第二讲证明不等式的基本方法

(2)若ac＞bc，则 a＞b.( )
(3)若 a3＞b3，且 ab＜0，则1a＞1b.(
)
(4)若 a2＞b2，且 ab＞0，则1a＜1b.(
)
解析：若 c＝0，则(1)不成立； 若 c＜0，则(2)不成立； 1a－1b＝b－ aba，因为 a3＞b3，且 ab＜0， 所以 a＞0＞b，即 b－a＜0， 所以b－ aba＞0，故1a＞1b，(3)成立；
件是否具备，还要注意不等式基本性质的使用是否准确．
2．分析法
证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或 一个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)， 从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这 是一种执果索因的思考和证明方法．
3．综合法与分析法的比较
所以原不等式成立．
法二：因为(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝8＋4(a＋b＋c)＋2(ab ＋bc＋ca)＋abc＝8＋2(a＋b＋c)＋2a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
3
＋1≥8＋2· abc＋2×(2＋2＋2)＋1＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
法三：(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝(1＋1＋a)(1＋1＋b)(1＋1
解析：a2＋b2－1－a2b2＝－(a2－1)(b2－1)，要证原不 等式成立，只需证－(a2－1)(b2－1)≤0，
即证(a2－1)(b2－1)≥0. 答案：D
4. 请补全用分析法证明不等式“ac＋ bd≤ （a2＋b2）（c2＋d2）”时的推理过程：要证明 ac ＋bd≤ （a2＋b2）（c2＋d2），当 ac＋bd≤0 时，不等 式成立；________，只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)， 即要证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，即要 证 a2d2＋b2c2≥2abcd，只需证明__________________，该 不等式显然成立，故所要证明的不等式成立．
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
方法
综合 法
分Байду номын сангаас 法
证明的起 始步骤
基本不等 式或已经 证明过的 不等式
要求证的 不等式
求证过程
实施一系 列的推出 或等价变 换
寻求结论 成立的充 分条件
求证目标
要求证的 结论
所需条件 全部成立
证题方向 由因导果 执果索因
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若 a＞b，则 ac2＞bc2.( )
所以 3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝ (a＋b＋c)2＝1.
所以 ab＋bc＋ca≤13.当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成 立．
归纳升华 1．综合法是指从已证的不等式或问题的已知条件出 发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理， 最后达到待证的结论或需求的问题，其特点和思路是“由 因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
答案：当 ac＋bd＞0 时 (ad－bc)2≥0
类型 1 综合法证明不等式(自主研析) [典例 1] 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证： ab＋bc＋ac≤13. 证明：因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． 所以 ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2.
2．综合法证明不等式时常用的不等式： (1)a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时，取“＝”)；
a＋b (2) 2 ≥ ab(a，b∈R＋，当且仅当 a＝b 时，取 “＝”)； (3)a2≥0，|a|≥0，(a－b)2≥0；
(4)ba＋ab≥2(a，b 同号)，ba＋ab≤－2(a，b 异号)； (5)a，b∈R，a2＋b2≥12(a＋b)2.
333
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
[变式训练] 已知 a，b，c∈R＋，abc＝1，求证：(2 ＋a)(2＋b)·(2＋c)≥27.
证明：法一：因为(2＋a)(2＋b)(2＋c)＝8＋4(a＋b＋
3
c) ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ca) ＋ abc≥8 ＋ 4×3 abc ＋
3
2×3 （abc）2＋1＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
第二讲 证明不等式的基本方法
2．2 综合法与分析法
[学习目标] 1.掌握用综合法和分析法证明不等式的 基本步骤(重点)． 2.理解这两种证明方法的数学思 想． 3.会灵活运用这两种方法证明不等式(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．综合法 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这 种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法． 温馨提示 用综合法证明时要注意不等式成立的条
a＜0，
若
则(4)不成立．
b＜0，
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻
求使不等式成立的( )
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．必要或充分条件
答案：B
3．要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0 C.a＋2 b2－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0