理论力学(第7版)第十三章 达朗贝尔定理
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第十三章 动能定理
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。 1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。
2
正功； 时,功为零； 2 2 时,负功。 单位: J（焦耳） 1 J = 1 N· m
时,
2. 变力在曲线运动中的功: 元功
J d2 x m 2 2 mg k 0 kx kx R dt
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
13-5
势力场.势能.机械能守恒定律
W
(N)
N dr 0 ( N dr )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W ( N ) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 刚性系 数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的另一端由点B拉至点A和由点A拉至 点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。
dT P输入 P有用（输出） P无用（损耗） dt
或 P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
P有效 机械效率 P输入
P有效
( ＜１)
表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机
器质量优劣的重要指标之一。
dT P有用 dt
多级传动系统
1,2 n
W m g( z
12 i
W12 mg( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
由 mzC mi zi
i1
z i2 )
2、弹性力的功 弹性力：F k (r l0 )er
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12 F dr
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
M m2 g Sin · S
C 2
4
(2m1 3m2 ) (a )
( M m2 gR1 Sin ) S C 2 R1 (2m1 3m2 )
1 Ql 2 2 1 P 2 1 P r 2 2 v1 1 T2 T1 0 2 3g 2g 2 2g v l v1 l , 1 1 r r 2 Ql 2 P P r 2 l 2 2Q 9 P 2 2 2 T2 (l ) ( ) l 6g 2g 4g r 12g 根据动能定理， 2Q 9 P l 2 2 0 M 12g
解： T 0 1
1 T2 J O12 1 m2 2 2 1 J C 22 2 2 2
其中：J O m1R12 J 1 m R 2 1 C , 2 C C 2 2 R1 R2 2 S S W12 M m2 gSin · R1
由W12 T2 T1
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ]
上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
d m F 两端乘 dt dt
dr ，
——质点动能定理 的微分形式
m d F dr
1 d( m 2 ) w 2
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置 的变形有关，与作用 点路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
w F cos · F ds F Rd ds M z d
从角1 转动到角 2过程中力 F的功为：
令F F cos
W12 M z d
2
1
若 M z 常量
[例2] 已知 物块质量m ；弹簧 原长 l0 .刚度系数k，质量不计； 滑轮半径R ，转动惯量J求：系 统的运动微分方程。
解：以自然位置为参考点
1 ds 1 d 2 T m J 2 dt 2 dt
1 J ds m 2 , S R 2 R dt
W12 M z ( 2 1 )
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功
当质心由 C1 ~ C2 ，转角由 1 ~ 2 时，力系的功：
W12 FR drC M C d
C1
C2
2
1
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。 说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
A1
A2
k (r l0 )er dr
A1
A2
er
因 e dr r dr 1 d(r r ) 1 d(r 2 ) dr r
W12
r
r2 r 1
2r
k ( r l 0 )dr
2r
k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 2 式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。
刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C 的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度 和加速度
作用在转动刚体上的力的功率:
d M z P Mz dt dt
单位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S
W
2、功率方程
d T wi
两端除以dt
n Wi n dT Pi ——功率方程 dt i 1 dt i 1
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和。
P输入 P无用 3.78kw
d n P有用 F F · F 60 P有用 2 30 dn
当 n 42r / min 当 n 112r / min
(60 sec)(3.78kw ) F 17.19kN (0.1m)( 42r / min)
（ sec)(3.78kw ) 60 F 6.45kN (0.1m)(112r / min)
W M
2 3 gM l 2Q 9 P
将式对t 求导数， 6 gM ( 2Q 9 P )l 2
13-4
功率、功率方程、机械效率
1、功率： ——单位时间力所作的功。
P
W
dt
由 W F ·r，得 d
dr PF F v Ft v dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
2
2
J ds d 2 s ds ds m 2 mg ks R dt dt 2 dt dt J d2s m 2 2 mg ks R dt
以平衡位置为参考点 ds P重力 mg , P弹性力 ks ds 令 为弹簧静伸长，即mg=k , 0 0 dt dT dt p重力 p弹性力 S 0 x, dt
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
C 1 (2m1 3m2 )C aC M m2 g Sin ·C 2 R1
2 ( M m2 g R1Sin ) aC (2m1 3m2 ) R1
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
l=840mm, 杆重不计，在 1 70
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 2 m 2 m1 W12 ——质点动能定理 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
1 2 d ( mii ) wi 2
求和
1 2 d ( 2mii ) wi d T wi ——质点系动能定 理微分形式
B C D
O
A
解：对于弹簧作功：
由W12 k 2 2 ( 1 2 ) 2
（m） 1 OB l 0.1 2 0.1 k 2 2 WBA ( 1 2 ) 0.2 ） 2 OA l 0.1 （J （m）
WAD
2 （m） k '1 OA l 0.1 2 2 ( '1 '2 ) 0.2 ） （J 2 1 '2 OD l 0.1 2 0.（m）
1 1 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 即 T 1 J 2 z 2 2 2 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心：P
1 T J p 2 2 1 ( J C md 2 ) 2 2 1 2 1 2 T mvC J C 2 2
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2 T1 wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束
定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
M2
M1
F ·r （矢量式） d
W12 ( Fxdx Fy dy Fz dz)
M2 M1
（直角坐标式）
3. 常见力的功 1)、重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
Fx Fy 0, Fz mg
W12 z12 mgdz mg( z1 z2 ) z
质点系:
时静止释放，冲断试件后摆至
2 29求：冲断试件需用的能量
解： T 0, T 0 1 2
设冲断试件所损失的能量为WK
0 0 mgl(1 cos 1 )
mgl(1 cos 2 ) Wk
冲断试件需要的能量为
Wk 78.92 J
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加 速度。 解：取整个系统为研究对象
w F cos · ds F ·r d
Fx dx Fy dy Fz dz
令： Fx i Fy j Fz k F
dr dxi dyj dzk
W12
M2
M1
F cos · （自然形式） ds
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功： W12
对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连 乘积。
[例1] 已知：车床电动机功率 P输入 5.4kw, P P 30% 无用 输入
工件直径d 100mm , 转速n 42r / min
求：允许切削力F的最大值？若 n 112r / min ，问 允许的F的最大值。
解:
dT 0 P 有用 dt
13-2
质点和质点系的动能
1 T m 2 1、质点的动能 2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。 单位：J（焦耳）
1 2、质点系的动能 T mii 2 2
（1）平移刚体的动能
1 2 1 2 1 2 T mi vi vC mi 即 T mvC 2 2 2
（2）定轴转动刚体的动能
13-1 力的功
力的功——是力沿路程累积效应的度量。 1. 常力在直线运动中的功:
W F cos s
力的功是代数量。
2
正功； 时,功为零； 2 2 时,负功。 单位: J（焦耳） 1 J = 1 N· m
时,
2. 变力在曲线运动中的功: 元功
J d2 x m 2 2 mg k 0 kx kx R dt
J d2 x m 2 2 kx 0 R dt
13-5
势力场.势能.机械能守恒定律
W
(N)
N dr 0 ( N dr )
2）固定铰支座、固定端约束 ——位移为零
3）光滑铰链、刚体二力杆、不可伸长绳索类约束 ——约束反力成对出现，作功之和为零
W ( N ) N dr N 'dr
N dr N dr 0
4）不计滚动摩阻时，纯滚动（只滚不滑）的接触点 ——无位移
2、C点为刚体上任意一点，上述结论仍成立；
3、计算力系的主矢、主矩时，不作功的力可 刚性系 数k=4.9KN/m,一端固定在点O，此点 在半径为R=100mm的圆周上。如弹簧 的另一端由点B拉至点A和由点A拉至 点D，AC垂直BC，OA和BD为直径。 分别计算弹簧力所作的功。
dT P输入 P有用（输出） P无用（损耗） dt
或 P输入
dT P有用 P无用 dt
3、机械效率
P有效 机械效率 P输入
P有效
( ＜１)
表明机器对输入功率的有效利用程度。是评定机
器质量优劣的重要指标之一。
dT P有用 dt
多级传动系统
1,2 n
W m g( z
12 i
W12 mg( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
由 mzC mi zi
i1
z i2 )
2、弹性力的功 弹性力：F k (r l0 )er
k——弹簧刚度系数 (N/m)
弹性力的功：W12 F dr
已知：轮O的R1、m1,; 均质轮C的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为 常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度和加速度
M m2 g Sin · S
C 2
4
(2m1 3m2 ) (a )
( M m2 gR1 Sin ) S C 2 R1 (2m1 3m2 )
1 Ql 2 2 1 P 2 1 P r 2 2 v1 1 T2 T1 0 2 3g 2g 2 2g v l v1 l , 1 1 r r 2 Ql 2 P P r 2 l 2 2Q 9 P 2 2 2 T2 (l ) ( ) l 6g 2g 4g r 12g 根据动能定理， 2Q 9 P l 2 2 0 M 12g
解： T 0 1
1 T2 J O12 1 m2 2 2 1 J C 22 2 2 2
其中：J O m1R12 J 1 m R 2 1 C , 2 C C 2 2 R1 R2 2 S S W12 M m2 gSin · R1
由W12 T2 T1
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和。 [ 习题 P314 13-4 ]
上面结论也适用于刚体的任意运动。
13-3 动能定理
1、质点的动能定理
d m F 两端乘 dt dt
dr ，
——质点动能定理 的微分形式
m d F dr
1 d( m 2 ) w 2
弹性力的功只与弹 簧在初始和末了位置 的变形有关，与作用 点路径无关。
3. 定轴转动刚体上作用力的功
w F cos · F ds F Rd ds M z d
从角1 转动到角 2过程中力 F的功为：
令F F cos
W12 M z d
2
1
若 M z 常量
[例2] 已知 物块质量m ；弹簧 原长 l0 .刚度系数k，质量不计； 滑轮半径R ，转动惯量J求：系 统的运动微分方程。
解：以自然位置为参考点
1 ds 1 d 2 T m J 2 dt 2 dt
1 J ds m 2 , S R 2 R dt
W12 M z ( 2 1 )
同样适用于刚体上作 用一力偶所作的功。
4. 平面运动刚体上力系的功
当质心由 C1 ~ C2 ，转角由 1 ~ 2 时，力系的功：
W12 FR drC M C d
C1
C2
2
1
平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简 化所得的力和力偶作功之和。 说明：1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
A1
A2
k (r l0 )er dr
A1
A2
er
因 e dr r dr 1 d(r r ) 1 d(r 2 ) dr r
W12
r
r2 r 1
2r
k ( r l 0 )dr
2r
k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 2 式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
对理想约束，在动能定理中只计入主动力的功即可。
质点系内力作功问题：
质点系内力作功之和不一定等于零。
1）相互吸引或排斥的质点，两力作功和不为零。 2）当力作用点有滑动摩擦时，滑动摩擦力与
物体的相对位移相反，摩擦力作负功。
刚体（特殊的质点系）所有内力作功的和等于零。
[例1] 已知：轮O的R1、m1, 质量分布在轮缘上; 均质轮C 的R2、m2纯滚动, 初始静止 ;θ, M为常力偶。 求：轮心C走过路程S时的速度 和加速度
作用在转动刚体上的力的功率:
d M z P Mz dt dt
单位:W（瓦特）,千瓦（kW），1W=1J/S
W
2、功率方程
d T wi
两端除以dt
n Wi n dT Pi ——功率方程 dt i 1 dt i 1
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和。
P输入 P无用 3.78kw
d n P有用 F F · F 60 P有用 2 30 dn
当 n 42r / min 当 n 112r / min
(60 sec)(3.78kw ) F 17.19kN (0.1m)( 42r / min)
（ sec)(3.78kw ) 60 F 6.45kN (0.1m)(112r / min)
W M
2 3 gM l 2Q 9 P
将式对t 求导数， 6 gM ( 2Q 9 P )l 2
13-4
功率、功率方程、机械效率
1、功率： ——单位时间力所作的功。
P
W
dt
由 W F ·r，得 d
dr PF F v Ft v dt 功率等于切向力与力作用点速度的乘积。
2
2
J ds d 2 s ds ds m 2 mg ks R dt dt 2 dt dt J d2s m 2 2 mg ks R dt
以平衡位置为参考点 ds P重力 mg , P弹性力 ks ds 令 为弹簧静伸长，即mg=k , 0 0 dt dT dt p重力 p弹性力 S 0 x, dt
式(a)是函数关系式，两端对t求导，
C 1 (2m1 3m2 )C aC M m2 g Sin ·C 2 R1
2 ( M m2 g R1Sin ) aC (2m1 3m2 ) R1
[例2] 冲击试验机m=18kg ,
l=840mm, 杆重不计，在 1 70
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 2 m 2 m1 W12 ——质点动能定理 2 2 的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于 作用于质点的力作的功。
2、质点系的动能定理
1 2 d ( mii ) wi 2
求和
1 2 d ( 2mii ) wi d T wi ——质点系动能定 理微分形式
B C D
O
A
解：对于弹簧作功：
由W12 k 2 2 ( 1 2 ) 2
（m） 1 OB l 0.1 2 0.1 k 2 2 WBA ( 1 2 ) 0.2 ） 2 OA l 0.1 （J （m）
WAD
2 （m） k '1 OA l 0.1 2 2 ( '1 '2 ) 0.2 ） （J 2 1 '2 OD l 0.1 2 0.（m）
1 1 1 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 即 T 1 J 2 z 2 2 2 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心：P
1 T J p 2 2 1 ( J C md 2 ) 2 2 1 2 1 2 T mvC J C 2 2
质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的
元功的和。
T2 T1 wi
——质点系动能定 理积分形式
质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能改变量，
等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。
3、理想约束
定义：约束力作功等于零的约束为理想约束。 1）光滑固定面约束、活动铰支座、向心轴承、一 端固定的绳索类约束 ——力与位移垂直
M2
M1
F ·r （矢量式） d
W12 ( Fxdx Fy dy Fz dz)
M2 M1
（直角坐标式）
3. 常见力的功 1)、重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
Fx Fy 0, Fz mg
W12 z12 mgdz mg( z1 z2 ) z
质点系:
时静止释放，冲断试件后摆至
2 29求：冲断试件需用的能量
解： T 0, T 0 1 2
设冲断试件所损失的能量为WK
0 0 mgl(1 cos 1 )
mgl(1 cos 2 ) Wk
冲断试件需要的能量为
Wk 78.92 J
[例3] 行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视 为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由 静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加 速度。 解：取整个系统为研究对象
w F cos · ds F ·r d
Fx dx Fy dy Fz dz
令： Fx i Fy j Fz k F
dr dxi dyj dzk
W12
M2
M1
F cos · （自然形式） ds
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功： W12
对于有n级传动的系统，总效率等于各级效率的连 乘积。
[例1] 已知：车床电动机功率 P输入 5.4kw, P P 30% 无用 输入
工件直径d 100mm , 转速n 42r / min
求：允许切削力F的最大值？若 n 112r / min ，问 允许的F的最大值。
解:
dT 0 P 有用 dt
13-2
质点和质点系的动能
1 T m 2 1、质点的动能 2
瞬时值,与速度方向无关的正标量。 单位：J（焦耳）
1 2、质点系的动能 T mii 2 2
（1）平移刚体的动能
1 2 1 2 1 2 T mi vi vC mi 即 T mvC 2 2 2
（2）定轴转动刚体的动能