(完整版)同角三角函数的基本关系及其应用

同角三角函数的基本关系应用方法

温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。

我们已经知道了三角函数的定义：

任意角α的终边上取点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），OP=r ，我们定义

。，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos

因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：

（1） 平方关系：1cos sin 22=+αα，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.

（2）商数关系：

αα

α

tan cos sin =，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。 注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“±的选取。

考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。

例1：若的值。是第三象限角，求且ααααtan ,cos ,5

4

sin -=

解析：

3

4

3554cos sin tan ,53541sin 1cos ,5

4

sin 2

2

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==

-=⎪⎭

⎫

⎝⎛---=--=∴-=ααααααα是第三象限角，

Θ

分析：此类题型属于较易题型，在α角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。 题型二 已知αtan 的值，求关于ααcos sin 、的齐次分式时，可将求值式变为关

于的代数式，此方法可称为弦化切。

例题2：已知2tan =θ，则θ

θθ

θsin 3cos 5cos 2sin 4+-=

解析：由题意可得，0cos ≠θ，把θ

θθ

θsin 3cos 5cos 2sin 4+-上下同时除以θcos ，得到

11

6

235224tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-θθ。

例3：已知2tan =α，求α

αα

ααα2222cos 3sin 4cos cos sin sin 2-++

解析：将分子、分母同时除以α2cos 得

13

11

32412223tan 41tan tan 22

222=-⨯++⨯=-++=ααα原式。 例4：已知的值。求1cos sin 3sin ,3tan 2+-=αααα 解析：,1cos sin ,3tan 22=+=αααΘ

1

tan 11tan 3tan 2cos sin cos cos sin 3sin 2)cos (sin cos sin 3sin 222222222=++-=

++⋅-=

++⋅-=∴αααα

αα

αααααααα原式

注：如果已知一个角的正切值，我们利用同角三角函数的基本关系式，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。 题型三 三角函数的化简

在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是： （1）项数要最少； （2）次数要最低； （3）函数种类要最少； （4）分母不含根号； （5）能求值的要求值。 例5：化简：0

2036

cos 36sin 2136cos 136cos ---

解析：原式=0√sin 236

002

=cos360−sin360|cos360−sin360|

=cos360−sin360

cos360−sin360=1

注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。其次

一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法，我们只需根据三角函数线判断終边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。口诀：0<α<450，余弦大；45<α<900，正弦大；1800<α<2250，正弦大，2250<α<2700，余弦大。 例6：化简:√1−2sin4cos4

解析：原式=√sin 24+cos 24−2sin4cos4 =√(sin4−cos4)2 =|sin4−cos4|

因为5

4π<4<6

4π所以根据三角函数线知道：cos 4>sin 4

所以原式=cos 4−sin 4

题型四 注意1的妙用，在同角三角函数关系中，sin 2α+cos 2α=1,可变形成(sin α+cosα)2−2sin αcosα=1,期中sin α+cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。若以sin α、cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。

例题7：已知：sin θ+cos θ=1

5，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ;(2)sin θ−cosθ. 解析： sin θ+cos θ=1

5，θ∈(0，π)。

∴(sin θ+cos θ)2=1

25，即sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ=1

25 ∴sin θcos θ=−12

25<0

sin θ>0,cosθ<0,且sin θ，cos θ是方程x 2−1

5x −12

25=0的两根。 解方程得x 1=4

5,x 2=−3

5,∴sin θ=4

5,cosθ=−35. ∴(1)t an θ=sin θ

cos θ=−4

3. (2)sin θ−cosθ=7

5

.

方法总结：同角三角函数的解题方法： （1）弦化切 （2）1的妙用

（3）对于已知sin α±cos α=型的问题，将两边平方。 （4）利用韦达定理，将sin α，cos α看做一元二次方程的两根