参数方程和极坐标系知识点与例题(整理过的)

J3参数方程和极坐标系

一、 知识要点

（一）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩

⎨⎧==)()

(t f y t f x

并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：

α

α

sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）

其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．

根据t 的几何意义，有以下结论． ○

1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝

B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于

2

B

A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θ

θ

sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）

3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：

θ

θsin cos b y a x == （θ为参数）（或

θ

θ

sin cos a y b x ==）

中心在点（x 0,y 0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,

cos 00⎩

⎨

⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

θθtg sec b y a x ==（θ为参数）（或 θ

θec a y b x s tg ==）

5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：

pt

y pt x 222== （t 为参数，p ＞0）

直线的参数方程和参数的几何意义

过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）． J3.2极坐标系

1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方

向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，

θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任

意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对

应的．即一个点的极坐标是不惟一的．

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：

⑴

0ϕθ=

⑵θ

ρcos a

=

⑶θ

ρcos a

-= ⑷θρsin a =

⑸θ

ρsin a

-=

⑹)

cos(ϕθρ-=

a

ϕ

θ

=

θ

ρcos a =

θ

ρcos a -

=

θ

ρsin a

=

图4

ρsin a -

=图5

)

cos(ϕθρ-=

a

图1

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ：

⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a

5、极坐标与直角坐标互化公式：

x

⎩

（直极互化 图）θ

ρcos 2a =

图2

θ

ρsin 2a =图4

θ

ρsin 2

a -=图5θ

ρcos 2a -=a

=ρ图1

)

cos(2ϕθρ-=a 图6

例题（j3.1参数方程）

例1.讨论下列问题：

1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ，以分点M （x ，y ）分21M M 所成的比λ为参数，写出参数方程。

2、直线⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233(t 为参数)的倾斜角是

3、方程⎩

⎨⎧+=+-=αα

sin 3cos 1t y t x （t 为非零常数，α为参数）表示的曲线是 ( )

4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θ

θsin 4cos 5y x （θ为参数），则椭圆上一点 P (25

，32-)的离心角可以是

A ．

3

π B ．32π C ．34π D ．35π

例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩

⎪

⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程．

例3. 将下列数方程化成普通方程．

①⎩⎨⎧==t y t x 222，②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ，③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t

y t t x ，④

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ，⑤⎩⎨

⎧+=+-=11mx y my x ． ○

6)0,(.

sin ,

cos >>⎩⎨⎧==b a b y a x 为参数ααα ○7⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x

例4. 直线3x －2y ＋6=0，令y = tx ＋6（t 为参数）．求直线的参数方程．