工程流体力学
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a1 b1
c1
c2
c3
dim x2 L T M
a2 b2
dim x3 L T M
a3 b3
若x1、x2和x3可以组成一个无量纲的量，则
1 dim x x x
k1 1 k2 2 k3 3
L T
a1
b1
M
c1 k1
L
a2
T M
b2
c2 k 2
L
a3
T M
b3
c3 k 3
。只有两个同类型的物理量才能相加减，否
则是没有意义的。例如
p1 V12 p2 V22 z1 z2 hj 2g 2g
在量纲和谐的方程式中，一般来讲系数和 常数应该是无量纲量。经验公式在没有理论分 析的情况下，根据部分实验数据回归出来的公 式，常含带量纲的的系数，这类经验公式的量 纲是不和谐的，在使用这些公式时必须用规定 的单位。
工程流体力学
主讲: 冯 进
长江大学机械工程学院
§8 量纲分析和相似原理
对于复杂的实际工程问题，目前求解流体 运动的基本方程在数学上存在困难。因此，在 求解流体力学问题时，经常借助量纲分析和相 似原理来建立实际工程问题有关的各物理量之 间的关系，并通过实验方法进行研究，获得一 定范围内符合实际的经验公式。所以，量纲分 析和相似原理是发展流体力学理论，解决实际 工程问题的有力工具。
若k1、k2、k3不全为零，系数行列的值必为零，即
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 0 c3
说明任意一个物理量可以用另外两个物理量导 出，这与假设相矛盾。因此，x1、x2和x3 量纲 独立的条件是：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 0 c3 a1 b1 b2 b3 c1 c2 0 c3
1 L
c
（4）由量纲和谐原理，求各指数 L：-a+b-2c=3 T：-a-2c=-1 解得a=-1 ， b=4 ， c=1 （5）代入指数乘积形式，得
R 4 p Qk l
M：a+c=1
二、π定理
1.基本物理量的判断方法 若x1、x2和x3是基本物理量，它们的量纲 为：
dim x1 L T M
方向：
n
m
时间比例尺： t
速度比例尺：
tn tm
n Ln / tn L m Lm / tm t
an n tn L 2 加速度比例尺： a am m tm t t
3．动力相似 流体运动和它所受到的力有着密切的关系， 为了保证流动的力学相似，除了几何相似和运 动相似之外，还应该有动力相似。所谓动力相 似是指原型流动与模型流动对应受到的同种外 力作用，而且对应点上作用力成一定比例且方 向相同。设原型流在某点受到的作用力为Fn， 模型对点受到的作用力为Fm ， 则：
p Q k a R b l
c
（3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量 的量纲
LT
3 1
k ML1T 1 L ML2T 2
a b
MLT k L2
2
b MLT T L L2
c
a
2
D f Re d 2 2 8
f Re
d 2 2
4 2
Cd A
2
2
例4：已知输送液体的压力管路的压降Δp与流体 的物理性质（密度ρ和动力黏度μ）、几何特性 （管长l、管径d、粗糙度k）和运动特征（流 动速度υ）有关，试用建立的表达式。
解：（1）根据已知条件，建立函数关系
ML T ML
1
1
3 a2
L LT
b2
1 c 2
L：-3a2+b2+c2=3 T：c2=1 M：a2=1 解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1
1 2 d Re
（5）写出无量纲方程
D 1 F 2 2 , 0 d Re
m n1
根据量纲和谐原理，确定待定指数a、b、 c、……、m，可求得该物理过程的方程式， 式中的待定系数k必须通过实验和分析加以确 定。
例1：已知作用在作圆周运动物体上的离 心力F与物体的质量m、速度υ和圆周半径r有 关，试用瑞利法给出离心力的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
F f m, , r
dim x L T 。 M
3．单位 单位是度量各种物理量数值大小的标准， 同一物理量因单位的不同，其数值大小也不同。 例如长度为1m，也可表示为100cm或1000mm 等不同的单位，但量纲一样，都是长度量纲L。 单位和量纲都关于量度的概念，单位决定 量度的数量，而量则纲表示量度的性质。
或
a2 a3
2. π 定理 若某一物理过程与n个物理量有关，可表 示为如下函数
f x1 , x2 ,, xn 0
其中有m个基本物理量（一般m≤3），其余 （n-m）个物理量可表达为（n-m）个无量纲 量：
xm 1 1 a1 b1 m1 x1 x2 xm
xm 2 2 a 2 b2 m x1 x2 xm 2
k 4 a 4 b4 c 4 d
（4）根据量纲和谐原理，有
ML T ML L LT 解得a1=1 ， b1=0 ， c1=2
1 2 3 a1 b1
1 c1
1
p
2
ML T
1
1
ML
3 a2
L LT
b2
1 c 2
解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1
二、无量纲量
当物理量x的量纲
dim x 1
时，有
dim x L T M
式中α =β =γ =0，物理量x称为无量纲量或无 因次量。
无量纲量有两个特点：（1）无量纲量的数 值大小与采用的单位制无关；（2）无量纲量可 进行超越函数（对数、指数、三角函数等）运算。
三、量纲和谐原理
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲都必须相同，这就是量纲和谐原理
这样自然产生了模拟的运动和被模拟的运 动之间的相似问题，分析模型与实物（原型） 间的相似关系的基本理论。 相似理论：若两个流动之间相互对应的流 动参量（与流动相关的物理量，如密度，速度， 压力，粘度）间的比值保持一定的比例关系， 并按照同样的规律运动，则称这两个流动为相 似的流动。相似条件：几何相似，运动相似， 动力相似。
f p, , , l , d , k , 0
（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面 选择基本物理量，即ρ、d和υ作为基本物理量 （3）n-3=7-3=4，列出4无量纲量
1
p a1 d b1 c1
2
a db c
2 2 2
l 3 a3 b3 c3 d
a1k1 a2 k2 a3k3 0 b1k1 b2 k2 b3k3 0 c1k1 c2 k2 c3k3 0
a1 b 1 c1
a2 b2 c2
a3 k1 0 b3 k 2 0 c3 k3 0 1 2 来自D a1 d b1 c1
a db c
2 2 2
（4）根据量纲和谐原理，有
MLT
2
ML
3 a1
L LT
b1
1 c1
L：-3a1+b1+c1=3 T：-c1=-2 M：a1=1 解得a1=1 ， b1=2 ， c1=2
D 1 2 2 d
一、力学相似
1．几何相似 几何相似要求模型流动与实物流动有相似 的边界形状，一切对应的线性尺寸对应成比例 且为一定常数，实物夹角与模型夹角对应相等。 设原型边界上任一线段长度为Ln ，模型边界 对应线段长度为Lm，则：
方向：
n m
Ls Lm
线段比： L
An L2 面积比： A A L2n L2 m m
nm
xn a( nm ) b( nm ) m x1 x2 xm ( nm )
描述该物理过程的（n-m）个无量纲量组合量 所表达的关系为：
F 1, 2 ,, nm 0
例3：已知绕球体的流阻力D与流体的物理性 质（密度ρ和动力黏度μ）、球体直径d和流动 速度υ有关，试用建立D的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
§8.2 量纲分析法
一、瑞利法
瑞利法的基本原理是某物理过程与n个物 理量有关，即
f x1 , x2 ,, xn 0
其中某个物理量xi可表示为其它物理量的指数 乘积形式，即
b m xi kx1a x2 xn1
用量纲形式为：
dimxi k dim x x x
a 1 b 2
（2）将物理量m 、 υ 、 r和写成指数乘积形式
F km r
a b
c
（3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量 的量纲
MLT 2 kM a LT 1 Lc
b
（4）由量纲和谐原理，求各指数 L：b+c=1 T：-b=-2 解得a=1 ， b=2 ， c=-1 M：a=1
（5）代入指数乘积形式，得
F km
2
r
例2：由实验可知流体在圆管作层流运动时， 通过的流量Q与流体的动力粘度μ、管道半径R、 管道长度l和管段两端的压差Δp有关。试用瑞 利法给出流量的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
p Q f , R, l
（2）将物理量μ、Δp/l和R写成指数乘积形
f D, , , d , 0
（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面 选择基本物理量，即ρ、d和υ作为基本物理量
dim L3T 0 M 1
3 1 1
0 0
1 0 1 0
dim d L1T 0 M 0
dim L1T 1M 0
1 0
（3）n-3=5-3=2，列出2无量纲量
p 1 l k F 2 , , , 0 Re d d
kl k l 2 l 2 2 p f Re, 2 f Re, d d d d 2 d 2
§8.3 相似原理
目前对实际流体运动的研究，多数是靠实 验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进 行模型实验。流体力学实验的手段主要是通过 室内的风洞、船池、水工模型等设备模拟自然 界的流体运动。 通常做一个较实物小多少倍的几何相似模 型，然后在模型上做实验并得到所需的实验数 据，并将实验数据转换到原实际问题。
Vn L3 体积比：V 3n L3 Vm Lm
2．运动相似 在满足原型与模型几何相似条件下，如果 对应空间点上流动速度方向分别相同且大小都 成一定比例关系，而且通过相应线段的时间成 比例，则这两个流动称为运动相似流动。设原 型流在某点的速度为υn和相应位移线段的时间 为tn ，模型对点的速度为υm 和通过相应位移 线段的时间为tm ， 则：
1 2 d Re
M LT ML
0 0
3 a3
L LT
b3
1 c3
解得a3=0 ， b3=1 ， c3=0
l 3 d
M LT ML
0 0
3 a4
L LT
b4
1 c 4
解得a4=0 ， b4=1 ， c4=0
4
k d
（5）写出无量纲方程
§8.1 量纲和谐原理
一、量纲和单位
1.量纲 在流体力学中，通常用长度、时间、质量、 密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述 运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质 不同可分为各种类别，量纲是各种类别物理量 的标志（几何学量纲、运动学量纲、动力学量 纲等），量纲又称为因次。
2.量纲分类 量纲可分为基本量纲和诱导量纲，基本量 纲不能从其它基本量纲中推导出来，而诱导量 纲由基本量纲推导出来。 例如基本量纲为长度L、时间T和质量M， 那么物理量x的量纲可表示为由基本量纲的指 数乘积形式，
方向：
n m
密度比例尺：
n m
m V 3 m n n n L 质量比例尺： mm mVm
c1
c2
c3
dim x2 L T M
a2 b2
dim x3 L T M
a3 b3
若x1、x2和x3可以组成一个无量纲的量，则
1 dim x x x
k1 1 k2 2 k3 3
L T
a1
b1
M
c1 k1
L
a2
T M
b2
c2 k 2
L
a3
T M
b3
c3 k 3
。只有两个同类型的物理量才能相加减，否
则是没有意义的。例如
p1 V12 p2 V22 z1 z2 hj 2g 2g
在量纲和谐的方程式中，一般来讲系数和 常数应该是无量纲量。经验公式在没有理论分 析的情况下，根据部分实验数据回归出来的公 式，常含带量纲的的系数，这类经验公式的量 纲是不和谐的，在使用这些公式时必须用规定 的单位。
工程流体力学
主讲: 冯 进
长江大学机械工程学院
§8 量纲分析和相似原理
对于复杂的实际工程问题，目前求解流体 运动的基本方程在数学上存在困难。因此，在 求解流体力学问题时，经常借助量纲分析和相 似原理来建立实际工程问题有关的各物理量之 间的关系，并通过实验方法进行研究，获得一 定范围内符合实际的经验公式。所以，量纲分 析和相似原理是发展流体力学理论，解决实际 工程问题的有力工具。
若k1、k2、k3不全为零，系数行列的值必为零，即
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 0 c3
说明任意一个物理量可以用另外两个物理量导 出，这与假设相矛盾。因此，x1、x2和x3 量纲 独立的条件是：
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 0 c3 a1 b1 b2 b3 c1 c2 0 c3
1 L
c
（4）由量纲和谐原理，求各指数 L：-a+b-2c=3 T：-a-2c=-1 解得a=-1 ， b=4 ， c=1 （5）代入指数乘积形式，得
R 4 p Qk l
M：a+c=1
二、π定理
1.基本物理量的判断方法 若x1、x2和x3是基本物理量，它们的量纲 为：
dim x1 L T M
方向：
n
m
时间比例尺： t
速度比例尺：
tn tm
n Ln / tn L m Lm / tm t
an n tn L 2 加速度比例尺： a am m tm t t
3．动力相似 流体运动和它所受到的力有着密切的关系， 为了保证流动的力学相似，除了几何相似和运 动相似之外，还应该有动力相似。所谓动力相 似是指原型流动与模型流动对应受到的同种外 力作用，而且对应点上作用力成一定比例且方 向相同。设原型流在某点受到的作用力为Fn， 模型对点受到的作用力为Fm ， 则：
p Q k a R b l
c
（3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量 的量纲
LT
3 1
k ML1T 1 L ML2T 2
a b
MLT k L2
2
b MLT T L L2
c
a
2
D f Re d 2 2 8
f Re
d 2 2
4 2
Cd A
2
2
例4：已知输送液体的压力管路的压降Δp与流体 的物理性质（密度ρ和动力黏度μ）、几何特性 （管长l、管径d、粗糙度k）和运动特征（流 动速度υ）有关，试用建立的表达式。
解：（1）根据已知条件，建立函数关系
ML T ML
1
1
3 a2
L LT
b2
1 c 2
L：-3a2+b2+c2=3 T：c2=1 M：a2=1 解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1
1 2 d Re
（5）写出无量纲方程
D 1 F 2 2 , 0 d Re
m n1
根据量纲和谐原理，确定待定指数a、b、 c、……、m，可求得该物理过程的方程式， 式中的待定系数k必须通过实验和分析加以确 定。
例1：已知作用在作圆周运动物体上的离 心力F与物体的质量m、速度υ和圆周半径r有 关，试用瑞利法给出离心力的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
F f m, , r
dim x L T 。 M
3．单位 单位是度量各种物理量数值大小的标准， 同一物理量因单位的不同，其数值大小也不同。 例如长度为1m，也可表示为100cm或1000mm 等不同的单位，但量纲一样，都是长度量纲L。 单位和量纲都关于量度的概念，单位决定 量度的数量，而量则纲表示量度的性质。
或
a2 a3
2. π 定理 若某一物理过程与n个物理量有关，可表 示为如下函数
f x1 , x2 ,, xn 0
其中有m个基本物理量（一般m≤3），其余 （n-m）个物理量可表达为（n-m）个无量纲 量：
xm 1 1 a1 b1 m1 x1 x2 xm
xm 2 2 a 2 b2 m x1 x2 xm 2
k 4 a 4 b4 c 4 d
（4）根据量纲和谐原理，有
ML T ML L LT 解得a1=1 ， b1=0 ， c1=2
1 2 3 a1 b1
1 c1
1
p
2
ML T
1
1
ML
3 a2
L LT
b2
1 c 2
解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1
二、无量纲量
当物理量x的量纲
dim x 1
时，有
dim x L T M
式中α =β =γ =0，物理量x称为无量纲量或无 因次量。
无量纲量有两个特点：（1）无量纲量的数 值大小与采用的单位制无关；（2）无量纲量可 进行超越函数（对数、指数、三角函数等）运算。
三、量纲和谐原理
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲都必须相同，这就是量纲和谐原理
这样自然产生了模拟的运动和被模拟的运 动之间的相似问题，分析模型与实物（原型） 间的相似关系的基本理论。 相似理论：若两个流动之间相互对应的流 动参量（与流动相关的物理量，如密度，速度， 压力，粘度）间的比值保持一定的比例关系， 并按照同样的规律运动，则称这两个流动为相 似的流动。相似条件：几何相似，运动相似， 动力相似。
f p, , , l , d , k , 0
（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面 选择基本物理量，即ρ、d和υ作为基本物理量 （3）n-3=7-3=4，列出4无量纲量
1
p a1 d b1 c1
2
a db c
2 2 2
l 3 a3 b3 c3 d
a1k1 a2 k2 a3k3 0 b1k1 b2 k2 b3k3 0 c1k1 c2 k2 c3k3 0
a1 b 1 c1
a2 b2 c2
a3 k1 0 b3 k 2 0 c3 k3 0 1 2 来自D a1 d b1 c1
a db c
2 2 2
（4）根据量纲和谐原理，有
MLT
2
ML
3 a1
L LT
b1
1 c1
L：-3a1+b1+c1=3 T：-c1=-2 M：a1=1 解得a1=1 ， b1=2 ， c1=2
D 1 2 2 d
一、力学相似
1．几何相似 几何相似要求模型流动与实物流动有相似 的边界形状，一切对应的线性尺寸对应成比例 且为一定常数，实物夹角与模型夹角对应相等。 设原型边界上任一线段长度为Ln ，模型边界 对应线段长度为Lm，则：
方向：
n m
Ls Lm
线段比： L
An L2 面积比： A A L2n L2 m m
nm
xn a( nm ) b( nm ) m x1 x2 xm ( nm )
描述该物理过程的（n-m）个无量纲量组合量 所表达的关系为：
F 1, 2 ,, nm 0
例3：已知绕球体的流阻力D与流体的物理性 质（密度ρ和动力黏度μ）、球体直径d和流动 速度υ有关，试用建立D的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
§8.2 量纲分析法
一、瑞利法
瑞利法的基本原理是某物理过程与n个物 理量有关，即
f x1 , x2 ,, xn 0
其中某个物理量xi可表示为其它物理量的指数 乘积形式，即
b m xi kx1a x2 xn1
用量纲形式为：
dimxi k dim x x x
a 1 b 2
（2）将物理量m 、 υ 、 r和写成指数乘积形式
F km r
a b
c
（3）选择基本量纲L、T和M，表示各物理量 的量纲
MLT 2 kM a LT 1 Lc
b
（4）由量纲和谐原理，求各指数 L：b+c=1 T：-b=-2 解得a=1 ， b=2 ， c=-1 M：a=1
（5）代入指数乘积形式，得
F km
2
r
例2：由实验可知流体在圆管作层流运动时， 通过的流量Q与流体的动力粘度μ、管道半径R、 管道长度l和管段两端的压差Δp有关。试用瑞 利法给出流量的表达式。 解：（1）根据已知条件，建立函数关系
p Q f , R, l
（2）将物理量μ、Δp/l和R写成指数乘积形
f D, , , d , 0
（2）在流体物性、几何特性和运动特性三方面 选择基本物理量，即ρ、d和υ作为基本物理量
dim L3T 0 M 1
3 1 1
0 0
1 0 1 0
dim d L1T 0 M 0
dim L1T 1M 0
1 0
（3）n-3=5-3=2，列出2无量纲量
p 1 l k F 2 , , , 0 Re d d
kl k l 2 l 2 2 p f Re, 2 f Re, d d d d 2 d 2
§8.3 相似原理
目前对实际流体运动的研究，多数是靠实 验研究来解决。流体力学实验方法之一就是进 行模型实验。流体力学实验的手段主要是通过 室内的风洞、船池、水工模型等设备模拟自然 界的流体运动。 通常做一个较实物小多少倍的几何相似模 型，然后在模型上做实验并得到所需的实验数 据，并将实验数据转换到原实际问题。
Vn L3 体积比：V 3n L3 Vm Lm
2．运动相似 在满足原型与模型几何相似条件下，如果 对应空间点上流动速度方向分别相同且大小都 成一定比例关系，而且通过相应线段的时间成 比例，则这两个流动称为运动相似流动。设原 型流在某点的速度为υn和相应位移线段的时间 为tn ，模型对点的速度为υm 和通过相应位移 线段的时间为tm ， 则：
1 2 d Re
M LT ML
0 0
3 a3
L LT
b3
1 c3
解得a3=0 ， b3=1 ， c3=0
l 3 d
M LT ML
0 0
3 a4
L LT
b4
1 c 4
解得a4=0 ， b4=1 ， c4=0
4
k d
（5）写出无量纲方程
§8.1 量纲和谐原理
一、量纲和单位
1.量纲 在流体力学中，通常用长度、时间、质量、 密度、速度、加速度和力等各种物理量来表述 运动现象及其运动规律。这些物理量按其性质 不同可分为各种类别，量纲是各种类别物理量 的标志（几何学量纲、运动学量纲、动力学量 纲等），量纲又称为因次。
2.量纲分类 量纲可分为基本量纲和诱导量纲，基本量 纲不能从其它基本量纲中推导出来，而诱导量 纲由基本量纲推导出来。 例如基本量纲为长度L、时间T和质量M， 那么物理量x的量纲可表示为由基本量纲的指 数乘积形式，
方向：
n m
密度比例尺：
n m
m V 3 m n n n L 质量比例尺： mm mVm