高中数学集合与常用逻辑用语

高中数学集合与常用逻辑用语

§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为A B或B A；如果A B，并且A B，这时集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A B、B A，则A=B.5.补集：设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A B.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.

11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”

和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.

8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题[例1]已知集合M ={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0 ，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y= 2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表

示函数y=x2＋1(x∈R，y=x＋1(x∈R的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R} ={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．[例2]已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B =A∴B A又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知m A,n B,且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m +n A B.m+n B C.m+n C D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵m A，∴m=2a,a,同理n=2a+1,a Z,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵m A,∴设m=2a1,a1 Z,又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z,∴m+n=2(a1+a2+ 1,而a1+a2 Z,∴m+n B,故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使B A，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1 p≥2.由B A得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1 p＜2.

由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B =、A∪B=，A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5]已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac =0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac ，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1(2c＋1=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例6]设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A T－1∈A T ∈A T 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A T∈A T∈AT A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－,三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-