球面距离的计算
计算球面距离的三种习题示范
计算球面距离的三种习题示范
现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．
1．位于同一纬度线上两点的球面距离
例1 已知，两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，的球面距离．
分析：要求两点，的球面距离，过，作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．
解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结
，，，，．由于地轴平面．
∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．
△中，．
△中，由余弦定理，
．
△中，由余弦定理：
，∴．
∴的球面距离约为．
2．位于同一经线上两点的球面距离
例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的
两地，的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）
解经过两地的大圆就是已知经线．
，．
3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离
例3 地位于北纬，东经，地位于北纬，东经，求，
两地之间的球面距离．（见图4）
解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结
，，．
△中，由纬度为知，
∴，
．
△中，，
∴，
∴．
注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．
（为经度差）
．
△中，
．
∴．
∴的球面距离约为．。
球面距离计算
球面距离问题的求解玉邴图在高中数学课本和中学数学报刊资料中，关于球面距离问题仅给出定义，相关概念和例题论述较少，而在高考、竞赛及实际生活中，涉及球面问题的却有许多，且有一定的难度，为解决这个难点，本文介绍一个球心角定理及其推论，然后举例说明它们的应用，其过程反映了球面距离问题的一种求解方法，供读者参考。
一、几个相关概念纬度：经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角。
经度：经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。
两地的位置关系：地球上两点A、B的位置关系有以下三种：（1）A、B两地经度相同，纬度不同；（2）A、B两地纬度相同，经度不同；（3）A、B两地纬度不同，经度也不同。
球面距离：某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度，即A、B两点的球面距离为弧AB=（其中是A、B两点的球心角，单位为弧度制，R为球的半径）。
所以求球面距离问题的本质就是求出球心角。
二、有关定理及其推论为了方便叙述，本文采用有向角的概念，规定东经为正，西经为负，北纬为正，南纬为负，例如西经记为，南纬记为。
于是我们有如下的球心角的余弦定理。
定理1 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的中心为O，球心角∠AOB=（），则。
证明：设地球半径为，A、B两地所在的纬度圈分别为圆和圆，由球的截面性质知⊥圆，⊥圆，且两圆所在的平面平行，故知，O、三点共线，由有向角的概念知。
（1）设NOS为地轴，在半圆面NSA内，作所在的平面，垂足为，则，，在三角形中，由余弦定理得（2）当∠时，因为有，故（2）也成立，在直角三角形中，由勾股定理得（3）将（1）、（2）代入（3）得（4）在三角形AOB中，由余弦定理得（5）将（4）代入（5）代简得。
有了定理1，我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式。
定理2 设A、B是地球表面上的任意两地，A地的经度为，纬度为，B地的经度为，纬度为，地球的半径为R，则A、B两地的球面距离为劣弧AB=。
亥维赛函数
亥维赛函数亥维赛函数（Haversine function）也称为球面距离公式（great-circle distance formula），是一种用于计算两个经纬度之间距离的数学公式。
该公式在地球和行星导航、航空和航海领域中广泛应用。
它是一种计算从地球上任意两点之间的球面距离的公式，基于地球上两点之间的纬度和经度。
由于地球并非完美的球体，因此亥维赛函数是一个近似地球球面上大圆弧长度的数学公式，在实际应用中提供了足够的准确度。
亥维赛函数的数学公式为：$d = 2r\sin^{-1}(\sqrt{\sin^2(\frac{\phi_B -\phi_A}{2})+\cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\sin^2(\frac{\lambda_B -\lambda_A}{2})})$其中，$d$表示两点之间的距离，单位为米。
$\phi_A$和$\phi_B$表示两点之间的纬度，单位为弧度。
$\lambda_A$和$\lambda_B$表示两点之间的经度，单位为弧度。
$r$表示地球半径，通常取平均地球半径6371千米。
以上公式可以用不同的编程语言实现，例如Python、Java、JavaScript等。
应用示例假设有两个坐标点分别为：点A：(31.236389, 121.499167)那么可以使用亥维赛函数计算这两个点之间的球面距离：$\phi_A = 31.236389 \times \frac{\pi}{180} = 0.545882463$$d = 2 \times 6371 \times \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2(\frac{0.696262341 -0.545882463}{2})+\cos(0.545882463)\cos(0.696262341)\sin^2(\frac{2.031552064 - 2.120758772}{2})}) = 1036934.587$ 米因此，点A和点B之间的球面距离为1036934.587米，即约为1036千米。
球面的距离公式及其应用
一
Ｒ 。 Ｅ ｃ ｏ ｓ Ｏ ／ ￣ Ｃ Ｏ Ｓ ｙｃ ｏ ｓ （ ｍ ￣ －． 。 ）
十ｓ ｉ ｎ口 。 ｓ ｉ ｎ ］ ．
一１ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 ＋ Ｉ ． ２ ） 两 地 的经度 差 的计 算规 则是 ： 当 Ａ， Ｂ两地 为 ０ 。 经线 的 同侧 经度 时 ， 取 ｋ －Ｏ ， 得ｌ ｍ 。 一 。 Ｉ ． 当 Ａ， Ｂ两地为 Ｏ 。 经线的异侧经度时， 取
１ ） 两地的纬度差的计算规则是 ： 当Ａ， Ｂ两地 为赤道 （ Ｏ 。 纬线） 的同侧纬 度时， 取ｔ ＝Ｏ ， 纬度差是 ｌ ａ 。 一 Ｉ ； 当 Ａ， Ｂ两地 为 赤道 的异 侧 纬 度 时 ， 取ｔ
‘
Ｎ 的直线为 ２轴 ， 建立空 间直角坐标 系， 则 点 Ａ， Ｂ 的坐标分 别 为 Ａ（ Ｒ ｃ ｏ ｓ口 。 Ｃ Ｏ Ｓ ｍ 。 ，
设￣ Ａ Ｏ Ｂ－ － － Ｏ ， 则
ｃｏｓ ＝
需
ｋ ＝ｌ ， 得ｒ ｎ 。 ＋咒 。 有如下两种情况 ： ①若 ｍ 。 ＋ 。 ≤１ ８ ０ 。 时， 则为 ／ ｎ 。 ＋ 。 ；
－
－
Ｃ Ｏ ｔ 。 ）
ｍ。 一（ 一１ ） １ ０ 。 ：９ ０ 。 。
（ 一１ ） ， ｚ 。 ］ ＋ｓ ｉ ｎ 口 。 ｝
推 论 ２ 同经度不 同纬度 两地 问 的球 面
距离 ： 由于 ７ ， ｌ 一７ ｚ ， 取ｋ ＝Ｏ ， 所 以
ｃ ｏ ｓ （ ｍ。 一 。 ） 一Ｉ ，
当ｋ ＝０时 ， Ａ， Ｂ在 Ｏ 。 经线 的同侧 ， 得 ｍ。
球 面距 离 为 ：
球面距离的几种证明方法
球面距离的几种证明方法
球面距离是指在椭球面上，任意两点之间的最短路径，它是椭球面上任意两点的距离。
在地球表面的航行中，球面距离是最常见的几何距离，它以地球表面的维度和经度表示。
需要定义两点的维度经度，使用数学计算就能求出两点之间的球面距离，求出的球面距离与实际距离无论大小都有较大的差异，所以球面距离的应用非常广泛。
在此，本文将介绍几种球面距离的证明方法。
第一种证明方法：三角形证明法。
通过建立两点之间的三角形，定义出三条边长，利用三角形和地球球面之间的特殊关系，可以计算出三角形的面积，进而确定两点之间的球面距离。
第二种证明方法：空间分析法。
通过对两点之间连接的弧的长度和圆心角的空间分析，可以求出两点之间的球面距离。
第三种证明方法：旋转投影法。
这种证明方法基于地球球面的旋转特性，将空间点图投影到局部圆锥曲面上，求出局部圆锥曲面上的距离，最终得出两点之间的球面距离。
第四种证明方法：GPS定位法。
GPS定位法是利用GPS定位技术，根据卫星定位两点坐标，通过计算得出两点的经纬度和高度，最后求出两点之间的球面距离。
第五种证明方法：椭球体参数法。
两个经纬度算距离公式及方法
两个经纬度算距离公式及方法在地理定位和导航应用中，计算两个经纬度之间的距离是一个常见的需求。
本文将介绍两种常用的经纬度计算距离的公式及方法。
1. 大圆距离公式（Haversine Formula）大圆距离公式，又称为哈弗辛公式（Haversine formula），是一种计算球面（如地球）上两点之间距离的准确方法。
它基于球面三角学的概念，通过经纬度的差异来计算球面上两点之间的最短距离。
公式如下：a = sin²(Δφ/2) + cos(φ₁) * cos(φ₂) * sin²(Δλ/2)c = 2 * atan2(√a, √(1−a))d = R * c其中，φ₁和φ₂表示两个纬度，Δφ表示纬度的差异，Δλ表示经度的差异，R表示地球的半径。
如果结果单位是千米，可以将R取值为 6371；如果结果单位是英里，可以将R取值为 3956。
这个公式在计算距离时假设了地球是一个完全的球体，没有考虑地球的形状变化。
因此，对于较短的距离，这个公式的计算结果是相对准确的。
但当计算跨越很大距离时，由于地球的扁平形状，这个公式会引入一定的误差。
2. 球面劣弧距离公式（Spherical Law of Cosines）球面劣弧距离公式（Spherical Law of Cosines），是利用余弦定理来计算球面上两点之间的距离的公式。
与大圆距离公式相比，这个公式更适用于计算大距离的情况。
公式如下：d = arcCos(sin(φ₁) * sin(φ₂) + cos(φ₁) * cos(φ₂) * cos(Δλ)) * R其中，φ₁和φ₂表示两个纬度，Δλ表示经度的差异，R表示地球的半径。
同样，如果结果单位是千米，可以将R取值为 6371；如果结果单位是英里，可以将R取值为 3956。
与大圆距离公式不同，球面劣弧距离公式在计算距离时考虑了地球的扁平形状。
因此，它在计算大距离时准确度更高。
然而，使用这个公式计算较短距离时可能会引入一些误差。
两点球面距离的求解方法
。
．
Ａ、 在 同 一 经 度 为 １ ０ 的 圆 曰 ２。
上 ．
｛Ａｃ Ａ －。 １ ｆ口Ｃ Ｄ ＤＩ５ Ｄ： Ｏ０．。 Ｏ＝ ４ ５
’ ．
解 析 ： 图 ， Ａ、 的 截 如 过 Ｂ 。 ， ０为 球 心 ， 题 已知 Ａ、 本 Ｂ
球面距 ：
Ｊ ＡＢ ５７＝０ —— ０ ４＋￣２・ ＝。５１。
ＱＯ 为 北 纬 ４ 。 ， ２ 南 纬 ７ 。 ｔ ５ Ｏ０ 为 ５， ｏＯ为 ０纬 圆 ， ＯＡ， Ａ， ，Ｂ 。 连 ＋ Ｏ Ｄ Ｏ．
‘
两 点 间 球 面 距 离 的 思维 拓展 例 ４ Ａ、 ． Ｂ是 半 径 为 Ｒ 的 球 面 离是 ， 过 Ａ、 的平 面 中 与瑚 则 Ｂ
角 为 △Ａ
０Ａ
角 三 角 形
一 一
＝ ＝ ＯＢ Ｒ
Ｊ
ＡＢ ＿
…
…
Ｒ．
。
由 于 过 Ａ、 的 截 面 圆 可 以是 过 球 心 ０ 的 大 圆 面 。 Ｂ 此
经度 差为 ９ｏ ０ 。即 球 的 截 面 的两 条 半 径 的夹 角 为 ９ ｏ 即如 图 ／ＡＯＢ ９ 。 ０， －角 为 ＡＯ ＝ ２ 。 Ｂ Ｉ０ 。 曰 两点 的球 面距 离 为 ２ ＝ 积 ． Ｒ
‘
．
、
＝
Ａ、 两 点 Ｂ
二 、 纬不 同经 同 例 ２在 北 纬 ４ 。 ． ５ 圈上 有 Ａ、 日两 点 。 们 的 经 度 分 别 为 它 东 经 １ ０与 西 经 １０ ， 地 球 半 径 为 Ｒ， Ａ、 两 地 的 球 ４。 ３ 。设 则 面距 离 为 多 少 ？ 解 析 ： 题 是 同 纬 度不 同经 度 。 本 其
连 ＡＤ．
球面距离公式及其应用
高中数学教与学
球面距离公式及其应用
丁佩 ( 江苏省扬州中学树人集团, 225002)
球面距离的概念和球面距 离的求法 是中 学数学教学中颇感棘手 的问题. 5全 日制 普通 高级中学教科书( 试验修订本 # 必修)6 对于这 一知识点的 处 理方 法 是 就题 论 题, 许 多教 学 参考书 也未 给 出详 细 的球 面 距离 计 算公 式. 为此本文介绍球面距 离公式 并举例 说明 其应 用.
_
东京到旧金山 的距离为 P#
6
371 180
@
74
= 8 241. 34( km) .
^ sin 37bsin 40b+ cos 37bcos 40bcos 49b =
0. 78.
arccos( sin 37bsin 40b + cos 37bcos 40b #
cos 49b) = 38b.
_
旧金山到纽约 的距离为 P#
= 2 R2 - 2 R 2cos BB cos BA cos( AA
- AB ) - 2 R 2sin BA sin BB . 在等腰 & A OB 中,
cos N A OB =
OA 2 + OB 2 - A B 2 2 OA # OB
= cos BA cos BB cos( AA - AB ) + sin BA sin BB .
32
1, 求 A 、B 两
点的球面距离.
解 AA = P4 , BA = P4 , AB = - P4 , BB =
arcsin
32
1,
_ AB =
R arccos
sin P4 sin
arcsin
java两个经纬度之间的距离计算
Java两个经纬度之间的距离计算计算两个经纬度之间的距离是在许多应用程序中常见的需求，例如地理定位、导航等。
在Java中，我们可以使用数学公式来计算两个经纬度之间的距离。
本文将介绍如何使用Java代码计算两个经纬度之间的距离。
球面距离计算公式地球是一个近似于椭球形的球体，因此在计算两个经纬度之间的距离时，我们需要考虑地球的曲率。
常用的球面距离计算公式是哈夫斯球面距离公式（Haversine Formula），它基于经纬度的球面三角关系来计算两点之间的直线距离。
哈夫斯球面距离公式如下：a = sin²(Δφ / 2) + cos φ1 ⋅ cos φ2 ⋅ sin²(Δλ / 2)c = 2 ⋅ atan2(√a, √(1−a))d = R ⋅ c其中： - φ1、φ2 分别是第一个点和第二个点的纬度； - Δφ 是纬度的差值； -Δλ 是经度的差值； - R 是地球的半径（单位：米）； - d 是两个点之间的直线距离。
Java代码实现下面是使用Java代码计算两个经纬度之间距离的示例代码：```java public class DistanceCalculator {private static final double EARTH_RADIUS = 6371000; // 地球半径（单位：米）public static double calculateDistance(double lat1, double lon1, doublelat2, double lon2) {// 将经纬度转换为弧度double phi1 = Math.toRadians(lat1);double phi2 = Math.toRadians(lat2);double deltaPhi = Math.toRadians(lat2 - lat1);double deltaLambda = Math.toRadians(lon2 - lon1);// 应用哈夫斯球面距离公式计算距离double a = Math.sin(deltaPhi / 2) * Math.sin(deltaPhi / 2) +Math.cos(phi1) * Math.cos(phi2) * Math.sin(deltaLambda / 2)* Math.sin(deltaLambda / 2);double c = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1 - a));double distance = EARTH_RADIUS * c;return distance;}public static void main(String[] args) {double lat1 = 39.9042; // 第一个点的纬度double lon1 = 116.4074; // 第一个点的经度double lat2 = 31.2304; // 第二个点的纬度double lon2 = 121.4737; // 第二个点的经度double distance = calculateDistance(lat1, lon1, lat2, lon2); System.out.println(\。
球面距离新版
D cos COD OC 2 OD2 CD2 0
2OC OD COD 90
B的位置可能是：东经 110 ,西经 70
例、球面上有三个点，其中任意两点旳球面
距离都等于大圆周长旳
1 6
，经过三个点旳小
圆旳周长为 4 ，求这个球旳半径。
O 设球的半径为R,可知小圆的半径为2
A O
如图设O为球心，三点为A, B,C,
上海与台北在同一经线 上，
他们在同一个大圆上
A AOB 31 25 6
O
B r 6371
AB的弧长 2 6371 6
360
例3、 已知地球旳半径为 6371km,北京旳位置约为东 经1160,北纬400，纽约旳位置约为西经740,北纬400, 求两个城市间旳距离。 AOC BOD 40 ,
COD 360 (116 74 ) 170 由余弦定理，得：
AB2 CD2 OC 2 OD2
A
C
O1
B
OD
2OC OD cos COD,
cos AOB OA2 OB2 AB2 , 2 OAOB
其中OA OB 6371,
OC OD 6371cos 40
cos AOB 0.1647 AOB 99.48
球面上两点之间旳最短连线旳长度，就是经 过这两点旳大圆在这两点间旳一段劣弧旳长
度.我们把这个弧长叫做两点旳球面距离
球面距离
A、B两点旳球面距离：
过A、B两点旳大圆 在A、B间旳劣弧长 度。
注意：球面距离是球面上 两点间旳最短距离
A OB
若设球心角AOB (弧度制)
AB的弧长 R
地球仪中旳经纬度 经度——P点旳经度，也是 或AOB 旳
高中数学知识点精讲精析 球面距离
第六节球面距离
要点精讲
球面上两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）
我们把这个弧长叫做两点的球面距离
求法如下：
如下图，设若角AOB（球心角)为θ，大球的半径为R，则球面距离为Rθ
球面距离计算公式：d(x1,y1,x2,y2)=r*arccos(sin(x1)*sin(x2)+cos(x1)*cos(x2)*cos(y1-y2))
典型例题
【例1】球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】设球心为O，由题设知三棱锥O—ABC是正四面体，且的外接圆半径是2，设球半径为R，则，∴
【例2】如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易得该球的半径是，在截面圆上AB=2，BC=4，，得
，则截面圆的圆心是BC的中点O1，截面圆半径是2，由球的知识知OO1⊥截面ABC
所以是直线OA与截面ABC所成的角
在中，
所以
故直线OA与截面ABC所成的角是。
距离远近怎么计算公式
距离远近怎么计算公式在日常生活中，我们经常需要计算物体之间的距离，比如两个城市之间的距离、两个地点之间的距离等等。
而距离的计算方法也是多种多样的，不同的情况下可以采用不同的计算公式。
本文将介绍几种常见的距离计算公式，并且分别适用于不同的情况。
一、直线距离的计算公式。
直线距离是最简单的距离计算方式，也是最容易理解的。
在二维平面上，两点之间的直线距离可以使用勾股定理来计算，即两点之间的直线距离等于两点的横坐标差的平方加上纵坐标差的平方再开根号。
具体的计算公式如下：设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的直线距离d为：d = √((x2 x1)² + (y2 y1)²)。
这个公式适用于平面上的任意两点之间的距离计算，比如两个城市之间的直线距离、两个地点之间的直线距离等等。
二、球面距离的计算公式。
在地理学或者航空航天领域，我们经常需要计算地球表面上两个地点之间的距离。
由于地球是一个近似于球体的三维几何体，因此两点之间的距离不能简单地用勾股定理来计算，而需要使用球面距离的计算公式。
球面距离的计算公式有多种，其中最常见的是使用经纬度来计算两点之间的球面距离。
设两点的经纬度分别为(λ1, φ1)和(λ2, φ2)，则两点之间的球面距离d 为：d = R arccos(sin(φ1) sin(φ2) + cos(φ1) cos(φ2) cos(λ2 λ1))。
其中R为地球的半径，一般取平均半径6371km。
这个公式适用于地球表面上任意两点之间的距离计算，比如两个城市之间的球面距离、航空航天中两个地点之间的球面距离等等。
三、曲线距离的计算公式。
在实际应用中，有时候我们需要计算两个地点之间的曲线距离，比如两个城市之间的公路距离、两个地点之间的航线距离等等。
曲线距离的计算公式取决于具体的曲线路径，一般需要根据实际情况来确定。
对于公路距离，可以使用地图上的实际距离来计算，比如通过谷歌地图或者百度地图来获取两个地点之间的实际驾驶距离。
地球上两点间距离的计算方法
地球上两点间距离的计算方法1.地球表面距离的球面三角法计算：这是最常用的方法之一，适用于中长距离的计算（通常距离小于1000公里）。
该方法假设地球是一个球体，通过计算两点之间的弧长来确定两点之间的距离。
根据勾股定理和地球的半径，我们可以使用以下公式计算两点之间的距离：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-φ1、φ2是两点间的纬度-Δλ是两点间的经度差这种方法的一个缺点是，它基于地球是一个完全规则的球体，实际上地球是稍微扁平的椭球体。
因此，在长距离和需要更高精度的计算中，你可能需要采用其他方法。
2.大圆航线计算法：这种方法考虑了地球的椭球形状，是航海、航空导航中常用的方法。
大圆航线是连接两点之间在地球表面上最短距离的弧线。
为了找到大圆航线的长度，我们需要使用霍博斯公式：d = R * arccos(sen(φ1) * sen(φ2) + cos(φ1) * cos(φ2) * cos(Δλ))这与球面三角法计算方法相同。
大圆航线计算法的优点是它考虑了地球的椭球形状，因此适用于长距离的计算。
3.VTISL法：VTISL法是一种用于计算地球上两点之间距离的近似方法，它根据两点之间的纬度和经度计算出一个系数，并将其乘以地球表面半径。
这个方法适用于全球尺度的计算，例如计算两个城市之间的距离。
这个方法的公式是：d = R * (Δφ^2 + Δλ^2 * cos(φm)^2) ^ 0.5其中：-d是两点之间的距离-R是地球的半径（通常取平均值6371公里）-Δφ是纬度差-Δλ是经度差-φm是两点纬度的平均值VTISL法是一个近似方法，对于全球尺度的计算是可行的，但对于较小的距离可能会有一定的误差。
4.卫星测距系统：卫星测距系统（如GPS）通过使用卫星和接收器之间的信号传输时间来计算接收器与卫星之间的距离。
球面距离的计算及其计算公式
球面距离的计算及其计算公式
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，为圆心，⊙为过A、B的大圆，⊙为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图2）设，，球半径为，半径为．则有大圆弧长，小圆弧长
（1）
但，即
（2）
将（2）代入（1）得
（3）
∵ ，由（2）式知 .
由于，故只需证明函数在内为单调递减即可.
∴
（∵当时，有）
∴ 在单调递减
由（3）式不难得到
即 . 故大圆劣弧最短。
球面距离公式：设一个球面的半径为，球面上有两点、
. 其中，为点的经度数，、为点的纬度数，过、
两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
（弧度）
A、B间的球面距离为：
证明：如图3，⊙与⊙分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作面，垂足位于上，连结、 . 则
在中，由余弦定理，得：
故
又
比较上述两式，化简整理得：
从而可证得关于与的两个式子.
例题北京在东经，北纬，上海在东经，北纬，求北京到上海的球面距离.
解：
∴（弧度）
∴所求球面距离为。
原点到球面的距离
原点到球面的距离原点到球面的距离是一个有趣且有深度的数学问题。
在几何学中，我们常常需要计算点与曲面之间的距离，而球面是其中一种常见的曲面。
球面是一个由所有与球心距离相等的点组成的曲面。
在三维空间中，球面是一个完美的圆形，具有半径r。
要计算原点到球面的距离，我们可以使用欧几里得距离公式。
欧几里得距离是计算两点之间的直线距离的公式。
对于一个球心在坐标系原点的球面，我们可以将球心表示为点O(0,0,0)，而球面上的任意一点P可以表示为(x,y,z)。
根据欧几里得距离公式，我们可以计算出原点O到点P的距离d：d = sqrt((x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2)= sqrt(x^2 + y^2 + z^2)这个公式告诉我们，原点到球面上任意一点的距离等于该点的坐标的平方和的平方根。
换句话说，我们只需要知道球面上一点的坐标，就可以计算出原点到该点的距离。
举个例子来说，假设我们有一个半径为5的球面。
我们想知道原点到球面上点P(3,4,0)的距离。
根据上述公式，我们可以计算：d = sqrt(3^2 + 4^2 + 0^2)= sqrt(9 + 16 + 0)= sqrt(25)= 5所以，原点到球面上点P(3,4,0)的距离是5。
除了使用欧几里得距离公式，我们还可以使用向量运算来计算原点到球面的距离。
向量是一个有大小和方向的量，可以表示为一个有序数对。
在三维空间中，我们可以用向量来表示点和空间中的其他对象。
对于原点O和球面上任意一点P，我们可以用向量OP表示两点之间的连线。
根据向量运算规则，我们可以计算出OP的长度，即原点到球面上该点的距离。
假设OP的向量表示为V = (x,y,z)，那么OP的长度可以通过计算向量V的模来得到：|V| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)所以，原点到球面上任意一点P的距离等于向量OP的模。
使用向量运算来计算原点到球面上某一点的距离与使用欧几里得距离公式是等价的，只是表达方式不同。
球表面上任意两点间的球面距离
地球表面上任意两点间的球面距离地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，只要知道地表某两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离.对这个问题，我做了分析和总结，介绍给大家，希望能有用.1．位于同一纬度圈上的两点间的球面距离的求法如果A 、B 两点在纬度为α的纬度圈上，且所在的经线平面间的夹角为θ（由A 、B 两点的经度很容易确定，θ的含义不同）（0≤θ≤π），则A 、B 两点间的球距离为)cos cos arccos(sin 22θαα⋅+=R d ①注α、θ均用弧度制表示，R 为地球半径.2.A 、B 两点位于不同的纬度圈时的情况(1)A 、B 都位于同一半球，如北半球.设A 点纬度为α，B 点纬度为β，θ仍为A 、B 两点各自所在的经线平面间的夹角，则A 、B 两点间的球面距离d =R arccos(sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ) ②证明：如图1所示，O 1C ∥O 2A .图1在Rt △O 1BO 中，OO 1=R sin β,O 1B =R cos β.在Rt △O 1CO 中，O 1C =OO 1cot α=R sin β·cot α,OC =.sin sin sin 1αβαR OO = 在△O 1CB 中，由余弦定理得BC 2=O 1C 2+O 1B 2－2O 1C ·O 1B cos θ =R 2(sin 2β·cot 2α+cos 2β-2sin β·cos β·cot α·cos θ)在△OCB 中，由余弦定理，得OBOC BC OB OC ⋅-+=2cos 222γ=sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ, 所以A 、B 两地球面距离 d =R arccos γ=R arccos(sin α·sin β+cos β·cos α·cos θ).（2）A 、B 位于不同的半球，设A 位于北半球，B 位于南半球.图2A 点纬度为α、B 点的纬度为β，θ含义同上.则A 、B 两点间球面距离d =R arccos(－sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ) ③证明：如图2所示，O 1C ∥O 2B ，BC ∥O 1O 2，四边形O 1CBO 2为矩形，易知BC ⊥面CO 1A ， 所以 BC ⊥AC .在Rt △OO 2B 中，O 2B =O Bcos β=R cos β,所以O 1C =O 2B =R cos β.在Rt △OO 1A 中 ,O 1A =OA cos α=R cos α.在△ACO 1中，由余弦定理，得AC 2=O 1C 2+O 1A 2－2O 1C ·O 1A cos θ=R 2(cos 2β+cos 2α－2cos α·cos β·cos θ),易知 BC =O 1O 2=R （sin α+sin β）,所以 在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2=2R 2(1+sin α·sin β－cos α·cos β·cos θ). 在△AOB 中，由余弦定理得cos γ=-sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ,所以 A 、B 间球面距离 d =R arccos γ=R arccos(－sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ). 如果规定在北半球的纬度为正值，在南半球的纬度为负值，则③式可统一到②式中去，即A 、B 两点间的球面距离d =R arcos(sin α·sin β+cos α·cos β·cos θ)，(α,β]),0[],2,2[πθππ∈-∈ ④ 如果令α=β，则④式变为d =R arccos(sin 2α+cos 2α ·cos θ),就变为①式了.例：甲地位于北纬45°，东经140°，乙地位于南纬45°，西经130°.设地球半径为R ，则甲、乙两地球面的距离为（ ）A .R π21 B.R π41 C.R π31 D.R π32 解：对此题直接用公式， ,2,4,445πθπβπα=-==︒=则 .32)21arccos(]2cos )4cos(4cos )4sin(4arccos[sin R R R d π=-=π⋅π-⋅π+π-⋅π=财务部工作总结、分析及计划报告范文[财务部工作总结、分析及计划报告范文]务部工作总结、分析及计划报告范文2009-12-10 10：25读者上传【大中小】【打印】【我要纠错】在上级财务部门的业务指导下，以年初支公司提出的工作思路为指导，以提高企业效益为核心，以增强企业综合竞争力为目标，以成本治理和资金治理为重点，全面落实预算治理，强基础，抓规范，实现了全年业务制度规范化，经营治理科学化，企业效益最大化，有力地推动了支公司财务治理水平的进一步提高，充分发挥了财务治理在企业治理中的核心作用，财务部工作总结、分析及计划报告范文。
球面距离公式 高中数学
球面距离公式高中数学
哎呀，一听到“球面距离公式”这几个字，我的脑袋都大啦！你们能想象得到吗？这在高中数学里可真是个让人头疼的家伙！
我们在高中数学的学习中，遇到这个球面距离公式，就好像在黑暗中摸索着前进，心里那个着急呀！老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
“这到底是个啥呀？”我心里不停地嘀咕。
就比如说有一次，数学老师在黑板上写下了那个复杂的公式，然后开始解释：“同学们，看这个球面距离公式啊，就像是我们在地球上找两个点之间最短的路。
”我当时就想：“这能一样吗？地球那么大，公式那么难！”
同桌小明凑过来跟我说：“这公式太难懂啦，感觉像外星文字！”我狠狠地点点头：“谁说不是呢！”
后来老师又举了个例子：“假如我们把地球看成一个完美的球体，要计算北京和纽约之间的球面距离，就得用这个公式。
”我心里忍不住吐槽：“我连家门口到学校的距离都算不明白，还北京到纽约！”
小组讨论的时候，小红皱着眉头说：“这公式里的那些字母和符号，我看着就晕。
”大家纷纷附和。
经过一番苦苦挣扎，我算是稍微摸到了一点门道。
我发现这个球面距离公式啊，其实就像是一把神秘的钥匙，能打开计算地球上两点距离的大门。
虽然过程很艰难，但当你真的搞懂了，那种成就感可别提有多棒啦！
所以说，球面距离公式虽然难，但只要我们肯下功夫，多琢磨，多练习，也能把它拿下！难道不是吗？。
球面任意两点间的距离公式
球面任意两点间的距离公式嘿，咱今天来聊聊球面任意两点间的距离公式这个有意思的话题。
咱们先想象一下，地球就像一个超级大的球，对吧？如果有一天，你在纽约，你的朋友在悉尼，那要算出你们俩之间的距离，这就得靠咱们要说的球面任意两点间的距离公式啦。
这个公式听起来好像有点复杂，其实啊，就是一套神奇的数学魔法。
比如说，在一个球面上有两个点A 和B，我们要找到它们之间的距离，就得先搞清楚这两个点的经纬度。
就像上次我带学生们去做地理测量的活动。
我们在学校的操场上，假装那就是一个大大的球面。
然后给不同的位置标记上经纬度，就像是给地球上的各个地方标记坐标一样。
有个调皮的小家伙，把自己站的地方标错了经纬度，结果算出来他和另一个同学之间的距离那叫一个离谱，大家都笑得前仰后合。
那这个公式到底是怎么来的呢？这就得从球面的几何性质说起啦。
咱们知道，球面上的弧线可不是像直线那样简单直接的。
所以计算距离就得考虑球面的弯曲程度。
假设点 A 的坐标是（α₁，β₁），点 B 的坐标是（α₂，β₂），那它们之间的距离可以用一个挺复杂的式子来表示。
这里面涉及到一些三角函数的知识，可别被吓到哦。
其实啊，在生活中这个公式也挺有用的。
比如说航空公司规划航线的时候，就得用这个公式来算一下两个城市之间的最短距离，这样既能节省燃料，又能缩短飞行时间。
再比如，航海的时候，船长也得知道船现在的位置和目的地之间的距离，才能更好地规划路线，保证安全又快速地到达目的地。
想象一下，要是没有这个公式，那飞机可能会乱飞，船可能会在海上迷路，那可就麻烦大啦！回到学习上，同学们刚开始学这个公式的时候，可能会觉得有点头疼。
但是别担心，多做几道题，多想想那个球面的样子，慢慢就能掌握啦。
就像我之前教过的一个学生，一开始怎么都搞不懂，后来他自己做了个小地球仪，在上面标上各种点，自己琢磨，没过多久就学会了。
所以啊，大家别害怕这个球面任意两点间的距离公式，只要用心去理解，多练习，它就会成为我们的好帮手，让我们在数学的海洋里畅游无阻！好啦，关于球面任意两点间的距离公式咱们就先说到这儿，希望大家都能把它拿下！。
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球面距离的计算经典范例1．位于同一纬度线上两点的球面距离例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．∴与为纬度，为二面角的平面角．∴（经度差）．△中，．△中，由余弦定理，．△中，由余弦定理：，∴．∴的球面距离约为．2．位于同一经线上两点的球面距离例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，∴，．△中，，∴，∴．注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．△中，．∴．∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。
对于地球上过A 、B 两点大圆的劣弧长由球心角AOB 的大小确定，一般地是先求弦长AB ，然后在等腰△AOB 中求∠AOB 。
下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。
地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º为纬度β=-40º ），这样简单自然，记球面上一点A 的球面坐标为A （经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。
设地球半径为R ，球面上两点A 、B 的球面坐标为A （α1，β1），B （α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-2π，2π]，如图，设过地球O 的球面上A 处的经线与赤道交于C 点，过B 的经线与赤道交于D 点。
设地球半径为R ；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。
另外，以O 为原点，以OC 所在直线为X 轴，地轴所在直线ON 为Z 轴建立坐标系O-XYZ （如图）。
则A （Rcos β1,0,Rsin β1）,B(Rcos β2cos （α1-α2）,Rcos β2sin （α1-α2）,Rsin β2)cos ∠AOB =cos 〈OA ，OB 〉=cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2∠AOB=arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] 其中反余弦的单位为弧度。
于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：⋂AB =R ·arcos[cos β1cos β2cos （α1-α2）+sin β1sin β2] （I ）上述公式推导中只需写出A ，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。
由公式（I ）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB ，只需两点的经纬度即可。
公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A 、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、β1=β2=β，则球面距离公式为：B A )=R ·arcos[cos 2βcos （α1-α2）+sin 2β] （II ）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：B A )=R ·arcos （cos β1cos β2+sin β1sin β2）=R ·arcoscos （β1-β2） （III ）例1、设地球半径为R ，地球上A 、B 两点都在北纬45º的纬线上，A 、B 两点的球面距离是3πR ，A 在东经20º，求B 点的位置。
分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II ）得：3πR= R ·arcos[cos 245ºcos （20º-α2）+sin 245º] cos 3π=21cos （20º-α2）+21∴cos （20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º 所以B 点在北纬45º，东经110º或西经70º例2、（2002年第六届北京高中数学知识应用竞赛试题）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。
这是中国承运人第一次经极地经营北京--纽约直飞航线。
从北京至纽约原来的航线飞经上海（北纬31 ，东经122 ）东京（北纬36 ，东经140 ）和旧金山（北纬37 ，西经123 ）等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少。
解：本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，再计算北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和，然后求它们的差。
球1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为________． 由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径32=r ，∴ 23=r ．球体积．π2323π34π3433=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅⋅r V2．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A 、B ，A 、B 的球面距离是________（设地球半径为R ）． ．设球心为O ，∵ A 、B 在赤道这个大圆上，∴ ∠AOB ＝（180°－140°）+（180°－130°）＝90°，∴ 2π=∠AOB ，∴ A 、B 的球面距离为R 2π． 3．设正方体的全面积为2cm 24，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）． A ．343cm B ．383cm C ．3323cm D ．63cmA ．由正方体全面积为2cm 24，则棱长为2cm ，内切于正方体的球的直径为2cm ，则球的半径为1，其体积为π341π343=⋅．3cm 4．一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为2cm ，则球的表面积为（ ）． A ．82cm B ．122cm C ．162cm D ．202cm．B ．球的直径与正方体的对角线长相等，∴232⋅=R ，∴ 3=R ，球表面积π12)3(π42==⋅S ．)(cm 25．设地球半径为R ，在北纬60°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长是2πR，则这两地的球面距离是（ ）．A ．R 43 B ．R 3π C ．R 57D ．R 2 ．B ．如图答9-70，设北纬60°圈的圆心为O '，球心为O ， 则260cos R R BO A O =︒='='⋅，∵ A 、B 在纬度圈上的弧长为R 2π， 则π212π=='∠R RB O A ，∴ A 、O '、B 三点共线，∵ OA ＝OB ，︒='∠60AO O ，∴ △AOB 是正三角形，∴3π=∠AOB ，∴ A 、B 的球面距离等于R 3π．6．一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（ ）． A ．1∶33B ．1∶22C ．1∶383D ．1∶42．A ．设正方体的棱长为2a ，则其内切球半径为a ，外接球半径为a 3，二球体积比为．331)3(1)3(π34π34333:==⋅⋅a a7．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝BC ＝2cm ，cm 22=AC ，球心O 到截面ABC 的距离等于球半径的一半，求球的体积．．∵ A 、B 、C 是球面上三点，∴ OA ＝OB ＝OC ．设截面圆圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，∴C O B O A O 111==，∴ 1O 是△ABC 的外接圆圆心． ∵ AB ＝BC ＝2，22=AC ，∴ 222AC BC AB =+，∴ ∠ABC 是直角．在△O AO 1中，︒=∠901A OO，21=A O ，21R OO =，OA ＝R ，∴ 有2222)2(R R =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得382=R ，362=R ，球体积π27664362π343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅V ．)cm (38．半径为1的球面上有三点A 、B 、C ，其中A 和B 、A 和C 的球面距离为2π，B 和C 的球面距离为3π，求球心到平面ABC 的距离． 3．设球心为O ，由球面距离的定义可知2π=∠AOB ，2π=∠AOC ，3π=∠BOC ．∵ OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，∴ OA ⊥平面BOC ．∴ 三棱锥O －ABC 的体积12314331==⋅⋅V．在△ABC 中，2=AB , 2=AC ,BC ＝1，取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，21=MB ，27=AM ．设点O 到平面ABC 的距离为h ，∵BOC A ABC O V V --=，∴1232131=⋅⋅⋅h BC AM ，∴72173==h ．即点O 到平面ABC 的距离为721．球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r R d =-22，（计算公式）（3）球的截面是圆面：球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。
9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。
解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP ，设球心为O ，PC 为圆锥的高，取出球后，水面为EF ，其高度为PH ，连结OC 、OA 。
则OCr OA r AB r PC r ====，，，2233 ∴V BC PC r P ABC -==13323ππ·∵V r 球=433π。
∵V r 球=433π， ∴V V V r P EF P ABC 锥锥球--=-=533π 又∵PH PC V V P EF P ABC 3359==--锥锥 ∴PH PC r PH r 3333591515===，∴。