双线性变换法设计数字低通滤波器

双线性变换法设计数字低通滤波器目录

绪论

......

(2)

、用双线性法设计低通滤波

器

......

(2)

2.1双线性变换

法

......

(2)

2.1.1双线性变换法的基本原

理

......

... 3 2.1.2 转换关系分

析

......

......... 4 2.2 巴特沃斯低通滤波器的原

理

...... 7 2.3 用双线法设计巴特沃斯数字低通滤波器的步

骤. (8)

序. ....................................................................... ....................................... 9 四、程序中命令介

绍........................................

............. 10五、运行结果及波

形

..........

............... 11六、结果分

析

..........

......................... 13七．心得体会

..........

........................... 14参考文献

.......... MATLAB 程

15

一．绪论

15

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号(数字序列)通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:Y (e j

3) =X (e j 3) H (e j 3 ),

j 3

其中Y (e )、X (e ) 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性

j 3

(或称为频谱特性) , H (e ) 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱X (e ) 经过滤波后X (e j 3 ) H (e j 3 ) , 因此，只

j 3

j 3

要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (e ) ，使得滤波后的X (e j 3 ) H (e j 3 ) 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR) 数字滤波器和有限长冲激响应(FIR) 数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：

N

N

j 3

y (n )=刀a i x (n - i ) + 刀b i y (n -i )

系统函数为：

i =0

i =1

M

H (z ) =

r r =0

N k =1

-r

1+E a k Z -k

计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z) ，使其频率响应H(z) 满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。二、用双线性法设计低通滤波器 2.1 双线性变换法

2.1.1 双线性变换法的基本原理

由于从s 平面到z 平面的映射z =e 具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混迭现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点，我们使用一种新的变换——双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近的思想。仿真滤波器的传递函数H (s ) 为

sT

H (s ) =

刀c s

k k =0N

k k =1

M

k

, M >N ( 2-1 )

k

刀d s

将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则

H (s )=刀

(2-2)

k =1s -s pk N

那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入出y (t ) 有如下关系

y '(t ) -s p y (t ) =Ax (t )

利用差分方程来代替导数，即

y '(t ) =

y (n ) -y (n -1)

(2-3)

T

同时令

1

[y (n ) +y (n -1) ] 21

x (t ) =[x (n ) +x (n -1) ]

2y (t ) =

这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式

s p 1A

y (n ) -y (n -1) -y (n ) +y (n -1) =[][][x (n ) +x (n -1) ]

两边分别取z 变换，可得

H (z ) =

Y (z ) A

= (2-5 ) -1

21-z X (z )

-s p

-1 x (t ) 和模拟输

2-4) T 22

T 1+z

这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示

21-z -1s = ? (2-6 )

T 1+z -1

2+s ( 2-7 ) z =2-s T

所谓的双线性变换，仅是指变换公式中s 与z 的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。

2.1.2 转换关系分析双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩

到-

n /T~ n /T之间，再用z=e转换到z平面上。也就是说，第一步现将整个S平面压缩映

射到S1平面的-n /T〜n /T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系e

S 1T

sT

将此横带变

换到整个z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的胆汁关系，消除了多只变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。

为了将S平面的整个虚轴j Q压缩到S 1平面轴上的-n /T到n /T段上，可以通过以上的正切的变换实现

Q =2/Ttan( Q 1T/2) (2-8)

式中，T 仍是采样间隔。

Q当Q也即映射了整个j Q 1由-n /T经过0变化到n /T时，由-经过0变化到+X,

轴。将上式( 1-1 )写成

2-e 1-e 1 ( 2-9 )j Q =?j Q T

Q 1T 1T e +e 将此关系解析延拓到整个S 平面和S 1 平面，令j Q =s, j Q 1=S1,

则得

S 1T 221-e s 1T

) = ?S =tan(-s 1T (2-10)