高考数学试题汇编解三角形

第五节 解三角形

高考试题

考点一 正弦定理与余弦定理

1.(2013年湖南卷,理3)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若b,则角A 等于( ) (A)

π12

(B)

π6 (C)π4 (D)π3

解析:根据正弦定理sin B,

所以 又△ABC 为锐角三角形, 所以A=

π

3

.故选D. 答案:D

2.(2012年天津卷,理6)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C 等于( ) (A)

725

(B)-

725 (C)±725 (D)2425

解析:由正弦定理得sin sin C B =c b =8

5

, 则5sin C=8sin 2

C , 所以sin

2C (10cos 2

C

-8)=0. 在△ABC 中,只能有10cos 2

C

-8=0, 即cos

2C =45

, 所以cos C=2cos 2

2C -1=725

.故选A. 答案:A

3.(2012年陕西卷,理9)在△ABC 中,角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若a 2

+b 2

=2c 2

,则cos C 的最小值为( )

(C)1

2

(D)-

1

2

解析:由余弦定理得cos C=2222a b c ab +-=22c ab ≥222c a b +=1

2

,

当且仅当a=b,即△ABC 为等腰三角形时取到等号.故选C. 答案:C

4.(2011年辽宁卷,理4)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos 2

则b

a

等于( )

解析:由正弦定理得,sin 2

Asin B+sin Bcos 2

即sin B(sin 2

A+cos 2

故

所以

b

a

=2.故选D. 答案:D

5.(2011年天津卷,理6)如图所示,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C 的值为( )

(A)

33 (B)36 (C)63 (D)66

解析:设BD=a,则由题意可得 BC=2a,AB=AD=

3

2

a, 在△ABD 中,由余弦定理得,

cos A=222

2AB AD BD AB AD +-⋅=222

324322a a a ⨯-⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭

=13

, 所以sin A=21cos A -=

223

, 在△ABC 中,由正弦定理得 sin AB C =sin BC

A

, 所以32sin a C =222

3a , 解得sin C=6

6

.故选D. 答案:D

6.(2013年福建卷,理13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠BAC=

22

3

,AB=32,AD=3,则BD 的长为 .

解析:因为AD ⊥AC, 所以∠BAD=∠BAC-90°,

所以cos ∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin ∠22

在△ABD 中,由余弦定理得,

222cos AB AD AB AD BAD +-⋅∠3. 答案3

7.(2012年北京卷,理11)在△ABC 中,若a=2,b+c=7,cos B=-1

4

,则b= .

解析:由余弦定理b 2

=a 2

+c 2

-2accos B,

得b 2=22+(7-b)2

-2×2×(7-b)×(-14

), 整理得15b=60,即b=4. 答案:4

8.(2012年湖北卷,理11)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .

解析:由已知得a 2

+b 2

-c 2

=-ab,

cos C=2222a b c ab +-=-1

2

,

∴C=

2π3. 答案:

2π3

9.(2012年重庆卷,理13)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=5

13,b=3,则c= .

解析:∵A 、B 、C 为三角形内角且cos A=35,cos B=5

13

,

∴sin A=

45,sin B=12

13

. sin C=sin[π-(A+B)]

=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B =45×513+35×1213 =

5665

. 由正弦定理

sin c C =sin b

B

, 得c=b ×sin sin C B

=3×56

651213=14

5.

答案:

145

10.(2013年湖北卷,理17)在△ABC 中,角A,B,C 对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A 的大小;

(2)若△ABC 的面积求sin Bsin C 的值. 解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1, 得2cos 2

A+3cos A-2=0,

即(2cos A-1)(cos A+2)=0. 解得cos A=

1

2

或cos A=-2(舍去). 因为0

π3

.

(2)由S=

12bcsin A=1

2

bc