配方法与放缩法在高考中的应用

～
，
由 ＝ Ｙｎ
的相 互转 化 ． 例 ２ 已知 函数 ＿ ）＝ ｃｓｘ＋ｓ 一 ｃｓ． 厂 （ ２ ｏ２ ｉ ｎ ４ ｏｘ
￣ｌ √鲁可函／ ＝ ｎ ＿ ｎ令数（ ＋ － Ｘ ｌ ， ＿ 一 ）
ｆ （ ）＝１— ￣ ｏｘ ４ － ｓ． ｃ
４ －ｎ ， ￣ ｉ 则 ｓｘ
Ｘ。 ｎ 一 ｎ＜、Ｚ ｉ （Ｉ
．
…
～Ｙ
Fra Baidu bibliotek
点评
１ ３
由不等 式 的 ２边进 行放 缩．
２ ｎ一１ 厂—■ ——— ； Ｔ ｉ ＿ 二
（） １ 由
×
一 ×
３
，
＜ √了× 一 丽 了 ×
，
，
利用 ＜ ２
，１
＜了 ４
，
…
＜
， 得 可
因 此
ｙ【 ， ∈ ） ．
配 方 法 与 放 缩 法 在 高 考 中 的 应 用
●张 宗余
１ 高 考展 望
１ １ 考 点 回顾 ．
谢丽 丽
（ 象山中学 浙江象山 ３５０ ） １７０
２ 典 例 剖析
例 １ 设 函数 ｆ ）＝，ａ２ ｂ ｃ ０＜ 的 （ ／ｘ ＋ ｘ＋ （ ０）
【 Ｔ×
１ ２
一 ×
３ ４
Ｊ＜
２ｎ 一 １ ２
×
－
×
一×
× 丽
１＜
√ ＜ｉ． ｎ
１
丽
‘
・
１ ２・
中 学教 研 （ 学 ） 数
将每一 项分式 都 放 大 ， 得式 子 出 现 有 限式． 个 使 这 技巧在 一个 ｎ项 积式 的不 等 式证 明 中是 比较 常 见
内容之一 ， 以压 轴题 的形式 出现． 常
１２ 命题 走 势 ．
（０９年 江西省数 学 高考 试题 ） ２０
分 析近几 年 的数学高 考试题 可 以发 现 ， 方法 配
分析 设方程 ＿ 厂 ）＝， ２ ｂ ＋ （ ０ 的 （ Ａｘ ＋ ｘ ｃ ａ＜ ）
２个 根分 别 为 ，。 不妨设 ＜ 。 ， （ ） 则
奇 数． ／＝ ｋ＋１ ｋＥＮ ， 设 Ｚ ２ （ ） 则
Ｒ ＝ｂ １＋ｂ ２＋ … ＋ ｂ ｌ＝ ２＋ ４ × ＋ 一 ・一
放缩是 这几 年高 考 中很 常 见 的方 法． 过 求 范 围 ， 通
缩小范 围 ， 而达 到证 明 的 目的． 从
例 ４ 设数 列 ｛ 的前 ｎ项 和 为 ５ ， ０｝ 对任 意 的
变形 （ 大或缩 小 ） 放 缩 得 当 ， 程 简洁 且有 独 到 放 ． 过
之受．
√— 一・
又 由题 意 可得
第ｌ 期
张 宗 余 ， ： 方 法 与放 缩 法 在 高考 中 的应 用 等 配
ｆ
；
（ ０ ９年 广 东省数 学高考试 题 ） ２０
一
１ ） ￣。． ０ ≤４－ ￡ ４２ ＿一 ｂ
上 ， Ｔ
正整数 ｎ 都 有 ０ ， ＝５ ＋１成 立 ， ｂ ｓ 记 ＝
１
一
（ ｎ
（ ） 凡ＥＮ ．
（ ） 数列 ６的通 项公式 ； １求
（ ） ｃ 一ｂ一 （ ２ 记 ＝ｂ ｎ∈Ｎ ， ） 设数 列 ｛ 的 ｃ｝
＿＝ 【） ４ ５卜 ＋２～ ） ｎ × （ １ ＋ ＋ ４ － １
为关 于 ｔ 函数 关 系 式 ， 而化 为 ｔ 的 从 的简单 函数 的
最值 问题 求解．
解 令 ｓ ｘ— ＯＸ＝ ， ｉ ＣＳ 则 ｎ
．
Ａ一 Ｂ ｃ Ｄ ． ． ．３ ． ｛ 一
（ ０ ９年辽 宁省数 学 高考 文科 试题 ） ２０
Ｉ ～ｔ
’
ｓｌ ｎ ｃｏ ｓ ＝ — — 一
， ）＜ ０ ０ （ ）＝ ，
解 （ ｆ＝。 ｓ 予 ４ｓ ＝ １ 一２ｓ ｉ 一。 ）， ｃ ） ＋ｎ ｃ詈
．
一
ｌ＋ ＿ 一 ＿ ‘
３
９
即 ＜ ｎ （ ）成 ．由 ｉ在０ 恒 立又 ，
（ （ ２厂 ）＝ （ｃｓ 一１ ＋（ 一ＣＳ 一 ｃｓ ２２ｏ ） １ Ｏ ） ４ ｏｘ＝
有 Ｒ ≤４ ． ｎ
事 实上 ， 任意 的正 整数 ｋ 有 对 ，
：＋ ４ 寿 ，
５
＋
５
从 ｃ － ＋ ） ＝ 而 ６ ＝ ２ ＝ ＿
垄 ！： 鱼 ：
（６ 一１ （６ ＋ ） １ ） １ ４
８
５
２ ０
＋
８一
一 而
万
又 由６ ＿ ， ｌ ３ ，
・
１ ・ ０
中学教 研 （ 学 ） 数
分析
题 目中涉 及的角 的关 系为
ｓｎ ０ ＋ｓｎ ｏ Ｏ 一２ｃ ｓ ０ ｉ ｉ Ｏｃ ｓ ｏ ｓｎ ０ ＋ ｃ ｓ ０ ｉ２ ｏ
ｔ ２ ＋ ｔｎ ａｎ ０ ａ ０
～ — —
（一 ＋ ＋ ＝ ， 予 （ 詈 ）詈 ）
因此 可将 函数 ） 的表 达式转 化 为
母 同时除 以 ＣＳ ， Ｏ 转化 为 关 于 ｔｎ ａｘ的 函数进 行 求
解． 解 ｓ ｓ ０ ｏ０— ｃｓ０＝ ｉ ０＋ ｉ ｃｓ ２ ｏ ｎ ｎ
ｓｎ ０ ＋ ｓｎ０ ｏ ０ 一Ｃ Ｓ ０ ｉ ｉ ｃｓ Ｏ
—————————＿———— ———一 ＝ ＝
ｉ ＋）（】 ， ｎ 孚∈－ （ ＇
３ ｏ 一４ｃ ｓ 一 １ ＝ ｃ ｓ ｏ
３Ｏ一） ． ÷ Ｃ
由 ｃｓ ｏ ∈［一１ １ ， 得 当 ＣＳ 一１时 ， ］可 ＯＸ＝ ） 得 取
碍
即
、＜， ｊ Ｊ ＜ Ｊ ．
Ｑ＜ ≤ １
＋
最大 ； Ｏ ＝ ） 值６当ＣＸ 寺时 Ｓ 取得最 小值一１ 了．
…
＋
（ 一
） ］ ＞
前ｎ 项和为 ， 求证： 对任意正整数 ｎ 都有 ＜ ； ÷
厶
４ｎ 一 １，
（ ） 数列 ｛ 的前 ／项 和 为 尺 ， ３设 ｂ｝ ７ ， 已知 正实 数 Ａ满 足 ： 对任 意正 整 数 ｎ Ｒ ≤Ａ ， ｎ恒 成 立 ， Ａ 的 求
于是
一
作 为一 种常见 的数学 思想 方法 ， 以 函数 、 常 方程 、 数
列、 三角 、 解析几 何等 知识 点为 载体 ， 体现 了考题 的 综 合性 ， 又考查 了 学生 的综 合 分析 能力 ， 因此 成 为 各 地高考 的一大 热点． 而放 缩法通 常在 解答 题 中出 现， 往往 与数列不 等 式 证 明相 结 合． 数 学解 题 中 在
（求 予的 ； １ ）值 ）
（） ２ 求 ） 的最大 值 和最小 值． （ ０ ０年 北京 市数 学 高考试 题 ） ２１
令 ）０ ｃ ＝ 给 区 （子， ／（ ＝， 。 ，定 间ｏ ） 得ｓ ，则
（ ＜，￣ Ａ ）（詈上 调 减得 ｏ ） Ｓ Ａ 在ｏ ）单 递 ， ，
点 评 配 方 法 在 三 角 函数 运 算 中 出 现 得较 为 频 繁 ， 了常 规 的二 项 完 全 平 方 公 式 的 运 用 ， 要 除 还
注 意 ｓ ａ＋ｃｓ ，ｉａ ｏａ ｓ ａ—ｃ ｓ ｉ ｎ ｏａ ｓ ｃｓ ，ｉ ｎ ｎ ｏａ三 者 之 间 的 相互 转 化． 侈 曲线 Ｃ ： 一 ｎ ＋Ｙ ： （ ４ ３ ２ ． ０ ｎ＝１ ２ … ）． ，，
又。， 一 一 × ｘ × ＜ ・・ ％ 孚 … … ＝
√ ｌ × — √ ， ／ × …×ｎ ｌ ／ ＿ ３ ２ 『 １
所 以 ・ … ・ 一 ，・ ・ ＜ ｉ－ ｎ － Ｘ
。
．
划 思 想解题 的 能力 ； 重 于数 学 思 想 的 考 查 ， 题 侧 解 的难度 较 大． 变 形 中 ， 密 切 关 注 ＋ ， 在 要
因为 所 有 点 （ ，（ ） （ ， ∈Ｄ） 成 一 个 正 方 形 区 Ｓｆ ｔ ） ｓ ｔ 构 域 ， 以有 关 系式 所
（） １解
由题意 得 ； ） ， （ １ ）＝ ．
（ ） 明 因 为 ２证
√ ＝ — 互 ， ／ － Ｉ ＝ ｘ ：√ 旦 ｌｚ ／ 。 ・丁
的． 若是 对 ｔ项 和式 的不 等式 进 行 证 明 ， 往 往 可 ＇ ｌ 则 利用放 大或缩 小分 式 的分子 或分母 进行放 缩． （） ２ 利用 构 造 函数 、 函数 单 调 进行 放 缩 ， 种 这
一
（） ３ 由第 （ ） １ 小题知
：＋ ４ 寿 ‘
方面 ， 已知 Ｒ ≤Ａ 恒 成立 ， 凡为大 于 １的 取
解 得
故 选 Ｂ ．
ａ＝ 一 （ ０ ． ４ ａ＜ ）
点评 配方 法 最 基 本 的依 据 是 二 项 完 全平 方 公式（ ａ＋ｂ ＝ａ ） ＋２ ｂ＋ｂ ， 这 个 公 式 灵 活 运 ａ 将 用， 可得 到各 种基 本 配方 形式 ， 如 ： 譬
ａ ＋ｂ ＝（ ａ＋ｂ 一 ａ ） ２ ｂ＝（ ａ—ｂ ＋ ａ ． ） ２ｂ 本 题 综合 考查 用 二 次 函数 配 方 法 、 等 式 、 性 规 不 线
注意 到 ｓ ｘ—ＣＳ ｉ ｎ ＯＸ和 ｓ ｘ ｏｘ的关 系 ， ｉ ｃｓ ｎ
从而 厂 ） （ 的最 小值 为 一１ 故选 Ｃ ． ．
例 ８ 已 知 ｔ Ｏ＝２ 则 ｓ ａ ｎ ， ｉ ０＋ｓ ０ｏ０— ｎ ｉ ｃｓ ｎ
２ ｏ ｃ ｓ０＝
可采 用 换 元 法． ｓ ｘ—ＣＳ 令 ｉ ｎ ＯＸ＝ｔ将 ｓ ｘ ｏｘ转 化 ， ｉ ｃｓ ｎ
｛ 【
１ ２
ｃ
，
号 ；
涉及 ２个数 或式 的 大小 比较 、 等 式 证 明 时 ， 了 不 为
达到求 证 （ ） 目的 ， 对 给 出 的式 子 进 行 适 当 解 的 常
从而 ｌ ～２： ／ 】 ）一ｘ ・ ＝ ￣（ ＋２ ４１ ｌ ｌ ２
从点 Ｐ（一１０） 曲线 Ｃ ， 向 引斜 率 为 ｋ （ ＞０ 的 ｋ ） 切线 ２， 点 为 Ｐ （ ， ． 切 Ｙ ） （） １ 求数 列 ｛ ｝ ｛ 的通项 公式 ； 与 Ｙ｝
（） 明： ２证
Ｘ３ ‘ Ｘ ５＊＂ Ｘ２ ＊ ｎ
３
２ 一 １、 ０
Ａ ≥Ｒ ４ ｎ ＞ ｎ一１ ，
即 （ ４ 凡＞ 一１对 一切 大 于 １的 奇数 恒成 立． Ａ一 ）
因此 Ａ≥４ 否则 （ ４ ｎ＞ 一１只对 满 足 ｎ＜ ， Ａ一 ）
‘ 一 ＾ ＋
…
＝
．
的正奇 数 ｎ成立 ， 产生矛 盾．
另 一方 面 ， Ａ＝ 当 ４时 ， 一 切 的 正 整 数 ｎ都 对
而
＝ ４
＜
３．
当 ｎ为偶数 时 ， ／＝２ ｍ∈Ｎ ， 设 ７ ｍ（ ， ） 则
Ｒ ＝（ １ ｂ）＋ ｂ ＋ ４ ＋… ＋（２一 ＋ ２） ｂ ＋ ２ （３ ｂ） ６ １ ｂｍ ＜ ｍ
定义域 为 Ｄ， 所有 点 （ ， ｔ ） ｓ ｔ 若 ｓ ） （ ，∈Ｄ） 成 一 个 构 正方形 区域 ， ｎ的值为 则 （ ）
Ａ． 一２ Ｂ ４ ．一 Ｃ ８ ．一 Ｄ 不能 确定 ．
配 方 法与 放缩 法 都是 数 学 解 题过 程 中 常用 的
方 法． ２种方 法都 强 调 对 数 学式 子 变 形 ， 有一 这 具 定 的技巧 性． 数列 不等 式是 近几 年高考 重点 考查 的
－
２
一
一
一
ｔｎ ０ ＋ １ ａ ２
—
璺＋ 一 ．２－ ２—４
４ ＋１
— ５‘
ｆ）２ｓ ＋ 一ｓ ＋ ＝ （＝ｏ （ ｘ ｃ詈 ） 詈 ） （
ｃ。ｓ
例 ９ 求 Ｙ＝ ＿
分析
Ｓ ｎｘ — ＣＯＳ 十 上 １ Ｘ
（ ＜叮） ｏ＜ Ｔ 的值域．
（＋ ， 詈 ）
（ ）
分析
本题 应先化 简再 求值． 注意 到 函数 的表
从 而 由 ０＜ ＜叮， ｒ得
＝
Ｉ 一￡
达式 是 关 于 ｓ ｘ与 ＣＳ： ｉ ｎ ＯＸ的二 次 齐 次 式 ， 可把 分 母
ｙ＝
＝
．
“ ” 过 ｌ ｉ ＋ＣＳ 进 行代 换 ， 后分 子与分 Ｉ通 ＝ｓ ｎ Ｏ 然