(word完整版)高中数学文科导数练习题
导数切线方程练习题文科(可编辑修改word版)
1 n 12 n1、曲线y =1x2在点导数切线方程练习题1 处切线的倾斜角为22、曲线y =x(1, )2在点(1,1) 处的切线方程为．2x -13、曲线y =x3在点(1,1) 处的切线与x 轴、直线x = 2 所围成的三角形面积为．4.函数f (x)=e x cos x 的图像在点(0, f (0))处的切线的倾斜角为5.曲线y =e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为6.曲线y = e x在点A 处的切线与直线x -y + 3 = 0 平行，则点A 的坐标为7.设曲线y =x +1在点(3, 2) 处的切线与直线ax +y +1 = 0 垂直，则a 等于x -18.曲线y=2sinx 在点P（π，0）处的切线方程为9.设曲线y =x n+1(n ∈N *) 在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为x ,则x ⋅x ⋅ ⋅x 的值为20．函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y =x + 2 ，则2f (1) +f '(1) =10.直线y = 2x +b 与曲线y =-x + 3ln x 相切，则b 的值为.11.已知函数f (x) =xe x.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点x =1 处的切线方程.12.已知函数f (x)=x +a+b(x ≠ 0)，其中a, b ∈R .若曲线y = xy = 3x + 1，求函数f (x)的解析式；f (x)在点P(2, f (2))处的切线方程为13.已知函数 f (x) =x3+x -16 ．（1）求曲线y = f (x) 在点(2, -6) 处的切线方程；（2）直线l 为曲线y =f (x) 的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．14.已知函数f (x) =x2+ax +b ，g(x) =e x(cx +d ) 若曲线y =f (x) 和曲线y =g(x) 都过点P(0,2) ，且在点P 处有相同的切线y = 4x + 2 . 求a ，b ，c ，d 的值；15.设函数f (x) =ae x 求a, b ln x +be x-1x，曲线y = f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为y =e(x - 1) + 216.已知函数f (x) =x3+ax2+bx +c ，g(x) =12x - 4 ，若f (-1) = 0 ，且f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程为y =g(x) ．（1）求实数a ，b，c的值；17. 已知f (x) = 2x2- 1，求过点(1, 0) 的与函数的切线方程。
导数文科大题含详细答案
导数文科大题1.知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，数的取值围. 答案解析2.已知 , (1)若 ,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,数a 的取值围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号,,的取值围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数 ,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意 ,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性与极值关系,即可求得与单调区间与极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。
高中数学导数练习题含答案
高中数学导数练习题含答案一、解答题1．已知函数e ()(ln )=--+xf x a x x a x（a 为实数）．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数． 5．设函数()1eln 1x af x a x -=--，其中0a >(1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 6．已知函数()1e xaxf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．9．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.10．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．【参考答案】一、解答题1．(1)单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞ (2)(e,)+∞ 【解析】 【分析】（1）求导2(1)(e )()--'=x x ax f x x，易知1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，然后由()0f x '<和()0f x '>求解；（2）由（1）知，0a 时，不符合题意， 0a >时，根据函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，得到()0f x '=在（0，1）内存在唯一变号零点，转化为exa x=在（0，1）内存在唯一根求解. (1)解：函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，22e (1)1(1)(e )()1---⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭x x x x ax f x a x x x ． 当1a =-时，e 0-=+>x x ax e x ，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递减区间为（0，1），递增区间为(1,)+∞． (2)由（1）知，当0a 时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以()f x 在（0，1）内不存在极值点；当0a >时，要使函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，则2(1)(e )()0--'==x x ax f x x在（0，1）内存在唯一变号零点， 即方程e 0x ax -=在（0，1）内存在唯一根，所以e xa x=在（0，1）内存在唯一根，即y a =与()ex g x x=的图象在（0，1）内存在唯一交点，因为2(1)e ()0-'=<xx g x x ， 所以()g x 在（0，1）内单调递减．又(1)e g =， 当0x →时，()g x ∞→+，所以e a >，即a 的取值范围为(e,)+∞． 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =，由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦，令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x xx x --'=-=--，当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)(2e 1y x =-+(2)（ⅰ）(2e 2e ,4e -；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x x 22e ex a -=-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+-即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x xx x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.5．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a+=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞， 则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'， 所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=， 当01x <<时，0f x，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ， 令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>， 所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥： 因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意.②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0xx x g x x -++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.8．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l xx xx ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解. (1)由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞， 由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x'+>， 所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=， 从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线. (2)由()()f x g x ≤，得()1ln xxk x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可.令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦，令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e ee e 1ln e e 1ϕ==--，即ee 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解. 9．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减， 所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1. 10．(1)25y x =+ (2)0b = 【解析】 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值. (1)当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=- 又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+． (2)当1a =时，令函数()()()2e 11xg x f x b x =-=+--，则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立． 又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值． 又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点． 所以ln(1)0b -=，解得0b =．。
求导练习题高中
求导练习题高中1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 4x + 2解析：对于多项式函数，求导时可以将指数乘到系数上，并将指数减1。
f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1) + 0= 6x - 4b) g(x) = (2x + 1)^3解析：使用链式法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
g'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2= 6(2x + 1)^2c) h(x) = cos(x^2)解析：对于三角函数，使用复合函数求导法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
h'(x) = -sin(x^2) * 2x= -2x*sin(x^2)2. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 1解析：对于多项式函数，求高阶导数时可以重复使用求导公式。
f'(x) = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) + 1 * 3x^(1-1)= 15x^2 - 4x + 3f''(x) = 2 * 15x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 30x - 4f'''(x) = 1 * 30x^(1-1)= 30b) g(x) = e^x解析：对于指数函数，高阶导数仍为指数函数。
g'(x) = e^xg''(x) = e^xg'''(x) = e^x由此可见，指数函数的高阶导数始终等于自身。
3. 求下列函数的导数并求其在给定点的导数值：a) f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(2)解析：先求导再代入给定点进行计算。
f'(x) = 3 * 2x^(3-1) + 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 6x^2 + 6x - 4f'(2) = 6 * 2^2 + 6 * 2 - 4= 24 + 12 - 4= 32b) g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(π/4)解析：先求导再代入给定点进行计算。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
(word完整版)导数的运算练习题
导数的运算练习一、常用的导数公式(1)'C = (C 为常数)； （2）()'n x = ; （3）(sin )'x = ； （4）(cos )'x = ； （5）()'x a = ； （6）()'x e = ； （7）_____________; （8)_____________;二、导数的运算法则 1、（1） ； （2）；（3）______________________________________； （4）=___________________________________;(C 为常数）2、复合函数的导数设 ．三、练习1、已知()2f x x =，则()3f '等于（ )A ．0B ．2xC ．6D ．9 2、()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 3、32y x = ) A ．23xB ．213x C ．12- D 33x4、曲线n y x =在2x =处的导数是12，则n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、若()f x =()1f '等于（ ）A ．0B ．13- C ．3 D ．136、2y x =的斜率等于2的切线方程是（ ） A ．210x y -+=B ．210x y -+=或210x y --=C ．210x y --=D ．20x y -= 7、在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭8、设()sin y f x =是可导函数,则x y '等于（ ）A ．()sin f x 'B ．()sin cos f x x '⋅C ．()sin sin f x x '⋅D ．()cos cos f x x '⋅ 9、函数()22423y x x=-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+B ．()2216x -+ C ．()()282361x x x -+-D ．()()242361x x x -+-10、曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是（ ) A ．74y x =+B ．72y x =+C ．4y x =-D ．2y x =-11、点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ )A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,24ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦12、求函数212y x =-在点1x =处的导数。
高二导数练习题及答案文库
高二导数练习题及答案文库导数是高中数学中的重要知识点之一，掌握导数的概念和运算方法对学生的数学学习至关重要。
为了帮助高二学生更好地巩固导数知识，提高解题能力，本文整理了一些高二导数练习题及其详细答案，供学生参考和练习。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)。
解：根据导数的定义，可得：f'(x) = lim(Δx→0)[f(x + Δx) - f(x)] / Δx代入函数f(x)的表达式，展开并化简：f'(x) = lim(Δx→0)[(3(x + Δx)² - 2(x + Δx) + 1) - (3x² - 2x + 1)] / Δx= lim(Δx→0)[3x² + 6xΔx + 3(Δx)² - 2x - 2Δx + 1 - 3x² + 2x - 1] /Δx= lim(Δx→0)(6xΔx + 3(Δx)² - 2Δx) / Δx= lim(Δx→0)(6x + 3Δx - 2) = 6x - 2所以，函数f(x) = 3x² - 2x + 1的导数f'(x)为6x - 2。
2. 已知函数g(x) = 4x³ + 2x² - x的导数g'(x)，求g'(1)的值。
解：根据导数的定义，g'(x) = lim(Δx→0)[g(x + Δx) - g(x)] / Δx代入函数g(x)的表达式，展开并化简：g(x + Δx) = 4(x + Δx)³ + 2(x + Δx)² - (x + Δx)= 4x³ + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - x - Δx= 4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx代入导数的定义：g'(x) = lim(Δx→0)[(4x³ + 2x² - x + 12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) - (4x³ + 2x² - x)] / Δx= lim(Δx→0)(12x²Δx + 12xΔx² + 4(Δx)³ + 4xΔx + 2(Δx)² - Δx) / Δx= lim(Δx→0)(12x² + 12xΔx + 4(Δx)² + 4x + 2Δx - 1)= 12x² + 4x - 1将x = 1代入上述导数表达式，可得：g'(1) = 12(1)² + 4(1) - 1 = 15所以，g'(1)的值为15。
(word完整版)高中文科数学导数练习题
专题 8：导数（文）经典例题分析考点一：求导公式。
例 1. f (x) 是 f (x) 1 x32x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是。
3分析： f ' x x 22，所以 f ' 1 1 23答案： 3考点二：导数的几何意义。
例 2.已知函数 y f ( x) 的图象在点 M (1， f (1)) 处的切线方程是 y 1x 2 ，则2f (1) f (1)。
分析：由于 k 1，所以25，所以 f 15，所以221f ' 1，由切线过点M (1，f (1))，可得点M的纵坐标为2f 1 f ' 13答案： 3例 3.曲线y x32x24x 2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。
分析： y'3x24x 4 ，点 (1， 3) 处切线的斜率为k 3 4 4 5 ，所以设切线方程为 y5x b ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得b 2 ，所以，过曲线上点(1，3)处的切线方程为：5x y 2 0答案： 5x y 20评论：以上两小题均是对导数的几何意义的考察。
考点三：导数的几何意义的应用。
例 4.已知曲线 C ：y x33x 22x，直线 l : y kx ，且直线l 与曲线C相切于点x0 , y0 x00 ，求直线l的方程及切点坐标。
解析：直线过原点，则 k y0 x0 0 。
由点x0, y0在曲线 C 上，则x0y 0 x 0 3 3x 0 22x 0 ， y 0x 0 23x 02。
又 y' 3x 26x2 ，在x 0x 0 , y 0处 曲 线 C 的 切 线 斜 率 为 k f ' x 03x 0 2 6x 02 ，23x 0 22 6x 02 ，整理得： 2 x 0 3x 0 0 ，解得： x 03 0x 03x 0或 x 02（舍），此时，y 03 ， k 1 。
所以，直线 l 的方程为 y1x ，切点坐标是8443 , 3 。
高二文科导数求导练习题
高二文科导数求导练习题1. 求导函数：f(x) = 3x^2 - 2x + 5我们将使用导数的定义来求解这个练习题。
首先，我们需要确定函数f(x)在给定的区间内是可导的。
在这种情况下，我们不需要担心定义域或间断点。
根据导数的定义，导数f'(x)为函数f(x)在x点的极限值：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h我们将使用极限的性质来简化这个表达式。
首先，我们计算f(x+h)：f(x+h) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) + 5= 3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5= 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5接下来，我们计算f(x+h) - f(x)：f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5) - (3x^2 - 2x + 5)= 6xh + 3h^2 - 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中：f'(x) = lim(h->0) [6xh + 3h^2 - 2h] / h我们可以通过取消分式中的h来简化上述表达式：f'(x) = lim(h->0) 6x + 3h - 2最后，当h趋近于0时，只有常数项6x会影响极限的结果：f'(x) = 6x最后的结果表明，在给定的区间内，函数f(x)的导数f'(x)是6x。
2. 求导函数：g(x) = sqrt(x^3) + 2x与第一个练习题相似，我们将使用导数的定义来求解这个问题。
同样地，我们需要确定函数g(x)在给定的区间内是可导的。
根据导数的定义，导数g'(x)为函数g(x)在x点的极限值：g'(x) = lim(h->0) [g(x+h) - g(x)] / h首先，我们计算g(x+h)：g(x+h) = sqrt((x+h)^3) + 2(x+h)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h接下来，我们计算g(x+h) - g(x)：g(x+h) - g(x) = (sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h) - (sqrt(x^3) + 2x)= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 2x + 2h - sqrt(x^3) - 2x= sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h现在我们可以将此结果代入到导数的定义中：g'(x) = lim(h->0) [sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3) + 2h] / h将分式中的h进行约分，我们可以得到：g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h + 2]当h趋近于0时，我们只需要考虑第一项中的根式部分，其他项不会影响极限的结果：g'(x) = lim(h->0) [(sqrt(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - sqrt(x^3)) / h]为了使计算更加便捷，我们将使用导函数的性质。
导数及其应用(压轴题) Word版含解析
2.4导数及其应用(压轴题)命题角度1利用导数研究函数的单调性高考真题体验·对方向1.(2016北京·18)设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).新题演练提能·刷高分1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)ln x++2mx.(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.3.(2018山东烟台期末)已知函数f(x)=ln x+-x+1-a(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x>1,使f(x)+x<成立,求整数a的最小值.4.(2018重庆二诊)已知函数f(x)=-1e x+(x>0,a∈R).(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.命题角度2函数的单调性与极值、最值的综合应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.2.(2017北京·19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.3.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.4.(2017山东·20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.5.(2016全国Ⅱ·21)(1)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北重点高中协作体联考)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.2.(2018河南中原名校质量考评)已知函数f(x)=e x-x2+ax.(1)当a>-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a<1-e,求证:函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于.3.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2(e是自然对数的底数).(1)判断函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x∈R,f(x)+e x≥x3+x,求a的取值范围.4.(2018山东青岛一模)已知函数f(x)=a e2x-a e x-x e x(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且≤f(x0)<.命题角度3利用导数研究函数的零点或方程的根高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.2.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.3.(2015全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北黄冈等八市联考)已知函数f(x)=e x,g(x)=.(1)设函数F(x)=f(x)+g(x),试讨论函数F(x)零点的个数;(2)若a=-2,x>0,求证:f(x)·g(x)>.2.(2018广东深圳第二次调研)设函数f(x)=e x-1-a ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若0≤a≤e,求证:f(x)无零点.3.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x(a∈R)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2>2a.命题角度4导数与不等式高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.2.(2016全国Ⅲ·21)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明:|f'(x)|≤2A.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设f(x)=,g(x)=a x+x a.(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减;(2)若0<a<x<1,证明:g(x)>1.2.(2018河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=e x-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.3.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=m ln x-e-x(m≠0).(1)若函数f(x)是单调函数,求实数m的取值范围;(2)证明:对于任意的正实数a,b,当a>b时,都有e1-a-e1-b>1-.4.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=(x+b)(e x-a)(b>0)在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+e y+e-1=0.(1)求a,b;(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.命题角度5恒成立与存在性问题高考真题体验·对方向(2017全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+<m,求m的最小值.新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(1))处的切线方程是y=0.(1)求函数f(x)的极值;(2)当≥f(x)+x(m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).2.(2018河北唐山一模)已知函数f(x)=e x-1,g(x)=ln x+a.(1)设F(x)=xf(x),求F(x)的最小值;(2)证明:当a<1时,总存在两条直线与曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.3.(2018河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=.(1)确定函数f(x)在定义域上的单调性;若f(x)≤k e x在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.4.(2018山东潍坊一模)函数f(x)=e x sin x,g(x)=(x+1)cos x-e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)对∀x1∈0,,∃x2∈0,,使f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m的取值范围;(3)设h(x)=·f(x)-n·sin 2x在0,上有唯一零点,求正实数n的取值范围.。
高考文科数学专题复习导数训练题
高考文科数学专题复习导数训练题〔文〕一、考点回忆1．导数的概念及其运算是导数应用的根底，是高考重点考察的内容．考察方式以客观题为主，主要考察导数的根本公式与运算法那么，以及导数的几何意义.2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性及最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间与最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即及函数、不等式、数列的综合应用.3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型〔函数关系〕,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用与端点值进展比拟,也可以得知这就是最值. 二、经典例题剖析 考点一：求导公式例1)(/x f 是1231)(3++=x x x f 的导函数，那么=-)1(/f . 考点二：导数的几何意义例2. 函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是221+=x y ，那么=+)1()1(/f f .考点三：导数的几何意义的应用例3.曲线,23:23x x x y C +-=直线,:kx y l =且直线l 及曲线C 相切于点()(),0,000≠x y x 求直线l 的方程及切点坐标.考点四：函数的单调性例4.设函数c bx ax x x f 8332)(23+++=在1=x 及2=x 时取得极值. (1)求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间；(2)假设对于任意的[],3,0∈x 都有)(x f <2c 成立，求c 的取值范围. 考点五：函数的最值例5.a 为实数，).)(4()(2a x x x f --=(1)求导数)(/x f ；(2)假设,0)1(/=-f 求)(x f 在区间[]2,2-上的最值.考点六：导数的综合性问题例6. 设函数)0()(3≠++=a c bx ax x f 为奇函数，其图象在点())1(,1f 处的切线及直线076=--y x 垂直，导函数.12|)(min /-=x f (1)求c b a ,,的值；(2)求函数)(x f 的单调递增区间，并求函数)(x f 在[]3,1-上的最大值与最小值. 例7．cx bx ax x f ++=23)(在区间[]1,0上是增函数,在区间()()+∞∞-,1,0,上是减函数，又1322f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． 〔Ⅰ〕求()f x 的解析式；〔Ⅱ〕假设在区间[0](0)m m >，上恒有()f x x ≤成立，求m 的取值范围．例8．设函数2()()f x x x a =--〔x ∈R 〕，其中a ∈R ．〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；〔Ⅱ〕当0a ≠时，求函数()f x 的极大值与极小值；〔Ⅲ〕当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9．),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=在()0,∞-上是增函数,[]3,0上是减函数,方程0)(=x f 有三个实根，它们分别是.,2,βα(1)求b 的值，并求实数a 的取值范围；(2)求证：βα+≥.25三、 方法总结〔一〕方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具．导数的概念及其运算是导数应用的根底，是高考重点考察的对象．要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法．应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景．应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比拟详细的表达．〔二〕高考预测导数的考察方式以客观题为主，主要考察求导数的根本公式与法那么，以及导数的几何意义．也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数及解析几何的综合题．导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性与极值、最值、值域问题． 四、强化训练1．曲线42x y =的一条切线的斜率为21，那么切点的横坐标为〔 A 〕A ．1B ．2C ．3D ．42．函数,93)(23-++=x ax x x f )(x f 在3-=x 时取得极值，那么=a 〔 D 〕 〔A 〕2〔B 〕3 〔C 〕4 〔D 〕53．函数32312)(x x x f -=在区间[]6,0上的最大值是〔 A 〕A ．323B ．163C ．12D ．94．三次函数x ax y +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，那么 〔 A 〕 A ． 0>aB ．0<aC ．1=aD ．31=a5．在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数是〔 D 〕 A ．3B ．2C ．1D ．06．函数,)(23c bx ax x x f +++=当1-=x 时，取得极大值7；当1-=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值．7．设函数).()(23R x cx bx x x f ∈++=)()()(/x f x f x g -=是奇函数. 〔1〕求c b ,的值；〔2〕求)(x g 的单调区间及极值.8．用长为18 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长及宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？9．函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'f x 是的导函数. (I)对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； ()设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象及直线3y =只有一个公共点.10．设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．(I)求()f x 的最小值()h t ； ()假设()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．11．设函数).,(4)1(3)(23R b a b ax x a x x f ∈+++-=(I)假设函数)(x f 在3=x 处取得极小值,21求b a ,的值；()求函数)(x f 的单调递增区间；() 假设函数)(x f 在)1,1(-上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．12．二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足：对任意R x ∈，都有)(x f ≥,x 且当)3,1(∈x 时，有)(x f ≤2)2(81+x 成立．(I)试求)2(f 的值；()假设,0)2(=-f 求)(x f 的表达式；()在()的条件下，假设[)+∞∈,0x 时，)(x f >412+x m 恒成立，求实数m 的取值范围． 13．函数).,(4)(,6)23(213)(223R m a m x ax x g x x a x ax f ∈-+-=++-= (I)当[]3,0,1∈=x a 时，求()f x 的最大值与最小值；()当a <2且0≠a 时，无论a 如何变化，关于x 的方程)()(x g x f =总有三个不同实根，求m 的取值范围． 例题参考答案例1 3；例2 3；例3 ⎪⎭⎫⎝⎛--=83,23,41x y ；例4 (1) ,4,3=-=b a 增区间为()()+∞∞-,2,1,；减区间为()2,1，(2) ()()+∞-∞-,91, ；例5 (1),423)(2/--=ax x x f (2).2750)34()(,29)1()(min max -===-=f x f f x f ； 例6 (1).0,12,2=-==c b a (2) ()().28)2()(,18)3()(;,2,2,min max -====+∞-∞-f x f f x f ； 例7解：〔Ⅰ〕2()32f x ax bx c '=++，由(0)(1)0f f ''==，即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． 〔Ⅱ〕令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，(21)(1)0x x x ∴--≥，102x ∴≤≤或1x ≥． 又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，102m ∴<≤．例8解：〔Ⅰ〕当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得580x y +-=．〔Ⅱ〕解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3a x =或x a =． 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．〔1〕假设0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处取得极小值3af ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327af a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． 〔2〕假设0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 〔Ⅲ〕证明：由3a >，得13a>，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由〔Ⅱ〕知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤①设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，那么函数()g x 在R 上的最大值为2． 要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．例9解：(1))(,23)(2/x f b x ax x f +-= 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数， 所以当0=x 时，)(x f 取得极小值，又方程0)(=x f 有三 实根，023)(.02/=+-=∴≠∴b x ax x f a 的两根分别为.32,021ax x == 又)(x f 在()0,∞-上是增函数，在[]3,0上是减函数，)(/x f ∴>0在()0,∞-上恒成立，)(/x f <0在[]3,0上恒成立．由二次函数的性质知，a >0且a 32≥0,3∴<a ≤.92故实数a 的取值范围为.92,0⎥⎦⎤⎝⎛ (2) βα,2, 是方程0)(=x f 的三个实根，那么可设.2)22()2())(2)(()(23αβαββαβαβαa x a x a ax x x x a x f -+++++-=---= 又),,()(23R c b a c bx x ax x f ∈++-=有,21,1)2(-=+∴=++aa βαβα 强化训练答案：6．解：b ax x x f ++=23)(2/.据题意，－1，3是方程0232=++b ax x 的两个根，由韦达定理得 ∴极小值25239333)3(23-=+⨯-⨯-=f 7．解：〔1〕∵()32f x x bx cx=++，∴()232f x x bx c'=++。
文科《导数》高考常考题型专题训练
文科《导数》高考常考题型专题训练1.已知函数/。
）= 6'一。
工一3（。
£/?）（1）若函数段）在函,—1））处的切线与直线木广0平行,求实数”的值;（2）当a=2, k为整数，且当Q1时，“一外/'（x） + 2x + l＞0,求〃的最大值.1 .【解析】(1)由/(x) = "—ax — 3,则/'*・) = "—〃又函数7U）在（1,火1））处的切线与直线片厂0平行，则=（2）当〃=2,且当x＞l 时，&一行（。
”一+ 2x + l>0等价于2）, 2x+l)当x>l 时，k< x + ^—k " - 2 7m j n2x + \，-2X-3)令g(x) = x + ^-则g (幻=—：-------------------e -2 (。
”-2)-再令h(x) = e x - 2x - 3(x > 1),则/(x) = " - 2 > 0 ,所以,〃（x）在（L+o。
）上单调递增，且以l）vO,以2）＞0,所以，/?（x）在（1, 2）上有唯一的零点，设该零点为小,则x°w（l,2）,且e"=2%+3, 当xw。
,,q）时，〃（％）v。
，即g'（x）＜。
：当xw（小，+°°）时，"（x）＞。
，即g'（x）＞0, 所以，g （x）在。
,小）单调递减，在（/，+8）单调递增，2（ +1所以，g（X）min +c - z而x°e（L2）,故一+le（2,3）且"vg（瓦）,又k为整数,所以k的最大值为2.2.已知函数/（x） = 6 + sinx,其中（1）若函数”刈在区间上单调递增，求k的取值范围:⑵若k = l时，不等式/Oarcosx在区间0尚上恒成立，求实数。
的取值范围.2・1解析】(1)由题意，f\x) = k+cosx t(冗5兀।「兀5兀、因为/(”)在区间二；上单调递增，所以工£二：时，/'(x) = Z + cosxNO恒成立，即k 3 6 7 V3 6 yk>—COSX9因为函数)'= -cosx在(工:上单调递增，所以—cosxK—cos^ =无，所以攵之五. (361 6 2 2(2) 〃 = 1 时，/(x) = x + sinx,令g(x) = /(x)—ovcosx = x+sinx-arcosx, xw[o.g],则g(x)A。
2019届高考(文)《导数在研究函数中的应用》专题达标试卷(含答案)(可编辑修改word版)
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关闭W o r d文档返回原板块一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)课时提升作业(十四) 导数在研究函数中的应用(45 分钟100 分)1.(2018·天津模拟)若函数f(x)=x3-6b x+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-∞,1)1C.(0,+∞)D.0,22.(2018·青岛模拟)函数y=l n x-x在x∈(0,e]上的最大值为()A.eB.1C.-1D.-e[:3.(2018·孝感模拟)函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,3)和(1,+∞)D.(-3,1)4.(2018·嘉兴模拟)对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有()A.f(x)≥f(a)B.f(x)≤f(a)C.f(x)>f(a)D.f(x)<f(a)5.(2018·鄂州模拟)设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立,则( )A.3f(l n2)>2f(l n3)B.3f(l n2)=2f(l n3)C.3f(l n2)<2f(l n3)D.3f(l n2)与2f(l n3)的大小不确定1 6.(2018·大纲版全国卷)若函数f(x)=x2+ax+x在12, + ∞是增函数,则a 的取值范围是( )A.[- 1,0] C.[0,3]B.[-1,+∞) D.[3,+∞)7.(2018·成都模拟)函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x)=f′(x0)·(x-x0)+f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么( )()A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点e x e28.(能力挑战题)(2018·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)+2x f(x)=,f(2)=,则x>0时,f(x)()x 8A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)9.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.10.(2018·衡水模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,x-1045f(x)1221下列关于函数 f(x)的①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有4 个零点.其中真111.已知y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上不是增函数,则b的取值范围是.31 a12.(能力挑战题)(2018·厦门模拟)若函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b有六个不同的单调区间,则实数a的取3 2值范围是.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)113.(2018·北京模拟)已知函数f(x)=x2-a l n x(a>0).2(1)若f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1 =0 平行,求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.114.(2018·广州模拟)已知函数f(x)=l n x-ax2-2x.2(1)若函数 f(x)在x=2 处取得极值,求实数a 的值.(2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围.4x15.(能力挑战题)(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=,x∈[0,2].3x2 + 3(1)求 f(x)的值域.1(2)设a≠0,函数g(x)=ax3-a2x,x∈[0,2].若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,求实数a3的取值范围.1.【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,令f′(x)=0得x2=2b,答案解析由题意知,0<1 2b<1,所以0<b<.22.【解析】选C.函数y=l n x-x的定义域为(0,+∞),1 1 ‒ x又y′=-1=,令y′=0得x=1,x x当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;当x∈(1,e)时,y′<0,函数单调递减.当x=1时,函数取得最大值-1,故选C.3.【解析】选D.y′=-2xe x+(3-x2)e x=-(x2+2x-3)e x=-(x-1)(x+3)e x,y′>0⇒-3<x<1,所以函数的递增区间为(-3,1).4.【思路点拨】分x>a 和x<a 两种情况讨论得 f(x)的单调性后求解.【解析】选 A .由(x -a )f ′(x )≥0 知, 当 x >a 时,f ′(x )≥0,所以 f (x )在(a ,+∞)上为增函数;当 x <a 时,f ′(x )≤0,所以 f (x )在(-∞,a )上为减函数,得 f (x )m i n =f (a ),所以 f (x )≥f (a ). f (x) f '(x)e x ‒ f(x)e x f '(x) ‒ f(x)5. 【解析】选 C .令 g (x )= e x ,则 g ′(x )= e 2x = e x,因为对任意 x∈R 都有f (ln2)f (ln3)f ′(x )-f (x )>0,所以g ′(x )>0,即 g (x )在 R 上单调递增,又 l n 2<l n 3,所以 g (l n 2)<g (l n 3),即 eln2 < e ln3 ,所以f (ln2) f (ln3)2 <3 ,即 3f (l n 2)<2f (l n 3),故选 C . (1)6. 【思路点拨】先求出 f (x )的导函数 f ′(x ),利用 x ∈2, + ∞ 时 f ′(x )≥0 确定 a 的取值范围. 1(1) (1)【解析】选 D .f ′(x )=2x +a - ,因为 f (x )在 x ∈ x 2 2, + ∞ 上为增函数,即当 x∈ 2, + ∞ 时,f ′(x )≥0,即1 1 1(1)2x +a - ≥0,则 a ≥ -2x ,令 g (x )= -2x ,而 g (x )在 x ∈ x 2 x 2 x 22, + ∞ 上为减函数,所以 g (x )m ax <3,故 a ≥3.7. 【思路点拨】y =g (x )是函数 y =f (x )在点 P (x 0,f (x 0))处的切线,故 g ′(x )=f ′(x 0),据此判断 F ′(x 0)是否为 0,再进一步判断在 x =x 0 两侧 F ′(x )的符号. 【解析】选 B .F ′(x )=f ′(x )-g ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0),所以 F ′(x 0)=f ′(x 0)-f ′(x 0)=0,又当 x <x 0 时,从图象上看,f ′(x )<f ′(x 0),即 F ′(x )<0,此时函数 F (x )=f (x )-g (x )为减函数,同理,当 x>x 0 时,函数 F(x)为增函数.8. 【思路点拨】结合题目条件,观察式子的特点,构造函数,利用导数研究极值问题.e x 2f(x) e x ‒ 2x 2f(x) 【解析】选 D .由题意知f ′(x )= - = ,x3xx3令 g (x )=e x -2x 2f (x ),则 g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4x f (x ) 2e x =e x -2(x 2f ′(x )+2x f (x ))=e x -x( 2)=e x1 ‒x.由 g ′(x )=0 得 x =2,当 x =2 时,e2g (x )m i n =e 2-2×22× =0.8g(x)即g(x)≥0,则当x>0时,f′(x)=≥0,x3故f(x)在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.9.【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2c x+c2)=x3-2c x2+c2x,所以f′(x)=3x2-4c x+c2,所以f′(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,不能取极大值,所以c=6.答案:6【误区警示】本题易出现由f′(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根.10.【解析】由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在(-1,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,4)上递增,在(4,5)上递减,故②正确;当x=0与x=4时,y=f(x)取极大值,当x=2时,y=f(x)取极小值,因为f(2)的值不确定,故①④不正确;对于③,t 的最大值为5.答案:②111.【解析】假设y=x3+b x2+(b+2)x+3在R上是增函数,则y′≥0恒成立.即x2+2b x+b+2≥0恒成立,所以Δ=4b2-34(b+2)≤0成立,解得-1≤b≤2,故所求为b<-1或b>2.答案:b<-1或b>2[:12.【思路点拨】根据奇偶性,只需保证f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同实根即可.1 a【解析】因为函数f(x)=|x3|-x2+(3-a)|x|+b,所以f(-x)=f(x),3 2所以 f(x)是偶函数,因为 f(x)有六个不同的单调区间,又因为函数为偶函数,所以当 x>0 时,有三个单调区间,即f′(x)=x2-ax+3-a=0有两个不同的正根,所以23 ‒ a > 0,a2+ 4a ‒ 12 > 0,解得:2<a<3.答案:(2,3)13.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).{ a > 0,2a x 2 ‒ a f ′(x )=x - = .xx4 ‒ a 3 由 f (x )在 x =2 处的切线与直线 3x -2y +1=0 平行,则 f ′(2)== ,a =1.2 21 x2 ‒ 1 此时 f (x )= x 2-l n x ,f ′(x )= .2x令 f ′(x )=0,得 x =1.f (x )与 f ′(x )随 x 的变化情况如下:所以,f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).a x 2 ‒ a (2)由 f ′(x )=x - = .xx由 a >0 及定义域为(0,+∞), 令 f ′(x )=0,得 x = a .1①若 a ≤1,即 0<a ≤1,在(1,e )上,f ′(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,f (x )m i n =f (1)= ;2②若 1< 在(1,a <e ,即 1<a <e 2,a)上,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 在( a ,e )上,f ′(x )>0,f (x )单调递增, 1因此在[1,e ]上,f (x )m i n =f ( a ) )= a (1-l n a );2③若 a ≥e ,即 a ≥e 2,在(1,e )上,f ′(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减, 1f (x )m i n =f (e )= e 2-a .21综上,当 0<a ≤1 时,f (x )m i n = ;1当 1<a <e 2 时,f (x )m i n = a (1-l n a );2x (0,1) 1 (1,+∞) f ′(x ) - 0+ f(x)↘12↗而 f (0)=0,f (1)= ,f (2)=,所以当 x ∈[0,2]时,f (x )的值域是 0, 1当 a ≥e 2 时,f (x )m i n = e2-a .2a x 2 + 2x ‒ 114.【解析】(1)f ′(x )=-(x >0),x因为 x =2 时,f (x )取得极值.3所以 f ′(2)=0,解得 a =- ,经检验符合题意.4(2)函数 f (x )定义域为(0,+∞). 依题意 f ′(x )≥0 在 x >0 时恒成立,即 ax 2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立.1 ‒ 2x 1 2则 a≤x 2=(x‒ 1)-1 在 x>0 时恒成立,[ 1 2]即 a≤(x‒ 1)1‒ 1(x >0),min2当 x =1 时,(x ‒ 1)-1 取最小值-1,所以 a 的取值范围是(-∞,-1].15.【思路点拨】(1)用导数法求 f (x )的最值,进而得f (x )的值域.(2)根据条件得到f (x )在[0,2]上的值域为g (x ) 在[0,2]上的值域的子集,构建不等式求解.4 1 ‒ x 2 【解析】(1)f ′(x )= · ,令 f ′(x )=0,得 x =1 或 x =-1.3 (x 2 + 1)2当 x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,f (x )在(0,1)上单调递增; 当 x ∈(1,2)时,f ′(x )<0,f (x )在(1,2)上单调递减, 2 8[ 2]3 15 3(2) 设函数g (x )在[0,2]上的值域是 A ,因为若对任意 x 1∈[0,2],总存在 x 0∈[0,2], 使 f (x 1)-g (x 0)=0,[ 2]所 以 0, 3⊆A .g ′(x )=ax 2-a 2.①当 x ∈(0,2),a <0 时,g ′( x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减..0, ⊆A ,所以 g (2)= a -2a 2≥ ,解得 ≤a ≤1. ]8[ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A ; 3②当 x ∈(0,2),a >0 时,g ′(x )=a (x - a )(x+ a ),令 g ′(x )=0,得 x = a 或 x=- a (舍去).(i )x ∈[0,2],0]3 3 3 3(ii )当 x ∈[0,2]2 时,g ′(x )<0,所以函数 g (x )在(0,2)上单调递减. [ 2]因为 g (0)=0,g (2)= a -2a 2<0,所以当 x ∈[0,2]时,不满足30, ⊆A .3综上可知,实数 a 的取值范围是1,1 . 3关闭 W o r d 文档返回原板块[ 所以 g (0)=0,g (a )<0.因为。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
高中导数及其应用(文科专用)
专题三：导数及其应用（文科专用）考点11. 导数的概念及运算基础闯关1．（2014•郑州一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．2．（2014•广西）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．3．（2016春•滕州市期中）下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D，===，∴D式正确．故选：D．【点评】本题考查了基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．4．（2013春•达州期末）已知f（x）=e x+x﹣2（e是自然对数的底数），则函数f（x）的导数f′（x）=（）A．xe x﹣1﹣2x﹣3B．e x﹣x2C．e x﹣2x﹣3D．e x﹣x﹣2ln2【解答】解：由于f（x）=e x+x﹣2（e是自然对数的底数），则函数f（x）的导数f′（x）=e x﹣2x﹣3故答案为C．【点评】求函数的导数关键是判断出函数的形式，然后选择合适的求导法则．5．（2015春•兰山区期中）函数y=xcosx﹣sinx的导数为（）A．xsinx B．﹣xsinx C．xcosx D．﹣xcosx【解答】解：y′=（xcosx）′﹣（sinx）'=（x）′cosx+x（cosx）′﹣cosx=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx．故选B．【点评】计算时对基本函数的求导公式和法则的掌握是做题的关键．6．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．【点评】此题考查常数函数的导数，以及特殊值法是求解选择题的一种常用的方法，属基础题．7．（2016春•临渭区期末）已知函数f（x）=xsinx+cosx，则的值为（）A．B．0 C．﹣1 D．1【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx，∴f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，∴f′（）=×cos=0；故选：B．【点评】本题考查了导数的简单运算以及应用问题，是基础题．8．（2014•榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【解答】解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）故选D【点评】本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．9．曲线y=在点P（1，1）处的切线的倾斜角为．【解答】解：y'=﹣∴当x=1时，y'=﹣1，得切线的斜率为﹣1，所以k=﹣1；∴﹣1=tanα，∴α=1350，故答案为：135°．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10．（2011秋•内蒙古校级期末）函数y=e x•sin3x的导数为．【解答】解：y′=（e x）′•sin3x+e x•（sin3x）′=e x sin3x+3e x cos3x，故答案为：e x sin3x+3e x cos3x．【点评】本题考查了导数积的运算性质，记住常见函数的导数是解题的基础，本题属于基础题．11．（2013秋•东湖区校级月考）函数的导函数是f′（x），则f′（1）=．【解答】解：∵函数的导函数是f′（x）=+=，∴f′（1）=．故答案为：．【点评】此题考查了复合函数的商的求导法则及函数的值．解题的关键是要准确记忆商的求导法则及常用函数的导数．12．（2014春•道里区校级期中）函数f（x）=，则f′（）=．【解答】解：f′（x）==，∴f'（）=故答案为：．【点评】本题考查基本函数的导数公式和两项商的导数公式，公式要记准记牢，训练运算能力，属基础题．13．（2013春•延边州校级月考）求下列函数的导数：（1）（2）y=（2x+1）（3x+2）（3）y=3x2+xcosx（4）．【解答】解：（1）由于，则y′=cosx+6x﹣；（2）由于y=（2x+1）（3x+2），则y′=2×（3x+2）+（2x+1）×3=12x+7；（3）由于y=3x2+xcosx，则y′=6x+cosx+x×（﹣sinx）=6x+cosx﹣xsinx；（4）由于=1+，则y′=．【点评】计算时对基本函数的求导公式和法则的掌握是做题的关键．14．用复合函数求导法则求下列函数在x=0处的导数：（1）f（x）=（2x﹣1）3；（2）g（x）=sin（5x+）；（3）m（x）=e6x﹣4；（4）n（x）=．【解答】解：（1）f（x）=（2x﹣1）3；则f'（x）=3（2x﹣1）2（2x﹣1）'=6（2x﹣1）2；所以f'（0）=6；（2）g（x）=sin（5x+）；则g'（x）=cos（5x+）（5x+）'=5cos（5x+）；所以g'（0）=；（3）m（x）=e6x﹣4；则m'（x）=e6x﹣4（6x﹣4）'=6e6x﹣4；所以m'（0）=6e﹣4；（4）n（x）=．则n'（x）==，所以n'（0）=2．【点评】本题考查了基本初等函数求得公式以及复合函数求导法则，熟记公式以及法则是解答的关键．属于基础题．拓展提升1．（2016•榆林二模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）2．（2013•广东模拟）曲线在点处切线的倾斜角为（）A．B．C． D．【解答】解：，则y′=x2，则k=1，从而tanα=1则α=故倾斜角为，故选B【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．3．（2016春•晋中校级期中）在下面的四个图象中，其中一个图象是函f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a ∈R）的导函数y=f′（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣或【解答】解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，且对称轴﹣a＞0，∴a=﹣1．则f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣，故选：B．【点评】本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式．4．（2013春•嘉兴期末）设函数f（x）的导数f′（x），且f（x）=f′（）cosx+sinx，则f′（）=（）A．1 B．0 C．D．【解答】解：由f（x）=f′（）cosx+sinx，得f′（x）=﹣f′（）sinx+cosx，则f′（）=﹣f′（）•sin+cos，解得f′（）=，所以f′（）=﹣f′（）sin+cos=﹣+=0，故选B．【点评】本题考查导数的运算、三角函数值，考查学生对问题的分析解决能力．5．（2013春•红桥区期末）函数的导数值为0时，x等于（）A．a B．±a C．﹣a D．a2【解答】解：∵=，∴令y′=0，即，解得x=±a．故选：B．【点评】本题考查的是导数的求导法则，属于基础题，要求考生熟练掌握导数的求导法则．6．（2014春•黄山期末）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．【点评】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．7．（2016春•南昌校级期中）设函数f（x）=cos（+φ）（﹣π＜φ＜0）．若f（x）+f′（x）是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）+f′（x）=cos（x+φ）﹣sin（x+φ）=2sin（x+φ+），因为f（x）+f′（x）为偶函数，所以当x=0时2sin（x+φ+）=±2，则φ+=kπ+，k∈Z，所以φ=kπ﹣，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，所以φ=﹣．故选B．【点评】本题考查导数的运算、函数的奇偶性及三角恒等变换，考查学生对问题的理解解决能力，属中档题．8．函数的导数为（）A．B．C． D．【解答】解：原函数看作y=u5，u=复合而成．根据复合函数求导运算，y′=y′（u）•u′（x）=5u4•（1﹣x﹣2）=故选C【点评】本题考查函数求导运算，属于基础题．9．（2015春•天津校级期中）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为．【解答】解：f′（x）=x′sin（2x+5）+x（sin（2x+5））′=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），【点评】本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．10．（2014•开福区校级模拟）已知函数=．【解答】解：由导数的求导法则结合题意可得：f′（x）=﹣sinx+cosx所以=﹣sin+cos==0故答案为：0【点评】本题为导数值的求解，正确运用求导公式是解决问题的关键，属基础题．11．（2016春•扬州校级期末）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f （x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．12．（2014•佛山校级模拟）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e2x，f′（x）的最小值为．【解答】解：∵f（e x）=x+e2x，∴f（e x）=lne x+（e x）2，∴f（x）=lnx+x2，x∈（0，+∞）∴f′（x）=≥2=2，当且仅当x=时取等号．故答案为：【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，求导的运算法则，以及基本不等式，知识点比较多，属于中档题．13．（2016春•西宁校级期末）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．14．（2016秋•长沙校级月考）已知数列{a n}的首项a1=4，前n项和为S n，且S n+1﹣3S n﹣2n﹣4=0（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设函数f（x）=a nx+a n﹣1x2+…+a1x n，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b n=f′（1），求数列{b n}的通项公式，并研究其单调性．【解答】解：（1）∵S n+1﹣3S n﹣2n﹣4=0（n∈N+）①∴S n﹣3S n﹣1﹣2（n﹣1）﹣4=0（n∈N+）②①﹣②得a n+1﹣3a n﹣2=0，即a n+1+1=3（a n+1）∴{a n+1}是首项为5，公比为3的等比数列．∴a n+1=5•3n﹣1，即a n═5•3n﹣1﹣1．（2）∵f（x）=a nx+a n﹣1x2+…+a1x n，∴f′（x）=a n+2a n﹣1x+…+na1x n﹣1∴b n=f′（1）=a n+2a n﹣1+…+na1 =（5×3n﹣2﹣1）+…+n（5×30﹣1）=5[3n﹣1+2×3n﹣2+…+n×30]﹣，令S=3n﹣1+2×3n﹣2+…+n×30，则3S=3n+2×3n﹣1+…+n×31．作差得S=．于是，b n=f′（1）=，而，作差得∴{b n}是递增数列．【点评】本题考查等比数列的定义，借助数列的递推式把数列转化成等差或等比数列来解决问题的方法．考查错位相减法求和，数列与函数的关系，导数法判断单调性等知识的综合应用．属于难题．考点12. 导数的应用（切线与单调性）基础闯关1．（2016•浙江）函数y=sinx2的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，∴函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=kπ，k≥0，则x=±，k≥0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．2．（2011•枣庄二模）已知图1是函数y=f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（）A．y=f（|x|）B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|）D．y=﹣f（﹣|x|）【解答】解：由图2知，图象对应的函数是偶函数，故B错误，且当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），显然A、D不正确．故选C【点评】本题考查函数的图象，考查学生视图能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．3．（2015春•沈阳校级期中）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则a的取值范围是（）A．0＜a B．a≥e C．a≥D．a≥4【解答】解：f′（x）=∵函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数∴f′（x）=≤0在[1，+∞）上恒成立即：1﹣lna≤lnx在[1，+∞）上恒成立∴1﹣lna≤0∴a≥e故选：B【点评】本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．4．（2011•合肥二模）下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）A．B．C．D．【解答】解；对于A，由图得，开口向下，且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B，原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合；对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先负后正，即D符合要求．故选C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属于基础题但只要有一个地方不注意，就会出错，所以也是易错题．5．（2016•益阳校级模拟）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪（0，1] D．[﹣1，0）∪（0，1]【解答】解：f′（x）=2x﹣=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤1，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．6．（2016•河南模拟）已知函数f（x）=x3﹣bx2﹣4，x∈R，则下列命题正确的是（）A．当b＞0时，∃x0＜0，使得f（x0）=0B．当b＜0时，∀x＜0，都有f（x）＜0C．f（x）有三个零点的充要条件是b＜﹣3D．f（x）在区间（0．+∞）上有最小值的充要条件是b＜0【解答】解：对于A：令f（x）=0，得：x3﹣bx2﹣4=0，∴x2（x﹣b）=4，∴x2=①，若b＞0，x0＜0，则x0﹣b＜0，方程①无解，故选项A错误；对于B：若b＜0，∀x＜0，不妨令b=﹣6，x=﹣1，则f（﹣1）=﹣1﹣（﹣6）×1﹣4=1＞0，故选项B错误；对于C：f′（x）=3x2﹣2bx=x（3x﹣2b），b＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴x=0是极大值点，此时f（0）=﹣4，函数f（x）只有1个零点，故b＞0不合题意，b＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞0，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，0）递减，在（0，+∞）递增，∴x=是极大值点，若f（x）有三个零点，只需f（）＞0，解得：b＜﹣3，故选项C正确；对于D：由选项C得：若b＜0，则f（x）在（0，+∞）递增，而函数f（x）无最小值，故D错误，故选：C．【点评】本题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，函数的零点问题，是一道中档题．7．（2016春•张家口校级期中）已知函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间为（）A． B．（0，+∞）C．D．【解答】解：函数f（x）=2x﹣lnx的导数为f′（x）=2﹣，令f′（x）=2﹣＜0，得x＜∴结合函数的定义域，得当x∈（0，）时，函数为单调减函数．因此，函数f（x）=2x﹣lnx的单调递减区间是（0，）故选：A．【点评】本题给出含有对数的函数，求函数的减区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数的定义域等知识，属于基础题．8．（2016春•咸阳校级期中）函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：∵f′（x）=1﹣=，（x＞0），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．9．（2016•湖南校级模拟）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f （x）=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为．【解答】解：∵函数f（x）=，∴，∴f″（x）=x2﹣2x﹣3，∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．∴a=﹣1，b=3，∴b﹣a=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．【点评】本题考查了导数的运算法则、“凸函数”的定义，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．10．（2016春•邻水县期末）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：（1）函数y=f（x）在区间（3，5）内单调递增；（2）函数y=f（x）在区间（﹣，3）内单调递减；（3）函数y=f（x）在区间（﹣3，2）内单调递增；（4）当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值；（5）当x=2时，函数y=f（x）有极小值．则上述判断中正确的序号是．【解答】解：（1）由导数图象知，当3＜x＜4，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当4＜x＜5，f′（x）＞0，函数单调递增，函数y=f（x）在区间（3，5）内不单调，故（1）错误；（2）当﹣＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当2＜x＜3，f′（x）＜0，函数单调递减，函数y=f（x）在区间（﹣，3））内不单调，故（2）错误；（3）当﹣3＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，即函数y=f（x）在区间（﹣3，2）内单调递增，故（3）正确；（4）当﹣3＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，∴当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值错误，故（4）错误；（5）当﹣3＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当2＜x＜3，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故（5）错误；综上，正确的命题是（3）．故答案为：（3）．【点评】本题主要考查了函数单调性和极值的判断问题，利用函数单调性和极值和导数之间的关系是解题的关键．11．（2016•沈阳校级模拟）过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为．【解答】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y﹣e x0=e x0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12．（2016春•乐都区校级期末）函数f（x）=2x2﹣1nx的递增区间是．【解答】解：由题，函数的定义域是（0，+∞）∵f（x）=2x2﹣1nx∴f′（x）=4x﹣令f′（x）＞0，即4x﹣＞0解得x＞或x＜﹣又函数的定义域是（0，+∞）∴函数f（x）=2x2﹣1nx的递增区间是故答案为【点评】本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，此类题一般有两类题型，一类是利用导数符号得出单调性，一类是由单调性得出导数的符号，本题属于第一种类型根据导数求单调区间．13．（2016春•包头校级期末）已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间．【解答】解：（1）因为函数，所以=，因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，所以f′（1）=0，即，解得k=1；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由，令g（x）=，此函数只有一个零点1，且当x＞1时，g（x）＜0，当0＜x＜1时，g（x）＞0，所以当x＞1时，f′（x）＜0，所以原函数在（1，+∞）上为减函数；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以原函数在（0，1）上为增函数．故函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．14．（2016•邵阳三模）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，由题意可得12﹣a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+﹣12，f′（x）=8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），即为y=7x﹣14；（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．拓展提升1．（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．2．（2016•岳阳二模）定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（）A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2）B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）【解答】解：∵函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=2∵导函数f′（x）满足，∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，（﹣∞，2）上单调递增，∵2＜a＜4∴1＜log2a＜2＜4＜2a又函数f（x）的对称轴为x=2∴f（2）＞f（log2a）＞f（2a），故选A．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，根据函数导函数的符号确定函数的单调区间是解决此题的关键，根据函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题．3．（2016•天门模拟）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．4．（2016秋•湖北校级月考）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．5．（2016•兴安盟一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．6．（2016•河南模拟）已知函数y=f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【解答】解：构造函数g（x）=，则g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．7．（2016•陕西模拟）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．8．（2016•张掖模拟）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2）C．[0，+∞） D．（2，+∞）【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解，而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a的取值范围是（﹣∞，2）．故选B．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．9．（2016•茂名二模）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．10．（2016•淮南二模）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．【解答】解：y′=1﹣2sinx=0，在区间[0，]上得x=故y=x+2cosx﹣在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，∴x=时，函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般．11．（2016•江西模拟）已知函数在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是．【解答】解：求导函数可得（x＞0）∵函数在[1，+∞）上单调递增，∴≥0在[1，+∞）上恒成立∴a≥﹣2x2+令g（x）=﹣2x2+，则g′（x）=﹣4x﹣≤0在[1，+∞）上恒成立∴函数g（x）=﹣2x2+在[1，+∞）上单调减∴x=1时，函数g（x）=﹣2x2+取得最大值0∴a≥0故答案为：a≥0【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，求函数的最值是关键．12．（2016•衡水校级模拟）已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．13．（2016•北京）设函数f（x）=xe a﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，同时f′（2）=e﹣1，∵f（x）=xe a﹣x+bx，∴f′（x）=e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则，即a=2，b=e；（Ⅱ）∵a=2，b=e；∴f（x）=xe2﹣x+ex，∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，∴f′（x）＞0恒成立，即函数f（x）是增函数，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．14．（2016•衡阳校级模拟）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣e x，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：极大值由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．考点13. 导数的应用（极值与最值）基础闯关1．（2015春•重庆期末）下列结论中正确的是（）A．导数为零的点一定是极值点B．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值C．如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值D．如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值【解答】解：导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故A错如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则函数先增后减，则f（x0）是极大值如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则函数先减后增，则f（x0）是极小值故选B【点评】本题考查函数极值点处的导数为0，且极值点左右两边的导函数符号相反．2．（2013春•泗县校级期末）函数y=x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）A．极大值5，极小值27 B．极大值5，极小值11C．极大值5，无极小值D．极小值27，无极大值【解答】解：y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，x=3，由于﹣2＜x＜2，则当﹣2＜x＜﹣1时，y′＞0；当﹣1＜x＜2时，y′＜0，当x=﹣1时，y极大值=5；x取不到3，无极小值．故选：C【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，属于基础题．3．（2016春•楚雄州期末）函数f（x）=lnx﹣x+2的零点所在的区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln1+1＞0，f（2）=ln2＞0，f（3）=ln3﹣1＞0，f（4）=ln4﹣2＜0，f（5）=ln5﹣3＜0，∴函数f（x）=lnx﹣x+2的零点所在的区间为（3，4）；故选：D．【点评】本题考察了函数的零点问题，可采用特殊值法逐个代入，本题是一道基础题．4．（2015春•枣阳市校级期末）y=x﹣e x的极大值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．不存在【解答】解：y′=1﹣e x，令y′＞0，解得：x＜0，令y′＜0，解得：x＞0，∴函数y=x﹣e x在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，∴y极大值=y|x=0=﹣1，故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．5．（2015秋•白山校级期中）已知三次函数f（x）=ax3﹣x2+x在（0，+∞）存在极大值点，则a的范围是（）A．（0，1）B．（0，1] C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：f（x）=ax3﹣x2+x的导数f′（x）=ax2﹣2x+1，由于三次函数f（x）在（0，+∞）存在极大值点，则f′（x）=0有两个不同的正实数根或一正一负根，①当a＞0时，此时ax2﹣2x+1=0有两个不同的正实数根，∴，即0＜a＜1，②当a＜0时，此时3ax2﹣2x+1=0有一正一负根，只须△＞0，即4﹣4a＞0，⇒a＜1，∴a＜0；综上，则a的范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．故选D．【点评】本题考查了导数与函数的单调性的关系，以及极值的判断，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．6．（2016春•湖北校级期末）函数f（x）=3x﹣4x3（x∈[﹣1，0]）的最小值是（）A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵f（x）=3x﹣4x3，∴f′（x）=3﹣12x2，令f′（x）=3﹣12x2=0，得x=±．∵x=∉[﹣1，0]，∴x=（舍）．∵f（0）=0，f（﹣）=﹣﹣4×（﹣）3=﹣1，f（﹣1）=﹣3+4=1．∴函数f（x）=3x﹣4x3，x∈[﹣1，0]的最小值是﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．如本题解答中没有研究单调性，于课本例题解答步骤不同，但在最值一定是在极值与端点值取到这一规律下，这一解答方式就规避了单调性的讨论，使得运算量降低，解题时可参考技巧降低解题难度．7．（2016春•大庆校级月考）函数y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值为（）A．0 B．C．D．。
(完整word版)高等数学——导数练习题
一．选择题1.若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(−1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（ ）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（ ）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（ ）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（ ）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（ ）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（ ）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（ ）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )x e x x f )3()(-=A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18.函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（ ）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xx a22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（ ）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ ） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（ ）A.0>aB.0<a)2,(-∞),2(+∞C.1=aD.31=a 28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（ ） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=−2xsinxD 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（ ）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
选修1-1第三章导数测试题(含详解)1
高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。
(完整word版)高中数学导数压轴题专题训练
高中数学导数尖子生指导（填选压轴）一．选择题（共 30 小题）1．（ 2013?文昌模拟）如图是322+x 2 2的值是（）f （ x ） =x +bx +cx+d 的图象，则 x 1 A ． B ． C ．D ．考点 ： 利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题 ： 计算题；压轴题；数形联合．剖析： 先利用图象得： f （x ） =x （ x+1 ）（ x ﹣ 2）=x 3﹣ x 2﹣2x ，求出其导函数，利用 x 1， x 2 是原函数的极值点，求出 x 1+x 2= ，，即可求得结论．解答： 解：由图得： f （ x ） =x （ x+1 ）（x ﹣ 2） =x 3﹣ x 2﹣ 2x ，∴ f'（ x ） =3x 2﹣ 2x ﹣ 2∵ x 1， x 2 是原函数的极值点所以有 x 1+x 2= ，，222．故 x 1 +x 2 =（x 1+x 2） ﹣ 2x 1x 2== 应选 D ．评论： 本题主要考察利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考察，属于基础题．2．（ 2013?乐山二模）定义方程 f （ x ） =f ′（ x ）的实数根 x 0 叫做函数 f （ x ）的 “新驻点 ”，若函数 g （ x ） =x ， h （ x ）=ln （ x+1）， φ（ x ）=x 3﹣ 1 的 “新驻点 ”分别为 α， β， γ，则 α， β，γ的大小关系为（ ） A ．α＞ β＞ γB ． β＞ α＞ γC ． γ＞ α＞βD ．β＞ γ＞α考点 ： 导数的运算． 专题 ： 压轴题；新定义．剖析： 分别对 g （ x ），h （x ），φ（ x ）求导，令g ′（ x ） =g （ x ），h ′（ x ）=h （ x ），φ′（ x ） =φ（ x ），则它们的根分别32为 α， β， γ，即 α=1， ln （ β+1） =， γ﹣ 1=3γ，而后分别议论 β、 γ的取值范围即可．解答：解： ∵ g ′（ x ） =1， h ′（ x ） =， φ′（x ） =3x 2，由题意得：α=1， ln （ β+1） = 32， γ﹣ 1=3γ，① ∵ ln （ β+1） =，β+1∴ （ β+1 ） =e ，当 β≥1时， β+1≥2， ∴ β＜1，这与 β≥1矛盾，∴ 0＜ β＜ 1；32② ∵ γ﹣ 1=3 γ，且 γ=0 时等式不行立，2∴ 3γ＞3∴ γ＞ 1， ∴ γ＞ 1．∴ γ＞ α＞ β． 应选 C ．评论： 函数、导数、不等式密不行分，本题就是一个典型的代表，此中对对数方程和三次方程根的范围的议论是一个难点．3．（ 2013?山东）抛物线 C 1：的焦点与双曲线C 2： 的右焦点的连线交C 1 于第一象限的点 M ．若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则p=（）A ．B ．C ．D ．考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． 专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析： 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率获得交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值．解答：解：由，得 x 2=2py （ p ＞ 0），所以抛物线的焦点坐标为 F （）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，即① ．设该直线交抛物线于M （ ），则 C 1 在点 M 处的切线的斜率为 ．由题意可知，得 ，代入 M 点得 M （ ）把 M 点代入 ① 得：．解得 p=．应选 D ．评论： 本题考察了双曲线的简单几何性质，考察了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．4．（ 2013?安徽） 已知函数3 2 +bx+c 有两个极值点1211 2 ，则对于 x 的方程 3（ f （x ）） f （ x ）=x +axx，x，若 f （ x）=x ＜ x2+2af （x ） +b=0 的不一样实根个数为（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ．6考点 ： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题 ： 压轴题；导数的综合应用．剖析： 由函数 f （ x ）=x 32′ 2有两个不相等的实数根，必有+ax +bx+c 有两个极值点 x 1， x 2，可得 f （ x ）=3x +2ax+b=0 △ =4a 2﹣ 12b ＞ 0．而方程 3（f （ x ））2+2af （ x ）+b=0 的 △ 1=△ ＞0，可知此方程有两解且 f （ x ）=x 1 或 x 2．再分别议论利用平移变换即可解出方程f （ x ） =x 1 或 f （ x ）=x 2 解得个数．解答： 解： ∵ 函数 f （ x ） =x 3 212+ax +bx+c 有两个极值点 x， x ，′2∴ f （ x ）=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根，∴ △ =4a 2﹣ 12b ＞ 0．解得= ．∵ x 1＜ x 2，∴，．而方程 3（f （x ））21=△ ＞ 0， ∴ 此方程有两解且1 2+2af （x ） +b=0的△f （ x ） =x 或 x ．不如取 0＜x 1＜ x 2， f （ x 1）＞ 0．y=f （ x ）﹣ x 的图象， ∵ f （ x ）=x ，可知方程 f （ x ）=x① 把 y=f （ x ）向下平移 x个单位即可获得1有两1 1 1 1 解．② 把 y=f （ x ）向下平移 x 2 个单位即可获得y=f （ x ）﹣ x 2 的图象， ∵f （x 1） =x 1， ∴f （x 1）﹣ x 2＜0，可知方程 f （ x ） =x 2 只有一解．综上 ①② 可知：方程 f （ x ）=x 1 或 f （ x ）=x 2．只有 3 个实数解． 即对于 x 的方程 3（f （x ））2+2af （ x ）+b=0的只有 3 不一样实根．应选 A ．评论： 本题综合考察了利用导数研究函数得单一性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考察了数形联合的思想方法、推理能力、分类议论的思想方法、计算能力、剖析问题和解决问题的能力．5．（ 2013?湖北）已知 A ．a 为常数，函数 B ．f （ x ） =x （ lnx ﹣ ax ）有两个极值点C ．x 1，x 2（ x 1＜ x 2）（D ．）考点 ： 利用导数研究函数的极值；函数在某点获得极值的条件．专题 ： 压轴题；导数的综合应用．剖析： 先求出 f ′（ x ），令 f ′（ x ）=0，由题意可得 lnx=2ax ﹣ 1 有两个解 x 1， x 2? 函数 g （ x ） =lnx+1 ﹣ 2ax 有且只有两个零点 ? g ′（ x ）在（ 0， +∞）上的独一的极值不等于 0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解： ∵=lnx+1 ﹣ 2ax ，（ x ＞0）令 f ′（ x ）=0 ，由题意可得 lnx=2ax ﹣ 1 有两个解 x 1， x 2? 函数 g （ x ）=lnx+1 ﹣ 2ax 有且只有两个零点? g ′（ x ）在（ 0， +∞）上的独一的极值不等于 0．．① 当 a ≤0 时， g ′（ x ）＞ 0， f ′（x ）单一递加，所以 g （ x ） =f ′（x ）至多有一个零点，不切合题意，应舍去．② 当 a ＞ 0 时，令 g ′（ x ） =0 ，解得 x= ，∵ x， g ′（ x ）＞ 0，函数 g （ x ）单一递加；时， g ′（ x ）＜ 0，函数 g （ x ）单一递减．∴ x=是函数 g （ x ）的极大值点，则＞ 0，即＞ 0，∴ ln （ 2a ）＜ 0，∴ 0＜ 2a ＜1，即．∵， f ′（ x ） =lnx +1﹣2ax =0， f ′（ x ） =lnx +1﹣ 2ax 2=0．11122且 f （ x 1） =x 1（ lnx 1﹣ ax 1） =x 1（2ax 1﹣ 1﹣ ax 1） =x 1（ ax 1 ﹣1）＜ x 1（﹣ ax 1） =＜ 0，f （x 2） =x 2（ lnx 2﹣ ax 2） =x 2（ ax 2﹣1）＞=﹣．（）．应选 D ．评论： 娴熟掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的要点．6．（ 2013?辽宁）设函数 f （ x ）知足 x 2f ′（x ） +2xf （ x ） =，f （2） = ，则 x ＞0 时， f （ x ）（）A ．有 极大值，无极小值B ． 有极小值，无极大值C ． 既有极大值又有极小值D ．既 无极大值也无极小值考点 ： 函数在某点获得极值的条件；导数的运算．专题 ： 压轴题；导数的综合应用．剖析： 先利用导数的运算法例，确立 f （x ）的分析式，再结构新函数，确立函数的单一性，即可求得结论．解答：，解： ∵ 函数 f （ x ）知足∴∴ x ＞ 0 时，dx∴∴令 g （ x ）=，则令 g ′（x ） =0，则 x=2 ， ∴x ∈（ 0， 2）时， 数单一递加∴ g （ x ）在 x=2 时获得最小值g ′（ x ）＜ 0，函数单一递减，x ∈（ 2， +∞）时，g ′（ x ）＞ 0，函∵ f （ 2） =， ∴ g （2） = =0∴ g （ x ） ≥g （ 2） =0∴≥0即 x ＞ 0 时， f （ x ）单一递加∴ f （ x ）既无极大值也无极小值应选 D ．评论： 本题考察导数知识的运用，考察函数的单一性与极值，考察学生剖析解决问题的能力，难度较大．7．（ 2013?安徽）若函数f （ x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点 x 1，x 2，且 f （ x 1）=x 1，则对于 x 的方程 3（ f （ x ））2+2af （ x ） +b=0 的不一样实根个数是（ ）A ．3B ． 4C ． 5D ．6考点 ： 函数在某点获得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 专题 ： 综合题；压轴题；导数的综合应用．剖析： 求导数 f ′（ x ），由题意知 x 1， x 2 是方程 3x 2+2ax+b=0 的两根，从而对于 f （ x ）的方程 3（ f （ x ））2+2af （ x ）+b=0 有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答： 解： f ′（ x ） =3x 2+2ax+b ， x 1， x 2 是方程 3x 2+2ax+b=0 的两根，不如设 x 2＞x 1，由 3（ f （ x ））2+2af （ x ） +b=0，则有两个 f （ x ）使等式成立， x 1=f （ x 1），x 2＞ x 1=f （ x 1），以下表示图象：如图有三个交点，应选 A ．评论： 考察函数零点的观点、以及对嵌套型函数的理解，考察数形联合思想．8．（ 2014?海口二模）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （ 2） =0，当x ＞ 0 时，有恒成立，则不等式 x 2f （ x ）＞ 0 的解集是（）A ．（﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣2， 0） ∪ （ 0， 2）C ． （﹣ ∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣ ∞，﹣ 2） ∪ （ 0，2）考点 ： 函数的单一性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其余不等式的解法． 专题 ： 综合题；压轴题．剖析：第一依据商函数求导法例，把 化为 [] ′＜ 0；而后利用导函数的正负性， 可判断函数y=在（ 0， +∞）内单一递减；再由f （ 2）=0，易得 f （ x ）在（ 0， +∞）内的正负性；最后联合奇函数的图象特色，可得f （ x ）在（﹣ ∞， 0）内的正负性．则x 2f （ x ）＞ 0? f （ x ）＞ 0 的解集即可求得．解答：解：因 当 x ＞ 0 ，有 恒成立，即 [ ]′＜0 恒成立，所以在（ 0， +∞）内 减．因 f （ 2） =0，所以在（ 0， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， +∞）内恒有 f （x ）＜ 0．又因 f （ x ）是定 在R 上的奇函数，所以在（ ∞， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， 0）内恒有f （ x ）＜ 0．又不等式 x 2f （x ）＞ 0 的解集，即不等式 f （ x ）＞ 0 的解集． 所以答案 （ ∞， 2）∪ （ 0，2）．故 D ．点 ：本 主要考 函数求 法 及函数 性与 数的关系，同 考 了奇偶函数的 象特色．9．（ 2014?重 三模） 于三次函数 f （ x ）=ax 3+bx 2+cx+d （ a ≠0）， 出定 ： f ′（x ）是函数 y=f （ x ）的 数， f ″ （ x ）是 f ′（ x ）的 数，若方程 f ′′（x ）=0 有 数解 x 0， 称点（ x 0， f （x 0）） 函数 y=f （ x ）的 “拐点 ”．某同学研究 ：任何一个三次函数都有 “拐点 ”；任何一个三次函数都有 称中心，且“拐点 ”就是 称中心． 函数g （ x ） =， g （ ） +=（）A ．2011B ． 2012C ． 2013D ．2014考点 ： 数的运算；函数的 ；数列的乞降． ： ； 数的观点及 用．剖析： 正确求出 称中心，利用 称中心的性 即可求出．解答： 解：由 意，′2 ″g （x ） =x x+3 ， ∴ g （ x ） =2x 1， ″，解得，令 g （ x ）=0又， ∴ 函数 g （ x ）的 称中心 ．∴，， ⋯∴ g （ ） +=2012 ．故 B ．点 ： 正确求出 称中心并掌握 称中心的性 是解 的关 ．10．（ 2014?上海二模） 已知 f （ x ）=alnx+ 2x 1，x 2，都有x （ a ＞ 0），若 随意两个不等的正 数 ＞ 2 恒成立， a 的取 范 是（ ）A ．（ 0， 1]B ． （ 1， +∞）C ． （0， 1）D ．[1， +∞）考点 ： 数的几何意 ；利用 数研究函数的 性．： 算 ； ．剖析：先将条件 “ 随意两个不等的正 数 x 1，x 2，都有＞ 2 恒成立 ” 成当 x ＞ 0 ，f'（ x ）≥2 恒成立，而后利用参 量分别的方法求出a 的范 即可．解答：解：对随意两个不等的正实数x 1， x 2，都有＞ 2 恒成立则当 x ＞ 0 时， f'（ x ）≥2 恒成立f' （ x ） = +x ≥2 在（ 0， +∞）上恒成立则 a ≥（ 2x ﹣ x 2） max =1 应选 D ．评论： 本题主要考察了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考察了转变与划归的数学思想，属于基础题．11．（2012?桂林模拟）已知在（﹣ ∞， +∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣ ∞， 1]B ． [﹣ 1， 4]C ． [﹣ 1，1]D ．（﹣ ∞， 1）考点 ： 利用导数研究函数的单一性．专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 假如一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要知足递加，当于 0 时，要使的函数是一个减函数，求导此后导函数横小于0，注意两个端点处的大小关系．解答： 解： ∵ 假如一个分段函数在实数上是一个增函数．x 小需要两段都是增函数且两个函数的交点处要知足递加，当 x ＜ 0 时， y ′=3x 2﹣（ a ﹣1）＞ 0 恒成立，∴ a ﹣ 1＜ 3x 2∴ a ﹣ 1≤0∴ a ≤1，当 x=0 时， a 2﹣ 3a ﹣ 4≤0 ∴ ﹣ 1≤a ≤4，综上可知﹣ 1≤a ≤1 应选 C ．评论： 本题考察函数的单一性，分段函数的单一性，解题的要点是在两个函数的分界处，两个函数的大小关系必定要写清楚．12．（ 2012?河北模拟）定义在 [1， +∞）上的函数 f （ x ）知足： ① f （ 2x ） =cf （ x ）（ c 为正常数）；② 当 2≤x ≤4 时，f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3） 2，若函数 f （ x ）的图象上全部极大值对应的点均落在同一条直线上，则 c 等于（ ） A ．1 B ． 2 C ． 1 或 2 D ．4 或 2 考点 ： 利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用． 专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 由已知可得分段函数f （ x ）的分析式，从而求出三个函数的极值点坐标，依据三点共线，则任取两点确立的直线斜率相等，能够结构对于c 的方程，解方程可得答案．解答： 解： ∵ 当 2≤x ≤4 时， f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3）2当 1≤x ＜ 2 时， 2≤2x ＜ 4，则 f （ x ） = f （ 2x ） = [1﹣（ 2x ﹣ 3） 2]此时当 x= 时，函数取极大值当 2≤x ≤4 时， f （ x ） =1﹣（ x ﹣ 3） 2此时当 x=3 时，函数取极大值 1当 4＜ x≤8 时， 2＜x≤4则f（ x） =cf （ x） =c （1﹣（ x﹣ 3）2，此时当 x=6 时，函数取极大值c∵ 函数的全部极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴解得 c=1 或 2．应选 C评论：本题考察的知识点是三点共线，函数的极值，此中依据已知剖析出分段函数 f （ x）的分析式，从而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的要点．13．（ 2012?桂林模拟）设x﹣xf ′（ x），且 f′（ x）是奇函数．若曲线y=f （ x）的a∈R，函数 f （ x） =e+a?e 的导函数是一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A ．ln2B ．﹣ ln2C． D ．考点：简单复合函数的导数．专题：压轴题．剖析：已知切线的斜率，要求切点的横坐标一定先求出切线的方程，我们可从奇函数下手求出切线的方程．解答：解：对f（ x） =e x+a?e﹣x求导得 f ′（ x） =e x﹣ ae﹣x又 f′（ x）是奇函数，故f′（ 0） =1﹣ a=0解得 a=1，故有f′（ x） =e x﹣ e﹣x，设切点为（ x0， y0），则，得或（舍去），得 x0=ln2 ．评论：熟习奇函数的性质是求解本题的要点，奇函数定义域若包括x=0，则必定过原点．14．（ 2012?太原模拟）已知定义在 R 上的函数 y=f（ x﹣ 1）的图象对于点（ 1，0）对称，且 x∈（﹣∞，0）时， f（ x）+xf（′x）＜0 成立，（此中 f（′x）是（f x）的导函数），a=（ 30.3）（f 30.3），b=（ log π3）．（f logπ3），则 a， b， c 的大小关系是（）A ．a＞ b＞ cB ． c＞ b＞a C． c＞ a＞b D ．a＞ c＞ b 考点：利用导数研究函数的单一性；函数单一性的性质；导数的乘法与除法法例．专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 由 “当 x ∈（﹣ ∞， 0）时不等式f （ x ）+xf ′（x ）＜ 0 成立 ”知只需比较的大小即可．解答： 解： ∵ 当 x ∈（﹣ ∞， 0）时不等式 f （ x ） +xf ′（x ）＜ 0 成立即：（ xf （ x ）） ′＜ 0，∴ xf （ x ）在 （﹣ ∞， 0）上是减函数．又 ∵ 函数 y=f （ x ﹣ 1）的图象对于点（ 1，0）对称，∴ 函数 y=f （x ）的图象对于点（ 0， 0）对称， xf （ x ）是减函数，要获得a ，b ，c 的大小关系，∴ 函数 y=f （x ）是定义在 R 上的奇函数∴ xf （ x ）是定义在 R 上的偶函数∴ xf （ x ）在 （ 0， +∞）上是增函数．又 ∵=﹣ 2，2=．∴＞ 30.3 0.3）＞（ log π π?f （ 3 3）?f （ log 3） 即＞ 30.3 0.3）＞（ log π π?f （ 33） ?f （ log 3） 即： c ＞ a ＞b 应选 C ．评论： 本题考察的考点与方法有： 1）全部的基本函数的奇偶性； 2）抽象问题详细化的思想方法，结构函数的思想； 3）导数的运算法例： （ uv ）′=u ′v+uv ′； 4）指对数函数的图象； 5）奇偶函数在对称区间上的单一性：奇 函数在对称区间上的单一性同样；偶函数在对称区间上的单一性相反．本题联合已知结构出 h （x ）是正确解答的要点所在．15．（ 2012?广东模拟）已知 f （ x ）为定义在（﹣ ∞， +∞）上的可导函数，且 f （ x ）＜ f ′（ x ）对于 x ∈R 恒成立，且e 为自然对数的底，则（）A ．f （ 1）＞ e?f （0）， f （ 2012）＞ e2012?f （ 0） B ． f （1）＜ e?f （ 0）， f （ 2012）＞ e 2012?f （ 0）C ． f （ 1）＞ e?f （0）， f （ 2012）＜ e 2012?f （ 0）D ．f （1）＜ e?f （ 0）， f （ 2012）＜ e2012?f （ 0）考点 ： 导数的运算． 专题 ： 计算题；压轴题． 剖析：结构函数 y=的导数形式，并判断增减性，从而获得答案．解答：解： ∵ f （ x ）＜ f' （ x ） 从而 f' （ x ）﹣ f （ x ）＞ 0 从而＞ 0即＞ 0，所以函数 y= 单一递加，故当 x ＞ 0 时，=f （ 0），整理得出 f （ x ）＞ e xf （0）当 x=1 时 f （ 1）＞ e?f （ 0），当x=2012 时 f（ 2012）＞ e 2012?f（ 0）．应选 A ．评论： 本题主要考察函数的单一性与其导函数的关系，函数单一性的关系，考察转变、结构、计算能力．16．（ 2012?无为县模拟）已知定义在R 上的函数 f （ x ）、g （ x ）知足 ，且 f ′（ x ）g （ x ）＜ f （ x ）g ′（x ），，如有穷数列（ n ∈N *）的前 n 项和等于，则 n 等于 （）A ．4B ． 5C ． 6D ．7考点 ： 导数的运算；数列的乞降．专题 ： 压轴题．剖析： 利用导数研究函数的单一性获得a 的范围，再利用等比数列前n 项和公式即可得出．解答：解： ∵=′′， f （ x ） g （ x ）＜ f （ x ） g （ x ），∴= ＜0，即函数单一递减， ∴ 0＜a ＜ 1．又，即 ，即 ，解得 a=2（舍去）或 ．∴，即数列 是首项为 ，公比 的等比数列，∴= = ，由解得 n=5 ，应选 B ．评论： 娴熟掌握导数研究函数的单一性、等比数列前n 项和公式是解题的要点．17．（ 2012?福建）函数 （f x ）在[a ，b] 上有定义，若对随意 x1，x ∈[a ，b]，有2则称 f （ x ）在 [a ， b] 上拥有性质 P ．设 f （ x ）在 [1， 3]上拥有性质 P ，现给出以下命题：① f （ x ）在 [1， 3]上的图象是连续不停的；② f （ x 2）在 [1， ] 上拥有性质 P ；③ 若 f （ x ）在 x=2 处获得最大值 1，则 f （ x ）=1， x ∈[1， 3] ；④ 对随意 x 1，x 2， x 3， x 4∈[1， 3] ，有[f （ x 1） +f （ x 2） +f （x 3） +f （ x 4）]此中真命题的序号是（ ）A ．① ②B ． ① ③C ． ② ④D ．③ ④考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性．专题 ： 压轴题；新定义．剖析： 依据题设条件，分别举出反例，说明 ① 和② 都是错误的；同时证明 ③ 和④ 是正确的．解答：解：在 ① 中，反例： f （ x ） =在 [1， 3] 上知足性质 P ，但 f （ x ）在 [1， 3] 上不是连续函数，故 ① 不行立；在 ② 中，反例： f （ x ） =﹣ x 在 [1， 3]上知足性质 P ，但 f （x 2） =﹣ x 2在 [1， ] 上不知足性质 P ，故 ②不行立；在 ③ 中：在 [1 ， 3] 上， f （2） =f （） ≤ ，∴，故 f （ x ） =1，∴ 对随意的 x 1， x 2∈[1，3] ， f （ x ） =1， 故 ③ 成立；在 ④ 中，对随意 x 1，x 2， x 3， x 4∈[1 ，3] ，有=≤≤= [f （ x 1） +f （x 2） +f （ x 3） +f （ x 4 ）] ，∴[f （x 1） +f （ x 2） +f （x 3） +f （ x 4） ]，故 ④ 成立． 应选 D ．评论： 本题考察的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对全部的状况都成立．18．（ 2013?文昌模拟）设动直线 x=m 与函数 f （ x ） =x 3，g （ x ） =lnx 的图象分别交于点M 、N ，则 |MN| 的最小值为 （ ）A ．B ．C ．D ．l n3﹣ 1考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 结构函数 F （ x ） =f （ x ）﹣ g （ x ），求出导函数，令导函数大于 0 求出函数的单一递加区间，令导函数小于0 求出函数的单一递减区间，求出函数的极小值即最小值．解答： 解：绘图能够看到 |MN| 就是两条曲线间的垂直距离．设 F （ x ） =f （x ）﹣ g （x ） =x 3﹣lnx ，求导得： F'（ x ）=．令 F ′（ x ）＞ 0 得 x ＞；令 F ′（ x ）＜ 0 得 0＜ x ＜ ，所以当 x=时， F （x ）有最小值为 F （ ） = + ln3=（ 1+ln3 ），应选 A评论： 求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．19．（ 2011?枣庄二模）设 f ′（ x ）是函数 f （ x ）的导函数，有以下命题： ① 存在函数 f （ x ），使函数 y=f （ x ）﹣ f ′（ x ）为偶函数；② 存在函数 f （ x ） f ′（ x ） ≠0，使 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象同样；③ 存在函数 f （ x ） f ′（ x ） ≠0 使得 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象对于 x 轴对称．此中真命题的个数为（ ）A ．0B ． 1C ． 2D ．3考点 ： 导数的运算；函数奇偶性的判断．专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 对于三个命题分别找寻知足条件的函数，三个函数分别是x， f （ x ）=e ﹣ x，从而获得结f （ x ） =0， f （ x ）=e 论．解答： 解：存在函数 f （ x ） =0，使函数 y=f （ x ）﹣ f ′（ x ）=0 为偶函数，故 ① 正确存在函数 f （x ） =e x，使 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象同样，故 ② 正确存在函数 f （x ） =e ﹣x使得 y=f （ x ）与 y=f ′（ x ）的图象对于 x 轴对称，故 ③ 正确． 应选 D ．评论： 本题主要考察了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的要点就是找寻知足条件的函数，属于基础题．20．（ 2011?武昌区模拟）已知f （ x ）是定义域为R 的奇函数，f （﹣ 4）=﹣ 1， f （ x ）的导函数f ′（ x ）的图象如图所示．若两正数a ，b 知足f （ a+2b ）＜ 1，则的取值范围是（）A ．B ．C ． （﹣ 1， 10）D ．（﹣ ∞，﹣ 1）考点 ： 函数的单一性与导数的关系；斜率的计算公式．专题 ： 计算题；压轴题；数形联合．剖析： 先由导函数 f ′（ x ）是过原点的二次函数下手，再联合f （ x ）是定义域为 R 的奇函数求出f （ x ）；而后依据a 、b 的拘束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．解答： 解：由 f （ x ）的导函数f ′（ x ）的图象，设 f ′（ x ） =mx 2，则∵ f （ x ）是定义域为 R 的奇函数， ∴ f （ 0） =0，即 n=0 ．f （ x ）=+n ．又 f （﹣ 4） = m ×（﹣ 64） =﹣ 1， ∴ f （ x ） =x 3=．且 f （ a+2b ） =又 a ＞ 0， b ＞ 0，则画出点（＜ 1， ∴＜ 1，即 a+2b ＜4．b ，a ）的可行域以以下图所示．而可视为可行域内的点（b， a）与点 M （﹣ 2，﹣ 2）连线的斜率．又因为 k AM =3，k BM = ，所以＜＜ 3．应选 B ．评论：数形联合是数学的基本思想方法：碰到二元一次不定式组要考虑线性规划，碰到的代数式要考虑点（x，y）与点（ a， b）连线的斜率．这都是由数到形的转变策略．21．（2011?雅安三模）以下命题中：①函数， f （ x） =sinx+（ x∈（ 0，π））的最小值是 2；② 在△ ABC 中，若 sin2A=sin2B ，则△ ABC 是等腰或直角三角形；③假如正实数a， b， c 知足 a + b＞ c 则+＞；④ 如果 y=f （ x）是可导函数，则f′（ x0） =0 是函数 y=f （x）在 x=x 0处取到极值的必需不充足条件．此中正确的命题是（）A ．① ②③④B ．① ④C．② ③④ D ．② ③考点：函数在某点获得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用．专题：惯例题型；压轴题．剖析：依据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，依据和差化积公式整理求得cos（A+B ）=0或 sin（A ﹣B ） =0，推测出 A+B=或 A=B ，则三角形形状可判断出．结构函数y=，依据函数的单一性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．解答：解：① f （ x）=sinx+≥2 ，当 sinx=时取等号，而 sinx 的最大值是 1，故不正确；② ∵ sin2A=sin2B ∴ sin2A ﹣ sin2B=cos（ A+B ） sin（ A ﹣ B） =0∴ cos（ A+B ） =0 或 sin（ A ﹣B ）=0∴ A+B=或 A=B∴ 三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；③可结构函数 y=，该函数在（0．+∞）上单一递加， a+b＞ c 则+＞，故正确；④ ∵ f（ x）是定义在R 上的可导函数，当 f′（ x0）=0 时， x0可能 f （ x）极值点，也可能不是 f （x）极值点，当 x0为 f（ x）极值点时， f ′（ x0）=0 必定成立，故 f′（ x0）=0 是 x0为 f （ x）极值点的必需不充足条件，故④ 正确；应选 C．评论：考察学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考察了极值的相关问题，属于综合题．22．（ 2011?万州区一模）已知 f （ x ） =2x的最小值是（ ）A ．﹣ 37B ．﹣ 29考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值．专题 ： 惯例题型；压轴题．3﹣ 6x 2 +m （ m 为常数）在 [ ﹣ 2， 2] 上有最大值 3，那么此函数在 [ ﹣ 2， 2]上 C ．﹣5 D ．以 上都不对剖析： 先求导数，依据单一性研究函数的极值点，在开区间（﹣2， 2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m ，经过比较两个端点﹣2 和 2 的函数值的大小从而确立出最小值，获得结论．2∵ f （ x ）在（﹣ 2， 0）上为增函数，在（ 0， 2）上为减函数， ∴ 当 x=0 时， f （ x ） =m 最大，∴ m=3，从而 f （﹣ 2） =﹣ 37， f （ 2） =﹣5． ∴ 最小值为﹣ 37．应选： A评论：本题考察了利用导数求闭区间上函数的最值， 求函数在闭区间 [a ，b] 上的最大值与最小值是经过比较函数在（ a ，b ）内全部极值与端点函数 f （ a ）， f （ b ） 比较而获得的，属于基础题．23．（2010?河东区一模）已知定义在 R 上的函数 （fx ）是奇函数，且（f 2）=0，当 x ＞ 0 时有，则不等式 x 2?f （ x ）＞ 0 的解集是（ ）A ．（﹣ 2， 0） ∪ （2， +∞）B ． （ ﹣∞，﹣ 2）∪（ 0，2）C ． （﹣ 2， 0）∪ （ 0， 2）D ．（﹣ 2， 2） ∪ （ 2，+∞）考点 ： 函数的单一性与导数的关系；函数单一性的性质． 专题 ： 计算题；压轴题．剖析：第一依据商函数求导法例，把化为 [ ]′＜ 0；而后利用导函数的正负性，可判断函数 y=在（ 0，+∞）内单一递减；再由 f （ 2） =0，易得 f （ x ）在（ 0， +∞）内的正负性；最后联合奇函数的图象特色，可得 f （x ）在（﹣ ∞， 0）内的正负性．则x 2f （ x ）＞ 0? f （ x ）＞ 0 的解集即可求得．解答：解：因为当 x ＞ 0 时，有恒成立，即 []′＜ 0 恒成立，所以在（ 0，+∞）内单一递减．因为 f （ 2） =0，所以在（ 0， 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（ 2， +∞）内恒有 f （x ）＜ 0． 又因为 f （ x ）是定义在 R 上的奇函数，所以在（﹣ ∞，﹣ 2）内恒有 f （ x ）＞ 0；在（﹣ 2， 0）内恒有 f （ x ）＜ 0．又不等式 x 2f （x ）＞ 0 的解集，即不等式 f （ x ）＞ 0 的解集． 所以答案为（﹣ ∞，﹣ 2）∪ （ 0，2）． 应选 B ．评论： 本题主要考察函数求导法例及函数单一性与导数的关系，同时考察了奇偶函数的图象特色．24．（ 2010?惠州模拟）给出定义：若函数 f （ x ）在 D 上可导，即 f ′（ x ）存在，且导函数 f ′（x ）在 D 上也可导，则称 f （x ）在 D 上存在二阶导函数，记 f ″（ x ） =（ f ′（ x ）） ′，若 f ″（ x ）＜ 0 在 D 上恒成立，则称f （ x ）在 D 上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）A ．f （ x ） =sinx+cosxB ． f （ x ）=lnx ﹣2xC ． f （ x ）=﹣ x 3+2x ﹣ 1﹣D ．f （ x ） =﹣ xex考点 ： 利用导数研究函数的单一性．专题 ： 压轴题．剖析： 对 ABCD 分别求二次导数，逐个清除可得答案．解答：解：对于 f （ x ）=sinx+cosx ，f ′（x ）=cosx ﹣sinx ，f ″（x ）=﹣ sinx ﹣ cosx ，当 x ∈ 时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，清除A ；对于 f （ x ） =lnx ﹣2x ， f ′（ x ） = ， f ″（x ） =﹣，当 x ∈时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，清除 B ；对于 f （ x ） =﹣x 3+2x ﹣ 1， f ′（x ） =﹣ 3x 2+2， f ″（x ） =﹣ 6x ，当 x ∈时， f ″（ x ）＜ 0，故为凸函数，清除 C ；应选 D ．评论： 本题主要考察函数的求导公式．属基础题．25．（ 2010?黄冈模拟）已知 f （ x ）为定义在（﹣ ∞， +∞）上的可导函数，且 f （ x ）＜ f ′（ x ）对于 x ∈R 恒成立，则 （ ）A ．f （ 2）＞ e 2f （ 0）， f （ 2010）＞ e 2010f （ 0）B ． f （2）＜ e 2f （ 0），f （2010）＞ e 2010f （0）C ． f （ 2）＞ e 2f （ 0）， f （ 2010）＜ e 2010f （ 0）D ．f （2）＜ e 2f （ 0），f （2010）＜ e 2010f （0）考点 ： 利用导数研究函数的单一性．专题 ： 压轴题．剖析：先转变成函数 y=的导数形式，再判断增减性，从而获得答案．解答：解： ∵ f （ x ）＜ f' （ x ） 从而 f' （ x ）﹣ f （ x ）＞ 0 从而＞ 0从而＞0 从而函数 y= 单一递加，故 x=2 时函数的值大于 x=0 时函数的值，即所以 f （ 2）＞ e 2f （ 0）．2010同理 f （ 2010）＞ ef （ 0）；评论： 本题主要考察函数的单一性与其导函数的正负状况之间的关系，即导函数大于 0 时原函数单一递加，当导函数小于0 时原函数单一递减．26．（ 2010?龙岩二模）已知f （ x ）、g （ x ）都是定义在R 上的函数，f ′（ x ）g （ x ） +f （x ） g ′（ x ）＜ 0， f （ x ） g （ x ）=ax ， f （ 1）g （ 1） +f （﹣ 1）g （﹣ 1） =．在区间[ ﹣3， 0]上随机取一个数x ， f （ x ） g （ x ）的值介于4 到 8 之间的概率是（）A ．B ．C ．D ．考点 ： 利用导数研究函数的单一性；几何概型．专题 ： 计算题；压轴题．剖析： 依据函数积的导数公式，可知函数f （ x ）g （ x ）在R 上是减函数，依据f （ x ）g （ x ） =a x ， f （ 1）g （ 1）+f（﹣ 1） g （﹣ 1） =．我们能够求出函数分析式，从而可求出f （x ）g （ x ）的值介于4 到 8 之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得． 解答： 解：由题意， ∵ f' （ x ） g （ x ）+f （x ） g'（ x ）＜ 0，∴ [f （ x ） g （ x ） ]'＜0，∴ 函数 f （ x ）g （ x ）在 R 上是减函数∵ f （ x ） g （x ） =a x，∴ 0＜ a ＜ 1∵ f （ 1） g （1） +f （﹣ 1）g （﹣ 1）= ．∴∴∵ f （ x ） g （x ）的值介于 4 到 8∴ x ∈[﹣ 3，﹣ 2]∴ 在区间 [﹣3， 0] 上随机取一个数 x ，f （x ） g （ x ）的值介于 4 到 8 之间的概率是应选 A ．评论： 本题的考点是利用导数确立函数的单一性，主要考察积的导数的运算公式，考察几何概型，解题的要点是确立函数的分析式，利用几何概型求解．27．（ 2010?成都一模）已知函数 在区间（ 1， 2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ． （0， 1]D ．考点 ： 利用导数研究函数的单一性． 专题 ： 压轴题．剖析： 第一求出函数的导数，而后依据导数与函数增减性的关系求出m 的范围．解答： 解：由题得 f ′（ x ）=x 2﹣ 2mx ﹣3m 2=（ x ﹣ 3m ）（ x+m ），∵ 函数在区间（ 1， 2）内是增函数，∴ f ′（ x ）＞ 0，当 m ≥0 时， 3m ≤1，∴ 0≤m ≤ ，当 m ＜ 0 时，﹣ m ≤1， ∴ ﹣ 1≤m ＜ 0，∴ m ∈[﹣ 1， ] ．应选 D ．点 ：掌握函数的 数与 性的关系．28．（ 2009?安徽） 函数 f （ x ）= x 3+x 2+tan θ，此中 θ∈[0，] ， 数 f （′1）的取 范 是 （）A ．[ 2， 2]B ． [， ]C ． [ ， 2]D ．[ ， 2]考点 ： 数的运算．： ．剖析： 利用基本求 公式先求出f ′（ x ），而后令 x=1 ，求出 f ′（1）的表达式，从而 化 三角函数求 域 ，求解即可．2cos θ?x ，解答： 解： ∵ f ′（ x ） =sin θ?x +∴ f ′（ 1）=sin θ+ cos θ=2sin （ θ+ ）．∵ θ∈[0， ]，∴ θ+ ∈[ ， ] ． ∴ sin （θ+ ） ∈[ ， 1] ． ∴ 2sin （ θ+） ∈[， 2]．故 D ．点 ： 本 合考 了 数的运算和三角函数求 域 ，熟 公式是解 的关 ．29．（ 2009?天津） 函数 f （ x ）在 R 上的 函数f ′（x ），且 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2，下边的不等式在R 内恒成立的是（ ）A ．f （ x ）＞ 0B ． f （ x ）＜ 0C ． f （ x ）＞ xD ．f （ x ）＜ x考点 ： 数的运算． ： ．剖析： 于 参数取 ， 些没有固定套路解决的 ，最好的 法就是清除法．解答： 解： ∵ 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2，令 x=0 ， f （x ）＞ 0，故可清除 B ，D ．假如 f （ x ）=x 2+0.1， 已知条件 2f （ x ） +xf ′（ x ）＞ x 2成立，但 f （ x ）＞x 未必成立，所以 C 也是 的，故 A 故 A ．点 ：本 考 了运用 数来解决函数 性的 ．通 剖析分析式的特色，考 了剖析 和解决 的能力．30．（ 2009? 西） 曲 y=x n+1（n ∈N * ）在点（ 1， 1） 的切 与x 的交点的横坐 x n1 2n的， x ?x ?⋯?x（ ）A ．B ．C ．D ．1考点 ： 利用 数研究曲 上某点切 方程；直 的斜率． ： 算 ； ． 剖析：欲判 x 1?x 2?⋯?x n 的 ，只 求出切 与x 的交点的横坐 即可，故先利用 数求出在 x=1 的 函数 ，再 合 数的几何意 即可求出切 的斜率．从而 解决．n+1*n解答： 解： y=x （ n ∈N ）求 得 y ′=（ n+1 ）x ，令 x=1 得在点（ 1，1） 的切 的斜率 k=n+1 ，在点（ 1， 1） 的切 方程 y 1=k （ x n 1） =（ n+1）（ x n 1），不如 y=0，x 1?x 2?x 3⋯?x n = × × ，故 B ．点 ：本小 主要考 直 的斜率、利用 数研究曲 上某点切 方程、数列等基 知 ，考 运算求解能力、化 与 化思想．属于基 ．高中数学导数尖子生指导（解答题）一．解答 （共30 小 ）21．（ 2014?遵 二模） 函数 f （ x ） =x +aln （ 1+x ）有两个极 点x 1、x 2，且 x 1＜ x 2，（ Ⅱ ） 明： f （ x 2）＞．考点 ： 利用 数研究函数的极 ；利用 数研究函数的 性；不等式的 明． ： 算 ； 明 ； ．剖析： （ 1）先确立函数的定 域而后求 数f （ x ），令g （ x ）=2x 2+2x+a ，由 意知 x 1、 x 2 是方程 g （ x ） =0 的 两个均大于 1 的不相等的 根，成立不等关系解之即可，在函数的定 域内解不等式f （ x ）＞ 0 和 f （ x ）＜ 0，求出 区 ；（ 2）x 2 是方程 g （ x ） =0 的根，将 a 用 x 2 表示，消去 a 获得对于 x 2 的函数，研究函数的 性求出函数的最大 ，即可 得不等式．解答：解：（ I ）令 g （ x ）=2x2，其 称 ．+2x+a由 意知x 1、 x 2 是方程 g （ x ）=0 的两个均大于1 的不相等的 根，其充要条件，得（ 1）当 x ∈（ 1，x 1） ， f'（ x ）＞ 0，∴ f （ x ）在（ 1， x 1）内 增函数； （ 2）当 x ∈（ x 1， x 2） ， f'（x ）＜ 0， ∴f （x ）在（ x 1 ，x 2）内 减函数；（ 3）当 x ∈（ x 2， +∞） ， f' （ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（ x 2， +∞）内 增函数；（ II ）由（ I ） g （ 0） =a ＞ 0， ∴，a= （ 2x222+2x ）222∴ f （ x 2） =x 2 +aln （ 1+x 2） =x 2（ 2x 2+2x 2） ln （1+x 2），h'（ x ） =2x 2（2x+1 ）ln （ 1+x ） 2x= 2（ 2x+1 ） ln （ 1+x ）（ 1）当， h'（x ）＞ 0，∴ h （ x ）在 增；（ 2）当 x ∈（ 0， +∞） ， h'（ x ）＜ 0， h （x ）在（ 0， +∞） 减． ∴故 ．点 ： 本 主要考 了利用 数研究函数的 性，以及利用 数研究函数的极 等相关知 ，属于基 ．2﹣x2．（ 2014?武汉模拟）己知函数 f （ x） =x e（Ⅰ）求 f （ x）的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线 y=f （ x）的切线 l 的斜率为负数时，求l 在 x 轴上截距的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；依据实质问题选择函数种类；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题；转变思想；导数的综合应用．剖析：（Ⅰ ）利用导数的运算法例即可得出f′（ x），利用导数与函数单一性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（Ⅱ ）利用导数的几何意义即可获得切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x 轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单一性、极值、最值即可．2 ﹣ x﹣x 2 ﹣ x ﹣ x2解答：解：（Ⅰ）∵ f（ x） =x e，∴ f′（ x） =2xe﹣ x e =e（ 2x﹣ x ），令f′（ x）=0 ，解得 x=0 或 x=2 ，令f′（ x）＞ 0，可解得 0＜x＜ 2；令 f′（ x）＜ 0，可解得 x＜ 0 或 x＞ 2，故函数在区间（﹣∞， 0）与（ 2，+∞）上是减函数，在区间（ 0， 2）上是增函数．∴ x=0 是极小值点， x=2 极大值点，又f（ 0） =0， f （ 2）=．故 f（ x）的极小值和极大值分别为0，．（ II ）设切点为（），则切线方程为y﹣=（x﹣x0），令 y=0 ，解得 x==，因为曲线y=f （ x）的切线 l 的斜率为负数，∴（＜0，∴ x0＜0或x0＞2，令，则=．①当 x0＜ 0 时，0，即 f′（ x0）＞ 0，∴ f（ x0）在（﹣∞， 0）上单一递加，∴ f（x0）＜ f（ 0） =0；② 当x0＞ 2 时，令f′（ x0） =0，解得．当时， f′（ x0）＞ 0，函数 f （ x0）单一递加；当时， f ′（ x0）＜ 0，函数f（ x0）单一递减．故当时，函数f（ x0）获得极小值，也即最小值，且=．综上可知：切线l 在 x 轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．评论：本题考察利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单一性、切线、函数的值域，综合性强，考察了推理能力和计算能力．3．（ 2014?四川模拟）已知函数 f （ x） =lnx+x 2．（ Ⅰ ）若函数 g （ x ） =f （ x ）﹣ ax 在其定义域内为增函数，务实数 a 的取值范围；（ Ⅱ ）在（ Ⅰ ）的条件下，若 a ＞ 1， h （ x ） =e 3x ﹣ 3ae xx ∈[0， ln2] ，求 h （ x ）的极小值；（ Ⅲ ）设 F （ x ）=2f （ x ）﹣ 3x 2﹣kx （ k ∈R ），若函数 F （ x ）存在两个零点 m ，n （ 0＜ m ＜n ），且 2x 0=m+n ．问：函数 F （ x ）在点（ x 0 ，F （ x 0））处的切线可否平行于x 轴？若能，求出该切线方程；若不可以，请说明原因．考点 ： 函数的单一性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题 ： 计算题；压轴题；导数的观点及应用．剖析：（ Ⅰ ）先依据题意写出： g （x ）再求导数， 由题意知， g ′（ x ）≥0，x ∈（ 0，+∞）恒成立， 即由此即可求得实数 a 的取值范围；（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，利用换元法律t=e x ，则 t ∈[1，2] ，则 h （ t ）=t 3﹣ 3at ，接下来利用导数研究 此函数的单一性，从而得出h （x ）的极小值；（ Ⅲ ）对于可否问题，可先假定能，即设F （x ）在（ x 0，F （ x 0））的切线平行于 x 轴，此中 F （ x ） =2lnx﹣ x 2﹣ kx 联合题意，列出方程组，证得函数在（ 0，1）上单一递加，最后出现矛盾，说明假定不行立，即切线不行否平行于x轴．解答：解：（ Ⅰ ） g （ x ） =f （ x ）﹣ ax=lnx+x 2﹣ax ，由题意知， g ′（x ） ≥0，对随意的x ∈（ 0， +∞）恒成立，即又 ∵ x ＞ 0，，当且仅当 时等号成立∴，可得（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，，令 t=e x，则 t ∈[1，2] ，则h （ t ） =t 3﹣3at ，由 h ′（t ）=0，得或（舍去），∵ ， ∴若 ，则 h ′（ t ）＜ 0，h （ t ）单一递减；若 ，则 h ′（ t ）＞ 0， h （ t ）单一递加∴ 当时， h （ t ）获得极小值，极小值为x 轴，此中 F （x ） =2lnx ﹣ x 2﹣kx（ Ⅲ ）设 F （ x ）在（ x 0， F （ x 0））的切线平行于联合题意，有① ﹣ ② 得所以，由 ④ 得所以。
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数学导数练习（文）一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1B.2C.－1D. 03 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数C ()f x =()0g x =D ()f x +()g x 为常数函数4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D),1(+∞5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A. 1个 B.2个C.3个D.4个二、11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________.12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.14. 曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
15. 已知曲线31433y x =+，在点(2,4)P 的切线方程是______________16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 三、解答题：15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程 16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
18．已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。
19.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围20.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.参考答案一、选择题 AACACBBCCCA 二、填空题11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，13）∪（1，+∞））12．(,0)-∞13．34π14．3815.044=+-x y 16.20三、解答题：17．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到3235y x x =+-得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=18．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去）(1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值， 18V ∴=最大值19．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或单调递增区间为()1010-+∞ 20．解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a=-++=--()f x 极小值为(1)2af =-（2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =->，()f x Q 的极小值为2()0f a<， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。
21．解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-； （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或22．解(1)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（2）由（1）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211m>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减， 在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 43m -<又0m < 所以403m -<<即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭。