向量基础知识及应用

向量基础知识及应用

基本知识：

1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；

2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；

3. 实数及向量的积λa . 向量共线的充要条件 ：向量及非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ。

4. 向量和的数量积：·=| |·||cos θ，其中θ为和的夹角。 向量b 在a 上的投影：|b |cos θ，其中θ为a 和b 的夹角

a ⊥

b ?a ·b =0

5. 向量的坐标表示: ()y x y x ，=+=0 ;

若向量()y x a ，=，则 |22|y x a +=；

若P 1（1x ，1y ）、P 2（2x ，2y ），则 ()

121221y y x x P P --=，; |2

1P P |=212212)()(y y x x -+- 6. 向量的坐标运算及重要结论： 若a =（1x ，1y ）, b =（2x ，2y ）, 则

① ()2121y y x x ++=+，②()2121y y x x b a --=-，

③ ()11y x λλλ，=④y y x x 121+=?

⑤ 0//1221=-?y x y x ⑥?⊥b a 1x 2x +1y 2y =0

⑦ cos θ= （θ为向量的夹角）

7. 点P 分有向线段21P P 所成的比的λ： 21PP P λ=，或

P 内分线段21P P 时,0>λ; P 外分线段21P P 时,0<λ.

8. 定比分点坐标公式： ()1-≠λ ，中点坐标公式：

9. 三角形重心公式及推导（见课本例2）：

三角形重心公式：)3

,3(321321y y y x x x ++++ 10. 图形平移：设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。

平移公式： 或 平移向量=PP =（h ，k ）

应用：

1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题

例1已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP

1===，求证：321P P P ?是正三角形

解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211sin cos sin ,cos sin ,cos θθθθθθ--=+ ?

??-=+-=+321321sin sin sin cos cos cos θθθθθθ 两式平方和为()11cos 2121=+-+θθ，，由此可知21θθ-的最小正角为0

120，即1OP 及2OP 的夹角为0120，同理可得1OP 及3OP 的夹角为0120，2OP 及3OP

的夹角为0120，这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上，所以321P P P ?为等腰三角形.

例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角

的度数

解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y

轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,， 从而可求：()()a a BD a a AC 2,,,2-=-=

,()()a

a a a a a 552,,2cos ?-?-==θ =..

2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题

例3已知ABC ?，AD 为中线，求证()2

222221??

? ??-+=BC AC AB AD 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系，设()()0

,,,c C b a A ，，()22222

402b a ac c b a c ++-=-+?

??

??-

=， 221??

?-???+. =()4

42122222222c ac b a c b a c b a +-+=?????

?-

+-++，

从而221?? ?-???+，()

2222221??? ??-+=BC AC AB AD . 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量

例4已知点O 是，，内的一点，0090BOC 150AOB =∠=∠?ABC ,,,

=

==设,312===试用.,c b a 表示和

解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系.

① ②

由OA=2，0120=∠AOx ，所以()()

,31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，易求

()()3,0C 1-0B ，，，设()

()().31-3

--331-3,01-031-,OA 21122121?????==???==+=+=λλλλλλλλ，，，，即OC OB

.

例5

，

的夹角为与，的夹角为与530OA OC 120OB ,100===OA 用OB OA ，表示.OC 解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，

()

，，即，所以由???? ??=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000

()???

? ??+=???? ??+=23,21-0125235,OC 2121λλλλ，，即OB OA .33

53310232521-23521221???

????==???????==λλλλλ，

OB OC 3

353+=∴. 4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题

例6 求证：三角形的三条高交于同一点

[分析]如图，已知ABC ?中，由AC BE BC AD ⊥⊥,，

,H BE AD = 要证明,AB CH ⊥利用向量法证明⊥，只要证得0=?即可；证明中，要充分利用好0=?，0=?这两个条件.

证明：H BC AD ,⊥ 在AD 上，∴0=?而 -=，0)(=?-BC CA CH ，即0=?-?① 又-=⊥, ，0=?∴即0)(=?-AC CB CH

0=?-?∴②

①-②得：0=?-?，即()0=-?AC BC CH 从而0=?，⊥∴，AB CH ⊥∴.

5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.

例7 求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式

[分析]已知点),(),,(2211y x B y x A 求B A ,两点间的距离|,|AB 这时，我们就可以构造出向量，那么),,(1212y y x x AB --=而||||AB AB =， 根据向量模的公式得212212)()(||y y x x -+-=

，从而求得平面内两点间的距离公式为212212)()(||y y x x AB -+-=.

解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x AB --=∴

212212)()(||y y x x -+-=∴ ,而||||AB =

∴点A 及点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=

6.利用向量的数量积解决线及线的夹角及面及面的夹角问题.

例8 证明: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

[分析]如图，在单位圆上任取两点B A ,,以Ox 为始

边，OB OA ,为终边的角分别为αβ,，设出B A ,两点的坐标，即得到,的坐标，则βα-为向量,的

夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.

证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，

以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为

),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα；则向量

=),sin ,(cos ββ=)sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-，

,1||||==OB OA βαβαsin sin cos cos +=?OB OA ,由向量夹角公式得：

==-||||)cos(OB OA βαβαβαsin sin cos cos +,从而得证.

注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -

7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.

例9 证明柯西不等式221212

2222121)()()(y y x x y x y x +≥+?+ 证明：令),(),,(2211y x b y x a == （1） 当0 =a 或0 =b 时，02121=+=?y y x x b a ，结论显然成立； （2） 当0 ≠a 且0 ≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈ θcos ||||2121b a y y x x b a =+=?. 又 1|cos |≤θ ||||||b a b a ≤?∴（当且仅当b a //时等号成立） 2

22221212121||y x y x y y x x +?+≤+∴ ∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+?+.（当且仅当时等号成立）

例10求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值

解：原函数可变为x x y 2cos 2sin 2++=，所以只须求x x y 2cos 2sin +='的最值即可，构造{}{}1,1,2cos ,2sin ==x x ，那么22cos 2sin =

≤=+b a b a x x . 故22,22min max -=+=y y .