人工变量法
第3章09-人工变量法之两阶段法
第3章09人工变量法之两阶段法同学们大家好，今天我们继续来学习，人工变量法这一小节。
现在我们再来看第二个方法——两阶段法。
大M 法和两阶段法实际上各有优缺点，大M 法的原理很清晰，但是在用计算机求解时，对M 只能输入一个很大字长的数字，而模型的参数与M 有可能比较接近，从而可能会在计算过程中发生一些错误。
而两阶段法不需要设定大M ，不会发生这个问题，所以，计算机程序中一般都采用两阶段法。
两阶段法，顾名思义，就是把求解过程分成两个阶段进行。
第一个阶段，在原模型中，引入人工变量，使约束矩阵中有一个单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值。
求解完之后，如果人工变量不取零，那么能证明原模型一定无可行解，反之，如果人工变量是都取零的，那么这个时候实际上也找到了原模型的一个可行基，然后再进一步求出原模型的解。
下面我们通过例3-7进行介绍。
例3-7用两阶段法求解线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+≥-+-≤+++-=3,2,1,093124st.3max 3232132131i x x x x x x x x x x x z i 对于这个问题，首先把它化成下面的标准型131234123523max 3421st.390,1,2,,5i z x x x x x x x x x x x x x i =-++++=⎧⎪-+--=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 它的约束矩阵中显然没有单位阵，所以，我们下面用两阶段法进行求解。
第一阶段，引入人工变量x 6和x 7，使得约束矩阵中有单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值，也就是，先求解下面的线性规划模型。
67123412356237max 421st.390,1,2,,7j x x x x x x x x x x x x x x x j ω=--+++=⎧⎪-+--+=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 用单纯形表法对上面的模型进行求解，先写出A ，b ，C ，111100021101100310001A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，419b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()0000011C =--选取初始基B=（P 4，P 6，P 7）=E ，基变量为X B =（x 4，x 6，x 7）T ，C B =（0，-1，-1），467B =P P P =E （，，），TB 467X =x x x （，，），BC =0-1-1（，，）而B -1A ，B -1b ，C-C B B -1A ，-C B B -1b 也都可以求出1B A A -=，1B b b -=，()()111110000000011(0,1,1)21101100310001 2400100B C C B A -⎛⎫ ⎪-=-------- ⎪⎪⎝⎭=--14(0,1,1)1109B C B b -⎛⎫ ⎪-=---= ⎪ ⎪⎝⎭这时就得到了下面的初始单纯形表。
3.12 4单纯形法(人工变量法)3.12
一个x12方x程12把中x第去2x二2个x方5x程3直接x加4
4 6
x1 , x一2个, 变x3量,(人x4工, 变x量5 ) 0
规范化
考虑一般问题：
bi > 0 ， i = 1 , … , m
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 … am1 x1+ am2 x2+…+ amn xn = bm
jm 1 j j
i1 i
i
j m 1 ij j
m
n
m
c b (c c a )x
i1 n i i
jm 1
j
i 1 i ij
j
n
Z (c z )x
0
j 1
j
j
j
n
Z C jx
0
j 1
j
其 Z m c 中 b ,C j c z ,z m c a
一、单纯形法的基本原理
（一）基本变量： 如果变量xj在某一方程中系数为1，而在其它一切方
程中的系数为零，则称xj为该方程中的基本变量。否则 为非基本变量。 （二）基本解：
在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量 得到的解，称为基本解 。 （三）基本可行解：
基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解 。
（２）最优解判别 如果任何一个非基变量的值增加都不能
使目标函数值增加，即所有检验数非正，则 当前的基本可行解就是最优解，计算结束。
3线性规划人工变量法
0 x5
0 -1 0 -M 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M
0 -M -M x6 x7 x8
0 0 -1 -M 1 0 -1 -2 1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 0
θ
6/1 3/1
-3+M -2+M -1-2M 1 1 0 -3+M 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 -1 -1 -3-M 2 -3 -1
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— 31/3 ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成 计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：
cj CB 0 XB x4 b 12 3 x1 3 -1 x2 0 -1 x3 0 0 x4 1 0 x5 -2 -M x6 2 -M x7 -5 4
→
-1
-1 Z 3
x2
x3
1
1 -2
0
-2 1 1
1
0 0 0
0
1 0 0
0
0 0 1/3
-1
0 -1 -2/3
1
0 -M+1 2/3
-2
1 -M-1 -5/3
－
－
x1
4
-1
-1 Z
x2
x3
1
9 2
0
0 0
1
0 0
0
1 0
0
2/3 -1/3
人工变量法 基本可行解
人工变量法基本可行解人工变量法是一种经济学中常用的策略性分析方法，它的核心思想是将一项政策变量（通常是政府政策）视为外生给定，并通过构建一个人工变量来评估该变量对某一兴趣变量的影响。
在经济学领域，人工变量法被广泛应用于政府政策评估、市场分析和决策制定等方面。
在这篇文章中，我们将就人工变量法的基本可行解进行一步一步的回答，深入探讨其原理、适用范围以及优缺点等相关问题。
首先，让我们通过阐述人工变量法的基本原理来开始我们的讨论。
人工变量法的核心思想是通过引入一个人工变量来模拟某一外生给定变量对兴趣变量的影响。
这可以帮助我们解决研究中经常遇到的内生性问题，即无法确定因果关系的问题。
通过构建一个人工变量，我们可以将外生性变量的影响与内生性变量的影响区分开来，从而更准确地评估政策变量对兴趣变量的影响。
接下来，让我们讨论人工变量法的适用范围。
人工变量法适用于各种研究领域，尤其是在政策评估和决策制定中具有广泛的应用。
人工变量法可以用于评估政府政策的效果，例如教育政策、税收政策和社会保障政策等。
此外，在市场分析中，人工变量法也可以帮助我们了解市场竞争对价格和供求关系的影响。
然而，人工变量法也存在一些局限性和挑战。
首先，为了构建一个有效的人工变量，我们需要确保该变量与其他内生变量无关。
这可能需要进行精心的设计和数据收集，以确保人工变量具有外生性。
其次，人工变量法还要求我们拥有足够的数据和样本量，以确保评估结果的统计显著性和可信度。
最后，人工变量方法也面临着理论假设和模型设定的挑战，这些假设和设定可能对最终的评估结果产生重大影响。
在实际应用中，人工变量法可以采用多种方法来构建人工变量和评估政策效果。
其中一种常见的方法是利用自然实验或随机化实验的结果来构建人工变量。
这种方法可以帮助我们解决内生性问题，并提供可靠的因果推断。
另一种方法是利用工具变量方法来构建人工变量。
工具变量方法通过引入一个与政策变量相关但与内生性变量无关的变量来评估政策的效果。
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
计算机计算时，必须对 给出一个具体数值 给出一个具体数值， 计算机计算时，必须对M给出一个具体数值，通常 计算时 取比原问题中最大数据高 最大数据高1~2个数量级的数值。并视 个数量级的数值 取比原问题中最大数据高 个数量级的数值。 求解情况对M作适当调节 作适当调节。 求解情况对 作适当调节。
例：用大M法求解LP 求解LP
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 目的
1.判断原LP有无可行解。 判断原 有无可行解 有无可行解。 判断 2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再 若有，则可得原 的一个初始基本可行解， 的一个初始基本可行解 若有 对原LP进行第二阶段的计算 进行第二阶段的计算。 对原 进行第二阶段的计算。
初始可 行基
B
(0)
= ( p4
p6
p7 ) = I 3
初始基本 可行解
(0
0 0 11 0 3 1)
T
初始单纯形表
[ ]
11 3 2 1
[ ]
/ 1 /
0
人工变量x 已从基变量中换出。 人工变量 6,x7已从基变量中换出。
第二阶段： 第二阶段：
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 1 2 3 s.t. + x3 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L5)
初始可行基的求法——人工变量法
2x1 x2 4 3x1 x2 1 x1, x2 0
max z1 2x1 3x2 M (x5 x6 )
2x1 x2 x3 x5 4
3x1 x2
x4 x6 1
x1,, x6 0
cj
CB XB
-M x5 -M x6
σj
-M x5
3
退化解出现的原因是模型中存在多余的 约束，使多个基可行解对应同一顶点。当出 现退化解时，有可能出现迭代计算的循环， 但可能性极其微小，为避免循环，可取下标 较小的变量换出。
8（4）先用大M法，再用两阶段法 求解LP问题：
min z x1 3x2 4x3 3x4
3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x1, x2 , x3 , x4 0
11
4x1 2x1
x2
2x3 x3
x5 x6 3 x7 1
x1,, x7 0
cj
0
0
0
0
0
1
1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
1
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
1
x7
1
-2
0 [1] 0
0
0
1
σj
6
-1
-3
0
1
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
单纯形法人工变量法
给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
=11
-4 x1+ x2+2x3 -x5 + x6 =3
-2x1 + x3
+ x7 =1
x1，…， x7 0
第一阶段的单纯形表如下：
cj
0
CB XB b
x1
0 x4 11 1 1 x6 3 -4 1 x7 1 -2
6
0 x4 10
3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
0
0 x4 12
3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
1
0
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
0
0
0
1 -2 2
1
0
0 -1 1
0
1
00000 Nhomakorabea01
1
1
x7
0
用两阶段法求下面线性规划问题旳解
Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4
2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16
x1，x2，x 3≥0
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
运筹学-6人工变量法
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年6月20日星期六 Page 3 of 8
3
2
－1
0
0
－M －M b
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
10 x3
1
x1、x2、x3 0
§1.6人工变量法 The Artificial Variable Method
【解】首先将数学模型化为标准形式
Ch1 Linear Programming
2020年6月20日星期六 Page 2 of 8
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2, ,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
§43 人工变量法
0
0
LPⅡ min z 3 x1 2 x2 x3 Mx6 Mx7
2 2 1 0 0 0 1
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2 x3
x5
10
2
x1
2 x2
x3
x.7
1
x j 0, j 1, , 7
3
2
0
0
1 2
3
得 LPⅠ 的基础可行解：
2 x 0
0
可行基： B1 ( p1 , p2 , p5 )
3 2
计算 ：b00 和 b0i 的数据.
建立 LPⅠ对应基 B1 的单纯形表。
例2
用两阶段法解线性规划问题:
min S 4x1 3x3
0
LPⅡ
x1
x2 x4 3
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
min z x1 2x2 Mx5
1 2 1 0 1
A
1
0
0
1
0
x1 2x2 x3 x5 4
x1
x2
x4 1
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
取初始可行基
B (P6 , P5 , P7 ) E cB (c6 , c5 , c7 ) ( M , 0, M ),
计算： CBb CB A C
3线性规划人工变量法解析
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— 31/3 ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成 计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：
-M
-M Z 0
x6
x7
3
1 -4M
-4
-2 3-6M 3
1
0 -1+M -2
2
1 -1+3M 0
0
0 0 1
-1
0 -M 0
1
0 0 0
0
1 0 -1
3/2
1
→ →
x4
10
－
-M
-1 Z
x6
x3
1
1 -M-1
0
-2 1
1
0 -1+M
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
1
－
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
故人为地添加两个单位向量x6和x7 ，得到含人工变量的单纯形 法数学模型：
max Z 3x1 x2 x3 +0x4 +0x5－Mx6 Mx7
3 x1 x2 x3 x4 4x x 2 x 1 2 3 x3 2 x1 x j 0, j 1, 2, L , 7
－
1.5 人工变量法
第五节 人工变量法
单纯形表是从一个初始基可行解开始的，如果在线性规 划问题的系数矩阵中不存在一个 m 阶单位矩阵，也即很难找 到一个初始可行基怎么办？ 例1：
MaxZ 3 x1 x 2 x3 x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x3 1 x1 , x2 , x3 0
引进人工变量 x6 ， x7 ，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和的极小化
MaxZ x6 x7 11 x1 2 x2 x3 x4 4 x x 2 x x x 3 1 2 3 5 6 x7 1 2 x1 x3 x1 , x2 ,..., x7 0
停止
循 环
是
无界解
bi 计算 i ( a lk 0) a lk
15
用非基变量 替换基变量
xk xl
列出下一个 新单纯形表
OR:SM
E-mail：lijun@
16 OR:SM
做一下，看你理解了没有？
• 1、用大M法求解Max型线性规划问题时，人工变量在目 标函数中的系数均为（ -M），若最优解的（基变量）中 含有人工变量，则原问题无解。 • 2、两阶段法比大M的优点是（不用M），主要是方便用 计算机求解。 • 3、对非典式线性规划问题，用单纯形法求解时，通常通 过（添加人工变量）构造初始可行基。
0
M
根据上表列出初始单纯形表 A
14 OR:SM
线性规划小结
A
求 : j cj z j
所有 j 0
否
循环
是
基变 量中是否 含有 x a
人工变量法和两阶段法
x1 , x2 0
1 1 A 5 2
2 6
90 b 490
240
C 6 8
它的对偶问题是：
这里Y y1, y2, y3
minW Y 90 490 240T
minW 90 y1 490 y2 240 y3
在单纯形迭代过程中，要求人工变量逐步从基 变量被替换出，变为非基变量，最后，基变量中不 含有人工变量。
为使人工变量被替换出成为非基变量，有 1.大M法 2.两阶段法
1.大M法：在目标函数求最大值的线性规划问题中， 设人工变量在目标函数中的系数为-M，M为任意大 的正数。只要人工变量不为零，目标函数最大值就 是一个任意小的数。
s.t .
y1 4 y2
2
2 y1
4 y3 3
y1 , y2 , y3 0
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系 对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对
偶模型？ 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然
后再按照对应关系写出其对偶模型。
原问题求极小------ min Z maxZ
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0, x2 0, x3无约束
（4 9）
原问题约束方程有“=”，如何转化？
（1）将约束条件2的等式约束转化为两个不等式约束
a21 x1
a22 x2
a23 x3
b2
a210，x3
0，x3
0
对称 形式 线性 规划 模型 的对
§4.3 人工变量法
1 1 − 1 0 0 1 0 AII = −1 1 0 − 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0
max z = − x1 + 2 x2
例1
用两阶段法解线性规划问题 用两阶段法解线性规划问题:
x1 + x 2 − x3 = 2 − x + x − x = 1 1 2 4 x2 + x5 = 3 x j ≥ 0, j = 1,...,5
LPⅠ min z ′ = x1 − 2 x2 Ⅰ
4 10 1
－4 1 2
3 －1 －2
0 1 0
1 0 0
0 0 1
−r3
−2r3
Q λ2 = M + 2 > 0
λ3 = 2 M − 1 > 0
定 x3 进基 x1 x2
5M
4 10 1 1 Q min , , = 1 2 1 1
定 x7 出基 x6
0
x3
0
x4
-M
x5
0
x7
1－2M
与大M法同样引入人工变量，分两阶段做： 与大 法同样引入人工变量，分两阶段做： 法同样引入人工变量 个人工变量， 第一阶段： 引入m个人工变量 第一阶段： 引入 个人工变量，建立辅助问题并求解 目标函数是： 目标函数是： min w = ∑ Ri 全体人工变量之和. i 约束条件是： 约束条件是： 加入人工变量后的约束方程.
使人工变量对应的系数列向量与其他变量的系数列向量 共同构成一个单位矩阵.作为初始基 作为初始基。 共同构成一个单位矩阵 作为初始基。 出基 为了求得原问题的初始基础可行解， 为了求得原问题的初始基础可行解， 通过迭代过程把人工变量从基变量中替换为非基变量. 必须尽快通过迭代过程把人工变量从基变量中替换为非基变量 为此，可以在目标函数中赋予人工变量一个任意大的正系数M. 为此，可以在目标函数中赋予人工变量一个任意大的正系数 任意大的正系数 写出LPⅡ 用表格单纯形法解， 人工变量换出基。 写出 Ⅱ，用表格单纯形法解，将人工变量换出基。 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不可能实现极小化. 人工变量， 原问题没有可行解。 若LPⅡ的最优解中仍有人工变量，则说明原问题没有可行解。 Ⅱ的最优解中仍有人工变量 则说明原问题没有可行解 原方程组 Ax=b 不成立 人工变量， 若LPⅡ的最优解中没有人工变量， Ⅱ的最优解中没有人工变量 LPⅠ Ⅰ 则去除人工变量即为原问题的基础可行解 继续求最优。 原问题的基础可行解。 则去除人工变量即为原问题的基础可行解。继续求最优。
106人工变量法
x3 x4 y1 y2
将第3行及第4行的－M倍加到检验数行，便得到初始单纯形表: 6＋M 4＋M
x3 x4 y1 y2
2 3 1 0 x1
3 2 0 1
100 120 14 22
换基迭代：得下一张单纯形表
信息系
原 问 x3 题 x4 中 的 x1 变 y2 量 0 4＋M
刘康泽 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
刘康泽 0 0 3 3M 0 3 0 0 1 3M 0 3
x2 y
信息系
刘康泽
因为检验数都≤0，所以此表对应的基为最优基， 其中人工变量 y ＝ 3M ≠ 0 ， 人工变量 y 仍留在基中， 于是原线性规划问题无可行解。 一般地，设问题为：
min f cx Ax b (b …0) s.t. x …0 (1)
信息系
0 0
刘康泽 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
－4 －172
x3 x4 x1 x2
0 0 0
0 0 0 1
3 2 0 －1
72 54 14 22
这已经是原问题的最优表，
最优解为: x1 =14 , x2 =22。
最优值为: f = 172。
信息系
例： 用大M方法求解线性规划问题
刘康泽
【注1 】 问题（2）的约束中增加条件
c1x1 c2 x2
cn xn 0
其目的在于：在第一阶段的迭代中记录原问题目标函数的非 基变量表示，从而在第一阶段结束时直接得到原问题初始单纯形 表中的检验数。 【注2】 为得到第一阶段的初始单纯形表，往往先写出问题 （2）的原始数据表，然后将原始数据表中对应人工变量的行加到 首行（检验数行）即可。
人工变量法和大M法
解: 引进人工变量x4,x5,于是得下述问题
max f 3 x1 x 2 2 x 3 Mx 4 Mx 5 6 3 x1 2 x 2 3 x 3 x 4 s .t x1 2 x 2 x 3 x5 4 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
13
第一阶段迭代过程如下:
常数 -g x4 x5 -g x4 x5 -g x1 x5 -g x1 x3 6 4 10 6 4 2 2 2 0 3 1 x1 0 3 1 4 3 1 0 1 0 0 1 0 x2 0 2 -2 0 2 -2 -2 2/3 2/3 -2 2/3 0 - 2/3 -1 1/3 x3 0 -3 1 -2 -3 1 2 -1 2 0 0 1 1/6 - 1/6 x4 -1 1 0 0 1 0 -1 1/3 1/3 - 1/3 -1 x5 -1 0 1 0 0 1 0 0 1 -1 1/2 1/2
17
4
一、大M法 这种方法就是在目标函数中加上一个惩罚因素M 作为人工变量的系数,其值可以无穷大,即
min f 10 x1 8 x 2 7 x 3
Mx 6
x4 x6 6 2 x1 x 2 s .t x1 x 2 x 3 x5 4 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
min
f 10 x1 8 x 2 7 x 3
6 2 x1 x 2 s .t x1 x 2 x 3 4 x1 , x 2 , x 3 0
1
化成标准形后为:
min f 10 x1 8 x 2 7 x 3 x4 6 2 x1 x 2 s .t x1 x 2 x 3 x5 4 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
线性规划的人工变量法(NO6)
-1/2
Байду номын сангаас
1 0 1/2 -3/2 -1/2
3/2
0
0
-1/4
-3/4
1M 4
3M 4
6
第二次迭代
cj
CB
XB
b
M
x2
1/2
M
x1
3/2
1
1.5
0
0M
M
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
1
-1/2 1/2 1/2 -1/2
1
0
1/2 -3/2 -1/2
3/2
-W
9/4
0
0
-1/4
-3/4 1 M 3 M
M
x6
-W
1
1.5
0
0
b
x1
x2
x3
x4
1
1/3
1 -1/3 0
1
[2/3] 0 1/3 -1
M3 2
2M 1 32
0
M 1 32
M
M
M
x5
x6
1/3
0
-1/3
1
4M 1 0 32
第二次迭代
cj
CB
XB
b
M
x2
1/2
M
x1
3/2
-W
9/4
1 1.5 0
0
M
M
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 1 -1/2 1/2 1/2
这样，新问题将有一个初始基可行解（以人工变量为基 变量），可用单纯形法进行迭代。经迭代后，若人工变量 全部被换成非基变量，即人工变量全部出基，则得到原问 题的一个基可行解。
人工变量法 基本可行解 -回复
人工变量法基本可行解-回复什么是人工变量法？人工变量法是一种经济学和统计学中使用的一种方法，用于解决因果推断中的内生性问题。
内生性是指某个变量同时受到其他变量的影响，并且会影响到我们想要研究的变量。
人工变量法的基本思想是通过引入一个“人工变量”，以模拟实验的效果，来解决内生性问题。
这种方法在经济学中应用十分广泛，特别是在实证研究中。
那么，为什么我们需要使用人工变量法呢？在经济学和社会科学领域的研究中，很多时候我们无法进行随机对照实验。
在这种情况下，内生性问题就可能出现。
内生性问题会导致结果的偏误和不准确性。
例如，我们想研究教育对收入的影响，但同时收入也可以影响到个人的教育水平。
这种内生性问题使得我们无法得出准确的因果关系。
人工变量法的出现就是为了解决这样的问题。
如何使用人工变量法呢？首先，为了使用人工变量法，我们需要找到一个与我们研究变量相关但与误差项无关的“人工变量”。
这个“人工变量”在理论上与误差项独立，因此其影响可以视为随机。
这个“人工变量”可以是政策变化、自然实验或其他与我们所研究变量相关的变化。
然后，我们通过回归分析来使用人工变量法。
我们将“人工变量”与我们想要研究的变量进行回归分析，通过分析其系数和统计显著性来得出因果关系。
由于“人工变量”与误差项独立，因此其系数可以为我们提供准确的因果效应估计。
此外，在使用人工变量法时，我们还需要考虑其他的统计问题，如内生性检验、仪器变量的选择和合理性等。
这些统计问题的解决也是使用人工变量法的关键步骤。
人工变量法的局限性是什么？尽管人工变量法在解决内生性问题上有很大的优势，但它也存在一些局限性。
首先，寻找一个与误差项无关的“人工变量”是一个挑战。
在实际研究中，很难找到与我们研究变量相关但与误差项无关的变量。
这使得我们需要仔细选择和分析“人工变量”的可靠性。
其次，人工变量法的可行性也取决于我们的样本容量和数据的可用性。
如果我们的样本容量较小或数据的可用性受限，那么使用人工变量法可能会受到限制。
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(参看第二章第一节)； （2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以 理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
（3）在第二张中x7已出基，故没有计算第七列的数值，同理， 第三、四张表中x6、x7都已出基，故第六、七列没有计算； （4）第三、四张表中的基变量没有人工变量x6、x7，因而检 （验5数）中可不以含看M出；，人工变量是帮助我们寻求原问题的可行基，
【例1.16】求解线性规划
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22
6 4
x1, x2 0
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
min Z 5x1 8x2
3x1x12xx22
x3 x4
6 4
x j 0, j 1,2, ,4
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M
x5一项，得到
人工变量法演示 人工变量法练习
计算公式 第二章 对偶线性规划 Exit
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 5 of 8
min Z 5x1 8x2 Mx5
3x1x12xx2 2xx3
6 4 x5
4
x
j
0,
j
1,2,
,5
用单纯形法计算如下表所示。
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 2 of 8
3
2
－1
0
0
－M －M b
x1
x2
x3
x4
x5
－4
3
1
－1
0
1
－1
2
0
1
2
－2
1
0
0
3－2M 2+M －1+2M↑ －M
0
x6
x7
1
04
0
0 10
0
1 1→
0
0
－6
5
0
－1
0
0
3→
－3
3
0
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规 划具有无界解
无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存 在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 7 of 8
x5
10
2x1 2x2 x3 1
x j 0, j 1,2, ,5
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为 一个基变量，第一、三约束中分 别加入人工变量，x6、，x7，目标 函数中加入―MR6―MR7一项，得 到人工变量单纯形法数学模型
max Z 3x1 2x2 x3－Mx6 Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2x3
x5
10
2x1 2x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2, ,7
再用前面介绍的单纯 形法求解，见下表。
Cj
CB
XB
－M
x6
0
x5
－M
x7
λj
－M
x6
0
x5
－1
Hale Waihona Puke x3λj2x2
0
x5
－1
x3
λj
2
x2
3
x1
－1
x3
λj
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
第三张表就找到了原问题的一组基变量x2、x5、x3，此时人工 变量就可以从模型中退出，也说明原规划有可行解，但不能
肯定有最优解。
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 4 of 8
0
1
0
8
2
－2
1
0
0
1
1
5－6M 5M↑
0
－M
0
0
－6/5
1
3/5
0
－2/5
0
5↑
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
0
1
5/3
1
0
2/3
0
－5 －25/3
3/5 31/5→ 11/5
13 31/3 19/3
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
Cj
5
－8
0
0
M
b
CB
XB
x1
x2
0
x3
3※
1
x5
1
－2
x3
x4
x5
1
0
0
6→
0
－1
1
4
M
λj
5－M↑ －8+2M
0
M
0
5
x1
1
1/3
1/3
0
0
2
x5
0
－7/3
－1/3 －1
1
2
M
λj
0
－29/3+7/3M －5/3+1/3M M
0
§1.6人工变量法
Ch1 Linear Programming
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 6 of 8
§1.6人工变量法 The Artificial Variable Method
【解】首先将数学模型化为标准形式
Ch1 Linear Programming
2020年3月25日星期三 Page 1 of 8
max Z 3x1 2x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
The Artificial Variable Method 2020年3月25日星期三 Page 3 of 8
（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、 三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基 变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如 1 3 (M ) (4) 0 1 (M ) 2 3 2M
表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2， 0，0，0，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变 量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原 问题无可行解。
解的判断
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线 规划具有唯一最优解
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则 线则性规划具有多重最优解.