12
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
2020/1/13
Edition, Copyright © John C. Hull 2008
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
2020/1/13
Edition, Copyright © John C. Hull 2008
15
波动率的估计
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th International
布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型重定向自)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届授予了两位美国学者，教授()和教授()。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括、、、在内的新兴衍生的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家()在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从模式；2、在期权有效期内，和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在和，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是，即在期权到期前不可实施。
6、不存在机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
[](二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是形式。
金融工程10-BSM模型
• 由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以 大大简化我们的工作的风险中性假设：在对衍生证券 定价时，所有投资者都是风险中性的。
r
0.36% 2.0% 9
年 日 252 2% 252 31.75%
隐含波动率
• 即根据B/S期权定价公式，将公式中除了波动率以 外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波 动率可以看作是市场对未来波动率的预期。
• 隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。
13.4 BSM模型与风险中性定价原理
0.0000
16.37
0.0501
0.0019
16.46
0.0055
0.0000
16.96
0.0299
0.0005
16.71
-0.0149
0.0005
0.0687
0.0036
0.0069
收益率均值
r
1 n
n
ln rt
t 1
6.87% 0.69% 10
收益率标准差
1n n 1 t 1
ln rt
f
f S
f t
1 2
2 S
f
2
2S
2
t
f S
bz
f
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2S 2 t
– 也就是说组合的价值变动只跟时间有关，为无风险组合
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2020/2/16
金融工程学
13.6
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤过程(Ito Process) 将普通布朗运动的漂移率和方差率视为x和t 的函数，则得到伊藤过程
dxa(x,t)dtb(x,t)dz
其中d， z dt
2020/2/16
金融工程学
13.7
X0 X0
2020/2/16
金融工程学
13.12
对数正态分布
2020/2/16
E(ST)S0em T var(ST)S02e2m T(e2T1)
金融工程学
13.13
13.2 期望收益率
股票的预期价值为 S0emT
E(ST)S0emT mT 1l
nE(ST) S0
可知m为时间T内收益率的算术平均值
U E ( r ) b 02 b 1 M 3 b 2 M 4 b 3 M 5
2020/2/16
金融工程学
13
布朗运动(Brownian Motion / Wiener Process )
标准布朗运动： 设t代表一个小的时间间隔长度 z为变量z在t时间内的变化 布朗运动具有两特征：
T S0
若ln
E(ST
)
E
ln(ST
)
m
1 T
E(ln
ST S0
)
则：E(R) m
但：ln E(ST ) E ln(ST ),实际上ln E(ST ) E ln(ST )
故：E(R) m
2020/2/16
金融工程学
13.16
13.3 波动率
年波动率是以连续复利计的股票年收益
2020/2/16
金融工程学
13.8
13.1 关于股票价格变化的假设
伊藤引理：可以刻画某依赖于基础证券价 格和时间的衍生品的价格变动
定义f
f (S, t),则df
( f S
mS f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt f Sdz
S
其中，dz为标准布朗运动
率的标准差。t 时间内股票收益率的标
2020/2/16
金融工程学
13.14
13.2 期望收益率
由公式(13.4)得知，以连续复利计的股票 预期收益率为 m– 2/2
短期t内收益率的算术平均值为 m 收益率的几何平均值为 m – 2/2
2020/2/16
金融工程学
13.15
13.2 期望收益率
由m 1 ln E(ST )
2020/2/16
金融工程学
13.5
13.1 关于股票价格变化的假设
普通布朗运动 漂移率(drift rate)：单位时间内变量z均值的
变化值 方差率(variance rate)：单位时间的方差
设漂移率的期望值 a，为方差率期望值b2， 为 则普通布朗运动定： 义为
dxadtbdz 其中，dz dt
股票期权定价: BlackScholes 模型
第13章
13.1 关于股票价格变化的假设
EMH假说
根据价格对信息的反应程度，市场可分为 weak / semi-strong / strong form(弱式、半 强式、强式)
一般认为，弱式假说成立，故可用马尔可 夫过程(Markov Stochastic Process)来表述
or
ln ST ~ (m 2 2)T , T S0
m,s] 是正态分布 均值为 m 标准差 s
2020/2/16
金融工程学
13.11
13.1 关于股票价格变化的假设
补充：对数正态分布密度函数
f(X) 0X,12exp1 2lnX m2,
金融工程学
13.9
对数正态分布
假设表明： ln ST 服从正态分布，则 其均值:
lnS0(m2/2)T
且其标准差为: T
因为ST 的对数服从正态分布, ST服从 对数正态分布
2020/2/16
金融工程学
13.10
对数正态分布
ln ST ~ ln S0 (m 2 2)T , T
在较长的时间T内，z的变化为z(T) z(0)，
可视为在N个长度为t的小时间间隔内 z的变化总量 其中，N T / t，故：
N
z(T) z(0) i t i1
其中，i (i 1,2, , N)为标准正态分布的随抽机样值
因此：z(T) z(0) ~ N(0,T)，方差可加性
13.1 关于股票价格变化的假设
设股票价格为 S，以连续复利表示的年期望 收益率(漂移率)为 m，年波动率(标准差)为，
则伊藤过程可用来刻画股票价格变化
dSmSdtSdz
其中， dz为标准布朗运动
S mt t,即： S ~(mt, t)
S
S
其中， (ms, )为均值 m,标准差s为 的正态分布
令f ln S, f 1 , 2 f 1 , f 0 S S S 2 S 2 t
即：d (ln S ) (m 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S0
~
((m
2
2
)t,
t )
其中， (m,s )为均值m, 标准差为s的正态分布
2020/2/16
即，只有变量的当前值才与未来的预测相 关，而其历史变量与未来无关
2020/2/16
金融工程学
13.2
13.1 关于股票价格变化的假设
均值-方差分析的辩论: 概率分布的描述
均值：期望、中值(median)、众数(mode) 偏差：平均绝对偏差(mean absolute deviation)、期望平方差(expected squared deviation)、三阶矩差(third central moment)、 四阶矩差…… 偶数矩差表明有极端值的可能；奇数矩差代表不 对称的测度。
(1)z t，其中 ~ N (0,1)
(2)对于任意不同的t，z相互独立 由性质1，可知z ~ N (0, t) 由性质2，可知布朗运动为马尔可夫过程的特殊形式
2020/2/16
金融工程学
13.4
13.1 关于股票价格变化的假设
标准布朗运动(Standard Brownian Motion)