概率论与数理统计常见问题解答

概率论与数理统计常见问题解答

1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。

必然现象：一定条件下，结果是肯定的。如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中

概率论是研究随机现象规律性的一门学科。

2.随机现象有规律性吗？有。

例如：两人打枪。

甲是神枪手，乙是普通射手。如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。

如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：

我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。这种规律性称为统计规律性。在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。

3.随机现象的规律性如何指导实践？

例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。

在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。这时，应当拒绝“废品率为5%” 。为什么？

因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。

可能性小的事并不等于不发生

例如：地震。某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。

例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。比赛为五局三胜制。已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？

奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？

例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛

决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：

或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松

或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松

最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。

请根据下面两种数据，计算中国队获胜的概率。

第一种

第二种

4.什么是随机事件？

随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。

应该注意的是，事件的结果是相应于"一定条件"而言的。

因此，要弄清某一随机事件，就必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。

例如，某人作试验"向上抛掷一枚质地均匀的硬币","质地均匀的硬币"是条件，在此条件下，硬币落地时正面向上(或反面向上)则是结果；

例如，某气象台每天中午观察风速，则时间、地点是条件，观察到的风速是结果。

5.如何理解"随机试验"这一概念？

凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。

一个试验如果满足下述条件，则被称之为随机试验：

(1)试验可以在相同的情形下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

例如，"从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球"就是一次随机试验，"取出的是排球"则是试验的结果。

6."频率"与"概率"之间有何关系？

随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小。

为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率。它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率。

例如，一根棒在一定条件下具有"长度"这一特性，而我们通常用某次测量的结果作为其长度。

7.如何理解“互斥问题”

互斥事件是对两个事件而言的。若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发生时事件A就不发生(也就是说，事件A、B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事

件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。

8."互斥"与"等可能"的区别是什么？

"互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的两个概念。

在一次试验中，由于某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件。在数目上它可为2个或多个。

而互斥事件仅指不可能同时发生的两个事件。

例如：掷一个均匀骰子，"出现1或2"与"出现2或3"这两个事件是等可能的，但它们不是互斥事件。

9."互斥"和"对立"的关系如何？

"互斥事件"和"对立事件"都是就两个事件而言的。

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,"互斥"是"对立"的必要但不充分的条件。

例如："出现1点"和"出现2点"是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。

又如：掷一个硬币，"出现正面"和"出现反面"是对立的。

应用公式P(A+B)=P(A)+P(B)解决问题时，首先要注意前提：A、B两事件必须互斥。

因为一般地，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

10.如何灵活运用公式？

求某个事件的概率时，常遇到求“至少...”或“至多...” 等事件概率的问题。

若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。但“至少...”、“至多...”这些事件的对立事件往往比较简单，且其概率也很容易求出。

此时，不妨来一个逆向思考，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。

这就需要运用公式了。

11.如何理解“独立事件”？

在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。例如：“昨天晚上没休息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。虽然没休息好不一定导致成绩不好，但增大了成绩不好的可能性。

又如：“某人买彩票没中奖”和“某人听见乌鸦叫”这两个事件，可以认为是互不相关的，因为某人是否听见乌鸦叫，并不影响他中奖的可能性。

“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，但我们还要注意两者之间的差别。前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。

例如：“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，一般均看作独立的。

又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互相独立的，