球面距离的计算

球面距离的计算经典范例

1．位于同一纬度线上两点的球面距离

例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．

分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．

解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．

∴与为纬度，为二面角的平面角．

∴（经度差）．

△中，．

△中，由余弦定理，

．

△中，由余弦定理：

，

∴．

∴的球面距离约为．

2．位于同一经线上两点的球面距离

例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）

解经过两地的大圆就是已知经线．

，．

3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离

例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）

解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．

△中，由纬度为知，

∴，

．

△中，，

∴，

∴．

注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．

（为经度差）

．

△中，

．

∴．

∴的球面距离约为．

球面距离公式的推导及应用

球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A 、B 两点大圆的劣弧长由球心角AOB 的大小确定，一般地是先求弦长AB ，然后在等腰△AOB 中求∠AOB 。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。

地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A 的球面坐标为A （经度α，纬度β），两标定

点，清晰直观。

设地球半径为R ，球面上两点A 、B 的球面坐标为A （α1，β1），B （α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-

2π，2

π

]，如图，设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点，过B 的经线与赤道交于D 点。设地球半径为R ；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。

另外，以O 为原点，以OC 所在直线为X 轴，地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ （如图）。则A （Rcos β1,0,Rsin β1）,B(Rcos β

2cos （α1-α2）,Rcos β2sin （α1-α2）,Rsin β2)

cos ∠AOB =cos 〈OA ，OB 〉=cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2

∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。

于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：

⋂

AB =R ·arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] （I ）

上述公式推导中只需写出A ，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。

由公式（I ）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB ，只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A 、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为：

B A )

=R ·arcos[cos 2βcos （α1-α2）+sin 2β] （II ）

2、α1-α2=α，则球面距离公式为：

B A )

=R ·arcos （cos β1cos β2+sin β1sin β2）=R ·arcoscos （β1-β2） （III ）

例1、

设地球半径为R ，地球上A 、B 两点都在北纬45º的纬线上，A 、B 两点的球面距离是3

π

R ，A 在东经20º，求B 点的位置。 分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II ）得：

3

π

R= R ·arcos[cos 245ºcos （20º-α2）+sin 245º] cos 3π=2

1

cos （20º-α2）+21

∴cos （20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º 所以B 点在北纬45º，东经110º或西经70º

例2、

（2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起

飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线。从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经122 ）东京（北纬36 ，东经140 ）和旧金山（北纬37 ，西经123 ）等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少。

解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差。

球

1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________． 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径

3

2=r ，∴ 2

3=

r ．球体积．π2323π

3

4π343

3=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==⋅⋅r V