弹性的应力和应变优秀课件
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《应力与应变》课件
《应力与应变》PPT课件
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
目录
CONTENTS
• 应力概述 • 应变概述 • 应力与应变的关系 • 应力与应变的应用 • 实验与演示 • 总结与展望
01 应力概述
CHAPTER
定义与概念
定义
应力定义为物体内部单位面积上 所承受的力，用于描述物体受力 状态。
概念
应力是物体受力时内部各部分之 间的相互作用，是物体抵抗变形 和破坏的内在能力。
压缩实验
总结词
通过观察物体在压缩过程中的形变，了解应 力和应变的基本性质。
详细描述
压缩实验是应力与应变研究中另一种重要的 实验方法。在实验中，我们将物体的一端固 定，另一端施加逐渐增大的压力，使物体发 生压缩形变。通过测量压缩量，我们可以计 算出物体的应力和应变。通过观察和记录实 验数据，学生可以了解应力和应变的基本性
应力分类
按作用方式
可分为正应力和剪应力。正应力表示 垂直于受力面的力，剪应力表示与受 力面平行且垂直于切线方向的力。
按作用效果
可分为拉应力和压应力。拉应力表示 使物体拉伸的力，压应力表示使物体 压缩的力。
应力单位与表示方法
单位
应力的单位是帕斯卡（Pa），国际单位制中的基本单位。
表示方法
应力的表示方法通常采用符号“σ”或“σxx”（xx表示方向），例如正应力的 表示符号为σ或σxx，剪应力的表示符号为τ或τxy（xy表示剪切方向）。
进步。
谢谢
THANKS
压缩试验
测定材料的抗压强度、弹性模量等指 标，了解材料在受压状态下的性能表 现。
有限元分析
模型建立
根据实际结构或系统建立有限元 模型，将复杂结构离散化为有限
个单元。
加载与约束
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系ppt课件
y z z x0 , z(xy )
5.1.6 弹性应变能
• 一维情况
一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长 量为L，外力功为
L
U Pd(L) 0
由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成
x
USL xdx 0
• 单位体积的应变能W为
WU SL
x
xdx
0
x
W
1 2
Ex2
x
W x
W x
• 求应变能相对应变的偏导
x
W x
• 三维情况
考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应
力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，
W ij 0
d ij ij
z
z
zx
yx xz
yz
xy
x
zy
yx zx
yz y
y
x
根据能量平衡，单位体积的应变能应是
所以
W ijdW ij
5.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
1122331 3k k
体积模量
Kkkk /k 33 32G2 3G
• 单轴拉伸实验
x 0 0
ij
0
0
0
0 0 0
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
Exx G(2G G3)
相反，有
y x 2(G)
G E 2(1 )
E (1)(12)
纯剪实验
0 xy 0
zx - zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2 xy
-
1 2 xz
y
-
1 2
yz
弹性应力应变关系教学课件PPT_OK
c36 c46
C2311
C2322
C2333
C2312
C2323
C2331
c51
c52
c53
c54
c55
c56
C3111 C3122 C3133 C3112 C3123 C3131 c61 c62 c63 c64 c65 c66
取 11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6 两个矩阵均为对称矩阵。
式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。
2021/8/23
16
线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达
x c11 c12 c13 c14 c15 c16 x
y
c21
c22
c23
c24
c25
c26
y
z yz
cc3411
c32 c42
c33 c43
c34 c44
2G y
z
2G z
1
2G z
1
3K
2G z
xy 2G xy yz 2G yz zx 2G zx
式中 称为Lame 常数。
3K E
E
1
1 1 2 (1 )(1 2)
2021/8/23
13
整理最终的应力应变关系是
x 2G xx y 2G yy z 2G zz
y c3c333zz c3c434yz
yz c3c535zx
zx
c3c636xy
xy
yyzz c4411 xx c4422 yy c4433 zz c4444 yyzz c4455 zzxx c4466 xxyy
zzxx c5511 xx c5522 yy c5533 zz c5544 yyzz c5555 zzxx c5566 xxyy
《力学》第八章弹性体应力和应变ppt课件
＝ y(x x) y(x)
x
当 x 0 时：
＝ lim y(x x) y(x) y
x0
x
x
因此，
＝G y
x
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第八章 弹性体的应力和应变 5、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
E
0 p
1 G
2
2
（5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只 能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
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第八章 弹性体的应力和应变
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代 弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹 性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开 始的。
由于课程所限，我们在本章仅对弹性体力学作简单的 介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩形变
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝ Fn
S
（1）
其中，F沿作用力截面的法线方向。
例：如图示，一般取n为外法线方向，则
0,也可能是 0.
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第八章 弹性体的应力和应变
2. 线应变（相对伸长或压缩）
弹性极限、屈服极限、抗拉极限应力-应变曲线ppt课件
所对应的应力值记作， b 称为材料的抗拉强度
(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重
要(指4)标缩。颈断裂阶段
曲线到达e点前，试件的变形是均匀发生的， 曲线到达e点，在试件比较薄弱的某一局部(材 质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横 截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被 拉断，所以ef段称为缩颈断裂阶段。
圆截面试件标距：L0=10d0或5d0
.
2、试验机
.
0
.
3、低碳钢拉伸曲线
.
b
e P
a
o
e
b
f
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力）
c
s — 屈服极限 （s 力达到此线以上3就、叫强“化屈阶服段”c）e（恢复抵抗
变形的能力）（均匀塑性变形）
b — 强度极限（对最大均匀塑 ） 性变形的抗力
低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图， 如图示。
在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线 基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被 压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生 断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。
.
3、灰铸铁
by
灰铸铁的
压缩曲线
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
O
.
= 45o~55o 剪应力引起断裂
应力—应变曲线
.
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一、拉伸时的应力——应变曲线
件试 件 和 实 验 条
静常 载温
、
.
1、 试件
（1）材料类型： 低碳钢： 塑性材料的典型代表； 灰铸铁： 脆性材料的典型代表；
标距
L0
（2）标准试件：
d0
(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重
要(指4)标缩。颈断裂阶段
曲线到达e点前，试件的变形是均匀发生的， 曲线到达e点，在试件比较薄弱的某一局部(材 质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横 截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被 拉断，所以ef段称为缩颈断裂阶段。
圆截面试件标距：L0=10d0或5d0
.
2、试验机
.
0
.
3、低碳钢拉伸曲线
.
b
e P
a
o
e
b
f
2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力）
c
s — 屈服极限 （s 力达到此线以上3就、叫强“化屈阶服段”c）e（恢复抵抗
变形的能力）（均匀塑性变形）
b — 强度极限（对最大均匀塑 ） 性变形的抗力
低碳钢是塑性材料，压缩时的应力–应变图， 如图示。
在屈服以前，压缩时的曲线和拉伸时的曲线 基本重合，屈服以后随着压力的增大，试样被 压成“鼓形”，最后被压成“薄饼”而不发生 断裂，所以低碳钢压缩时无强度极限。
.
3、灰铸铁
by
灰铸铁的
压缩曲线
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
O
.
= 45o~55o 剪应力引起断裂
应力—应变曲线
.
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一、拉伸时的应力——应变曲线
件试 件 和 实 验 条
静常 载温
、
.
1、 试件
（1）材料类型： 低碳钢： 塑性材料的典型代表； 灰铸铁： 脆性材料的典型代表；
标距
L0
（2）标准试件：
d0
弹性力学第四章应力应变ppt课件
弹性体的应变能函数表达式
v 1 2 (xxyyzzxy x yyz y zxz x)z
最新课件
10
1. 极端各向异性弹§性4体.3 各向异性弹性体
利用格林公克 式定 和律 广： 义胡
v
y
yC21xC22yC23zC24yzC25xzC26xy
再对xz求偏导 : y2v xz C25
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减 少为13个。
x C11 x C12 y C13 z C14 yz
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz
z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz
yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz
程只有九个:
最新课件
1
i,j fi 0(ui),
ij
1 2(ui, j
uj,i ),
j 1,2,3 i, j 1,2,3
其中f i 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程
是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六
个方程，使得方程组封闭。
另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
新旧坐标系之间的转换关系为
最新课件
12
根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx
《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题
数学模型的比较
平面应力问题
需要建立三个方向的应力分量，即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$ 和$tau_{xy}$，以及三个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$。
平面应变问题
需要建立两个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$，以及三个方向的应力分量， 即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$和$tau_{xy}$。
04
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在建筑领域的应用
结构设计
建筑结构中的梁、柱、板等构件 的受力分析，需要考虑弹性力学 的基本原理，以确保结构的稳定 性和安全性。
地震工程
地震工程中，建筑物的抗震设计 需要利用弹性力学的基本原理， 研究地震作用下的结构响应和破 坏机制。
弹性力学在机械领域的应用
机械零件设计
机械零件如轴承、齿轮、弹簧等的受 力分析，需要考虑弹性力学的基本原 理，以确保零件的稳定性和可靠性。
疲劳寿命预测
弹性力学在机械领域中广泛应用于疲 劳寿命预测，通过分析材料的应力分 布和应变历程，预测零件的疲劳寿命。
弹性力学在航空航天领域的应用
飞机结构分析
飞机结构中的机翼、机身等部件的受力分析，需要考虑弹性力学的基本原理，以确保飞机的安全性和稳定性。
假设物体在平面内的应力分量与垂直于平面的应力分量相比很小，因此可以忽略不 计。
平面应变问题的求解方法
基于弹性力学的基本方程，建 立平面应变问题的数学模型。
利用边界条件和初始条件，求 解数学模型中的未知量。
常用的求解方法包括有限元法、 有限差分法和变分法等数值计 算方法，以及解析法等理论计 算方法。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
物体的弹性PPT课件
P θ
P ΔV
P V ΔV
V
•体积压缩系数（k）—— 体变模量
的倒数。
k 1 ΔV
ΔV
K P V
第36页/共65页
ΔV
第37页/共65页
•各种固、 液体的体 变模量数 值表
第38页/共65页
3、例题 已知：骨长 Lo = 0.4 m， S = 5 Cm2， F = 500 N， E = 1×1010 N/m2。 求：ΔL = ？（ΔL / Lo）= ？
•切变模量 —— 切应力与切应变的比
值。
G
切应力 : 切应变 :
tg
F// S
F//
d
x S x
d
•大多数金属的体切变模量为：
（E/3 ～ E/2）。
第34页/共65页
•各种固体的切变模量数值表
第35页/共65页
•体变模量（K）—— 压强与体应变 的负比值。
K
压强 体应变
第58页/共65页
•在被扭转的情况下，这些矩形将变 成平行四边形。 •不仅圆杆的表面如此，其内部各层 亦皆如此，不过越里层的变化越小。 •可见扭转实际上是剪切的表现。
第59页/共65页
•越靠近中心轴的层，剪应变越小， 越外层的剪应变越大，弧越长。 •在中心轴上剪应变为零，剪应力亦 为零，因弧长为零。
第45页/共65页
例1：股骨最小截面积610-4m2，抗压 强度＝17107N/m2，骨骼杨氏模量 E=0.91010N/m2； 求：受压负荷多大时骨骼碎裂？假定 碎裂前应力与应变是线性关系，则碎 裂时应变为多少？ 解：抗压强度即碎裂时的应力
第46页/共65页
σ F S
F σ S 17 107 6 104
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
应力与应变分析课件
03
边界元法
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，适用于解决各种物理问
Байду номын сангаас
题。未来，边界元法将在更多领域得到应用，例如流体力学、电磁场等
问题。
考虑材料非线性的影响
材料非线性是指材料的应力-应变关系不是线性的，需要考虑 材料内部结构、相变等因素的影响。未来，研究人员将进一 步考虑材料非线性的影响，以更准确地预测材料的力学性能 。
解方程
通过加权残值法，求解方程中 的参数，使得残值的平方和最
小化。
05
应力与应变分析在工 程中的应用
结构优化设计
总结词
提高结构性能与稳定性
详细描述
应力与应变分析在结构优化设计中具有重要作用，通过分析可以评估结构的强 度、刚度和稳定性，发现潜在的薄弱环节，为结构设计和改进提供依据，从而 提高结构的性能与稳定性。
应力分类
根据作用力的来源和性质，应力 可以分为多种类型，如正应力、 剪应力、弯曲应力等。
应力与应变的关系
应力的作用
应力作用在物体上，会导致物体 内部发生形变，即应变。
应变分类
应变分为线应变和角应变，分别表 示物体形状和大小的改变。
弹性力学基本方程
描述应力与应变之间关系的方程， 如胡克定律（Hooke's law）。
应力应变关系。
04
应变分析的基本方法
直接方法
定义应变分量
根据物体的形状和受力情况，将物体分为多个小的单元，并定义 每个单元的应变分量。
建立方程
根据弹性力学方程和应变分量的定义，建立物体整体的应变方程。
解方程
根据方程的解，得到每个点的应变值。
最小二乘法
确定目标函数
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§8.1.4拉伸和压缩的形变势能
弹性力是保守力.
弹性力所做的功等于弹性体弹性势能的减少.
设形变量 ，直杆形变前=0；发生形变l , = l
胡克定律
Fn
SE
l0
外力做功
A
Δl 0
Fnd
ES l0
Δl 0
d
1 2
E(Δl l0
)2
Sl0
设未形变时势能为零， 则
弹性势能
Ep
1 2
E
2V
弹性势能密度
弹性的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变
弹性形变——当物体所受外力撤除后，在外力作 用下所发生的形状和体积的变化完全消失，而恢 复原状的形变.
弹性体——弹性形变的物体，是一种理想模型. 弹性的形变有拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲.
拉伸压缩和剪切形变是最基本的形变.
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
§8.1.1外力·内力与应力
2pR
d d
§8.2 弹性体的剪切形变
§8.2.1剪切形变·切应力与切应变 §8.2.2剪切形变的胡克定律
§8.2 弹性体的剪切形变
§8.2.1剪切形变·切应力与切应变
1.切应力 剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行
截面间发生相对平行移动. 物体受到力偶 FF发生剪切变形 切应力 F
S
Fp1
FN1
A
Fp2
A
FN2 M1
A A´
M2
C
C´
C
C´
B B´
B
B´
弯曲形变特点: 弯曲后，靠近上缘各层发生压缩形变；靠近下
缘各层，发生拉伸形变. 处于中间的的CC´ 层(中性
层)既不伸长也不压缩.
M A
h
b
A´
中性层曲率
K
12M Ebh3
M是加于梁的力偶矩，E为材料的杨氏模量，b为梁
宽度，h为梁的高度.
l O
表8.3 密质骨的弹性模量/GPa
骨
马
牛
猪
人
拉伸弹性模量
股骨
25.5
25.0
14.9
17.6
胫骨
23.8
24.5
17.2
18.4
肱骨
17.8
18.3
14.6
17.5
桡骨
22.8
25.9
15.8
18.9
压缩弹性模量
股骨 9.4±0.4 8.7
4.9
7
胫骨
8.5
5.1
肱骨
9.0
5.0
桡骨
8.4
5.3
§8.3.2杆的扭转
圆柱体受到作用在与其轴线垂直的两个平面上
大小相等方向相反的两个力偶矩，发生扭转形变.
M
A
A
r l
M
扭转形变
体元剪切形变
l、r、 和
物理意义
是扭转角, r 表示体元所在半径，l 表示柱长.
扭转形变实质上是由剪切形变组成的.
微小形变时，狭长体元的切应变为
r l
内外层切应变不同，根据胡克定律，内外层
FD A
C
S是截面ABCD的面积，
B F
切应力具有与正应力相同的量纲和单位.
2.剪切应力互等
力偶矩
M ( F ,F ) M ( F ,F )F
F b F
c
F a
和’分别表示上下底面和左右侧面的切应力
(a c )b (b c )a
剪切应力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并
垂直于该两平面交线的切应力相等.
3.剪切应变描述
剪切形变特征: bbcc
切应变 : 平行截面间相对滑
移与截面垂直距离之比.
即 形变小时，
tan bb
ab
tan
bb ab
又称切变角.
b b
a
c c
d
§8.2.2剪切形变的胡克定律
1. 剪切形变的胡克定律
剪切形变的胡克定律——若形变在一定限度内，切 应力与切应变成正比.
l0 l
线应变
Δl l0
b
横向应变
1
bb0 b0
Δb b0
b0
泊松系数
1
反映物质形变程度， 反映物质弹性特征.
§8.1.3胡克定律
胡克定律
E（仅形变较小时成立）
即
Fn E Δl
S
l0
E是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.
A
B
F B
C D
断裂点
弹性极限
O
P P 是塑性应变.
1 G
2
2
F
§8.3弯曲和扭转
§8.3.1梁的弯曲 §8.3.2杆的扭转
§8.3弯曲和扭转
梁的弯曲和杆的扭转都可以看成是由拉伸压缩
和剪切形变两种基本形变的组合.
§8.3.1梁的弯曲
矩形横截面梁
，不计自重
,如图
Fp1Fp2
F N1FN2 Fp1Fp2
F N 1 和 F p 1F N 2 和 F p 2 形 成 二 F p 2 和 F 力 p 2 之 偶 间 使
外力 F F
F F
F' F'
F
AB
内力 F
FFF
F
F' F
F
en
F
AB
F
en
不计杆自身重量
F
F
F
F
F
应力 Fn
S
单位：帕, N/m2
Fn是内力在外法线方向的投影, S是横截面积
§8.1.2直杆的线应变
直杆原长与形变后长度之差
Δl l l0 绝对伸长 Δl 0 绝对压缩 Δl 0
Ep0
1 2
E 2
[例题]本段标题为杆的拉伸压缩，但并非仅直杆内存在拉 伸压缩应力.如图表示装高压气体的薄壁圆柱形容器的横 断面。壁厚为d 且圆柱的半径为R. 气体压强为p ，求壁内 沿圆周切向的应力.不计容器自重且不计大气压.
[解] 受力如图所示。按平衡条件得
d
2pR 2d0
R
Rp/d
即器壁沿圆周切向受拉应力.
切应力也不同，靠外层切应力较大.
可以证明，扭转力偶矩M和扭转角 的关系为
M πGR4 c
2l
R和 l 分别表示圆柱体的半径与长度，G为切变模量，
圆柱体扭转系数
c πGR 4 2l
即
G
G称切变模量，由材料弹性决定. G反映材料抵抗剪
切形变的能力， 单位与弹性模量相同.
弹性模量E、切变模量G和泊松系数 之间的关系为
G E
2(1 )
2. E、G和 之间关系的定性说明
设杆所受外界拉力一定.
F
一定时，E与G成正比.
E一定时， 大G小， 小G大
单位体积剪切形变的弹性势能为
Ep0