集合的含义与表示题型及解析

集合的含义与表示题型及解析

1.下列各组对象能组成集合的是 （1）著名影星 （2）我国的小河流 （3）攀枝花市十二中高2012级学生 （4）高中数学的难题 （5）中央电视台著名节目主持人 （6）A 市跑得快的汽车 （7）上海市所有的中学生 （8）我国著名的数学家 （9）高一5班的好学生 （10）不等于0的实数 （11）平方等于自身的数 （12）一年级2班某次数学考试成绩在100分以上的同学

分析：根据集合元素应该满足的确定性，分析四个答案中的元素是否满足确定性，可得到答案．

解：根据集合的定义，依次分析可得：“著名影星”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；“我国的小河流”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；“攀枝花市十二中高2012级学生”，其中元素具有确定性，能构成集合；“高中数学的难题”没有具体的标准，元素不具有确定性，不能构成集合；中央电视台著名节目主持人具有不确定性，故构不成集合；A 市跑得快的汽车具有不确定性，故构不成集合；上海市所有的中学生是确定的，故可以构成集合；我国著名的数学家具有不确定性，故构不成集合；“高一5班的好学生” 具有不确定性，故构不成集合；不等于0的实数具有确定性，故构成集合；平方等于自身的数具有确定性，故构成集合；一年级2班某次数学考试成绩在100分以上的同学具有确定性，故构成集合

2.下列表示集合的式子正确的是

①﹛2,3,4﹜ ②﹛1,2,3,4,1n ﹜ ③﹛-3,4,327-,6﹜ ④﹛a,b,c,d,c ﹜⑤﹛0,5,6,8﹜⑥﹛1,x,4,7,(-2)2﹜ 3.已知x ∈{0，2，x 2），则实数x 的值是多少？

分析：将x 依次等于集合中的值并验证即

解：①若x=0，则x 2=0，不合题意，②若x=2，符合题意，③若x=x 2时，x=0（舍去），或x=1．∴x=1或2

4.设A 表示集合{2，3，a 2+2a ﹣3}，B 表示集合{|a+3|，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值

分析：通过5∈A ，且5∉B 列出混合组，求出a 的值即可

解：∵5∈A ，且5∉B ，∴，即，∴a=﹣4

5.设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合M={x|x=a+b ，a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，2，5}Q={1，2，6}，则集合M 中元素的个数是

分析：根据已知条件写出M 的所有元素即可． 解：a=0，b=1，a+b=1；a=0，b=2，a+b=2；a=0，b=6，a+b=6；a=2，b=1，a+b=3；a=2，b=2，a+b=4；a=2，b=6，a+b=8；a=5，b=1，a+b=6；a=5，b=2，a+b=7；a=5，b=6，a+b=11；∴集合M 中元素的个数为8

6.下列各数属于哪些集合，请填出它们所属的集合 -5，－0.5，0，53，3

解：－5∈Z ；－0.5∈Q ；0∈N ；53∈R ；3∈N +

7.集合{ｘ︱－2< ｘ< 3}可以用列举法表示吗？

这个不能用列举法,这个集合有无数个元素，列举法适用于有限个元素的集合；如果x ∈Z ，就可以用列举法了

8.用列举法表示下列集合：

①{平方为1的数}；②{x||x|=3}；③{x|x 2﹣4x ﹣5=0}；④{x ∈Z|﹣2≤x ＜10}；⑤方程组的解集 分析：对于这几个集合，要用列举法表示，只需根据限制条件求出集合的所有元素，然后列举法表示出来即可 解：①平方为1的数为1，和﹣1；∴列举法表示为{1，﹣1}； ②|x|=3；∴x=±3；∴列举法表示为：{﹣3，3}； ③解x 2﹣4x ﹣5=0得，x=﹣1，或5；∴列举法表示为：{﹣1，5}；④x ∈Z ，﹣2≤x ＜10；∴x 的取值为：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；∴列举法表示为：{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}；⑤解得：；∴列举法表示为{（3，1）}

9.用列举法表示集合 ①{x ∈N|

x -56∈N} ②﹛（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z}

分析：根据已知条件，分别让x 从0，取到6，判断

是否为自然数，并且能看出x ≥6时，x -56＜0，这样找出使x -56∈N 的x 即求出了集合{x ∈N|x

-56∈N}

解：①∵x ∈N ，x -56∈N ；∴x=0，x -56=56；x=1，x -56=23；x=2，x -56=2；x=3，x

-56=3；x=4，x -56=6；

x=5,x -56不存在；x=6，x -56=-6，即x ≥6时，x -56＜0；所以集合{x ∈N|x

-56∈N}={2，3，4}

②分析：首先根据0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z 分别写出x 与y 的值，然后按照题意写出集合即可．

解：∵集合为{（x ，y ）|0≤x ≤1，0≤y ＜2，x ，y ∈Z}，∴x=0，1；y=0，1，∴集合为：{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}

10.用描述法表示下列集合：

（1）小于100但不小于10的奇数；（2）{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…}；（3）直角坐标平面内第四象限内的点2ｃ的图象上所有点的集合；（5）抛物线y=x 2-2x+2的点组成的集合；（6）使

分析：根据描述法的表示方法，不难求出答案

解：（1）小于100但不小于10的奇数的集合={x|x=2n ﹣1，n ∈N *，6≤n ≤50}；

（2）{1，﹣3，5，﹣7，9，﹣11…}={x|x=（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1），n ∈N *}；

（3）直角坐标平面内第四象限内的点集：{（x ，y ）|x ＞0且y ＜0}；

（4）抛物线y=ａx 2+ｂx+ｃ的点组成的集合：{（x ，y ）|y=ａx 2+ｂx+ｃ}；

（5）抛物线y=x 2-2x+2的点组成的集合：{（x ，y ）|y=x 2-2x+2}；

（6）使x 的集合：11.用适当的方法表示下列集合 （1）方程组⎩⎨⎧=+=-8

231432y x y x 的解集：（2）所有的正方形；（3）抛物线y=x 2上的所有点组成的集合；（4）方程x （x 2+2x+1）=0的解；（5）不等式x ﹣3＞4的解集；（6）已知集合P={x|x=2n ，0≤n ≤2且n ∈N}；（7）抛物线y=x 2

﹣2x 与x

轴的公共点的集合；（8）直线y=x 上去掉原点的点的集合；（9）小于20的素数组成的集合；（10）方程x 2﹣4=0

的解的集合；（11）由大于3小于9的实数组成的集合；（12）所有奇数组成的集合；（13）台州九个县市区构成的集合；（14）大于2且小于6的所有实数构成的集合；（15）由小于10的所有质数组成的集合；（16）两边长分别为3，5的三角形中，第三条边可取的集合．

分析：根据列举法和描述法的定义可以表示各集合

解：（1）用有序数对（x ，y ）表示该方程组的解，所以描述法表示方程组解集为：{（x ，y ）|⎩⎨⎧=+=-8231432y x y x }； （2）{x|x 是正方形}；（3）点表示为（x ，y ），所以描述法表示该集合为：{（x ，y ）|y=x 2

}；

（4）解方程x （x 2+2x+1）=0得：x=0或x=﹣1，故方程x （x 2+2x+1）=0的解集为{﹣1，0}；

（5）解不等式x ﹣3＞4得：x ＞7，故不等式x ﹣3＞4的解集为{x|x ＞7}；

（6）已知集合P={x|x=2n ，0≤n ≤2且n ∈N}={0，2，4}；

（7）抛物线y=x 2﹣2x 与x 轴的公共点的集合={（0，0），（2，0）}；

（8）直线y=x 上去掉原点的点的集合={（x ，y ）|y=x ，（x ≠0）}；

（9）小于20的素数组成的集合，列举法为{2，3，5，7，11，13，17，19}；

（10）方程x 2﹣4=0的解的集合．列举法为：{﹣2，2}；

（11）由大于3小于9的实数组成的集合．描述法为：{x|3＜x ＜9，x ∈R}．

（12）所有奇数组成的集合．描述法为：{x|x=2n+1，n ∈z}

（13）{x|x 是台州九个县市区}；

（14）用描述法表示{x|2＜x ＜6，x ∈R}；

（15）由于质数又称素数．指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数 故10以内所有质数：2、3、5、7，则它们组成的集合是{2，3，5，7}；

（16）设三角形第三边长度为x ，根据三角形三边长度的关系得：x ＞5﹣3，x ＞2；x ＜5+3，x ＜8，所以x 的取值范围为：2＜x ＜8．又由第三条边长是整数，故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3，4，5，6，7}，用描述法表示为{x|2＜x ＜8，x ∈N}