江苏省南通市高三上学期期末考试数学试题

2014届南通市高三数学期末考试

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i 2i

z =-（其中i 是虚数单位）的虚部为 ．

2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 .

3. 函数()

221

()4

x x

f x -=的值域为 ．

4.

分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．

5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的离心率为 . 6． 如图是计算10

1

121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ．

7. 函数y =()

πsin 23

x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得

到，第一次变换是针对函数y = sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：

A. 图象上所有点向右平移π6个单位；

B. 图象上所有点向右平移π3

个单位；

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.

请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）

8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）

9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．

10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非

空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ．

6 7 8 5 5 6 3 4 0 1

E

A

D

C

F P

东

北

11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ．

12. 设平面向量a

，b 满足3-a b a ·b 的最小值为 ．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线2

2491x y

+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，

时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨

=⎪⎩，，

，

． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．

（1）若

⊥a b ，求a 的值；

（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．

16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠=o ，E ，F 分别是AP ，AC 的中

点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；

（2）平面DEF ⊥平面P AC ．

17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60o 的方向，且在港口A 北偏西30o 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30o 的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．

（1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间

能和科考船相遇？

C

18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足

23

71574

a a S a =-=，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12

m m m

a a a +为数列{}n a 中的项．

19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C

上

1． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2

AOB ∠=．

①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．

20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．

（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；

（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，

2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．

21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ．

21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡--=-2121434

11

，求矩阵A 的特征值．

21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t

=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，

（t 为

参数）平行的直线的普通方程．