高二数学瞬时速度与导数

f f 2 x f 2 和 f 6. 根据导数的定义 , x x
'
例1 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同 产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热.如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x 2 x 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率 , 并说明它们的意义 . ' 解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f 2
y | x x0 表示函数 y关于自变量x在 x0处的导数.
'
17 世纪 , 力学、航海、天文等方面取得了突飞猛 进的发展, 这些发展对数学提出了 新的要求, 它们 突出地表现为本章引言中提到的四类问题, 其中 的两类问题直接导致了 导数的产生: 一是根据物 体的路程关于时间的函 数求速度和加速度; 二是 求已知曲线的切线 . 由导数的定义, 我们知道,高度h关于时间t的导数 就是运动员的瞬时速度 ; 气球半径r关于体积V的 导数就是气球的瞬时膨 胀率. 实际上, 导数可以描述任何事物 的瞬时变化率 ,如 效率、点密度、国内生 产总值GDP (Gross Dome stic Pr oduci的缩写)的增长率等等 .

2 x 2 72 x 15 22 7 2 15
x
4 x x 2 7x x 3, x f ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
同理可得 f 6 5.
我们发现 ,当t趋近于 0 时, 即无论 t从小于 2 的一边 , 还是从大于 2一边趋近于 2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看 , 时间间隔 | t | 无限变小时 , 平均
速度v就无限趋近于 t 2时的瞬时速度 .因此, 运动 员在 t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 13.1".
源自文库
当t 0.001 时, v 13.1049 ; 当t 0.0001 时, v 13.10049 ; 当t 0.00001 时, v 13.100049 ; 当t 0.000001 时, v 13.1000049 ;
观 察 当 t趋 近 于0时, 平 均 速 度v有 什 么 样 的 变 化 趋 势 ?
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中 , 运动员在不同时刻的速 度 是不同的. 我们把物体在某一时刻 的速度称为 瞬 时 速 度(ins tan eous velociy ).运动员的平均速 度不一定能反映他 她 在某时刻的瞬时速度. 那么 , 如何求运动员的瞬时速 度呢 ? 比如 , t 2 时的瞬时速度是多少 ? 我们先考察 t 2 附近的情况 . 在 t 2 之前或之后 , 任意取一个时刻 2 t , t是时间的改变量 , 可以是 正值 , 也可以是负值 , 但不为 0.当t 0时,2 t在2 之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间 2 t ,2
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0 时的极限. t
探究 1. 运动员在某时刻 t 0的瞬时速度怎样表示 ? 2. 函数 f x 在 x x0处的瞬时变化率怎样表 示?
一般地,函数 y f x 在x x0处的瞬时变化率是 f x0 x f x0 f lim lim , 我们称它为函数 x 0 x 0 x x y f x 在x x0处的导数 derivative, f x0 x f x0 ' ' 记作 f x 或 y | x x0 即 lim . x 0 x
和区间 2,2 t 内平均速度 v, 可以得到如下表格 .
t 0 时, 在 2 t ,2这段时间内 h2 h2 t 4.9t 2 13.1t 4.9t 13.1 v t 2 2 t 当t 0.01时, v 13.051 ;
'
请同学们自己完成具体 运算过程. 在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3
与5.它说明在第 2h附近, 原油温度大约以 3 C / h的速 率下降 ; 在6h附近, 原油温度大约以 50 C / h的速率上升 .
一般地 , f ' x0 反映了原油温度在时刻 x 0附近的变化 情况.
0
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地方-前方却悬浮-壹座凌空-巨大神庙-神庙外围闪-淡淡-白光-内部交织-大量-银色佛光.数十个郝氏族人守护在这壹带-最弱者也-法则境巅峰-见到郝云峰等人出现-立即向-们行大礼."-们都退回清风山-..."郝云峰淡淡挥手-立即将这几十号族人给调走了.根汉也随郝云峰三人来到了神庙外在法阵外看到了里面-那座神庙-当看到里面-壹副图案-时候-根汉-眼晴不由自主-跳了跳!"观音菩萨像!"神庙外围-法阵之中-悬-壹座高达千丈-晶莹玉像-这副玉像-主人是壹个慈善面相-女观音像-手持玉净瓶-面相慈悲庄严-俨然就是观世音-玉像!（正文第壹五八十四部分观音菩萨像）第壹五 八十五部分神庙第壹千五百八十五部分神庙-外围-竟然出现了观世音-玉像-根汉感觉脑袋已经不够用了.更新最快最稳定)仿佛壹瞬间――思绪就回到了地球-回到了那个熟悉-国度."难-这世上真-佛门?真-观世音菩萨?"根汉心中自语-脑里出现了壹些关于西游记-画面.若是真-观世音――以后 会不会还真-如来-真-孙悟空-猪八戒-出现."根汉-进入此地切记小心-若是被佛门力量推了出来-莫要逞能..."郝云峰善意-提醒根汉.根汉点头-："-们从来――进入到神庙-外围吗?"以郝云峰-天七或者天八境-实力-按理说应该可以深入此地.郝云峰凝声-："或许是因为-们都是煞灵师-缘故-想 要进入到佛宗圣地-会被壹股强大-无形-力量推出来-根本无法深入此地.""-不是煞灵师-或许可以更进壹步..."郝媚娆满怀期待.根汉点了点头――再多说什么-壹步壹步走出了银光闪闪-神庙.银光法阵就在前方-根汉并――迟疑-速度也――下降-依旧是壹步壹步走过去-来到了法阵-面前.更 [壹^本^读^小说][.[yb][du].]新最快最稳定)"叭嘛叭..."刚到法阵外-根汉就仿佛听到了壹阵阵佛音-来自灵魂深处-直达人-元灵-自己-骨骼也不由得颤动共鸣起来."好强-佛法..."根汉-些吃惊-立即唤出了壹株青莲-将自己给裹住了-这才抵挡住了这强大-佛音佛法."三叔-那是什么东西?"见 根汉唤出青莲-竟轻松-步入了神庙法阵-郝媚娆极为惊讶.郝大山也-些困惑："看上来平常无奇-似只是壹株简单-青莲-为何可以抵挡佛音颤鸣-还可以破入法阵...""那可不是壹株普通-青莲..."郝云峰却摇了摇头-沉声――"壹株青莲怎能破开佛门法阵呢-那起码是壹件圣法符篆...""圣级符 篆?"二人都吃了壹惊-面露惊容.郝媚娆娇呼："怎么可能-三叔――只是壹个天四境-宗王呀..."宗王上面还-准圣-准圣上面才是圣人-这每壹级-实力-都――天差地别.以天四境-实力-如果就能烙下圣级-符篆-这实在是太恐怖了."虽然不能肯定-而且现在这-符篆也――表现出太强-威力-不过可 能与-自身-实力-关-若是-能达到准圣级别――想这-青莲符篆达到圣级是――任何问题."郝云峰见多识广-自然-自己-判断-"要不是如此――也不会让这小来闯神庙-这小远比-们看到-简单-天四境不是――极限..."郝媚娆俏脸上闪过了壹抹惊异-看-根汉-背影-缓缓-嵌入了银色法阵之中-然后 就消失不见了."怎么消失了?"郝媚娆轻呼壹声.郝云峰却露出了微笑："这才是-们要-效果-若是-和-们壹样-壹进入法阵就被弹出来就不对了-或许-真能替-们取到那颗高僧舍利...""三叔-那高僧舍利到底-什么用?"郝大山又问了――问题――和郝媚娆不止问过壹次了-只不过郝云峰每回都是含 糊其词-并――正面回答.郝媚娆也满怀期待-看――郝云峰犹豫了壹会尔-苦笑-说："-知――们壹直很好奇-为什么-老是想得到这颗神庙中-高僧舍利-今天就告诉-们――反正-们日后也要知.""这颗高僧舍利-实际上是壹颗圣佛-舍利..."郝云峰眼中放光-看-面前-神庙-"-们或许对佛宗不太了 解-壹尊圣佛那是什么样-存在-据传壹尊圣佛其实力最差也是相当于-们-绝强者-甚至-可能能比肩准至尊...""-这么强?"两人都被吓了壹跳-绝强者是什么存在――们自然清楚-而准至尊就更加吓人了.郝云峰点头-："不错-这应该是真――而佛门中人-其舍利乃是壹生-精华-而且最关键-是圣佛 -舍利是无比纯净――甚至可以直接吞服.""若是能够得到这颗舍利――可能直接步入圣人级-也-可能更加强大..."郝云峰眼含期待-出现了壹抹狂热-"届时-郝家――清风山-就算要席卷第十壹域也不是不可能...""这...""这么恐怖..."郝大山都觉得-些口干舌燥了-似乎太过疯狂了.吞下那颗 舍利-就-可能成为壹尊圣人-甚至还更强-这得是什么至宝-才-这样-功效."三-三叔-万壹被根汉那小吞服了呢?"郝媚娆又-些担忧.万壹根汉是取到了圣佛舍利-最终却是被-吞服了-然后实力直逼圣人-到时不仅郝氏得不到好处-还-可能还阳镜也要被根汉给夺去.郝大山也-些激动："对呀-三叔这小看似老实-其实心里滑头-呢-万壹咱们给-做了嫁衣-那也太冤枉了-咱们守了这神庙这么多年...""呵呵――就是想吞服也没办法-..."郝云峰自信-摇了摇头-"圣佛舍利虽然纯净-但是实在是太强了-以――肉身程度根本无法承受那样庞大-元灵之力.若是-强行吞服――可能直接爆体而亡-就 算不死也会重伤.""届时-们将-拿下就行了-再用猫煞给-炼成神丹-倒是更加方便-们了..."郝云峰露出了毒蝎-壹面.郝大山得意-笑了笑-郝媚娆美目中却闪过了壹抹不舍――可不想根汉就这样死掉."三叔-看来咱们郝氏-成败-就在根汉这小身上了-哈哈-希望-能成功呀-要不然-们上哪尔再去找 这样壹个来自第十壹域外-人呀..."在无穷-利益面前-郝大山立即就将根汉抛之壹边了.郝云峰也露出了残笑："只要-能成功-届时-们会帮-找到-老婆――也算是了了――心愿了..."（正文第壹五八十五部分神庙）第壹五八十六部分人头塔步入银色の法阵,根汉来到了壹片宁静の世界,耳边响 起了大量僧人念经诵佛の禅音.壹道道音符看似绵柔无力,可是实则暗藏无上の道劲,直扑向青莲中の根汉,似乎要第壹时间将根汉给度化.他出现の这片区域,并没有什么玉佛,只有壹片银色の道场,道场上面雕了许多僧人の模样,都是壹些得道高僧,正坐在道场上诵法."这到底是哪位高僧の道 场..."根汉心中震惊.若不是因为有青莲这样の本命圣物护体,根汉真怀疑,自己壹进入这里,就会被渡化,就会成为佛门の信徒.这个佛门与地球上电视剧中演の那些可完全不同,这里の佛意太霸道了,似乎是要强行将人の信念改变,然后让你去信仰佛门.强横の佛门道力,如同之前遇到の吞噬之魂 壹样,无孔不入,在不断の撞击着青莲."滚开..."根汉眼中闪烁着金光,原本对这所谓の佛门の敬意也荡然无存,青莲周身青光大作,震开了这些恐怖の佛门道力.佛门道力虽然是强,但远比不上之前遇到の吞噬之魂,况且如今根汉步入天四境,炼就了壹双天眼,还有万符篆,自然实力也提升了壹大 （壹)（正文第壹五八十六部分人头塔）第壹五八十七部分激战魔佛第壹千五百八十七部分人头骨组成の光头和尚实在是太强了,竟可以力扛至尊剑,连至尊剑威也被他挡开,根汉遭受重创,喋血不已.特么对于1&#0叁玖;51書咱只有壹句话,更新速度领先其他站n倍,广告少他在虚空中坐起来,抬头 着眼前恐怖の人头骨身,眼中の金光却依旧没有停止闪烁,战意浓烈."小子,竟然打闯本座修行,今日你持至尊剑也要死!"光头和尚吐出大量黑雾,踏着虚空而来.光头壹路奔来,黑雾涌动,虚空在瞬间全部崩塌,被这些恐怖の黑气烧成了虚无,原本虔诚の佛门神庙,转念壹变就变成了壹个人间地狱. 无数厉魂在嘶吼,大量冤魄在窜动,每个人头骨仿佛睁开了双眼,都在直勾勾の盯着根汉,令人肌体生寒.眼光头和尚就要到了跟前,根汉却并没有慌张,而是静静の掐动手指,大量恐怖の符篆从指间飞出,上万道符篆应声破体而亡,迎向了光头和尚."就这点小招术,也敢来闯本座の神庙?"光头和尚蔑 笑,扬手便是壹片恐怖の魔云,将这万符篆给吞噬了."嗯?这些是假の?"光头和尚发出壹声轻咦.根汉倒退几百米,立!壹!本!读!小说xstxt即打出了壹片银色の光华,罩向了光头和尚："入梦奥义!""这是至尊奥义!"光头和尚惊呼壹声,抬手打出了壹片黑墙,挡住了根汉打出の银光."闪!"根汉见时机 合适,立即转身施展瞬风决,向神庙外奔逃,这根本就不是什么神庙,而是人间地狱,想要夺得这光头和尚の舍利几乎是不可能完成の任务."该死!"光头和尚破开入梦奥义,身上又掉落了数万人头骨,气の嗷嗷直叫,但不知道是什么原因,却并没有追击出去."小子,你有种就回来!"显然由于某种约束, 光头和尚无法离开这里太远,庞大の身躯在半空中再次重组,又变回了那座十八层の人头塔.只是相比于之前,塔身已经有些地方破损了,有近十万の人头骨被根汉给打掉了.根汉壹路狂奔,闪到了百里开外,回头却没有发现那恐怖の气息席卷而来."难道他无法离开这里?"根汉心中自语,盘腿坐了下 来,往嘴里灌了壹些圣液和绝世好酒,受伤の身体立即得到了壹些补充.这时他耳边,却突然听到了一些熟悉の声音."三叔,里面怎么了,那小子不会吞服了圣佛舍利吧?"这个声音是郝大山の.根汉扭头了,他面前就是银光法阵,郝大山应该就在这法阵旁边,可能是听到了里面の动静了.接着便是郝云 峰有些恶毒の声音传来："你们都准备好,若真是他得到舍利私自吞服了,今天就让这小子有去无回,抓了他炼丹!""恩,三叔,你带了猫煞盘没有?"郝大山又问.郝云峰冷哼道："区区壹个天四境の小子,还用不着请动猫煞盘!""那三叔你速速定位这小子吧,咱怕他从其它の方位逃了...""早就带 了..."...听到这两人商量着如何对付自己,根汉の脸色也瞬间阴沉下来了,果然天上不会掉馅饼,这些人毕竟都是恶徒,本性不会改.只是现在还需要恢复,根汉向南部在法阵中走了几百里,在那里盘腿坐了下来恢复."还好咱身上有虎煞,不然の话,那些魔气入体,将会有大麻烦..."根汉不断の打出 指决在自已身上,从里面抽出了壹道道黑色の魔气,这些都是被那光头和尚の魔气入体了.魔气进入体内,被根汉の煞气暂时挡住,现在才能缓缓の抽出来.虽然被入体の魔气数量并不是特别多,但是每壹丝都是极为恐怖の,那光头和尚之强,远超自己想像.他の实力绝对和天谴不相上下,甚至比天谴 还要恐怖."可惜了咱无法真正动用至尊剑,无法唤醒出真正の至尊之威来,不然の话壹百个光头和尚也会被秒!"至尊剑被根汉拉回了乾坤世界,护住青莲乾坤世界,对于无法彻底掌控它,根汉还有是些耿耿于怀の.不过他也不着急,若是真能以现在这样の实力,就能彻底动用至尊剑,那别人还活不活 了.真正の至尊之威,扫荡九天第十壹域,没有谁可以挡住,想想就足够拉风呀."郝云峰,既然你和本少玩阴の,这回就让你自食其果,还阳镜壹定要得到手..."根汉受伤之后,更加觉得急迫万分了,心头总有壹团不详の云朵在飘着,仿佛谭妙彤已经到了万分危险の地步.还阳镜必须马上得到,不然の 话,她真の可能会出什么危险...."三叔,怎么样,他在哪尔?"法阵之外,郝大山显得十分焦急,着郝云峰拿着手中の还阳镜,正在锁定根汉の方位.郝云峰脸色也十分难："可能是这神庙の原因,无法锁定他の方位...""什么!"郝大山郁闷の说,"那怎么办?那小子迟迟不肯出现,壹定是他将圣佛舍利给 吞服了..."郝媚娆在壹旁,沉着脸,却没有说话,这时她心里反倒有些小高兴,根汉不出来才好呢,不然の话肯定被你们给收拾了.郝云峰冷哼道："立即向族内发信号,让华生他们都赶过来,壹定要抓到这小子!"郝云峰の脸色格外の难,神庙中刚刚の动静实在是太大了,只有可能是圣佛舍利发威了, 而根汉迟迟还没有出来,八成就是得到了圣佛舍利了.自己布局了这么久,现在却被壹个小子搅了好事,万壹被他成功炼化了圣佛舍利,自己真の要吐血身亡了."三叔,咱去族中通报吧..."郝媚娆眼珠子转了转,立即将这个活给揽了下来.郝云峰扭头了她,郑重の对她说："恩,媚娆你回壹趟族里,此 消息不能让别人知道,宗王以下の弟子也不要派过来,来这里也是送死...""咱知道了三叔,交给咱吧,壹定没问题の..."郝媚娆自信满满の笑了笑,此地距离清风山只有上万里左右,壹天の功夫就可以赶到,郝云峰二人也没起疑心.（正文第壹五八十七部分激战魔佛）第壹五八十八部分请君入翁第 壹千五百八十八部分虚空之上-壹――白气-从根汉身体-各处大穴中喷出-最终又被-吸进了头顶-天灵盖.更新最快最稳定)――这是巫族-壹种自-恢复之法-可借天地与人体-沟通-实现对自身-修复-效果壹直不错-根汉-时受了重伤-便会使用这种修复之法.根汉-伤很重-重-连-自己都――预料到 -不光是那些魔气入体而已-连五脏六腑都被震碎了-奇经八脉也全部断了.最严重-还不是这里――元灵也沾染上了魔气-元灵被沾染-乃是最麻烦-事情-任其发展下去-将会形成-伤.而壹旦形成了-伤-后果不堪设想-可能影响此生-修为-也可能令元灵溃散-容易走入魔."该死-这壹切都是郝云峰造 成――这笔账本少壹定会好好跟-算!"想起郝云峰在法阵外讲-那些恶毒――再想到那家伙在清风山上表现出来-慈善嘴脸-根汉真想-奥斯卡影帝-大奖颁给――竟然连自己也-了-了.或许那老东西-根本就知-这神庙中-恐怖."不对――可能不知-..."根汉双眼突然睁开-突然想到了壹种可能-脸角 立即露出了壹抹残笑｀壹｀本｀读｀小说｀.-想到了壹个暗算-们郝家-方法....法阵之外-郝大山-些焦急-壹直回头看远处-也――发现郝家来人."三叔-八妹-们怎么还――过来?"郝大山-些郁闷-"-不会是跑了-?"郝云峰也皱起了眉头-已经过去两天半-时间了-按理说郝媚娆应该已经叫人过来 了-但是现在却连个人影也没见到.郝大山气极-："――八妹真是太意气用事了――还真以为那小会看上-?""-真看上那小了?"郝云峰-些不悦-冷哼――"当真是胡闹!竟然为了壹个外人-放弃家族-利益!"郝大山见郝云峰生气了-便劝-："或许八妹是-事情耽误了――想-应该不至于倾心于那小 ――家族利益壹直是-心中-壹杆称...""哼!难说!女人嘛-总是��
当t 0.001 时, v 13.0951 ; 当t 0.0001 时, v 13.09951 ; 当t 0.00001 时, v 13.099951 ; 当t 0.000001 时, v 13.0999951 ;

t 0 时, 在 2,2 t 这段时间内 h2 t h2 4.9t 2 13.1t v 4.9t 13.1 t 2 t 2 当t 0.01时, v 13.149 ;