斯托克斯公式

∫ ( y2 − z2 )dx + (z2 − x2 )dy + ( x2 − y2 )dz 其中Γ是平面 Γ
x + y + z = 3截立方体:0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的 2
表面所得的截痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向.
【解】取Σ为平面 x + y + z = 3 2
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旋度的力学意义:
【例 3】设一刚体绕过原点 O 的某个 轴转动,其角速度ω = (ω1,ω2 ,ω3 ),刚 体上每一点处的线速度构成一个线速 场,则向量r = OM
= {x, y, z}在点 M 处的线速度
L ω
o
v
M
【解】 由力学知道点 M 的线速度为 由此可看出旋度
∫ 轴正向看为顺时针, 计算 I = y2 d x + xy d y + xz d z . Γ
【解】 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cosα = 0 ,
cosβ =
1, 2
利用斯托克斯公式得
cos γ = − 1 2
cosα cosβ cos γ
zΓ
Σ o x
−
∂Q ) cosα
∂z
+
(∂P ∂z
−
∂R)cos ∂x
β
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)cosγ
]dS
= ∫ (P cosλ + Q cos μ + Rcosν )ds Γ
其中
Σ的单位法向量为 n = cosα i + cosβ j + cos γ k ,
Γ的单位切向量为 t = cosλ i + cosμ j + cos ν k
Γ
正向边界曲线
【证明】 ［情形1］如图 z
设Σ与平行于z 轴的直线相交不多于一点
并Σ取上侧,有向曲线 C 为Σ的正向边界 o
曲线Γ在 xoy的投影.且所围区域 Dxy.
x
Σ : z = f (x, y)
n Σ
Γ Dx yC y
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思路: 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
Γ = ∫ΓA ⋅ ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
称为向量场A沿曲线 Γ按所取方向的环流量 .
利用stokes公式, 有
i jk
环流量
Γ
=
∫ΓA
⋅
ds
=
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ⋅ dS ∂z
PQR
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2.【旋度的定义】
i jk
称向量 ∂ ∂x
∂ ∂y
f y )cosγdS
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即
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
f y )dxdy
∂ ∂y
P[ x,
y,
f
( x,
y)] =
∂P ∂y
+
∂P ∂z
⋅
fy
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
− ∫∫
Dxy
∂ P[x, ∂y
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫Γ
P(
x,
y,
z
)dx,
空间有向曲线
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同理可证
∫∫
Σ
∂Q ∂x
dxdy
−
∂Q ∂z
dydz
=
∫Γ
Q(
x,
y,
z)dy,
∫∫
Σ
∂R ∂y
dydz
−
∂R ∂x
dzdx
=
∫Γ
R(xΒιβλιοθήκη ,y,z)dz
,
将以上三式相加
∫∫
Σ
(∂R ∂y
PQR
其中n = {cosα,cosβ,cos γ}
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二、简单的应用 （可简化空间曲线积分）
∫ 【例 1】计算曲线积分 zdx + xdy + ydz , Γ
其中Γ是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的三
角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向
量之间符合右手规则.
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斯托克斯公式的向量形式
∫∫ rotA ⋅ ndS = ∫ΓA ⋅ t ds 或∫∫ (rotA)ndS = ∫Γ Atds
Σ
Σ
其中
(rotA)n = rotA ⋅ n
=
(∂∂Ry
−
∂Q ∂z
)cos
α
+
(
∂P ∂z
−
∂∂Rx )cosβ
+
(∂∂Qx
−
∂P ∂y
)cos
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
【注意】 如果 Σ 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
R( x, y, z)在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一阶连续偏
导数, 则有公式
∫∫
Σ
(∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
(
∂P ∂z
−
∂R ∂x
)dzdx
+
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
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n
右手法则
∑
Γ是有向曲面 Σ 的
−
∂Q )dydz ∂z
+
(∂P ∂z
−
∂R )dzdx ∂x
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
∫= Pdx + Qdy + Rdz .. 故有结论成立. Γ
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［情形2］曲面Σ 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过
作辅助线、面把 Σ 分成与平行z 轴直线只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
γ
At = A ⋅ n = P cosλ + Q cosμ + Rcos ν
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∴ 环流量 Γ = ∫∫ rotA ⋅ dS = ∫Γ Atds Σ Stokes公式的物理解释: 向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场 A 的旋度场通过Γ所张的曲面的通量.( Γ的正向与 Σ 的侧符合右手法则)
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单应用 三、物理意义----环流量与旋度 四、小结 思考题
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一、斯托克斯(stokes)公式
【定理】设Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ 是以Γ 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与 Σ 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
以下欲证：
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫
Γ
Pdx
∵
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P ∂y
dxdy
=
∫∫ (
Σ
∂P ∂z
cos
β
−
∂P ∂y
cosγ
)dS
又∵ cosβ = − f y cos γ, 代入上式得
∫∫
Σ
∂P ∂z
dzdx
−
∂P dxdy ∂y
=
−
∫∫
Σ
(
∂P ∂y
+
∂P ∂z
与旋转角速度的
i jk
关系.
v = ω × r = ω1 ω2 ω3
(此即“旋度”一词的 由来)
xyz
观察旋度 rot v = {2ω1, 2ω2 , 2ω3} = 2ω .
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四、小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
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为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:
dydz dzdx dxdy
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
PQ R
或用第一类曲面积分表示:
cosα cos β cosγ
∫∫
Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
∂ 为向量场的旋度 ∂z
(rotA) .
PQR
i jk 旋度 rotA = ∂ ∂ ∂