代数精度插值求积及复化公式参考资料

n
Ln (x) f (xk )lk (x) k 0
其中lk(x) 为n次插值基函数。取f (x) Ln(x)，则有：
I
b
f (x)dx
a
b
Ln (x)dx
a
b n a k 0
f
(xk )lk (x)dx
n k 0
b
lk
a
(x)dx
f
(xk
)
记：
b
Ak a lk (x)dx (k 0,1, ,n) (7 - 5)
2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：
f (x) sin x , ex2 , sin x2 , 1 , 1 x3 等
x
ln x
3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。
由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进
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而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微 分方程和积分方程的数值解法的基础。
1.1 构造数值求积公式的基本思想
定积分I=∫ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所围成的曲 边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由
积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间[a, b] 内至少存在一点，
使：
b
I f (x)dx (b a) f ( ) a
则有：
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) I n
k 0
这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式.
根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：
Rn I In
b
[ f (x) Ln (x)]dx
a
b a
f (n1) ( ) (n 1)!
n k 0
8
1/28350 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989
经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特
斯（Newton-Cotes）公式。
当n
=1时,按公式（7-7）有：C0(1)
1
1
(t
1 0!1! 0
1)dt
1 2
C1(1)
( i 0,1,L ,n )所以，求积公式7 1是插值型的。
(必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n 的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即这时插值型求积公 式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度。（证毕）
注：n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是 此求积公式不一定是插值型的。 例：
用f (xk) 的加权平均值近似地表示f (),这样得到一般的求积公式：
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
k 0
(7 -1)
其中,点xk 称为求积节点,系数Ak 称为求积系数，Ak 仅仅与节 点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f (x)的具体形式。
b
n
另一方面定积分的定义， I
定义1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成 立，而至少对一个m +1次多项式不精确成，则称该公式具 有m次代数精度。
一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用， 由定义1容易得到下面定理。
定理1
一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求 积公式对 1,x,x2,…,xm 精确成立，而对xm+1不精确成立。
例1 试验证梯形公式具有一次代数精度。
解 对于梯形公式,当f (x) 1时,
左端
b
1dx
b
a, 右端
b
a
(1 1)
b
a, 此时公式精确成立.
a
2
当f (x) x时, 左端 b xdx 1 (b2 a2 ), 右端 b a (a b) b2 a2
a
2
2
2
公式也精确成立.
当f (x) x2时, 左端 b x2dx 1 (b3 a3 ), 右端 b a (a2 b2 ),
a
3
2
此时, 左端 右端,即公式对x2不精确成立.
故由定理1知, 梯形公式的代数精度为一次.
可以证明矩形公式的代数精度也是一次的。
上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公式.
如,对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点xk (k=0,1,…,n,),
xk可以选为等距点,也可以选为非等距点,令公式对f(x)=1,x,…,xn 精
题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需
要求原函数的困难,适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计
算法,便于上机计算。
求积公式（7-1）的截断误差为：
b
n
R( f ) Rn I In
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
Rn也称为积分余项.
k0
1.2 代数精度
数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数 准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分 公式的准确差别,引入代数精度的概念。
(x
xk
)dx
(7- 6) 其中[a,b] 与x有关.
b
n
I f ( x)dx a
Ak f ( xk ) In (7-1)
k0
关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。
定
理 具有n +1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的 2 充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。
定理2说明,当求积公式（7-1）选定求积节点xk后,确定求积系 数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（7-2）或者计算 积分（7-5）,即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数. 由此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于n次.
第七章 数值积分与微分
7-6
例2 确定求积公式
h
I h f (x)dx A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h)
使其具有尽可能高的代数精度。
(7 3)
解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（7-3）的代
数精度为m =2,则当f (x)=1，x，x2时，式（7-3）应准确成立，
n k !(n k )!
nn
(t j)dt
0 j 0
jk
jk
(k 0,1,L , n)
记：Ck(n)
(1)nk nk!(n k)!
nn
(t j)dt
0 j0
(k 0,1, , n) (7 - 7)
jk
n
则Ak
(b
a)C
(n) k
,
于是得求积公式
In (b a)
C (n) k
f
(
y f (x)
也就是说,曲边梯形的面积I 恰好等于
底为b-a, 高为f ()的规则图形—矩形的面
f ()
积(图7-1), f ()为曲边梯形的平均高度,然
而点的具体位置一般是不知道的,因此难 图7-1 a ξ
b
以准确地求出f ()的值。但是,由此可以得
到这样的启发,只要能对平均高度f ()提供
一种近似算法,便可以相应地得到一种数
由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只 能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。
第七章 数值积分与微分
7-8
1.3 插值型求积公式
设给定一组节点a x0 <x1< … < xn-1<xn b，且已知f (x) 在这些节点上的函数值，则可求 得f (x)的拉格朗日插值多项式：
例3
考察求积公式：11
f
(
x )dx
1( 2
f
(
1 )
2
f
(0
)
f
( 1 ))
具有几次代数精度.
解：检查当f (x) 1时,公式左边 1 dx 2右边 1 (1 2 1) 2
1
2
当f (x) x时,左边 1 xdx 0 右边 1 (1 2 0 1) 0
1
2
当f (x) x2时,左边 1 x2dx 2 右边 1 (1 2 0 1) 1
1
tdt
1
0
2
得求积公式：
I1
(b
1
a)
C (1) k
k 0
f
(xk )
b
a 2
[
f
(a)
f
(b)]
T
(7 - 9) 即梯形公式
当n =2时
相应的节点x0
a,
x1
a
2
b
,
x2
b, 按公式(7
7)
:
C (2) 0
(1)2 2 0! 2!
2
(t
1)(t
2)dt
1
0
6
C (2) 1
(1)1 2 1!1!
(k 0,1, , n)
n
A
Bk
1
1/2
11
2
1/6
1 41
3
1/8
1 33 1
4
1/90
7 32 12 32 7
5
1/288 19 75 50 50 75 19
6
1/840 41 216 27 272 27 216 41
7
1/17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751
1
3
2
所以此求积公式具有一次代数精度。
§2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式
本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特 斯（Newton-Cotes）公式。
2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式
设将积分区间[a, b] 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为
值求积公式。
如用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均高度f ()
的近似值,这样可导出求积公式：
b
ba
I a f (x)dx 2 ( f (a) f (b))
梯形公式
取 a b ,
2
I
b a
f
(x)dx
(b
a)
f
a
2
b
中矩形公式
更一般地在区间[a, b] 上适当选取某些点xk (k=0,1,…,n), 然后
确成立,即得：A0 A1 An b a
A0
x0
A1x1
An xn
b2
a2 2
(7 - 2)
A0
x0n
A1 x1n
An xnn
b n1 a n1 n 1
这是关于A0、A1、…、An的线性方程组,系数行列式为范德 蒙行列式,其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。
求解方程组(7-2)确定求积系数Ak,这样所得到的求积 公式(7-1)至少具有n次代数精度.
即有：
02hh(A1A1
A0
A1
A1 )
A1
2h3
3
h2 ( A1
A1 )
A1
h 3
,
A0
4h 3
代回去可得： b f (x)dx h f (h) 4h f (0) h f (h) (7 4)
a
3
3
3
检查（7-4）对 m = 3 是否成立,为此,令 f(x)=x3 代入（7-4）,
xk
)
k 0
(7 - 8)
称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记为N-C公式，
称
C
( k
n
)
为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f
(x) 和积
分区间[a, b] 无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。
表7-1中给了了部分柯特斯系数。
表7-1
柯特斯系数
C
( k
n
)
A Bk
证：(充分性) 设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度,那么, 由于插值基函数 li(x) (i=0,1,…,n)均是次数为n的多项式,故式（7-1） 对li(x)精确成立,即:
由于li (
x
)满足：li (
xk
)
1 0
(k i )
n
(k
i)
所以：
k 0
Akli ( xk
)
Ai
b
故： a li ( x )dx Ai
此时左边
h (h)3 h h3 右边,
3
3
再检查（7-4）对m=4是否成立,令f(x)=x4代入(7-4),此时:
左边 右边 h (h)4 h (h4 ),
3
3
因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.
上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要 求下，利用它可以得出各种求积公式。
2
4
t(t 2)dt
0
6
C (2) 2
(1)1 2 1!1!
xk = a+kh(k=0,1,…,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:
Ak
b
a lk ( x)dx
b a
n
j0 jk
x xj xk x j
dx
(k 0,1,L , n) 引入变换x a th
则有 : Ak h
n n t j
b a (1)nk
dt
0 j0 k j
a
f ( x)dx lim
Max
0 k n
xk
0
k0
f ( xk )xk
其中xk是[a, b] 的每一个分割小区间的长度,它与f (x)无关,去掉
极限,由此得到近似计算公式：I 第七章 数值积分与微分
b
f (x)dx
a
n
f (xk )xk
n
Ak f (7x-3k )
k 0
k 0
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问
数值积分
关于定积分的计算，我们知道，只要求出f (x)的一个原 函数F(x)，就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公 式出定积分值：
b
I f (x)dx F(b) F(a) a
但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往
往会遇到下面情况：
1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试 数据形成的表格或 图形。