平行关系课件

则这两个平面平行．
用符号表示为：aβ，bβ，a∩b＝P， a∥α，b∥α ⇒
α∥β.
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第七章
立体几何
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(3)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线
平行． . a∥b
用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒
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1．两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是( A．a∥α C．a与α不相交 答案： C B．a与α相交 D．aα
化．
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如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1 ，D是BC上一点，且A1B∥平面
AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明： 连接A1C交AC1于点E， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点，连接ED， ∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内 的任一直线平行于另一平面．
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如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是DD′、DB的中点，
求证：EF∥平面ABC′D′. 证明： 如图所示，连接D′B. 在△DD′B中，E、F分别是DD′、DB的中点，∴EF∥D′B. 又∵D′B平面ABC′D′，EF ∴EF∥平面ABC′D′. 平面ABC′D′，
∴MN∥平面 BCD.
答案： 平行
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5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、
C作一截面，则截面的面积为________．
解析： 设截面与 AB 的交点为 F， 由题意可知截面 EFCC1 为一矩形， 且 EC1＝
a2 5 ＝ a，C1C＝a. a＋2 2
证明： 如图，连接AC，设AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴MO∥PA. 又∵MO平面BDM、PA⃘平面BDM， ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
∴AP∥GH.
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【变式训练】 2.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，
点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平
面AEC？证明你的结论？
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解析： 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.① 由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点． 连结BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE， 所以BM∥OE.② 由①、②知，平面BFM∥平面AEC. 又BF平面BFM， 所以BF∥平面AEC.
(1)求证：EG∥平面BB1D1D；
(2)求证：平面BDF∥平面B1D1H. 证明： (1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证四边形BEGO为
平行四边形，故OB∥GE， 由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
(2)由正方体得BD∥B1D1.如图，连结HB、D1F，
易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.
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【变式训练】
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC
＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证： (1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1. 证明： (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝
4，AB＝5，∴AC⊥BC. 又AC⊥CC1，∵BC∩CC1＝C，
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(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平
面与此平面的交线与该直线 平行．
用符号表示为：a∥α，aβ，β∩α＝l⇒ 2．平面与平面平行的判定与性质 (1)定义：如果平面α与平面β 记作 α∥β .
a∥l
.
无 公共点，则平面α与平面β平行，
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行 ，
PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥E－ABC的体积V. 【规范解答】 (1)证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC.2分 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∴EF∥AD.4分
又∵AD平面PAD，EF⃘平面PAD，
【阅后报告】 本题考查了线面的平行及体积计算，第(1)问利用线 线平行转化为线面平行，而学生易忽略 AD 平面 PAD，EF⃘ 这一条件导致失分．该题体现了转化思想． 平面 PAD
又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
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面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面 平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点， 灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化．
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AM AN 4．如图，在空间四边形 ABCD 中，M∈AB，N∈AD，若 ＝ ， MB ND 则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________．
AM AN 解析： 在平面 ABD 中， ＝ ， MB ND ∴MN∥BD. 又 MN⃘ 平面 BCD，BD 平面 BCD，
∴A1B∥ED.
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∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点． 又∵D1是B1C1的中点， ∴BD1∥C1D，A1D1∥AD， 又A1D1∩BD1＝D1， ∴平面A1BD1∥平面AC1D.
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【变式训练】
3.如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD－
A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．
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(1)当点 S 在 α 与 β 之间时，如图(1)所示．∵AB 与 CD 相
SA SC SA SC ＝ ，即 ＝ ， SB SD SA＋SB CD 8 SC ＝ ，解得 SC＝16. 8＋9 34
图(1) 立体几何
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(2)当点 S 不在 α 与 β 之间时，如图(2)所示． 由①知 AC∥BD， SA SC 8 SC 则有 ＝ ，即 ＝ ， SB SD 9 SC＋34 解得 SC＝272.
答案： D
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3．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析： 的直线．
)
因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件
答案： D
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从近两年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平
面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，
难度为中等偏高；本节主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面 ⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能 力．
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(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
3．线面平行和面面平行的判定和性质
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4．要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题．对此需强调两点：
第一，辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅 助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断， 否则谬误难免．
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【变式训练】
4.α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点
S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34. (1)当S在α，β之间时，CS的长度是多少？ (2)当S不在α，β之间时，CS的长度是多少？
解析： 交于 S， ∴可确定平面 γ，α∩γ＝AC，β∩γ＝BD， ∵α∥β，∴AC∥BD，① 则 ∴
图(2)
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1．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线 和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一 条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论． 2．以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利
用转化和降维的思想方法求解其他几何参量．
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转
化思想在立体几何中，贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面
问题．
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如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，
M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
∴EF∥平面PAD.6分
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(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA.8 分 2 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90° ，BP＝2， ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ 2 .10 分 2
1 1 ∴S△ABC＝ AB· BC＝ × 2×2＝ 2， 2 2 1 1 2 1 ∴VE－ABC＝ S△ABC· EG＝ × 2× ＝ .12 分 3 3 2 3
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证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转
)
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2．若直线m面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的 ( A．充分不必要条件 C．充要条件 解析： B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
∵l∥α时l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平
行，有可能lα，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
2
∴截面面积为 EC1· 1C＝ C
答案： 5 2 a 2
5 2 a. 2
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判定直线与平面平行的三种方法 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的
第3课时 平行关系
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1．直线与平面平行的判定与性质 (1)定义：如果直线a与平面α 记作 a∥α . 无 公共点，则直线a与平面α平行，
(2)判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行 ，则该直线与此平
面平行．
用符号表示为：a α，bα，且 a∥b ⇒a∥α.
∴AC⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1.
∴AC⊥BC1.
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(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
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证明线线平行常用方法 (1)利用定义：证明两线共面且无公共点； (2)利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；
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如图所示，平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，点 E、F 分别在 线段 AB、CD 上，且 AE CF ＝ ，求证：EF∥平面 β. EB FD
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证明： 当 AB 和 CD 在同一平面内时， α∥β 可知 AC∥BD， 由 ABDC 是梯形或平行四边形． 由 AE CF ＝ ，得 EF∥BD.又 BD β，所以 EF∥β. EB FD
当 AB 和 CD 异面时，作 AH∥CD 交 β 于 H，则 AHDC 是平行四边 形，作 FG∥DH 交 AH 于 G，连接 EG， CF AG AE CF 于是 ＝ .因为 ＝ ， FD GH EB FD
所以
AE AG ＝ ，所以 EG∥BH， EB GH
又 BH β，所以 EG∥β， 又 FG∥DH，DH β，所以 FG∥β. 所以平面 EFG∥β，而 EF 平面 EFG， 所以 EF∥平面 β.