复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答

(一)

1.

设z ,求z 及Arcz 。

解:

由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3

Arcz k k ππ=-+=±L 。

2.

设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12

z z 。

解:

由于6412,2i i z e z i e ππ

-==== 所以()6

46

41212222i i i

i

z z e e

e

e π

πππ

π

--===

54()14612

26

11222i

i i i z e e e z e πππππ

+-===。 3.解二项方程44

0,(0)z a a +=>。 解

:1

244

4

(),0,1,2,3k i

i z

a e ae

k ππ

π+====。

4.证明2

2

21212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。

证明:由于22

2

1212122Re()z z z z z z +=++ 2

2

2

12

12122Re()z z z z z z -=+-

所以2

221212

122()z z z z z z ++-=+

其几何意义就是:平行四边形对角线长平方与等于于两边长的与的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3

就是内接于

单位圆

1

=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1

321

===z z z

,知

321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为

3

33

31z z z ==

()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=

21212z z z z ++=

所以, 1212

1-=+z z z z ,

又

)

())((1221221121212

21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-

()322121=+-=z z z z

故 3

21

=-z z ,

同理

3

3231=-=-z z z z ,知

321z z z ∆就是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

6.下列关系表示点z 的轨迹的图形就是什么？它就是不就是区域。 (1) 1212,()z z z z z z -=-≠; 解:点

z 的轨迹就是1

z

与2z 两点连线的中垂线,不就是区域。

(2)4z z ≤-; 解:令z x yi =+

由(4)x yi x yi +≤-+,即2222(4)x y x y +≤-+,得2x ≤ 故点z 的轨迹就是以直线2x =为边界的左半平面(包括直线2x =);不就是区域。

(3)

1

11

z z -<+ 解:令z x yi =+,

由11z z -<+,得22(1)(1)x x -<+,即0x >; 故点

z 的轨迹就是以虚轴为边界的右半平面(不包括虚轴);就是区域。

(4)0arg(1),2Re 34

z z π

<-<≤≤且;

解:令z x yi =+

由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩,得0arg

1423y x x π⎧

<<⎪-⎨⎪≤≤⎩

,即0123y x x <<-⎧⎨

≤≤⎩ 故点

z

的轨迹就是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形(包括直线

2,3x x ==;不包括直线0,1y y x ==-);不就是区域。

(5)2,1z z >>且-3; 解:点z 的轨迹就是以原点为心,2为半径,及以3z =为心,以1为半径的两闭圆外部,就是区

域。

(6)Im 1,2z z ><且; 解:点

z

的轨迹就是位于直线Im 1z =的上方(不包括直线Im 1z =),且在以原点为

心,2为半径的圆内部分(不包括直线圆弧);就是区域。

(7)2,0arg 4

z z π

<<<

且;

解:点

z 的轨迹就是以正实轴、射线arg 4

z π=及圆弧1z =为边界的扇形(不包括边界),

就是区域。 (8)131,2222

i z z i -

>->且 解:令z x yi =+

由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->

⎪⎩

,得2211

()2431()24

x y x y ⎧+->⎪⎪⎨

⎪+->⎪⎩ 故点

z 的轨迹就是两个闭圆2

21131

(),()2424

x

y x y +-=+-=的外部,就是区域。

7.证明:z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+(a 就是非零复常数,C 就是实常数) 证 设直角坐标系的平面方程为

Ax By C +=将

11

Re (),Im ()22x z z z y z z z i

==+==-代入,得

C z B A z B A =-+-)i (21

)i (21

令

)i (21B A a +=

,则)i (21

B A a -=,上式即为

C z a z a =+。

反之:将,z x yi z x yi =+=-,代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有

Ax By C +=;即为一般直线方程。

8.证明:

z 平面上的圆周可以写成

0.Azz z z c ββ+++=

其中A 、C 为实数,0,A β≠为复数,且2

AC β>。

证明:设圆方程为