刚体的定轴转动

14
2.3 转动惯量的计算 按转动惯量的定义有 积分形式 dm—质元的质量 平动：一维直线运动 类比： 转动：定轴转动
I ri mi
2
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成
I r dm
2
r —质元到转轴的距离
F ma m dv dt m d x dt
2
2
2
M I I
I A md
2
md
2
2 md
2
m
叠加原理
I 0 3a m ， a (
2
).
与转轴的位置有关。
16
例：细棒质量m,均匀分布,长l
0
x
dx
质量连续分布：
I r dm
2
x
(1) 转轴过中心,与棒垂直. 取dx： d m
2

m l
d x
l 2 2
转动惯量与转轴 的位置有关
9
2 转动定理 转动惯量（刚体动力学）
2.1力对转轴的力矩. (1)外力在垂直于转轴的平面内。

M
F

p 力F的作用点。 M r F
方向 ，大小 M rF sin
p
0

r
如果：方向 ,
M , (同向)加速转动。 M , ( 反向）减速 —阻力矩。 M 、 , 对转动无贡献。
§5. 刚体的定轴转动
(A rigid body about a fixed axis)
5.1 刚体运动学
5.2 转动定理 转动惯量 5.3 刚体的动能与势能 5.4 刚体的角动量定理及角动量守恒定律
作业：练习册 选择题：1-10 填空题：1-10 计算题：1-8
1
1. 刚体运动学
1.1 刚体的平动和转动 (1) 刚体、刚体的平动 刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小 不变，理想化的模型。 (2) 刚体的平动 刚体内任何一条给定的直线,在运 动中始终保持它的方向不变。 各质点具有相同的速度和 加速度，所以刚体平动时任何 一点的运动都可代表整个刚体 的运动。 刚体的平动时可看成质点。
解： 2k 单位： s1 ), (rad v r 2πk (3i 4 j 5k ) 8πi 6πj

还可解行列式
i j
k
0 0 2 π 3 4 5
F1对转动无贡献，仅考虑 F2， M r F2 （有效力矩）。
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2.2 转动定理
fi
O

Fi
i
取质点 P ( m i ) 受外力 Fi、内力 f i， 并设 Fi、 f i 都在转动平面内。
现对 P 质点 m i 写出法、切向 运动方程（按牛顿定律 ）：
ˆ L r P L x iˆ L y ˆ L z k j
讨论
P63
Lz ：质点对z轴的角动量
ˆ M r F M x iˆ M y ˆ M z k j
Mz ：质点对z轴的力矩
ˆ ˆ M r F ( x iˆ y ˆ z k ) ( F x iˆ F y ˆ F z k ) j j
ˆ ˆ ( yF z zF y ) i ( zF x xF z ) ˆ ( xF y yF x ) k j
M z ( xF y yF x )
8
求力对z 轴的力矩Mz的(教材)简化步骤：
M z ( xF y yF x )
第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即 过质点的xy平面） 第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量,
对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程， 在t=50s 时刻 =0，代入方程 =0+ t 得
0
t 50 50 rad s
2
O
r
3.14 rad s
2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N分别为
0 0t t 2 1 50 50 50 1250 rad 2 1250
质元1
d S r d r d
dV d Se r d r d e
阻力矩向下，与0方向相反！
如图，把圆盘分成许多如图的质元1， 每个质元的质量为dm， dm= dV= rddre，(e是盘的厚度) 所受到的阻力矩dM=rdmg。
M r d mg g r re d d r
2
对刚体中所有 质点求和：
Fi ri sin i f i ri sin θ i (Δ m i ri )
2 i i i
合外力矩M
合内力矩=0
I －转动惯量
12
Fi ri sin i f i ri sin θ i Δ m i ri
2
Fi ri sin i f i ri sin θ i (Δ m i ri )
I1 1 12 ml 、 I 2
2
1 3
2
ml
2
2
1
1 I 2 I1 m l 2
例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0 。 取半径为r，宽为dr的圆环 r
0
dr
d m σ d s
m
r
I0
πR
R
2
2πr d r

1 2
r dm
2

0
r
2
m
πR
2
2πr d r
m，R

mR
2
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例：如图所示,滑轮质量m,半径R ( I mR ). (注意:在中学里 2 一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。
2
1
T1 T1

T 2 T 2
( m 2 )： m 2 g T 2 m 2 a (1 )
第3步，算出力对z轴的力矩. ˆ r F M zk
r F ( x iˆ y ˆ ) ( F x iˆ F y ˆ ) j j ˆ ( xF y yF x ) k
转轴
z
r轴
F
F 轴
转动平面
o
r
o
结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩
因为： d dt ， d dt 。
d
P
参考方向
K
d
所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，，
3
即(，， )三量具有普遍性。知一点 的(，， )，可知整个刚体的运动。 故用(,,）描写刚体的转动。
所以：定轴转动刚体中任何其它质点 都具有相同的，，
2
(2)t=25s 时飞轮的角速度为
0 t 50 25
25 78.5(rad s )
1
1
的方向与0相同；
N
2

2
＝ 转 625
7
对轴的角动量和对轴的力矩, 矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或 力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。
2
ri
i
P( mi )
Fi cos i f i cos θ i Δ m i a in Δ m i ri ω
Fi sin i f i sin θ i Δ m i a i Δ m i ri
将第 2 式两边乘以 ri
Fi ri sin i f i ri sin θ i Δ m i ri
2
(3)刚体的转动
刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动. 转轴固定不动,称为定轴转动.
(4)转动运动学的物理量 转动平面：任取一垂直于转轴的平面 P为刚体上一质点，在转动平面 内绕0点作圆周运动。
具有角位移 d ,角速度 ,角加速度 .
转轴
dt
0
再任取一点K，在同一个dt内， 也转过同样的d角。
( m 1 )：
T1 m 1 g m 1 a ( 2 )
T1 T 2 ?
T1
对滑轮：取
方向为正方向 , 由 M Iβ
1 2 mR （3 ）
2Baidu Nhomakorabea
a
m1
m1g
T2
m2
T 2 R T1 R
0,T 1 T 2 ,
a
m2g
( a,T 1 ,T 2 , ) 共 4 个未知数，3个方程。
4
1.2 角速度矢量
转轴



v
0
r
P
的方向由右手螺旋定则 确定。
v与之间的矢量关系：



v r
（圆周运动 ：v r）
5
例：一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动, ( 沿z轴正方向)， 设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为：r 3 i 4 j 5 k （单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点 的速度为：

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(2) 外力不在垂直于转轴的平面内
P63 结论：z轴转动平面内的分量 的运算就是对z轴的力矩。
转轴

F1

F
F2
z
r轴
F
F 轴
0
r
P
转动平面
o
r
将F分解成 F1和F2。
F1与转轴平行， F 2 在转动平面内。
o
ˆ r F M zk
例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时， 它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。 答: 并不是一定为零。 如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用 两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个 力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致， 故合力矩不为零。
（ m2 m1 ）
又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向 加速度R,和物体的加速度相等.
a R ） （4
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例: 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌 面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停 止转动？ 0 解：由于摩擦力不是集中作用于 某一点，而是分布在整个圆盘与 桌子的接触面上，其力矩的计算 e d 要用积分法。 dr
ge
2 0
圆盘所受阻力矩
M d M
d r d r 0
2
R
2 3
geR
3
20

也可以把圆盘分成许多圆环形质元， 每个质元的质量dm= dV= 2rdre， 所受到的阻力矩是rdmg 。
M r d m g g r 2 r d re 2 g e 0 r d r
1 12
得： I 1 x d m x
l 2
m
d x
ml
2
l
(2) 转轴过顶端,与棒垂直
x
dx
0
x
l 2
取dx：
得： I 2 x d m
0
m l
x d x
2
1 3
ml
2
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平行轴定理：
l 2
I I c md
质心 C
2
d 两平行轴之间的距离。
d dt
I
d dt
2
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量是转动中惯性大小的量度。
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注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。 质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。 转动惯量计算：
I

i
Δ m i ri ,
2
例： d
0 A
m
d d m
d 3
三个质点m组成一个正三角形 刚体结构。求IA、I0 。
6 j 8 i
6
刚体运动学综合例题: 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t =50 s后静止。 (1)求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； 0 (2)求制动开始后t =25s 时飞轮的角速度 ； 解(1)初角速度为0 =21500/60=50 rad/s，方向如图
2 i i i
合外力矩M
合内力矩=0
I －转动惯量
M=I —转动定理

dω dt d θ dt
2 2
定轴转动定理（律）在转动问题中的地位 相当于平动时的牛顿第二定律
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例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上， 讨论 如果这几个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变． 答案：( D ) 参考解答：在应用转动定律M=I 时应注意M是合外力矩，是外力 力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力 矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不 变，也可能改变。