扩散方程

不同出发点
?
前者是经典数学物理所讨 论的主要内容. 后者是高等数学 物理（或称为现代数学物理） 所讨论的主要内容
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数学物理方程的类型和所描述的物理规律
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程 静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系 泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
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根据分析问题的不同出发点， 把数学物理问题分为正向问题 和逆向问题. 正向问题，即 为已知源求场 逆向问题，即 为已知场求源.
第二篇 数学物理方程
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本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解 重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法和行波法. 特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根据 数学物理模型建立数学物理方程．
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数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方 程． 数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的 许多物理现象和普遍规律.
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从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
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(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(9.1.8)应该改写为
utt a uxx f ( x, t )
2
(9.1.9)
式中 f ( x, t )
F ( x, t )

称为力密度 ，为
t
时刻作用于
x
处单位质量上的横向外力
即为
utt a uxx g
2
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程． 其中 a 2 T / 讨论： （1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a uxx
2
（9.1.8）
称式（9.1.8）为弦的自由振动方程
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三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
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三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程
标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
u
T2
Bห้องสมุดไป่ตู้
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
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根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
作用于小段 ABC 的纵向合力应该为零：
（9.1.1）
T2 cos 2 T1 cos 1 0
式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.
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2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS u x YS u x x YS x dx u x dx ( Sdx)utt x
（9.1.10）
可得
utt Yuxx 0
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第九章 数学建模---数学物理定解问题
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 具有波动方 程的数理方 程的建立 讨 论 定解条 件
杆的纵振动
传输线方程
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9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦． 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确： (1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u ( x, t ) 确定 弦的 运动 方程
(9.1.2)
2 2 仅考虑微小的横振动，夹角 1 , 2 为很小的量，忽略 1 , 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos 1 1
sin 1 1
12
2! 13
3!


1,
cos 2 1
sin 2 2 tan 2
1 tan 1 ,
变化量
ux
x dx
ux x ) gdx utt dx
(9.1.5)
dx 可以取得很小，根据微分知识有下式成立
ux
x
x dx
u x dx u xx dx x
这样，
ABC
段的运动方程(9.1.5)就成为
(9.1.6)
utt Tuxx g 0
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ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx
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注意到:
u ux tan sin 故由图9.11得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
ux
x dx
tan 2 sin 2
这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
(9.1.3) (9.1.4)
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因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随
T T2 T1 故有
x
而变， 可记为
T (ux
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
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注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化． 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位 移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可 以取除端点之外的任何位置作为考察点．