晶体的宏观对称性

' ' ' ' Ex Ex xy xz Ex ' ' ' ' ' yy yz E y = E y ' A E y ' ' ' ' E zy zz E E z z z
—— 三维情况下，正交变换的表示
' x a11 x y y ' a21 z z' a 31
a12 a22 a32
a13 x a23 y z a33
·
3a a 3a a a1 i j , a2 i j , a3 ck 2 2 2 2
试求1.倒格子基矢；2. 晶面簇（210）的面间距。
4. 对于立方晶格，密勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的两个平面 之间的夹角余弦为
cos
宏观对称性与物理性质
晶体在几何外形上表现出明显的对称性， 对称性的性质也会在物理性质上得以体现。 介电常数表示为二阶张量 ( , x, y, z) 电位移
☆对于立方对称的晶体，其为对角张量
0 , 立方对称
因此，介电常数可看作一个简单的标量
D 0E
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
4 5 , ,, , 1) 绕中心轴线转动 3 3 3 3
2) 绕对棱中点连线转动
2
—— 5个

—— 3个
3) 绕相对面中心连线转动 —— 3个 4) 不变操作 —— 1个
5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
对称素
• 对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明 了地概括了一个物体的对称性。 • n重旋转轴：一个物体绕某一个转轴2π/n以及它的倍数不变 时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。 • n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2π/n加上中心反 演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n 重旋转轴，记作 。
' Dx xx Dx ' 左边：D ' = Dy AD A D A yx y D Dz' z zx ' xx ' ' 右边：D yx ' zx
xy xz Ex Ex yy yz E A y Ey E E zy zz z z
3.
对称中心与反演操作：若物体中存在一点，使得物体中 任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使 物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心i。 晶体中最多可有一个对称中心。
i
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作， 即旋转与反演的乘积。反轴写为In。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
n
例1： 立方体
3 ) 为4重轴，计为4 立方轴 ( , , 2 2
同时也是4重旋转－反演轴，计为 4 面对角线 ( )为2重轴，计为2 同时也是2重旋转－反演轴，计为 2

2 4 , ) 为3重轴，计为3 体对角线轴 ( 3 3
同时也是3重旋转－反演轴，计为 3
例2： 正四面体
立方轴是4重旋转－反演轴 —— 不是4重轴
设对称操作对应的正交变换 且有
A A
1
T
a11 A a12 a 13
a12 a22 a13
a13 a23 a33
11 12 介电常数 21 22 31 32
13 23 33
' A =A 可得 ' =A A-1
例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明
设对称操作对应的正交变换 且有
A A

3 ,, 2 2
—— 9个对称操作
2) 绕6条面对角线轴转动

—— 共有6个对称操作
3) 绕4个立方体对角线
轴转动 2 , 4
3
3
—— 8个对称操作 4) 不动操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个
晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分， 前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的 对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。
主要内容：
1. 宏观对称元素
2.宏观对称性的数学描述 3.三种几何体的对称操作
4. 群/对称操作群
5.宏观对称性与物理性质
• 对称是指物体相同部分作有规律的重复。 • 不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复 原的操作叫对称操作。 • 对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
例1：正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合 以普通乘法为运算法则，1为单位元素，x的逆为1/x。
例2：整数群 —— 所有整数的集合 以加法为运算法则。 注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义， 其运算法则为连续操作。
—— 在坐标变换下来自百度文库
' AA
1
原坐标系中： Dx xx D = Dy yx D z zx
新坐标系中：
新坐标系中：
xy xz Ex yy yz E y E zy zz z
m 58.46 *10 -3 kg/mol
于是得到
1mol 26 9 . 7 * 10 kg 23 6.02 *10
Zm 4 * 9.7 *1026 a 17.9 *1029 (m3 ) 3 2.167*10
3
a 5.63*1010 (m) 0.563(nm)
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
(3)面对角线C2： 6个2度轴；
3个立方轴； 4个3度轴；
宏观对称性的数学描述
•各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作 •保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。 •概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性
—— 其中矩阵是正交矩阵
• 绕z轴转角的正交矩阵 矩阵行列式等于＋1 • 中心反演的正交矩阵 矩阵行列式等于－1
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 1
• 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
h1h2 k1k2 l1l2
2 2 2 h12 k12 l12 h2 k2 l2
【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度 是2.167*103kg· m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。 【解】固体密度ρ =Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分 子的质量。 每个分子的质量m为
例2 正四面体的对称操作
四个原子位于正四面 体的四个顶角上，正
四面体的对称操作包
含在立方体操作之中
1) 绕三个立方轴转动

—— 共有3个对称操作
2) 绕4个立方体对角线轴
2 4 转动 , 3 3
—— 8个对称操作
1 0 0 3) 不动操作 0 1 0 0 0 1
S’
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3
表示为 C BA —— 群的封闭性 可以证明
A( BC) ( AB)C
—— 满足结合律 S’
1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是 2.167*103kg m-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。 2. 硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为a。画出（110）面 二维格子的原胞，并给出它的基矢。 3. 对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为
1i
1 2 1
2m
1
3
3 3i
5
4 2
2
1 6
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
A C H E
7
3
4
1
3
正四面体既无四
1 2
2
D
4
4
度轴也无对称心
D
A
C
B
B
G
G F
F E
H
4. 反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演 的乘积。反轴写为In。
—— 1个对称操作
注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的
3 , 4) 绕三个立方轴转动 加中心反演 2 2
—— 6个对称操作 5) 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演

—— 6个对称操作
正四面体的对称操作共有24 个，包含在正方体中。
例3 正六角柱的对称操作
面对角线是2重旋转－反演轴
—— 不是2重轴
体对角线轴是3重轴
—— 不是3重旋转－反演轴
对称操作群
群：代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列 性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 —— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
1. 旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度 使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0°除外）称 为基准角α；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n， n=360 °/ α； 旋转轴的符号为Cn； 晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。
2.
镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体 平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作； 反映操作凭借的平面称为反映面或镜面σ；晶体中可存 在一个或多个镜面。
5. 恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） (2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反演：i。
' ' Dx xx ' ' D ' = Dy yx ' Dz' zx
' ' ' Ex xy xz ' ' ' yy yz E y ' ' ' zy zz E z
x " r cos( ) r cos cos r sin sin x 'cos y 'sin y " r sin( ) r sin cos r cos sin x 'sin y 'cos
对称操作 ：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作 物体的对称操作越多，其对称性越高 例1： 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动
一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群
1. 单位元素 —— 不动操作 2. 任意元素的逆元素 —— 绕转轴角度，其逆操作为绕转 轴角度－ ；中心反演的逆操作仍是中心反演；
3.连续进行A和B操作
—— 相当于C操作
A 操作 —— 绕OA轴转动/2 B 操作 —— 绕OC轴转动/2
上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点 —— 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3