《高等数学》A1教学大纲

《高等数学》A1教学大纲

课程编号：C042MA1 课程类型：公共基础课

课程名称：高等数学英文名称：Higher mathematics

学分： 6 适用对象：信息类、电类本科

第一部分大纲说明

一、课程的性质、目的和任务

高等数学在高等院校工科各专业的教学计划中是一门必修的重要基础理论课.通过这门课程的学习，要使学生系统掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算，在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力以及一定的数学建模能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.

二、课程的基本要求

通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微积分、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能.为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.

三、本课程与相关课程的联系

在学习本课程之前学生应具备初等数学知识，本课程先修课程为初等数学.

四、学时分配

本课程学分为6学分，建议开设96学时。

使用教材: 同济大学数学系编，《高等数学》，高等教育出版社，十一五国家规划教材.

主要参考书:

1.同济大学数学系编，《高等数学附册-学习辅导与习题选解》，高等教育出版社，第

六版.

2.仇庆九等编,《高等数学》，高等教育社出版，面向21世纪课程教材.

3.东南大学高等数学教研室编，《高等数学》，高等教育出版社，十一五国家规划教材.

4.侯云畅编，《高等数学》，高等教育出版社，面向21世纪课程教材.

5.萧树铁编,《大学数学—微积分》，高等教育出版社，第二版.面向21世纪课程教材.

6.李安昌编，《高等数学方法指导》，中国矿业大学出版社.第一版.

7.杨淑娥李苏北编，《高等数学辅导》，中国矿业大学出版社，第一版.

六、教学方法和手段建议

本课程以讲授为主,适当采用多媒体辅助教学.每章节配合适当的习题,重视辅导答疑教学环节,认真指导学生学习方法和掌握重点内容的理论.在教学过程中，实行启发式教学法,要突出数学思想的教学，加强数学应用能力的培养，淡化运算技巧的训练.

七、课程考核方式

本课程进行期中和期末两次考试，考试形式为闭卷.

成绩评定方法：平时20％＋期中20％＋期末60％.

八、说明

本大纲内容主要根据教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会《关于工科类本科数学基础课程教学基本要求》编写.

第二部分 课程内容大纲

第一章 函数与极限（18学时）

一、本章的教学目的和要求

1.在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解.了解函数奇偶数、单调性、周期性和有界性.

2.理解复合函数的概念，了解反函数的概念.

3.会建立简单实际问题中的函数关系式.

4.理解极限的概念，了解极限的N ε-、εδ-定义（不要求学生会做给出ε求N 或δ的习题）.知道函数左、右限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系.

5.掌握极限四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限.

6.了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个极限存在准则(夹逼准则和单调

有界准则)，会用两个重要极限0sin lim 1x x x →=和1lim 1x

x e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭

求极限. 7.了解无穷小、无穷大，高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限.

8.理解函数在一点连续和在一区间连续的概念.

9.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型.

10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理和最大、最小值定理. 二、教学内容

函数概念, 函数的几种特性, 反函数及其图形. 分段函数, 复合函数, 基本初等函数, 初等函数.

数列极限的ε-N 定义, 收敛数列的性质, 函数极限的ε-δ定义, 函数极限的ε-X 定义, 函数的左、右极限,函数极限的性质， 无穷小与无穷大的概念, 无穷小与函数极限的关系. 极限的四则运算、复合运算法则, 极限存在准则(夹逼准则与单调有界准则),两个重要极限, 无穷小的比较, 等价无穷小.

函数连续的概念, 间断点, 连续函数的和、差、积、商的连续性, 连续函数的反函数的连续性, 连续函数的复合函数的连续性, 基本初等函数和初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理.

重点：极限的概念，无穷小量，求极限的方法，函数的连续性.

难点：极限的概念.

第二章 导数与微分（14学时）

一、本章的教学目的和要求

1．理解导数的概念及其几何意义、物理意义，（不要求学生会利用导数的定义研究抽象函数的可导性），了解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式.

3.了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式）.

4.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶以及这两类函数中比较简单的二阶导数.

5.理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性.

二、教学内容

导数概念, 导数的几何意义, 平面曲线的切线与法线, 函数的可导性与连续性的关系. 函数的和、差、积、商的导数, 复合函数的求导法则, 反函数的求导法则, 基本初等函数的求导公式, 高阶导数, 隐函数的导数,对数求导法则, 由参数方程所确定的函数的导数,

分段函数的求导方法.

重点：导数、微分的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法.

难点：导数、微分的概念.

第三章中值定理与导数的应用（18学时）

一、本章的教学目的和要求

1．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧）.

2.了解泰勒(Taylor)公式及其用多项式逼近的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）.

3．会用洛必达(L’Hospilal)法则求不定式的极限.

4. 掌握用导数判断函数单调性的方法.

5. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点.

6. 理解函数极值的概念，掌握求极值的方法，会求解较简单的最大值和最小值的应用问题.

7. 会描绘一些简单函数的图形(包括有水平和铅直渐近线的图形).

8.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.

二、教学内容

罗尔定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 洛必达法则, 泰勒公式, 函数单调性的判法,

函数极值与求法, 最大值与最小值问题, 函数图形的凹凸性判定，拐点的求法, 水平渐近线和垂直渐近线, 函数图形的描绘, 弧的微分,曲率的定义及其计算公式, 曲率圆与曲率半径, 曲率中心.

重点：拉格朗日中值定理、洛必达法则，函数单调性的判定，函数的极值及其求法，最值问题.

难点：拉格朗日中值定理，泰勒公式.

第四章不定积分（12学时）

一、本章的教学目的和要求

1.理解原函数与不定积分的概念,熟悉它们的性质.

2.掌握不定积分的基本公式.

3.掌握不定积分的第一换元法、第二换元法和分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练）.

4.会求简单的有理函数、三角函数有理式和无理函数的积分（对于求有理函数积分的一