离散数学第二章
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
31
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学第二章谓词逻辑
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学第二章
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
16
常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学第2章ppt课件
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章
{1}
{2} {0,1}{0,2} {1,2}{0,1,2}
M
1 0 {0} {1} 1 {0,1} 0
~
1 0 0 0
~
1 1 1 1
1 1 0 0 ~
1 0 1 0
若将Mρ的行列交换,可得到M 显然Mρ′ =M
,即
的关系矩阵.
1 1 1 1
练习: 设A={1,2,3},写出2A×A及A上的恒等关系 : IA={(a,b)|a,b∈A, a=b}及A上的普遍关系 :
若ρ是由A到B的一个关系，且(a,b)∈ρ.则 我们说a 对b 有关系ρ, 记作aρb. 若(a,b)∈ρ记作aρb; 若(a,b) ∈ρ则 我们记作aρ′b. 前例中有oρ11 , oρ13 ,1ρ12 但
o1' 2 o1' 1 o1' 3 证明中常用(a,b)∈ρ充要条件是aρb,
而(a,b)∈ρ充要条件
个关系.
若ρ=A2, 则ρ称为A上的普遍关系,记为UA. UA={ (ai,aj)| ai, aj ∈A }, UA的关系矩阵元素全为1. A上的恒等关系记为IA,,用集合表示为 IA={ (ai,ai)| ai∈A }
例4中IA={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
五.关系图
一个有限集合A上的关系ρ除用(＃A)×(＃A)矩阵表示 外,还可以用关系图的图形来表示: 该图有与A中元素相同
画出ρ={(1,5),(1,4),(2,1),(3,1),(3,4),(4,4)}的关系图.
§ 2.3 关系的复合
一.概念
由于关系是一个集合,因此集合的各种运算也是适 合的. 例: 设A={2,4,6,9}, 的关系 . B={3,4,6} ρ1,ρ2分别是A到B
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
自考离散数学第2章
域E，若对 A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称 谓词公式A和B在E上是等价的，并记作 A B
定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA，其个体域为E，对于A的所有赋值
WffA都为真，则称WffA在E上有效的（或永真的）
定义2.3.3 一个谓词公式WffA，如果在所有赋值下都为假，则称WffA
P
（2）H(s)→M(s)
（3）H(s) （4）M(s)
US(1)
P T(2)(3)I
2.5 谓词演算的推理理论
例：专业委员会成员都是教授，并且是计算机设计师，有些成员是资
深专家，所以有的成员是计算机设计师，且是资深专家。请用谓词推 理理论证明上述推理。
证：设个体域为全总个体域。 M(x):x 是专业委员会成员； H(x):x 是教授； G(x):x 是计算机设计师；
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
表2.3.1
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.4 前束范式
定义2.4.1 一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸
到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
定理2.4.1 任意一个谓词公式均和一个前束范式等价。
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
例：寻求下式的真值。
(x)(P Q( x)) R(a) ，其中P:2>1,Q(x):x≦3，R(x):x>5,a=5，
且论域{-2,3,6}
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
定义2.3.1 给定任何两个谓词公式 WffA和WffB，设它们有共同的个体
离散数学自考第二章
定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 辖域（ 辖域 作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 指导变元（作用变元） 指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 约束变元： 约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。 自由变元： 自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题 函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 代入规则： 代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
离散数学第二章谓词逻辑
则xP和xP都是谓词公式
(5)当且仅当能够有限次地应用(1)－(4)所得到的
式子是谓词公式
二、谓词公式的概念
谓词公式是命题公式的扩展，约定最外层圆括号可 以省略，但量词后面若有括号则不省略。
例如 (P(x,y)→(Q(x)→R(y,z)))
P(x,y,z)∧(P(x,y,z)→Q)
y((A(x)∧A(y))→F(x,y,0))
2.2 命题函数与量词
例2.2.6 翻译命题
甲村人与乙村人都同姓。
解 设A(x)：x是甲村人。 B(y)：y是乙村人。 P(x,y)：x与y同姓。 (1)全总个体域 xy((A(x)∧B(y))→P(x,y)) (2)x的论域:甲村人 xy(P(x,y)) y的论域:乙村人
1.令F(x)：x是金属。G(y)：y是液体。H(x,y)：x可以溶解在y 中。则命题“任何金属可以溶解在某种液体中。”可翻译 为（ ）。 A．x(F(x)∧y(G(y)∧H(x,y))) B．xy(F(x)→(G(y)→H(x,y))) C．x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y))) D．x(F(x)→y(G(y)→H(x,y))) 2.令F(x)：x是火车。G(y)：y是汽车。H(x,y)：x比y快。则命 题“某些汽车比所有火车慢。”可翻译为（ ）。 A.y(G(y)→x(F(x) ∧H(x,y))) B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y))) C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y))) D.y(G(y)→x(F(x)→H(x,y)))
由一个谓词常量或谓词变量A，n(n≥0)个个体变量 x1,x2,…,xn组成的表达式A(x1,x2,…,xn) 注意：0元谓词是命题，谓词逻辑是命题逻辑的扩 展。
(离散数学)离散数学2
• 例如 • 给定简单命题函数：
A(x)：x身体好， B(x)：x学习好， C(x)：x工作好，
• 复合命题函数 A(x)→( B(x)∧ C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作 都不会好。
2-1.4 论域( 个体域)
• 定义：在命题函数中命题变元的取值范 围，称之为论域，也称之为个体域。 例如 S(x):x是大学生，论域是:人类。
• 可见每当给z指定个整数a后， x yP(x,y,a) 就变成了一个命题。所以谓词公式 x yP(x,y,z)就相当于只含有客体变元 z的一元 谓词了。
• 在一个谓词公式中，如果某个客体变元既 以约束变元形式出现，又以自由变元 形 式出现，就容易产生混淆。为了避免 此 现象发生，可以对客体变元更改名称。
所以就要另外考虑表示命题的方法。
解决这个问题的方法：
在表示命题时，既表示出主语，也表示出谓语，
就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。
令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李
命题P表示成S(a):小张是大学生。
命题Q表示成S(b):小李是大学生。
从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性.
就是说 xA(x)与 yA(y)是一样的。这类 似于计算积分与积分变元无关，即积分 ∫f(x)dx 与∫f(y)dy 相同。
(2).一个谓词公式如果无自由变元，它就 表示一个命题。
例如 A(x)表示x是个大学生。 xA(x)或 者 xA(x)就是个命题了，因为它们分别 表示命题“有些人是大学生”和“所有 人都是大学生”。
x y P(x) 、P( x)∧Q(x) x
• 为了方便，最外层括号可以省略，但是 若量词后边有括号，则此括号不能省。
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2.1 等值式一、等值式的概念两公式什么时候代表了同一个命题呢？抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代表了相同的命题。
设公式A,B共同含有n个命题变项，可能A或B有哑元，若A与B有相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋值下，A与B的真值都相同。
于是等价式A B应为重言式。
定义2.1设A,B式两个命题公式，若A,B构成的等价式A B为重言式，则称A与B是等值的，记作A B.定义中给出的符号不是联结词符，它是用来说明A与B等值（A B是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。
此记号在下文中频繁出现，千万不要将它与混为一谈，同时也要注意它与一般等号=的区别。
判断等值式有如下方法：1.真值表2.等值演算3.范式二、用真值表判断公式的等值例2.1判断下面两个公式是否等值：┐(p∨q)与┐p∧┐q解用真值表法判断┐(p∨q)(┐p∧┐q)是否为重言式。
此等价式的真值表如表2.1所示，从表中可知它是重言式，因而┐(p∨q)与┐p∧┐q等值，即┐(p∨q)(┐p∧┐q)。
其实，在用真值表法判断A B是否为重言式时，真值表的最后一列（即A B的真值表的最后结果）可以省略。
若A与B的真值表相同，则A B，否则，A B（用来表示A与B不等值，也是常用的元语言符号）。
表2.1 (p∨q)(┐p∧┐q)的真值表例2.2判断下列各组公式是否等值：（1）p→(q→r)与(p∧q)→r（2）(p→q)→r与(p∧q)→r解表2.2中列出了p→(q→r)，(p∧q)→r，(p→q)→r的真值表，不难看出p→(q→r)与(p∧q)→r等值，即(p→q)→r(p∧q)→r而(p→q)→r与(p∧q)→r的真值表不同，因而它们不等值，即(p→q)→r(p∧q)→r表2.2 3个公式的真值表三、等值演算虽然用真值法可以判断任何两个命题公式是否等值，但当命题变项较多时，工作量是很大的。
可以先用真值表验证一组基本的又是重要的重言式，以它们为基础进行公式之间的演算，来判断公式之间的是否等值。
本书给出16组重要的等值式，希望读者牢牢记住它们。
在下面公式中出现的A,B,C仍然是元语言符号，它们代表任意的命题公式。
1. 双重否定律A┐┐A （2.1）2. 幂等律A A∨A,A A∧A （2.2）3. 交换律A∨B B∨A，A∧B B∧A （2.3）4. 结合律(A∨B)∨C A∨(B∨C)(A∧B)∧C A∧(B∧C) （2.4）5. 分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）（2.5）6. 德摩根律┐(A∨B)┐A∧┐B，┐(A∧B)┐A∨┐B （2.6）7. 吸收律A∨(A∧B)A，A∧(A∨B) A （2.7）8. 零律A∨11,A∧00 （2.8）9. 同一律A∨0A，A∧1 A （2.9）10. 排中律A∨┐A 1 （2.10）11. 矛盾律A∧┐A0 （2.11）12. 蕴涵等值式A→B┐A∨B （2.12）13. 等价等值式(A B)(A→B)∧(B→A) （2.13）14. 假言易位A→B┐B→┐A （2.14）15. 等价否定等值式A B┐A┐B （2.15）16. 归谬论(A→B)∧(A→┐B)┐A （2.16）以上16组等值式包含了24个重要等值式。
由于A,B,C可以代表任意的公式，因而以上各等值式都是用元语言符号书写的，称这样的等值式为等值式模式，每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。
例如，在蕴涵等值式（2.12）中，取A=p，B=q时，得等值式p→q┐ p∨q当取A=p∨q∨r，B=p∧q时，得等值式(p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q)这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实例。
每个具体的代入实例的正确性都可以用真值表证明之，而每个等值式模式可用归纳法证明之。
由已知的等值式可以推演出更多的等值式，简单快速推理，还需要一些保持等值性的规则。
置换规则设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公式，若B A，则Φ(B)Φ(A).此置换规则的正确性，可用归纳法证明之。
例如，在公式(p→q)→r中，可用┐p∨q置换其中的p→q，由蕴涵等值式可知，p→q┐p∨q，所以，(p→q)→r┐(┐p∨q)→r在这里，使用了置换规则。
如果再一次地用蕴涵等值式及置换规则，又会得到(┐p∨q)→r┐(┐p∨q)∨r如果再用德摩根律及置换规则，又会得到┐(┐p∨q)∨r(p∧┐q)∨r再用分配律及置换规则，又会得到(p∧┐q)∨r(p∨r)∧(┐q∨r)将以上过程连在一起，得到公式之间的等值关系具有自反性、对称性和传递性，所以上述演算中得到的5个公式彼此之间都是等值的。
在演算的每一步都用到了置换规则，因而在以下的演算中，置换规则均不标出。
上述用等值式及等值规则进行推演的过程称为等值演算，这是数理逻辑的主要内容。
例2.3用等值演算法验证等值式：(p∨q)→r(p→r)∧(q→r)证可以从左边开始演算，也可以从右边开始演算。
现在从右边开始演算。
所以，原等值式成立。
读者亦可从左边开始演算验证之。
例2.3说明，用等值演算法可以验证两个公式等值。
但一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公式不等值。
例2.4证明：(p→q)→r p→(q→r)证方法一：真值表法。
读者自己证明方法二：观察法。
易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三：设A=(p→q)→r,B=p→(q→r)先将A,B通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
A=(p→q)→r(┐p∨q)→r （蕴涵等值式）┐(┐p∨q)∨r （蕴涵等值式）(p∧┐q)∨r （德摩根律）B=p→(q→r)┐p∨(┐q∨r) （蕴涵等值式）┐p∨┐q∨r （结合律）容易观察到，000，010是A的成假赋值，而它们是B的成真赋值。
等值演算还能帮助人们解决工作和生活中的判断问题。
例2.5用等值演算判断下列公式的类型：（1）(p→q)∧p→q（2）(p→(p∨q))∧r（3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)解在以下的演算中没有写出所用的基本等值式，请读者自己填上。
（1）(p→q)∧p→q(┐p∨q)∧p→q┐((┐p∨q)∧p)∨q(┐(┐p∨q)∨┐p)∨q((p∧┐q)∨┐p)∨q((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q(1∧(┐q∨┐p))∨q(┐q∨q)∨┐p1∨┐p1最后结果说明（1）中公式是重言式。
（2）┐(p→(p∨q))∧r┐(┐p∨p∨q)∧r(p∧┐p∧┐q)∧r0∧r最后结果说明（2）中公式是矛盾式。
（3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q)p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐q))∨q)p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q)p∧(┐q∨p∨q)p∧1p最后结果说明（3）中公式不是重言式，00，01都是成假赋值。
并且也不是矛盾式，因为10，11都是成真赋值。
等值演算中各步得出的等值式所含命题变项可能不一样多，如（3）中最后一步不含q，此时将q看成它的哑元，考虑赋值时将哑元也算在内，因而赋值的长度为2，这样，可将（3）中各步的公式都看成含命题变项p,q的公式，在写真值表时已经讨论过类似的问题的。
从例2.5可知，用等值演算判断公式的类型式是不太方便的，特别是判断非重言式的可满足式就更不方便了。
在下节中将给出更简单的方法。
例2.6在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。
丙说王教授既不是上海人，也不是杭州人。
听完以上3人的判断后，王教授笑着说，他们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说的全不对。
试用逻辑演算法分析王教授到底是哪里人？解设命题p：王教授是苏州人。
q：王教授是上海人。
r：王教授是杭州人。
p,q,r中必有一个真命题，两个假命题，要通过逻辑演算将真命题找出来。
设甲的判断为A1=┐p∧q乙的判断为A2=p∧┐q丙的判断为A3=┐q∧┐r则甲的判断全对B1=A1=┐p∧q甲的判断对一半B2=((┐p∧┐q)∨(p∧q))甲的判断全错B3=p∧┐q乙的判断全对C1=A2=p∧┐q乙的判断对一半C2=((p∧q)∨(┐p∧┐q))乙的判断全错C3=┐p∧q丙的判断全对D1=A3=┐q∧┐r丙的判断对一半D2=(q∧┐r)∨(┐q∧r))丙甲的判断全错D3=q∧r由王教授所说E=(B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3)∨(B2∧C3∧D1)∨(B2∨C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1)为真命题。
而B1∧C2∧D3=(┐p∧q)∧((┐p∧┐q)∨(p∧q))∧(q∧r)(┐p∧q∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧p∧r)B1∧C3∧D2=(┐p∧q)∧(┐p∧q)∧((q∧┐r)∨(┐q∧r))(┐p∧q∨r)∨(┐p∧q∧┐q∧r)┐p∧q∧┐rB2∧C1∧D3=((┐p∧q)∨(p∧q))∧(p∧┐q)∧(q∧r)(┐p∧q∧p∧┐q∧q∧r)∨(p∧q∧┐q∧r)类似可得B2∧C3∧D10B3∧C1∧D2p∧┐q∧rB3∧C2∧D10于是，有同一律可知E(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)但因为王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而p,r必有一个假命题，即p∧┐q∧r 0，于是E┐p∧q∧┐r为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题，即王教授是上海人。
甲说的全对，丙说对了一半，而乙全说错了。
读者应可以模仿该例判断引言中问题的正确性。