《系统工程》层次分析法

n ( n 1）
2 次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但 要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中 多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了1~9标度，已经接受了一定 程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的 （正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进 一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上， 找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检 验方法。
1 2 2 2


n 2 n

1

n 2
n n
容易看出，一致矩阵A具有以下性质：
定理2 若A为一致矩阵，则 （1）A必为正互反矩阵。 （2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。 （3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从而rank （A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。 （4）A的最大特征根λmax=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为 零。 （5）若A的最大特征根λmax对应的特征向量为W=（w1,…, wn）I，则aij=wi /wj， i,j = 1,2,…,n。 定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反 映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度 的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：
a ij a ik a ik ,
i、j、k = 1,2,…,n
定义2 满足上面关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。 如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应 当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作
设现在要比较n个因子X = {x1,…,xn}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可 信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的 办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结 果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。 容易看出，若xi和xj对Z的影响之比 为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为 定义 1 若矩阵A=(aij)n×n满足 （i）aij >0， （ii）
在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若 干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和 方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不 应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定 会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真 实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业 的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于 调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利 于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定 将由决策者决定。
Saaty.T.L等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分 析问题的方法，称为层次分析法（Analytic Hiearchy Process，简称AHP）。层次 分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是 否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为 处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处理机理比较模糊 的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学 模型的范例。
1
1 3
3 1
于是经计算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI = 0.58，故 CR = 0.033。因CR<0.1，接受矩阵A，求出A对应于λmax的标准化特征向量 W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以W的分量作为C1、C2、C3在目标O中所占的 权重。
系统分析方法:层次分析法
层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法， 它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。社会的发展导致了社会结构、经 济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能在错综复杂的情况下，利 用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生产者面对消 费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商 品要根据它们的性能质量的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最 为满意的商品；毕业生要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的 好坏等挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大 小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题……。 当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中某 些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定 性地比较它们的强弱。在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时，如何尽可 能克服因主观臆断而造成的片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智 的决策呢？
（2）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致 性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此， Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵——用从1~9及其倒数中随机抽取的 数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值 ， 并定义 m ax
m ax n
n 1
，称CI为A的一致性指标。
容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI = 0。CI的值越大，A的非一致性越严 重。利用线性代数知识可以证明，A的n个特征根之和等于其对角线元素之和 （即n）故CI事实上是A的除λmax以外其余n－1个特征根的平均值的绝对值。若 A是一致矩阵，其余n－1个特征根均为零，故CI=0；否则，CI>0，其值随A非 一致性程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，λmax稍大于n）， A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。
一、层次分析的基本步骤 层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层 次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性 检验。 下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。
例1 某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有： 给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技 术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。 步1 建立层次结构模型
对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如 以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干 个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。 建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进 一步分析研究创造了条件。 步2 构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如上图中目标层利润利用是否合理可由准则层 中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同， 在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度， 又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下 人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。
如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用1~9及其倒数还不够理想时，可 以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。 步3 层次单排序及一致性检验
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这 些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假 如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例” 之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十 足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因 子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策 者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐 含矛盾的数据。
定理1 正互反矩阵A的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为 正实数。A的其余特征根的模均严格小于λmax。（证明从略） 现在来考察一致矩阵A的性质，看将单位重量的大石块剖分成重量为 1,…, n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的 一致矩阵为
1 1 2 A 1 n 1

nwi 1。源自CI 再对A作一致性检验：计算 查表得到对应于n的RI值，求
i 1
m ax n ，
n 1
CI
，
CR
RI 若CR<0.1，则一致性较为满意，以 i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值。 否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满意时，W的分量才 可用作层次单排序的权重。
CR
CI RI
称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR<0.10时可以认为判 断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的 一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根λmax及λmax对应的特征 向量W=（w1,…, wn）T，进行标准化， 使得
RI
称RI为平均随机一致性指标。
m ax n n 1
对n =1,…,11,，Saaty给出了RI的值，如表2所示。 表2
N RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.51