勾股定理(求立体图形中的最短距离1)

谢谢聆听
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有 一村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,在BD 段上 有一座桥C，把C建在何处时可以使A村到E村的距离最 短？求出此时A村到E村的最短距离。
A
A
C
D1
C
B
B
EO
D
5 AE 62 82 102 10
E
学习探究三 几何模型的代数应用
求代数式 x2 +112 (8 x)2 +5225 的最小值。
当堂检测
A1、有一只小蚂蚁沿正方体的表面从A点爬到B点， 它所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置 是（C ）
A
B
C
D
当堂检测
B2、如图，圆柱底面周长为40cm，高为90cm，点A、 B分别是圆柱两底面圆周上的点，且B在A的正上方，用 一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短 _1_5_0___cm．
如图,长方体的
8
长、宽、高分别为4、 2、8.现有一蚂蚁从 顶点A出发,沿长方体
F
4
表面到达顶点C,蚂蚁
走的最短路程为多少？
Hale Waihona Puke Baidu
AF1＝ 12 2 22 ＝ 148
2 F1
B1
前面和右面（后面和左面）展开 A
如图,长方体的 长、宽、高分别为4、 2、8.现有一蚂蚁从 顶点A出发,沿长方体 表面到达顶点C,蚂蚁 走的最短路程为多少？
类比 c a2 b2 你想到了什么？
学习探究三 几何模型的代数应用
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有一 村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,现要在BD 段 建一座桥C，使A村到E村的距离最短
若设BC= x km,则CD=____8_-x___km,建立直角三角 形，请用勾股定理表示出AC___1__x_2_km
利用勾股定理求最短距离
知识储备
1．如图，在Rt△ABC中，C 90，b=3，a=2，
则c=_______ ． 1
ca
2
b
在Rt△ABC中，由勾股定理得
3
c2=a2+b2
c a2 b2 22 32 13
应用勾股定理，可以利用直角三角形中的已知两 边求第三边
知识储备
2．如图，小华的家在A处，书店在B处，星
1、3 做了哪些改进？ 2、求油纸的最短长度，你想到了几种 方法？小组交流你的想法。
我可以这样想……
把圆柱形直筒沿AD所在直线展开，先求出第一圈 油线的最短长度。
E
在Rt△ABD中，由勾 股定理得
D
D
D
AD2=BD2+AB2
30cm
A
A
A
B
40cm
AD 302 402 502 50
50×2=100
期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书 店，请1 你帮助他选择一条最近的路线（ B ）
A． A2C D B
B．A C F B C．A3C E F B
D．A C M B
两点之间，线段最短
学习探究一 圆柱体表面的最短路径
为筹备2019年国庆晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油线，如图 所示1，已知圆筒高30cm，其横截面周长为40cm，如 果在圆筒表面恰好能缠绕油线1圈，应至少裁剪 ___2_____cm的油线．
CE=__(8__x)_2 _ 5_2km
1 x
8-x
5∴
x2 1 (8 x)2 25
的最小值为10
请你根据上述的方法和结论，求代式
的最小值。
本课时小结 数学来源于生活，又服务于生活。
1、立体图形中的最短路径问题，往往是把立体图 形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段 最短” 确定行走路线，构建直角三角形再根据勾 股定理计算出最短距离． 2、当展开方法不只有一种时，应该找出各种路径， 算出各种路径的长度，进行比较，选择最短那一 条。 3、某些复杂的代数问题可以套用几何模型来求解。
8 B2 4
F
2 F2
AF2＝ 82 62 ＝ 100
前面和下面（上面和后面）展开 A
如图,长方体的
8
长、宽、高分别为4、
F
2、8.现有一蚂蚁从 顶点A出发,沿长方体
B1
2
表面到达顶点C,蚂蚁
B3 4 F3
走的最短路程为多少？
AF3＝ 102 42 ＝ 116
148 116 100
∴ 最短距离为10
如果油线缠绕四圈呢？缠绕 n圈呢？
我可以这样想……
通过平移把第一圈油线和第二圈油纸首尾衔接，构建 直角三角形，求最短距离。
E
E
E
D60cm
D 40cm
D
60cm
A 40cm
A 40cm
A
80cm
O
在Rt△AEO中，由勾股定理得 AE2=EO2+AO2
AE 602 802 1002 100
学习探究一 圆柱体表面的最短路径
小组交流
A
1、从A到F可能经过那几个面？ 有几种情况？
2、计算每一种情况从A到F的
F
距离，并进行比较，找出最短
的那一条。
小组展示
变式2：
如图,长方体的长、宽、高分别为4、2、8. 现有一蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶 点F,蚂蚁走的最短路程多少？
A
8
F
42
上面和右面（下面和左面）展开 A
12
3
A
①展开
D
②定点
③连线
④计算
AD 30 2 40 2 50 2 50
学习探究一 圆柱体表面的最短路径
变式：为了让灯罩更漂亮同学们对灯罩的大小和 油线缠绕圈数做了改进，如图所示，改进后圆筒高 60c1m，其横截面周长为40cm，如果在圆筒表面恰好 能缠绕油线2圈,且为了让油纸最短，油纸的上下间距 相同2，应至少裁剪________cm的油线．
为了让灯罩更漂亮同学们对灯罩的大小和油线缠 绕圈数做了改进，如图所示，改进后圆筒高60cm， 其横1截面周长为40cm，如果在圆筒表面恰好能缠绕 油线2圈,且为了让油线最短，油线的上下间距相同， 应至2少裁剪________cm的油纸．
3
学习探究二 长（正）方体表面的最短路径
❖如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁 从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到 顶点F的最短距离是 ________ ．
A
思考
F
( 1 )在正方体的表面，从A点到F点至少需要经过几个面？ 哪几个？试举例说明所有情况？
（2）只把需要经过的面展开，绘制成平面图形，比较 每一条路径你有什么发现？为什么会出现这种情况？
A
A
2
F
2
2
F
AF＝ 42 22 ＝ 2 5
学习探究二 长（正）方体表面的最短路径
❖变式1：若把正方体盒子换成长、宽都是2，高 是8的长方体盒子，其余不变那么蚂蚁沿着长方 体的外表面爬到顶点F的最短距离是 __．
学习探究三 几何模型的代数应用
求代数式 x2 1 (8 x)2 25 的最小值。
学习探究三 几何模型的代数应用
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有 一村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,在BD 段上 有一座桥C
问：把C建在何处时可以使A村到E村的距离最短？
A
C
D
B
E
学习探究三 几何模型的代数应用