一次函数分类讨论专题教材
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分类讨论思想的应用
如图，矩形ABCD中， AB=3，BC=4，点E是BC 边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点 B′处．当△CEB′为直角三角 形时，BE的长为______．
当△CEB′为直角三角形时，有三种情况
①∠EB′C=90° ②∠B′CE=90° ③∠B′EC=90°
A
D ①当∠EB′C=90°时 如图1
-5=-3k+b
-5 =6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或 y=-
1 3
x-3
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 x+4与x轴交于
点A，与y轴交于点B,
3
求 :(1)点A、B的坐标， (2)点P（t，0）是x轴上的
一个动点。当t取何值时， △ABP是等腰三角形？
y
直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△ABO
的面积分为2:1两部分，求直线L的解析式。
y
y=
4 3
x+4
B1
CE
C
A F0
x
我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预 订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标 准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人 （含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费 ；乙家是45人（含45人） 以内的按标准收费，超过45人的，超出部 分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠 些？
BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通
过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得
BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的
条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证
明．
A
Q
A
Q P
B
C
图①
P
B
C
图②
（2010中考）22.（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折 叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG 延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．
解：设总人数是x， 当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜； 当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35）， 即y甲=108x+420； y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080， 当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55； 当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55； 当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55； 总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x＜55时， 选择甲宾馆比较便宜； 当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．
与一次函数有关的分类
如图，边长为2的正方形
ABCD中，顶点A的坐标是
y
（0，2）.一次函数y＝x＋t的
图象l随t的不同取值变化时， D 正方形中位于l的右下方部分
的图形面积为S．写出S与t的 A
函数关系式．
O
Cl B
x
t 0 y
D
Cl
A
B
t2 y
D A
O
x
0t 2 S 1 t2. 2
O
2t 4
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想
引起分类讨论的原因主要有：
1、涉及的数学概念是分类进行的 2、涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或 者条件限制，或者是分类给出的 3、解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围 进行讨论 4、某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不 确定的结论等
进行分类讨论时， 我们要遵循的原则是：“不漏不重”。
基本方法和步骤：
确定讨论对象； 确定分类标准； 对所分类逐步进行讨论； 归纳小结
与一次函数有关的分类
1、已知函数y=（3-a)x+1-2a. (1)当a取何值时，这个函数是一次函数？ (2)当a取何值时，这个函数是正比例函数？
2. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6,相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
y=
4 3
x+4
B
A0
x
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 x+4与x轴交于
点A，与y轴交于点B,
3
（3）点P是坐标轴上的一 个点，以AB为一边作等腰 三角形△ABP，满足条件的 点P有几个？
y
B
y= x+4 4 3
A0
x
在点平A，面与直y角轴坐交标于系点中B，,求已点知A直、线B的y=坐34标x，+4与x轴交于
t4
l C
B
x
S 4 1 (4 t)2 2
与一次函数有关的分类
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
C 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A
A 20°
50° B
B 2、对∠B进行讨论பைடு நூலகம்
（3）在坐标平面内确定一 点P（t，0),使以点A、B、 O、P为顶点的四边形为平 P2 行四边形
y
y=
4 3
x+4
B
P1
A0
x
P3
2的、面若积直是线6，y=求34b的x+值b 。与两坐标轴围成的三角形
y
y=
4 3
x+4
B1
A0
x
B2
y=
4 3
x-4
3、若直线 y=
4 3
x+4
与两坐标轴交于点A、B，
3、对∠C进行讨论
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
BA
50°
50°
B
(2008中考）18.（9分）复习“全等三角形”的知识时，
老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，
AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转
至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接
此时点A、B′、C共线， B'
3
∴BE=
2
B E
C
②当∠B′CE=90°时，不存在。
B''
A
D ③当∠B′EC=90°时，如图2
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3
．
综上所述，BE的长为 3 或3．
2
B
C E
故答案为： 3 或3．
2
分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，将数学 对象区分为不同种类的思想方法．在解答问题时，需要 对各种情况加以分类，并逐类求解，再加以综合。
如图，矩形ABCD中， AB=3，BC=4，点E是BC 边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点 B′处．当△CEB′为直角三角 形时，BE的长为______．
当△CEB′为直角三角形时，有三种情况
①∠EB′C=90° ②∠B′CE=90° ③∠B′EC=90°
A
D ①当∠EB′C=90°时 如图1
-5=-3k+b
-5 =6k+b
-2=6k+b
-2=-3k+b
解析式为
Y=
1 3
x-4,
或 y=-
1 3
x-3
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 x+4与x轴交于
点A，与y轴交于点B,
3
求 :(1)点A、B的坐标， (2)点P（t，0）是x轴上的
一个动点。当t取何值时， △ABP是等腰三角形？
y
直线L经过原点，与线段AB交于点C，把△ABO
的面积分为2:1两部分，求直线L的解析式。
y
y=
4 3
x+4
B1
CE
C
A F0
x
我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习,预 订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标 准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人 （含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费 ；乙家是45人（含45人） 以内的按标准收费，超过45人的，超出部 分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠 些？
BQ、CP，则BQ=CP．” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通
过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得
BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的
条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证
明．
A
Q
A
Q P
B
C
图①
P
B
C
图②
（2010中考）22.（1）操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折 叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG 延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求 的值； （3）类比探求 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求 的值．
解：设总人数是x， 当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜； 当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35）， 即y甲=108x+420； y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080， 当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55； 当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55； 当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55； 总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的； 当35＜x＜55时， 选择甲宾馆比较便宜； 当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．
与一次函数有关的分类
如图，边长为2的正方形
ABCD中，顶点A的坐标是
y
（0，2）.一次函数y＝x＋t的
图象l随t的不同取值变化时， D 正方形中位于l的右下方部分
的图形面积为S．写出S与t的 A
函数关系式．
O
Cl B
x
t 0 y
D
Cl
A
B
t2 y
D A
O
x
0t 2 S 1 t2. 2
O
2t 4
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想
引起分类讨论的原因主要有：
1、涉及的数学概念是分类进行的 2、涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或 者条件限制，或者是分类给出的 3、解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围 进行讨论 4、某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不 确定的结论等
进行分类讨论时， 我们要遵循的原则是：“不漏不重”。
基本方法和步骤：
确定讨论对象； 确定分类标准； 对所分类逐步进行讨论； 归纳小结
与一次函数有关的分类
1、已知函数y=（3-a)x+1-2a. (1)当a取何值时，这个函数是一次函数？ (2)当a取何值时，这个函数是正比例函数？
2. 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6,相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式 。
y=
4 3
x+4
B
A0
x
在平面直角坐标系中，已知直线y= 4 x+4与x轴交于
点A，与y轴交于点B,
3
（3）点P是坐标轴上的一 个点，以AB为一边作等腰 三角形△ABP，满足条件的 点P有几个？
y
B
y= x+4 4 3
A0
x
在点平A，面与直y角轴坐交标于系点中B，,求已点知A直、线B的y=坐34标x，+4与x轴交于
t4
l C
B
x
S 4 1 (4 t)2 2
与一次函数有关的分类
在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！
A 110°
B 20°
50° C
（分类讨论）
1、对∠A进行讨论
C 110°
C
20°
20°
A C
20° 20°
A C
80°
20°
80°
A
A 20°
50° B
B 2、对∠B进行讨论பைடு நூலகம்
（3）在坐标平面内确定一 点P（t，0),使以点A、B、 O、P为顶点的四边形为平 P2 行四边形
y
y=
4 3
x+4
B
P1
A0
x
P3
2的、面若积直是线6，y=求34b的x+值b 。与两坐标轴围成的三角形
y
y=
4 3
x+4
B1
A0
x
B2
y=
4 3
x-4
3、若直线 y=
4 3
x+4
与两坐标轴交于点A、B，
3、对∠C进行讨论
B A
C
65° 65° 50°
BA C
C
110° 35°
35°
B
BA
50°
50°
B
(2008中考）18.（9分）复习“全等三角形”的知识时，
老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，
AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转
至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接
此时点A、B′、C共线， B'
3
∴BE=
2
B E
C
②当∠B′CE=90°时，不存在。
B''
A
D ③当∠B′EC=90°时，如图2
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3
．
综上所述，BE的长为 3 或3．
2
B
C E
故答案为： 3 或3．
2
分类是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，将数学 对象区分为不同种类的思想方法．在解答问题时，需要 对各种情况加以分类，并逐类求解，再加以综合。