平行关系课件
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平行线的性质ppt课件
(3) 移： 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
直线与平面平行ppt课件
结
③由性质定理列条件，下结论。
求证：如果一条直线与一个平面平行，那么夹在这条直线和这个 平面间的平行线段相等。
已知：AB∥α, AC∥BD, AC∩α=C, BD∩α=D.
求证: AC = BD.
A
B
证明：∵AC∥BD
∴A,B,D,C四点在同一个平面内. 连接CD，
∵AB∥α，AB⊂面ABDC，
面ABDC∩α=CD
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°
C C
A
A
D
B(D)
B
解：选D.将上面的展开图还原成正方体，
点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，
从而△ABC是等边三角形.所以选D.
利用直线和平面平行的性质定理解题的步骤：
找
①找一个与已知平面相交且过该直线的平面；
定
②确定两平面的交线；
<m>
<m>
<m>
<m>
</m>
合作
应用
竞技
探究1. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线有怎样的位置关系？
a
a
平行
异面
探究2. 如果一条直线a与平面α 平行，那么α 内的直线满足什么条件，才能
与直线a平行呢？
已知a∥α，a⊂β，α∩β = b. 求证：a∥b.
证明：∵ α∩β = b
∴ b⊂α
β
a
∵ a∥α
∴ a与b不相交
又a⊂β,b⊂β ∴ a与b不异面
b
α
∴ a∥b .
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与已知平面相交， 那么该直线与交线平行。
空间向量与平行关系 课件
[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，则可求得
图5
M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)，
x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
[点评] 求平面法向量的方法与步骤： (1)选向量 求平面的法向量时，要选取两 相交向量A→C、A→B. (2)设坐标 设平面法向量的坐标为 n＝ (x，y，z)．
图 11
解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
法三：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12D→A－12D→1D
＝12(D→B＋B→A)－12(D→1A1＋A→1D)
＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D
＝12D→B＋12D→A1＋12(B→A－D→A)
＝12D→B＋12D→A1＋12B→D
＝12D→A1
＋
→ 0DB.
即M→N 可用D→A1 与D→B线性表示 ， 故M→N 与D→A1 、D→B是共面向量 ． 又 MN⊄平面 A1BD， DA1，DB⊂平面 A1BD，且 DA1∩DB＝D， ∴MN∥平面 A1BD.
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
平行线的性质 课件(共22张PPT)
3
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）,
∵∠1=∠3（对顶角相等）,
∴∠1=∠2（等量代换）.
你发现了什么？
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简写成：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
如图，直线a∥b,直线a、b被直线c所截
试一试
翻开你的数学练习横格本，每一页上都有许多如图所示的互 相平行的横线条，随意画一条斜线与这些横线条相交， 找出其中 任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角，你有什么发现？
∠1＝∠2
那么，一般情况下，如图，如果直线a与直线b平行，直线l与 直线a、b分别交于点O和点P，其中的同位角∠1与∠2也必定相等吗？
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
课堂小结
知识点 平行线的性质
1.两直线平行,同位角 相等 . 2.两直线平行,内错角 相等 . 3.两直线平行,同旁内角 互补 .
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度？为什么？
(3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度？为什么？B
D
解：（1）∠2=110o 理由：两直线平行，内错角相等；
（2）∠3=110o 理由：两直线平行,同位角相等；
（3）∠4=70o 理由：两直线平行,同旁内角互补.
C 2E 43
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( B )
例3 将如左图所示的方格图中的图形向右平行移动4格，再向上 平行移动3格，画出平行移动后的图形.
两条直线平行ppt课件
例2 求过点A(－3,4)，且与直线l：3x－4y＋29＝0平行的直线方程.
方法二 已知直线l的一个法向量n＝(3，－4)，所求直线平行于l，因 而有同样的法向量n＝(3，－4)，故可设其一般式方程为3x－4y＋C＝0. 将点A(－3,4)的坐标代入上述方程得3×(－3)－4×4＋C＝0，解得C＝ 25. 因此，所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.
练习
1.已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为
√
练习
2.若直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是
A.1
√B.－2
C.1或－2
D.－1或2
由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1. 当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
练习 3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值
√为
A.－8
B.0
C.2
D.10
经检验，直线AB与2x＋y－1＝0不重合，符合题意.
练习 4.过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是
A.2x＋y＋5＝0
√C.x＋2y－5＝0
B.2x＋y－5＝0 D.x＋2y＋5＝0
由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2). 因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5， 故该直线方程为x＋2y－5＝0.
(1)如果直线l1，l2的斜率都存在
直线化为斜截式方程l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，
k1=k2 b1= b2 l1与l2平行
k1=k2 b1 b2 l1与l2重合
k1 k2
l1与l2相交
例1 已知直线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－10＝0，试判断直线l1与l2是否平行. 将直线l1：3x＋2y－6＝0化为斜截式，
直线与平面平行判定公开课课件
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
第9页/共12页
已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
第2页/共12页
直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
第9页/共12页
已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
第2页/共12页
直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
《空间图形平行关系》课件
电子产品的设计
在电子产品设计中，空间图形平 行关系的应用也十分重要。例如 ，在电路板的设计中，平行关系 的运用可以确保电子元件的精确 安装和信号传输的稳定性。
物理学中的应用
力学研究
在物理学中，空间图形平行关系在力学研究中具有重要意义。例如，在研究物 体的运动规律时，平行关系的运用可以帮助我们更好地理解力和运动的关系， 探究物体运动的规律和原理。
平行直线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
01
空间图形平行关系 的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计中的空间布局
空间图形平行关系在建筑设计中有着广泛的应用，如建筑物的平面布局、立面设计和室内装饰等。通过合理运用平行 关系，可以创造出舒适、美观和功能合理的建筑空间。
建筑结构的稳定性
电磁学研究
在电磁学研究中，空间图形平行关系的应用也十分广泛。例如，在研究电磁波 的传播和辐射时，平行关系的运用有助于我们更好地理解电磁场的分布和变化 规律。
01
空间图形平行关系 的习题与解析
基础习题
总结词
考察基础概念和性质的理解
详细描述
包括判断两条直线是否平行、判断平面是否平行等基础题目，旨在帮助学生掌握 空间图形平行关系的基本概念和性质。
02
平行平面之间的角度不变
两个平行平面被一个垂线所截，所形成的同位角是相等的。
03
平行平面的传递性
如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行。
平行直线的性质定理
平行直线具有相同的方向
两条平行直线具有相同的方向，即它们都是沿着同一方向无限延伸的。
平行直线之间的距离是固定的
两条平行直线之间的距离是固定的，不受其他图形的影响。
线面平行的判定定理ppt课件
三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则 结论就不一定成立了.
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告诉我们：
直线间平行关系
直线与平面平行关系
空间问题
平面问题
理论迁移
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的
中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予
以证明.P29例1.
A
解：EF∥平面BCD。
求证：AB1//平面DBC1
A1
C1
B1
P
D
A
C
B
2、如图，在正方体 ABCD——A1B1C1D1中， O是底面ABCD对角线的交点. 求证：C1O//平面AD1B1.
A1 C1
B1
E
A D C
B
4、如图 ,正方体AC1中,点N是BD中点,点M是B1C中 点.
求证: MN // 平面AA1B1B .
件是要满足六个字，
b
“面外、面内、平行”. b//a
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线,找平行线又经常会 用到三角形中位线定理.
理论迁移
例2. 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别 是AB，BC，CD，AD的中点.
(1)E、F、G、H四点是否共面？
(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；A
根据定义，判定直线与平面是否平行，只需 判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限 延长，平面无限延展，用定义这种方法来判定直 线与平面是否平行是很困难的.
那么，是否有简单的方法来判定直线与平面 平行呢？
知识探究（三）：直线与平面平行的判断定理 1、直观感知
三.线面平行判定定理的探究
动手操作—确认定理
直线和平面平行的判定定理ppt课件
判定定理二：向量
03
共线法
向量共线法原理
定义
若两向量方向相同或相反，则称这两 向量共线。
性质
应用
在直线与平面平行判定中，通过判断 直线的方向向量与平面上两不共线向 量的关系，确定直线与平面的位置关 系。
共线的向量可以表示为同一基向量的 倍数。
向量运算规则
加法运算
向量加法满足平行四边形 法则或三角形法则。
$l parallel alpha$。
实例二
若直线$l$的方向向量$vec{a}$ 与平面$alpha$的法向量
$vec{n}$满足$vec{a} cdot vec{n} = 0$，则$l parallel
alpha$。
讨论
通过实例分析，我们可以发现向 量共线法在直线与平面平行判定 中的重要作用。同时，需要注意 判定条件的充分性和必要性，以
及特殊情况的处理。
判定定理三：距离
04
相等法
距离相等法原理
直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离都相等。
利用这一性质，可以通过比较直线上 不同点到平面的距离是否相等来判断 直线与平面是否平行。
点到直线距离公式
点$P(x_0, y_0, z_0)$到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$的距 离公式为
直线与平面的距离为零
当直线上的任意一点到平面的距离都为零时，直线与平面平行。可 以通过计算点到平面的距离公式来判断。
复杂问题简化策略
转化为基本问题
将复杂问题转化为判断直线与平面是否平行的基本问题，以便运 用上述方法进行求解。
利用已知条件
充分利用题目中给出$d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
认识平行PPT课件
宇宙中的秩序和规律。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
平行的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质
平行线间距离相等、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等条件可判定两直线平 行。
典型例题分析讲解
01
02
03
04
05
例题1：已知直线l1和l2 被直线l3所截，且∠1 = ∠2，求证l1∥l2。
线平行，同位角相等）。
所以根据同位角相等定 AB∥CD，我们可以利用 又因为EG平分∠BEF，
理，可得l1∥l2。
平行线的性质来找到与 FH平分∠DFE，所以
EG、FH相关的角的关系。 ∠GEF = 1/2∠BEF，
∠HFE = 1/2∠DFE。因
此，∠GEF = ∠HFE，所
以EG∥FH（同位角相等，
两直线平行）。
拓展延伸：探索更多领域中的“平行”
物理中的“平行”
在物理学中，平行的概念也经常出现。例如，在光学中，当光线通过透镜或反射镜时，平行的光线会保持平行；在力学中， 平行的力或力矩会对物体产生特定的效果。
数学中的“平行”
除了几何中的平行线外，数学中还有其他与“平行”相关的概念。例如，在向量空间中，两个向量如果方向相同或相反， 则称它们为平行向量；在矩阵中，如果两行或两列成比例，则称它们为平行行或平行列。
平行投影原理
在平行投影中，投影线是一组相互平行的直线，它们从一个方向照射 到物体上，并在与投影线平行的平面上形成物体的投影。
真实性
平行投影能够保持物体的真实形状和大小，不会因为投影角度的改变 而产生变形。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
平行的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的性质
平行线间距离相等、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
平行线的判定
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等条件可判定两直线平 行。
典型例题分析讲解
01
02
03
04
05
例题1：已知直线l1和l2 被直线l3所截，且∠1 = ∠2，求证l1∥l2。
线平行，同位角相等）。
所以根据同位角相等定 AB∥CD，我们可以利用 又因为EG平分∠BEF，
理，可得l1∥l2。
平行线的性质来找到与 FH平分∠DFE，所以
EG、FH相关的角的关系。 ∠GEF = 1/2∠BEF，
∠HFE = 1/2∠DFE。因
此，∠GEF = ∠HFE，所
以EG∥FH（同位角相等，
两直线平行）。
拓展延伸：探索更多领域中的“平行”
物理中的“平行”
在物理学中，平行的概念也经常出现。例如，在光学中，当光线通过透镜或反射镜时，平行的光线会保持平行；在力学中， 平行的力或力矩会对物体产生特定的效果。
数学中的“平行”
除了几何中的平行线外，数学中还有其他与“平行”相关的概念。例如，在向量空间中，两个向量如果方向相同或相反， 则称它们为平行向量；在矩阵中，如果两行或两列成比例，则称它们为平行行或平行列。
平行投影原理
在平行投影中，投影线是一组相互平行的直线，它们从一个方向照射 到物体上，并在与投影线平行的平面上形成物体的投影。
真实性
平行投影能够保持物体的真实形状和大小，不会因为投影角度的改变 而产生变形。
高考 空间中的平行关系 课件(共52张PPT)
栏目 导引
第八章
立体几何
【名师点评】
利用线面平行的性质定
理证明线线平行,关键是找出过已知直
线的平面与已知平面的交线.
栏目 导引
第八章
立体几何
考点4
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质,同直线
与平面平行的判定与性质一样,体现了
转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平 面,通过作辅助平面得到交线,就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平
定定理即可证明.
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第八章
立体几何
【证明】 △ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF⃘ 平面 BCGH,BC⊂平面 BCGH, ∴EF∥平面 BCGH. 又∵G、F 分别为 A1C1、AC 的中点, ∴A1G FC. ∴四边形 A1FCG 为平行四边形. ∴A1F∥GC.
α∥c ③ ⇒α∥β β∥c α∥c ⑤ ⇒α∥a a∥c α∥γ ④ ⇒α∥β β∥γ a∥γ ⑥ ⇒α∥ α∥γ
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第八章
立体几何
其中正确的命题是( A.①②③ B.①④⑤ C.①④
)
D.①④⑤⑥
答案：C
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第八章
立体几何
4.正 方体 ABCD－ A1B1C1D1 中,E是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________.
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第八章
立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
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第八章
立体几何
【名师点评】
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立体几何
【名师点评】
利用线面平行的性质定
理证明线线平行,关键是找出过已知直
线的平面与已知平面的交线.
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立体几何
考点4
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定与性质,同直线
与平面平行的判定与性质一样,体现了
转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平 面,通过作辅助平面得到交线,就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平
定定理即可证明.
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立体几何
【证明】 △ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF⃘ 平面 BCGH,BC⊂平面 BCGH, ∴EF∥平面 BCGH. 又∵G、F 分别为 A1C1、AC 的中点, ∴A1G FC. ∴四边形 A1FCG 为平行四边形. ∴A1F∥GC.
α∥c ③ ⇒α∥β β∥c α∥c ⑤ ⇒α∥a a∥c α∥γ ④ ⇒α∥β β∥γ a∥γ ⑥ ⇒α∥ α∥γ
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立体几何
其中正确的命题是( A.①②③ B.①④⑤ C.①④
)
D.①④⑤⑥
答案：C
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第八章
立体几何
4.正 方体 ABCD－ A1B1C1D1 中,E是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________.
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第八章
立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
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第八章
立体几何
【名师点评】
空间向量与平行关系 课件
空间向量与平行关系
[知识提炼·梳理] 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向 量．
温馨提示 一条直线的方向向量不唯一．直线的方向向量有无数 条，它们都是平行向量．
2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量． 温馨提示 平面的法向量不唯一，平面的法向量有无数条，它们 都是平行向量．
解：(1)①因为 a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)， 所以 a＝－2b，所以 a∥b，所以 l1∥l2. ②因为 a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)， 所以 a·b＝0，所以 a⊥b，所以 l1⊥l2.
(2)①因为 u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12， 所以 u·v＝－3＋2＋1＝0，所以 u⊥v，所以 α⊥β. ②因为 u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)， 所以 u＝－32 v，所以 u∥v，所以 α∥β.
①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12； ②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；
(Байду номын сангаас)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量， 根据下列条件判断平面 a 与 l 的位置关系：
①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
归纳升华 平面法向量的求法
(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量．
(2)当已知平面 α 内两不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)时，常用特定系数法求法向量：
设法向量 n＝(x，y，z)，
a·n＝0， a1x＋a2y＋a3z＝0，
由
得
b·n＝0 b1x＋b2y＋b3z＝0，
[知识提炼·梳理] 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向 量．
温馨提示 一条直线的方向向量不唯一．直线的方向向量有无数 条，它们都是平行向量．
2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量． 温馨提示 平面的法向量不唯一，平面的法向量有无数条，它们 都是平行向量．
解：(1)①因为 a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)， 所以 a＝－2b，所以 a∥b，所以 l1∥l2. ②因为 a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)， 所以 a·b＝0，所以 a⊥b，所以 l1⊥l2.
(2)①因为 u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12， 所以 u·v＝－3＋2＋1＝0，所以 u⊥v，所以 α⊥β. ②因为 u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)， 所以 u＝－32 v，所以 u∥v，所以 α∥β.
①u＝(－1，1，－2)，v＝3，2，－12； ②u＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；
(Байду номын сангаас)设 u 是平面 α 的法向量，a 是直线 l 的方向向量， 根据下列条件判断平面 a 与 l 的位置关系：
①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
归纳升华 平面法向量的求法
(1)当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即 可作为平面的法向量．
(2)当已知平面 α 内两不共线向量 a＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)时，常用特定系数法求法向量：
设法向量 n＝(x，y，z)，
a·n＝0， a1x＋a2y＋a3z＝0，
由
得
b·n＝0 b1x＋b2y＋b3z＝0，
4.2.1平行线 课件(共17张PPT)
是平行.
A.1
B.2
C.3 D.4
2 如图,所示,D是AB上一点,过 点D分别画BC,AC的平行线.
解:如图所示,DF与BC
平行,DE与AC平行.
3.下面推理正确的是 ( C)
A.因为a∥b,b∥c,所以c∥d B.因为a∥c,b∥d,所以c∥d C.因为a∥b,a∥c,所以b∥c D.因为a∥b,c∥d,所以a∥c
(1)经过点C能画出几条直线？ 无数条 (2)与直线AB平行的直线有几条？无数条 (3)经过点C能画出几条直线与直线AB
·C
a
· · A
B
·D
b
平行？
1条
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
试一试：
画一条直线 a，按如图所示的方法， 画一条直线b与直线 a平行，再向上推三 角尺，画另一条直线 c，也与直线 a平行.
即如果直线a∥c,b∥c,那么a∥b.
.
例2 直线 a,b,c中, a∥b,b∥c,
则直线 a与直线 c的关系
a∥是c
.
[解析] 平行于 同一直线的两条
直线平行.
随堂演练
1 下列结论正确的个数是( B )
(1)两条直线平行,常用符号“∥ ”表示;(2)两条不相交的
直线叫平行线;(3)同一平面内不相交的两条线段是平行线;
(4)同一平面内,两条直线(不重合)的位置关系不是相交就
课堂小结
知识点一 平行线的概念
概念:在同一平面内 不相交 的两条直线叫做平行线. 在同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或 平行 .
知识点二 平行线的基本事实及推论 平行线的基本事实(平行线的存在性和唯一性):过直线外一 点 有且只有 一条直线与这条直线平行. 推论(平行线的传递性):如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两 条直线也 互相平行 .
空间向量与平行关系 课件
【解析】1.选A.(-2，0，2)=-2(1，0，-1),故v1∥v2，又l1和
l2不重合，所以直线l1和l2的位置关系是平行.
2.存在.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为1，则E(1，1 ，0)，F(1，0，1 )，C 0，1，0 ，
2
3
假设在DD1上存在一点G，使CG∥EF则，CG EF，由于点G在z
2.∵l∥α，∴l的方向向量与平面α的法向量垂直，
则2, m,1 (1, 1 , 2) 0,
2 2 1 m 2 0标系，则有D(0，0，0)，A(2，
0，0)，B1(2，2，2)，C1(0,2,2),E(2，2，1)，F(0，0，
1)，所以 FC1 0，2，1，AD 2，0，0，AE 0，2，1，C1B1 2，0，0,
A(0，0，0)，A1(0，0，4)，B(1，0，0)，
B1(1，0，4)，C1(0，2，4).
(1) AB1 1，0，4,AC1 0，2，4,
设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z)，则 n AB1且n AC1,
即
x 4z 0, 2y 4z 0,
令z=1，则x=-4,y=-2，
类型 三 利用空间向量处理线面平行与面面平行问题
【典型例题】
1.已知平面α的一个法向量是(2，3，-1)，平面β的一个法
向量是(4，λ,-2),若α∥β，则λ的值是( )
A. 10
B.-6
C.6
D.10
3
3
2.已知l∥α,且l的一个方向向量为(2,m,1),平面α的一个法
向量为 (1, 1 , 2)，则m=_________.
2.利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向 量,证明两个法向量平行. (2)间接证明法:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面 平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
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栏目导引
如图所示，平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，点 E、F 分别在 线段 AB、CD 上，且 AE CF ＝ ，求证：EF∥平面 β. EB FD
工具
第七章
立体几何
栏目导引
证明： 当 AB 和 CD 在同一平面内时， α∥β 可知 AC∥BD， 由 ABDC 是梯形或平行四边形． 由 AE CF ＝ ，得 EF∥BD.又 BD β，所以 EF∥β. EB FD
点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平
面AEC？证明你的结论？
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析： 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.① 由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点． 连结BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE， 所以BM∥OE.② 由①、②知，平面BFM∥平面AEC. 又BF平面BFM， 所以BF∥平面AEC.
第3课时 平行关系
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第七章
立体几何
栏目导引
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第七章
立体几何
栏目导引
1．直线与平面行的判定与性质 (1)定义：如果直线a与平面α 记作 a∥α . 无 公共点，则直线a与平面α平行，
(2)判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行 ，则该直线与此平
面平行．
用符号表示为：a α，bα，且 a∥b ⇒a∥α.
图(2)
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线 和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一 条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论． 2．以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利
用转化和降维的思想方法求解其他几何参量．
)
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．若直线m面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的 ( A．充分不必要条件 C．充要条件 解析： B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
∵l∥α时l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平
行，有可能lα，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
∴AC⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1.
∴AC⊥BC1.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
工具
第七章
立体几何
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证明线线平行常用方法 (1)利用定义：证明两线共面且无公共点； (2)利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；
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第七章
立体几何
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证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转
∴EF∥平面PAD.6分
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第七章
立体几何
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(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA.8 分 2 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90° ，BP＝2， ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ 2 .10 分 2
1 1 ∴S△ABC＝ AB· BC＝ × 2×2＝ 2， 2 2 1 1 2 1 ∴VE－ABC＝ S△ABC· EG＝ × 2× ＝ .12 分 3 3 2 3
又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
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第七章
立体几何
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面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面 平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点， 灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化．
工具
第七章
立体几何
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转
化思想在立体几何中，贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面
问题．
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第七章
立体几何
栏目导引
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，
M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
答案： D
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第七章
立体几何
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3．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析： 的直线．
)
因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件
答案： D
化．
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第七章
立体几何
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如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1 ，D是BC上一点，且A1B∥平面
AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明： 连接A1C交AC1于点E， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点，连接ED， ∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
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第七章
立体几何
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【变式训练】
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC
＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证： (1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1. 证明： (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝
4，AB＝5，∴AC⊥BC. 又AC⊥CC1，∵BC∩CC1＝C，
2
∴截面面积为 EC1· 1C＝ C
答案： 5 2 a 2
5 2 a. 2
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第七章
立体几何
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第七章
立体几何
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判定直线与平面平行的三种方法 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的
∴A1B∥ED.
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第七章
立体几何
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∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点． 又∵D1是B1C1的中点， ∴BD1∥C1D，A1D1∥AD， 又A1D1∩BD1＝D1， ∴平面A1BD1∥平面AC1D.
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第七章
立体几何
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【变式训练】
3.如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD－
A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．
则这两个平面平行．
用符号表示为：aβ，bβ，a∩b＝P， a∥α，b∥α ⇒
α∥β.
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第七章
立体几何
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(3)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线
平行． . a∥b
用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒
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第七章
立体几何
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1．两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是( A．a∥α C．a与α不相交 答案： C B．a与α相交 D．aα
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第七章
立体几何
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(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平
面与此平面的交线与该直线 平行．
用符号表示为：a∥α，aβ，β∩α＝l⇒ 2．平面与平面平行的判定与性质 (1)定义：如果平面α与平面β 记作 α∥β .
a∥l
.
无 公共点，则平面α与平面β平行，
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行 ，
∴MN∥平面 BCD.
答案： 平行
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第七章
立体几何
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5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、
C作一截面，则截面的面积为________．
解析： 设截面与 AB 的交点为 F， 由题意可知截面 EFCC1 为一矩形， 且 EC1＝
a2 5 ＝ a，C1C＝a. a＋2 2
【阅后报告】 本题考查了线面的平行及体积计算，第(1)问利用线 线平行转化为线面平行，而学生易忽略 AD 平面 PAD，EF⃘ 这一条件导致失分．该题体现了转化思想． 平面 PAD
证明： 如图，连接AC，设AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴MO∥PA. 又∵MO平面BDM、PA⃘平面BDM， ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
∴AP∥GH.
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第七章
立体几何
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【变式训练】 2.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，
立体几何
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从近两年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平
面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，
难度为中等偏高；本节主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面 ⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能 力．
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第七章
立体几何
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(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
3．线面平行和面面平行的判定和性质
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第七章