专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

（1）c bx ax y b kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R

（2）x k y =

分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0

（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。

2、 函数的奇偶性

定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）

(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。

(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数

1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数：u

x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。

3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。

4、对数函数

定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。

5、三角函数

(1) 正弦函数: x y sin =

π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =.

π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =.

π=T ， },2

)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =.

π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .

5、反三角函数

(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2

,2[)(ππ-=D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。

(3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2

,2()(ππ-=D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设A u x =→λlim ， B v x =→λ

lim ，则 （1）B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ

λλlim lim )(lim （2）AB v u v u x x x =⋅=⋅→→→λ

λλlim lim )(lim . 推论

（a)v C v C x x λ

λ→→⋅=⋅lim )(lim ， (C 为常数)。 （b ）n

x n x u u )lim (lim λλ→→= （3）B A v u v u x x x ==→→→λ

λλlim lim lim ， (0≠B ). （4）设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=- 110)(， 则)()(lim 00

x P x P x x =→ （5）设)(),(x Q x P 均为多项式， 且0)(≠x Q ， 则 )

()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→ 三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，

x x ~arcsin ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-，22

1~cos 1x x -。 对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0 □→时， □~ □sin ，其余类似。

四、两个重要极限

重要极限I 1sin lim 0=→x

x x 。 它可以用下面更直观的结构式表示：1 □ □sin lim

0 □=→ 重要极限II e x x x =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞→11lim 。

其结构可以表示为：e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→

□ □ □11lim 八、洛必达(L ’Hospital)法则 “00”型和“∞∞”型不定式，存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)

()(lim )()(lim ''（或∞）。 一元函数微分学

一、导数的定义

设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量∆x （点x x ∆+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。如果当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量x ∆的增量之比的极限

0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00=）（0x f ' 注意两个符号x ∆和0x 在题目中可能换成其他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1）0)(='C (C 为常数)

（2）1)(-='αααx x （α为任意常数）

（3）a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x x e e =')(

（4）a

x e x x a a ln 1log 1)(log ==')1,0,0(≠>>a a x ， x x 1)(ln =' （5）x x cos )(sin ='

（6）x x sin )(cos -='

（7）x

x 2'cos 1)(tan =