数学竞赛辅导托勒密定理一

托勒密定理

Ptolemy (约公元85年~165年)，希腊数大天文学家，他的主要着作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。 托勒密定理

圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。

已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD

证明：在∠BAD 内作∠BAE =∠CAD ，交BD 于E 。

因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ， 从而AB·CD =AC·BE ①；

易证△ADE ∽△ACB ，所以BC·AD=AC·DE ②；

①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD 。

托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。

已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ， 求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

证明：构造相似三角形，即取点E ，使∠BCE =∠ACD ，且∠CBE =∠

CAD ，则△CBE ∽△CAD 。所以BC·AD=AC·BE ①；

又CD CA CE CB =，∠BCA =∠ECD ，所以△BCA ∽△ECD 。AB·CD =AC·DE ②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC·（BE+DE ）。显然有BE+DE≥DB 。

于是AB·CD+BC·AD≥AC·DB 。等号当且仅当E 在BD 上成立，结合已

知条件得到此时等号成立，这时∠CBD =∠CAD ，即A 、B 、C 、D 四点共圆。 托勒密定理的推广

托罗密不等式在四边形ABCD 中， 有AB·CD+AD·BC≥AC·BD. 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。

推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠

推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则

直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅

一、直接应用托勒密定理

例1如图，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ．

分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为

繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ，

E B D A A D C B E

∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．

二、完善图形借助托勒密定理

例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．

由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①

又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②

把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．

例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，

求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．

证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．

∵∠1=∠2，∴BD=CD．

故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．

三、构造图形借助托勒密定理

例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．

证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，

使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．

∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆

∴∠ABD=∠BAC．于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC

又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①

而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②

∴∠BAC=2∠ABC．

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理

例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联

系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．

如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，

有AC·BD＋BC·AD=AB·CD

易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，

作业

1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。

2.证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数．

3.若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。

4.如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点， 求证PB PC PA +为定值。

C P