苏科版九年级数学下册 7.5 解直角三角形同步练习
苏教版九年级数学下册7.5解直角三角形(第1课时)(优秀教学设计)
课题7.5 解直角三角形（第1课时）主备人执教者课型新授课课时1授课时间教学目标1．使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2．通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3．通过问题情境，以及对解直角三角形所需的条件的探究，运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学法指导小组合作讨论、讲练结合法教具准备多媒体课件集体智慧个性设计教学后记新课引入——情景导入五星红旗你是我的骄傲，五星红旗我为你自豪……如何测量旗杆的高度？请同学们说说你的想法．积极思考，回答问题——大多数学生会凭直觉发表自己的观点，有的用尺子度量，有的说我们可以构建直角三角通过身边的情境让学生思考、交流、发言，调动学生的课堂参与的积极性，激发了他们研究的兴趣和探究的激情．实践探索活动一：（课件展示1）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞多远？活动二：（课件展示2）如图，为测量旗杆的高度，在C点测得A点的仰角为30°，点C到点B的距离56.3，求旗杆的高度（精确到0.1m）．解：略．归纳总结同学们回答的非常好，通过上面的两个活动，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：观察、思考，并归纳、小结得出“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）”．用，把实际问题转化为数学模型解决；（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素”交流讨论；归纳总结．AB C（1）三边之间关系： a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）．（2）锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）． （3）边角之间的关系：学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）师总结：解直角三角形，有下面 两种情况（其中至少有一边） ：（1） 已知两条边（一直角边一 斜边；两直角边） ；（2） 已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；一斜边一锐角）．自然就可以得出“定义” ． 例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，a sin cos tan a b a A A A c c b===，，．＝5．解这个直角三角形．例2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝104，b＝20.49．（1）求c的值（精确到0.01）；（2）求∠A、∠B的大小（精确到0.01°）．知识巩固1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形（边长精确到0.1，角度精确到0.1°）：求：（1）a＝9 ，b＝6；（2）∠A＝18°，∠C＝13．2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，求：B、C两地之间的距离．1．根据解直角三角形定义和方法进行分析．2．思考多种方法，选择最简便的方法．例2由学生独立分析，板练完成，并作自我评价，以掌握方法．练分析问题，掌握所学基础知识及基本方法，并进一步提高学生“执果索因”的能力．使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫正．课堂小结通过今天的学习，你学会了什么？布置作业（1）必做题：（2）选做题：如图所示，施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米．（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？解直角三角（勾股定理）两锐角之间关系 边角之间关系简单应用（参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31， cos18°≈0.95）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
精品 九年级数学 下册解直角三角形同步讲义+练习16页
解直角三角形第01课 三角函数的定义知识点：解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即=A sin∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即=A cos∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即=A tan即锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数.注意：sinA,cosA,tanA 都是一个完整的符号,单独的"sin ”没有意义,其中A 前面的“∠”一般省略不写。
各锐角三角函数之间的关系：（1）互余关系：若∠A+∠B=900，则sinA=cos =cos （ ），cosA=sin =sin （ ） （2）平方关系：1cos sin 22===+=+A A ⇒1cos sin 22=+A A（3）倒数关系：1tan tan ,tan tan =⋅=⋅==B A B A ，⇒=⋅B A tan tan（4）弦切关系：=A sin ，=A cos ，=AAcos sin ⇒=A tan例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正弦,余弦和正切.例2.探索300、450、600角的三角函数值.例3.计算：(1)(1)cos600+ sin 2450－tan340·tan560(2)已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值.例4.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,135sin =B ,D 在BC 边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD 的正切值.例5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=135°求tanB 的值.课堂练习：1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)2.在Rt △ABC 中，∠C=900，31tan =A ，AC=6，则BC 的长为（ ） A.6 B.5 C.4 D.23.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ）A.51 B.53 C.54 D.434.在△ABC 中，∠C=900，tanA=1，则sinB 的值是 （ ）A.3B.2C.1D.22 5.在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示,则cos B ∠的值为（ ） A.12 B.22C.32D.33第5题图 第6题图6.在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，则CE ：EB 等于（ ） A.2：3 B.3：2 C.3：1 D.1：37.在△ABC 中,∠A=30º,tan B=13，BC=10,则AB 的长为 8.计算：084sin 45(3)4-︒+-π+-= ； 9.锐角A 满足3)15sin(20=-A ,则∠A= 10.已知tanB=3，则sin 2B = ； 11.已知32sin =α，则αcos = ，αtan =12.已知31cos =α，则α2sin 1-= ；13.已知42cos sin =⋅a a ，则aaa a sin cos cos sin += 14.计算：（1)245cos 260sin 30sin 000-+⋅ (2)000020253tan 37tan 45tan 60cos 60sin ⋅+-+（3）︒⋅︒-︒⋅+︒60tan 60sin 45cos 230sin (4)000030tan )30cos 260(sin 345sin 2+--15.如图,在△ABC 中,∠C=900，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D,3310=AD cm,求∠B ，AB 及BC.16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC= ． 17.在Rt △ABC 中,∠C=900,tanA=34,BC=8,则△ABC 的面积为 . 18.如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为______米．19.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE=BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：△ABE ≌△DFA ；（2）如果AD=10,AB=6，求sin ∠EDF 的值．20.某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB 的高度是3米,从侧面D 点测到路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是600和450，求路况警示牌宽BC 的值．21.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由450降为300，已知原滑滑板AB 的长为5米,点D 、B 、C 在同一水平地面上.求：改善后滑滑板会加长多少？22.如图，为了测量某风景区内一座塔AB 的高度,小明分别在塔的对面一楼房CD 的楼底C,楼顶D 处，测得塔顶A 的仰角为450和300，已知楼高CD 为10m ，求塔的高度．23.某型号飞机的机翼形状如图所示，AB ∥CD ，根据数据计算AC 、BD 和CD 的长度.24.一副直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,AB ∥CF,∠F=∠ACB=900, ∠E=450,∠A=600,AC=10,试求CD 的长．25.如图,在△ABC 中，∠C=900，sinA=54，AB=15，求tanA 和△ABC 的周长．1.计算：2cos 45tan 60cos30+等于（ ）A.1B.2C.2D.32.A （cos600，-tan300）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A.1323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，B.3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C.1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D.1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 3.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ）A.35B.43 C.34 D.454.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（ ）A.3sin 2A =B.1tan 2A = C.3cos 2B = D.tan 3B =5.如图,在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2,AC=3，则sin B 的值是（ ）A.23B.32C.34D.436.如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，若AC=32，AB=23，则tan BCD ∠的值为（ ）A.2B.22C.63D.337.如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离,在A 点测得∠BAD=300，在C 点测得∠BCD=600，又测得AC=50米,则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米．A ．25B.253C.10033D.25253+8.已知△ABC 的外接圆O 的半径为3,AC=4,则sinB=（ ）A.13错误！未找到引用源。
九年级下册数学同步练习题库：解直角三角形(计算题)
解直角三角形（计算题）1、计算：﹣（π﹣2016）0+|﹣2|+2sin60°．2、（1）计算：（3﹣π）0﹣2﹣2+2sin30°；（2）计算：．3、计算：．4、（2015秋•安徽月考）计算：cos30°•tan60°﹣（sin45°）2．5、计算：（1）sin260°+cos260°；（2）4cos45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．6、计算：（1）|﹣|﹣（π﹣）0+tan45°（2）a（a﹣3）+（2﹣a）（2+a）7、（2016-π）0-∣1-︳+8、如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在、两点测得塔顶的仰角为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度为1．5米，计算塔的高度．（参考数据：取0．8，取0．6，取1．2）9、计算：．10、如图，在一次户外研学活动中，老师带领学生去测一条东西流向的河流的宽度（把河两岸看做平行线，河宽即两岸之间的垂线段的长度）．某同学在河南岸A处观测到河对岸水边有一棵树P，测得P在A 北偏东60°方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得P在B北偏东45°方向上．求河宽（结果保留一位小数．，）．11、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，距离大路（BC）为30米，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处到C处所用的时间为5秒，∠BAC=60°．（1）求B、C两点间的距离．（2）请判断此车是否超过了BC路段限速40千米/小时的速度．（参考数据：≈1．732，≈1．414）12、（8分）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．13、如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向，港口A位于B的北偏西30°的方向，A、B之间的距离为20海里，求A、C之间的距离．（结果精确到0．1海里，参考数据≈1．414）14、（本小题满分10分）某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）。
用锐角三角函数解决问题(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂(苏科版)
坡度、坡角问题
01
知识精讲
情境引入
美丽的山坡也可以抽象出数学模型~
01
知识精讲
复习引入
回顾坡度的定义【正切的课件引入部分】
【坡度的定义】
通常把坡面的垂直高度h与水平方向的距离l的比叫做坡度（或叫做坡比），
坡度越大，坡越陡
h
l
02
坡度
知识精讲
【坡度的表示】
坡度用i表示，记作i=h:l，坡度通常写成1:m的形式
达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m,则这棵树
与大厦的距离为__________m.
16
【分析】如图：
根据题意可知：∠BAC=30°，∠B=60°，BC=4×4=16（m），
∴∠BCA=90°，
∴AC= BC=16 （m）．
答：这棵树与大厦的距离为16 m.
75
__________米．
【分析】设山坡的坡角为α，
∵山坡的坡度为1: ，
∴tanα=
= ，则α=30°，
∴ ×150=75（米）．
知识精讲
例2、速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知
CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1:1．后来为了提高安全性，决定降低坡度
eg：若h=2，l=2 3，则i=2:(2 3)，即i=1: 3
h
l
02
坡角
知识精讲
坡面
α
h
l 水平面
【坡角的定义】
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α
= =
【题型一：解直角三角形的应用——坡度、坡角问题】
【中小学资料】九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 7.5 解直角三角形 7.5.2 构造直角三角形解题同步练习2
[7.5 第2课时 解直角三角形的应用]一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( ) A ．7sin35° B.7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35°2．如图K －31－1，点A (3，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 等于( )图K －31－1A ．0.5B ．1.5C ．4.5D ．23．等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为链接听课例2归纳总结( )A. 3 cmB.4 33cmC ．2 cmD ．2 3 cm 4．如图K －31－2，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )图K－31－2A．30° B．45° C．60° D．75°5．如图K－31－3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )图K－31－3A.13B.2－1 C．2－ 3 D.14二、填空题6．如图K－31－4，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为(5，12)，那么OP与x轴正半轴所夹的锐角为________．(精确到0.1°)图K－31－47．如图K－31－5，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则sin∠ABC＝________．图K－31－58．如图K－31－6，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，则AB的长为________．图K－31－69．2018·安徽四模如图K－31－7，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH ＝BC，那么tan∠BAH的值是________．图K －31－710．2017·黑龙江在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________． 三、解答题11．2018·淮南模拟如图K －31－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，cos B ＝45，AC ＝6 3.求AB 的长.链接听课例2归纳总结图K －31－812．如图K －31－9，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35.求：(1)点B 的坐标； (2)cos ∠BAO 的值．图K －31－913．2018·广安改编如图K －31－10，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为D .(1)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，连接BE .若cos P ＝45，PC ＝10，求BE 的长．图K －31－10阅读理解在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠ACB 的对边分别是a ，b ，c .如图K －31－11所示，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则cos A ＝AD b，即AD ＝b cos A ，图K －31－11∴BD ＝c －AD ＝c －b cos A .在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，有CD 2＝AC 2－AD 2＝BC 2－BD 2， ∴b 2－b 2cos 2A ＝a 2－(c －b cos A )2，整理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(1)同理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，(2) c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB . (3)这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素a ，b ，c ，∠A ，∠B ，∠ACB ，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素．如：在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，已知∠A ＝60°，b ＝3，c ＝6，则由(1)式可得a 2＝32＋62－2×3×6cos60°＝27， ∴a ＝3 3，则∠B ，∠C 可由式子(2)，(3)分别求出，在此略． 根据以上阅读理解，请你试着解决如下问题：已知锐角三角形ABC 的三边a ，b ，c (a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边)分别是7，8，9，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．(结果精确到1°)详解详析[课堂达标]1．[解析] C 在Rt △ABC 中，cos B ＝BCAB ，所以BC ＝AB ·cos B ＝7cos 35°.故选C .2．[解析] C 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限， ∴AB ＝t ，OB ＝3. 又∵tan α＝AB OB ＝t 3＝32，∴t ＝4.5. 故选C .3．[解析] D 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝∠CAD ＝60°，BD ＝DC.∵AD ⊥BC ，∴∠B ＝30°.∵AB ＝2 cm ， ∴AD ＝1 cm ，BD ＝ 3 cm ， ∴BC ＝2 3 cm .故选D .4．[解析] C ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝1，AB ＝2，∴sin ∠ABC ＝ACAB ＝12，∴∠ABC ＝30°，∠A ＝60°，∴∠D ＝60°，故选C . 5．[解析] A ∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝2AC. 又∵D 为边AC 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AC.∵DE ⊥BC 于点E ， ∴∠CDE ＝∠C ＝45°， ∴DE ＝EC ＝22DC ＝24AC ， ∴tan ∠DBC ＝DEBE ＝24AC 2AC －24AC ＝13. 故选A .6．[答案] 67.4°[解析] 如图，过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A.由勾股定理，得OP ＝122＋52＝13，∴cos ∠POA ＝513，∴∠POA ≈67.4°.7．[答案] 2425[解析] 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由AC ＝6，BD ＝8，根据勾股定理得AB ＝32＋42＝5，菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝BC·AE，即12×6×8＝5×AE ，得AE ＝245，所以sin ∠ABC＝AE AB ＝2455＝2425. 8．[答案] 3＋ 3[解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD.∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.9．[答案] 12[解析] 设AH ＝BC ＝2x.∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝x ，∴tan ∠BAH ＝BH AH ＝x 2x ＝12.10．[答案] 21 3或15 3[解析] (1)当∠ACB 为锐角时，如图①，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵AB ＝12，∠B ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝6，BD ＝AB·cos B ＝12×32＝6 3.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝（39）2－62＝3， ∴BC ＝BD ＋CD ＝6 3＋3＝7 3， 则S △ABC ＝12BC·AD＝12×7 3×6＝21 3；(2)当∠ACB 为钝角时，如图②，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.由(1)知，AD ＝6，BD ＝6 3，CD ＝3，则BC ＝BD －CD ＝5 3，∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×5 3×6＝15 3.故答案为21 3或15 3.11．解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠A ＝30°，∴CD ＝12AC ＝3 3，AD ＝AC ·cos A ＝9.∵cos B ＝45，∴设BD ＝4x ，则BC ＝5x.由勾股定理，得CD ＝3x.由题意，得3x ＝3 3，解得x ＝3， ∴BD ＝4 3，∴AB ＝AD ＋BD ＝9＋4 3.12．解：(1)如图，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH ＝BO·sin ∠BOA ＝5×35＝3，∴OH ＝BO 2－BH 2＝4， ∴点B 的坐标为(4，3)．(2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6. 在Rt △AHB 中， ∵BH ＝3，AH ＝6， ∴AB ＝BH 2＋AH 2＝3 5， ∴cos ∠BAO ＝AH AB ＝2 55.13．解：(1)证明：连接OC.∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠PCO ＝90°，∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠OCB ＋∠OCA ＝90°， ∴∠PCA ＝∠OCB.∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠ABC ， ∴∠PCA ＝∠ABC.(2)∵cos P ＝PC OP ＝45，PC ＝10，∴OP ＝252，∴OC ＝OP 2－CP 2＝152，∴AB ＝15.∵AE ∥PC ，∴∠BAE ＝∠P.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠E ＝90°， ∴AE ＝AB·cos ∠BAE ＝15×45＝12，∴BE ＝AB 2－AE 2＝9. [素养提升][解析] 此题只要把三边长代入余弦定理公式即可求出三角的余弦值，从而求出三角．解：由(1)得72＝82＋92－2×8×9cos A ， 则cos A ＝23，∠A ≈48°.由(2)得82＝72＋92－2×7×9cos B ， 则cos B ＝1121，∠B ≈58°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ≈74°.。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》同步作业(含答案)
图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。
解直角三角形(第1课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
∴Leabharlann c＝＝≈34.9 .
°
B
A
c
35°
a
b=20
C
例题讲授
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝20.49 .
(1)求c的值(精确到0.01)；(2)求∠A、∠B的大小(精确到0.01°).
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
c＝ + ＝ + . ，
36.87
思考与探索
在Rt△ABC中，
(1)已知∠B和直角边AC，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)已知AC和斜边AB，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(3)已知∠A和∠B，你能求出这个三角形的其他元素吗?
B
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
C
A
归纳总结
在Rt△ABC中，除直角外，还有a、b、c、∠A、∠B这5个元素.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ∠B＝90°-∠A＝90°-30°＝60°.
∵ sinA＝ ，
∴ c＝ ＝
��°
＝10.
∵ tanB＝ ，
∴ b＝a ∙ tanB＝5 ∙ tan60°＝5 .
还可以利用勾股定理计算，
b＝ − ＝ − ＝ .
新知巩固
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，
c，由下列条件解直角三角形：
(1)∠B＝30°，a－b＝3 －3；
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A
∠C的对边)
新知归纳
已 知 类 型
苏科版数学九年级下册 7.5 解直角三角形及其应用 巩固练习(含答案)
解直角三角形及其应用--巩固练习一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A ，则tan B＝ ( )A．43 B．34C．35D．452．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC 长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A． B． C． D．第2题第3题第4题3．河堤、横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )A．米 B．10米 C．15米 D．4．如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为 ( )A ．12 B C D ．1 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h αB ．tan h αC ．cos h αD ．sin h α第5题 第6题 第7题 第8题6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是 ( )A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距 ( )A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是 ( )A．．m D．100m二、填空题9．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是．第9题第10题第11题10.如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，的值为______．AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为____海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的(即AB:BC＝，且B、C、E三点在同一条直线上．请坡度为根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）一、选择题1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC＝3AC x =，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】B ．【解析】如图所示：设BC=x ，∵ 在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴ AC=2BC=2x ，AB=BC=x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=x ，作EM ⊥AD 于M ，则AM=AD=x ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD==x x321=；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC ===1:53AC BC ==米)．4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin hl α=.6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DCBDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°，∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里．8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=， PM = 二、填空题9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵ BE=2，∴ AE=t ﹣2，∵ cosA=，∴，∴ =，∴ t=5， ∴ AE=5﹣2=3，∴ DE==4， ∴ tan ∠DBE 224===BE DE ．故答案为：2．10．【答案】2； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ． ∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，sin 60AG AF ==°．11．【答案】40+【解析】在Rt △APC 中，PC ＝AC ＝AP ·sin ∠APC ＝40=． 在Rt △BPC 中，∠BPC ＝90°-30°＝60°，BC ＝PC ·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC ＝5814．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt △CDE 中，tan tan 60DE DE CE x DCE ===∠°． 在Rt △ABC 中，∵AB BC =AB ＝2，∴ BC =． 在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x -2．∴ 22)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ．∴2)3x x -=，解得6x =． 答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°， ∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==， ∴ 设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴ 3x =6，得x =2，∴ BE=8，AE=10，∴ tanE====，解得，DE=，∴ AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．。
初中数学之解直角三角形同步+复习课件
• 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋 高楼有多高？（结果精确到0.1m)?
B A
D
C
例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗 礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航 行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续 行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的 北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无 触礁的危险？
画出平面图形
• 坡角:坡面与水平的夹角.通常指锐角或直角. • 坡度(或坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l 的比.
i h l
当坡角为 时， tan i
h l
例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部 的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的 角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
=
3 3
∴AD=AC+CD=1.65+5.77 =7.42(米)
?
C
10米
B
1.65米
E
30°
即旗杆高度约为7.42米
D
本节课的主要收获有:
锐角30°、45 °、60 °三角函数值。
解直角三角形的原则： (1) 有角先求角 无角先求边
(2) 有斜用弦,
宁乘毋除,
无斜用切；
取原避中。
仰角:水平线与在它上方的视线所成的角. 俯角:水平线与在它下方的视线所成的角
解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D
∵∠1＝60 ° ∠2＝45° ∴ ∠PAD=30°,∠PBD=45° ∠PBD=45° 在Rt△BDP中， ∴ BD = PD AB = 9 ×20÷60 = 3海里 设BD=PD= x海里 ∴ AD =( 3+x)海里 PD 北 在Rt△ADP中 tan A= AD 45° 60 ° 3 2 1 x = AD · tan30° =(3+x)· 3 东 A B 3 3+ 3 ∴x= PD = x > 3 ∴ 无 触 礁 危 险 2
苏科版九年级数学下册 7.5 解直角三角形 同步测试题
7.5 解直角三角形同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若斜边上的高为ℎ，sin A=35，则AB的长等于（）A.5 4ℎB.53ℎ C.2512ℎ D.1225ℎ2. 已知Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=45，BC=8，则AC等于（）A.6B.323C.10D.123. 如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sin B=()A.5 13B.1213C.35D.454. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=50∘，AB=10，则BC的长为（）A.10tan50∘B.10cos50∘C.10sin50∘D.10cos50∘5. 在△ABC中，∠A=150∘，AB=2，AC=4，则tan B的值是（）A.√3+1B.√3−12C.√3−1 D.√3+126. 如图，在△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cos B=45，则AC=()A.6B.163C.5D.47. 已知Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝2√5，tan A=12，则BC的长是（）A.2B.8C.2√5D.4√58. 如图，四边形ABCD中，∠A=135∘，∠B=∠D=90∘，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A.4√2B.4√3C.4D.69. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，AC=2√2，AB=2√3，设∠BCD=α，那么cosα的值是（）A.√22B.√2 C.√33D.√6310. 在如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格线的交点．则∠ACB=()A.120∘B.135∘C.150∘D.165∘二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，D是BC上一点，AD=BD，tan∠ADC=4，AB=4√5，3则CD=________．12. 如图，在四边形ABCD中，∠A=30∘，∠C=90∘，∠ADB=105∘，sin∠BDC=√3，AD=24．则DC的长=________．13. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=2，BC=1+√3，求∠ACB的度数为________．14. 如图，已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，则BC=________．，则BD的长为15. Rt△ABC中，∠C＝90∘，CD为斜边AB上的高，若BC＝4，sin A=23________．16. 如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2√3，则CB的长为________．，AB=15，17. 如图，△ABC中，∠ACB=90∘，tan A=43AC=________．，AD=1．则BC的长18. 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45∘，sin B=13________．19. 如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是________．20. 如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，tan B=1，BC=5，CD=3，∠BCA=90∘−21∠BCD，则AD=________．2三、解答题（本题共计7 小题，共计60分，）21. 如图，已知∠MON=25∘，矩形ABCD的边BC在OM上，对角线AC⊥ON．当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25∘=0.42；cos25∘=0.91；tan25∘=0.47，结果精确到0.1）22. 如图，在△ABC中，AB=AC，它的一个外角为80∘，底角平分线CD的长为20√3，3求腰上的高CE的长．23. 已知，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，D为AC边上一点，∠BDC=45∘，求AD的长．24. 已知：在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，BE:AB=3:5，若CE=√2，cos∠ACD=4，求tan∠AEC的值及CD的长．525. 如图所示，在Rt△ABC中，AB=10，sin A=3，求BC的长和tan B的值．526. 如图，AD是△ABC的高，CD＝16．BD＝12，∠C＝35∘．求∠B（可以使用计算器，精确到1∘）．27. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，sin A=5，点D在AB边上，且∠BDC=45∘，BC=5．13（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：如图，CD为斜边AB上的高，在Rt△ABC中，sin A=BCAB =35，设BC=3k，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=√AB2−BC2=4k；在Rt△ACD中，sin A=CDAC =ℎAC=35，AC=53ℎ，∵ 4k=53ℎ，∵ k=512ℎ，∵ AB=5×512ℎ=2512ℎ．故选C．2.【答案】A【解答】解：如图，在Rt△ACB中，∵ sin A=BCAB，∵ 8AB =45，∵ AB=10，∵ AC=√AB2−BC2=6．故选A．3.【答案】A【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∵ AC=5．∵ AC2+BC2=169=AB2，∵ △CBA是直角三角形．∵ sin B=ACAB =513．故选A．4.【答案】B【解答】解：∵ cos B=BCAB，∵ BC=AB cos B=10cos50∘．故选B．5.【答案】B【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥BA于点D，∵ ∠A=150∘，∵ ∠CAD=30∘，∵ AC=4，∠CDA=90∘，∵ CD=2，AD=√42−22=2√3，∵ tan B=CDBD =2√3+2=√3−12．故选：B．6.【答案】C【解答】解：∵ ∠A=90∘，AD为BC上的高，∵ ∠BDA=90∘，∵ ∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90∘，∵ ∠B=∠CAD，∵ cos B=45，∵ cos∠CAD=45，∵ ADAC =45，∵ AD=4，∵ AC=5，故选C．7.【答案】A【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠C＝90∘，AB＝2√5，tan A=12，∵ 设BC=a，则AC=2a，∵ a2+(2a)2=(2√5)2，解得，a=2或a=−2（舍去），∵ BC=2，故选A．8.【答案】C【解答】解：如图，分别延长CD，BA交于点E．∵ ∠DAB=135∘，∵ ∠EAD=∠C=∠E=45∘，∵ BE=BC=2√3，AD=ED=2，∵ 四边形ABCD的面积=S△EBC−S△ADE=12BC⋅BE−12AD⋅DE，=12×2√3×2√3−12×2×2，=6−2，=4．故选C．9.【答案】D【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，∵ ∠B+∠A=90∘，∠B+∠BCD=90∘，∵ ∠A=∠BCD=α，∵ cosα=ACAB =√22√3=√63．故选D．10.【答案】B【解答】解：设网格边长为1则AC=√10，BC=√5，AB=5由余弦定理得cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=−√22∵ ∠ACB=135∘故选B．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=ACCD =43，设AC=4x，CD=3x，∵ AD=√AC2+CD2=5x，∵ BD=AD=5x，∵ BC=BD+CD=8x，在Rt△ABC中，AC=4x，BC=8x，∵ AB=√AC2+BC2=4√5x，而AB=4√5，∵ 4√5x=4√5，解得x=1，∵ CD=3x=3．故答案为3．12.【答案】√2【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵ ∠A=30∘，∵ ∠ADB=60∘，DH=12AD=2，∵ ∠ADB=105∘，∵ ∠BDH=45∘，∵ △BDH为等腰直角三角形，∵ BD=√2DH=2√2，在Rt△BCD中，∵ sin∠BDC=BCBD =√32，∵ BC=2√2×√32=√6，∵ CD=√BD2−BC2=√2．故答案为√2．13.【答案】45∘【解答】解：作AH⊥BC，如图，在Rt△ABH中，∵ cos∠B=BHAB，∵ BH=2cos60∘=1，∵ AH=√AB2−BH2=√3，∵ BC=1+√3，∵ CH=BC−BH=1+√3−1=√3，在Rt△ACH中，∵ tan C=AHCH =√3√3=1，∵ ∠C=45∘．故答案为45∘．14.【答案】6√2【解答】解：已知∠ABD=∠C=90∘，AD=12，AC=BD，∠BAD=30∘，∵ BD=12AD=12×12=6，∵ AC=BD=6，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=√AD2−BD2=√122−62=6√3，在直角三角形ACB中，根据勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√(6√3)2−62=6√2．故答案为：6√2．15.【答案】83【解答】∵ 在Rt△ABC中，BC＝4，sin A=23，∵ AB＝6，∵ AC＝2√5，∵ CD是斜边AB上的高线，∵ CD=4√53，∵ BD=√BC2−CD2=83．16.【答案】√6【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，∠A=30∘，AC=2√3，∵ CD=12AC=√3.在Rt△BCD中，∠B=45∘，CD=√3，∵ CB=√2CD=√6.故答案为：√6.17.【答案】9【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，tan A=BCAC =43，∵ 设BC=4x，则AC=3x，∵ AB=√BC2+AC2=15，∵ 15=√(4x)2+(3x)2，解得：x2=9，∵ x1=3或x2=−3（不合题意，舍去），∵ AC=3x=9；故答案为：9．18.【答案】2√2+1【解答】解：∵ 在△ABC中，AD是BC边上的高，∵ AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90∘，在Rt△ACD中，∠C=45∘，∵ ∠DAC=45∘，∵ DC=AD=1，在Rt△ABD中，sin B=13，AD=1，∵ sin B=ADAB =13，即AB=3，根据勾股定理得：BD=√32−12=2√2，则BC=BD+DC=2√2+1，故答案为：2√2+119.【答案】√22【解答】解：如图，连接AB．∵ OA=AB=√10，OB=2√5，∵ OB2=OA2+AB2，∵ ∠OAB=90∘，∵ △AOB是等腰直角三角形，∵ ∠AOB=45∘，∵ sin∠AOB=√22.故答案为：√22.20.【答案】2√5【解答】解法一：如图1，延长DC至Q，使CQ=BC=5，连接AQ，过A作AH⊥DQ于H，则DQ=DC+CQ=CD+BC=3+5=8，∵ ∠BCA+∠ACQ+∠BCQ=180∘，∵ ∠BCA=90∘−12∠BCD，设∠BCD=x∘，则∠BCA=90−12x∘，∵ ∠ACQ=180∘−x∘−(90∘−12x)=90−12x∘=∠BCA，∵ AC=AC，∵ △BCA≅△QCA，∵ ∠B=∠Q=∠D，∵ AD=AQ，∵ AH⊥DQ，∵ DH=QH=12QD=4，tan∠B=tan∠Q=AHQH =AH4=12，∵ AH=2，∵ AQ=AD=2√5；解法二：如图2，在BC上取一点F，使BF=CD=3，连接AF，∵ CF=BC−BF=5−3=2，过F作FG⊥AB于G，∵ tan B=12=FGBG，设FG=x，BG=2x，则BF=√5x，∵ √5x=3，x=√5，即FG=√5，延长AC至E，连接BD，∵ ∠BCA=90∘−12∠BCD，∵ 2∠BCA+∠BCD=180∘，∵ ∠BCA+∠BCD+∠DCE=180∘，∵ ∠BCA=∠DCE，∵ ∠ABC=∠ADC，∵ A、B、D、C四点共圆，∵ ∠DCE=∠ABD，∠BCA=∠ADB，∵ ∠ABD=∠ADB，∵ AB=AD，在△ABF和△ADC中，∵ {AB=AD∠ABC=∠ADCBF=CD，∵ △ABF≅△ADC(SAS)，∵ AF=AC，过A作AH⊥BC于H，∵ FH=HC=12FC=1，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2=42+AH2①，S△ABF=12AB⋅GF=12BF⋅AH，∵ AB√5=3AH，∵ AH=√5，∵ AH2=AB25②，把②代入①得：AB2=16+AB25，解得：AB=±2√5，∵ AB>0，∵ AD=AB=2√5，三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）21.【答案】解：延长AC交ON于点E，如图，∵ AC⊥ON，∵ ∠OEC=90∘，在Rt△OEC中，∵ ∠O=25∘，∵ ∠OCE=65∘，∵ ∠ACB=∠OCE=65∘，∵ 四边形ABCD是矩形，∵ ∠ABC=90∘，AD=BC，在Rt△ABC中，∵ cos∠ACB=BC，AC∵ BC=AC⋅cos65∘=5×0.42=2.1，∵ AD=BC=2.1．【解答】解：延长AC交ON于点E，如图，∵ AC⊥ON，∵ ∠OEC=90∘，在Rt△OEC中，∵ ∠O=25∘，∵ ∠OCE=65∘，∵ ∠ACB=∠OCE=65∘，∵ 四边形ABCD是矩形，∵ ∠ABC=90∘，AD=BC，在Rt△ABC中，∵ cos∠ACB=BC，AC∵ BC=AC⋅cos65∘=5×0.42=2.1，∵ AD=BC=2.1．22.【答案】解：∵ AB=AC，∵ ∠ABC=∠ACB，∵ ∠CAE=80∘，∵ ∠ABC=∠ACB=40∘，∵ CD平分∠ACB，∵ ∠BCD=20∘，∠CDE=∠BCD+∠ABC=20∘+40∘=60∘，∵ CE=sin∠EDC⋅CD=sin60∘⋅20√33=√32⋅20√33=10．【解答】解：∵ AB=AC，∵ ∠ABC=∠ACB，∵ ∠CAE=80∘，∵ ∠ABC=∠ACB=40∘，∵ CD平分∠ACB，∵ ∠BCD=20∘，∠CDE=∠BCD+∠ABC=20∘+40∘=60∘，∵ CE=sin∠EDC⋅CD=sin60∘⋅20√33=√32⋅20√33=10．23.【答案】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，∵ AB=6，AC=3√3，∵ ∠BDC=45∘，∵ ∠DBC=45∘，∵ CD=BC=3，∵ AD=AC−CD=3√3−3．【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=3，∵ AB=6，AC=3√3，∵ ∠BDC=45∘，∵ ∠DBC=45∘，∵ CD=BC=3，∵ AD=AC−CD=3√3−3．24.【答案】解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵ ∠ABC+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，∵ ∠ABC=∠ACD，∵ cos∠ABC=cos∠ACD=45，在Rt△ABC中，BCAB =45，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE:AB=3:5，知BE=3k，则CE=k，且CE=√2，则k=√2，AC=3√2．∵ Rt△ACE中，tan∠AEC=ACCE=3，∵ Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC =45，∵ CD=12√25．【解答】解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，∵ ∠ABC+∠CAD=90∘，∠ACD+∠CAD=90∘，∵ ∠ABC=∠ACD，∵ cos∠ABC=cos∠ACD=45，在Rt△ABC中，BCAB =45，令BC=4k，AB=5k，则AC=3k，由BE:AB=3:5，知BE=3k，则CE=k，且CE=√2，则k=√2，AC=3√2．∵ Rt△ACE中，tan∠AEC=ACCE=3，∵ Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC =45，∵ CD=12√25．25.【答案】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=10，sin A=35，∵ BCAB =35，∵ BC=6，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵ tan B=ACBC =86=43．【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90∘，AB=10，sin A=35，∵ BCAB =35，∵ BC=6，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵ tan B=ACBC =86=43．26.【答案】∵ AD⊥BC，∵ ∠ADC＝∠ADB＝90∘，在Rt△ACD中，AD＝CD⋅tan C＝16×0.70≈12.20，在Rt△ABD中，tan B=ADBD =12.2012≈1，∵ ∠B＝45∘．【解答】∵ AD⊥BC，∵ ∠ADC＝∠ADB＝90∘，在Rt△ACD中，AD＝CD⋅tan C＝16×0.70≈12.20，在Rt△ABD中，tan B=ADBD =12.2012≈1，∵ ∠B＝45∘．27.【答案】∵ ∠B=90∘，∠BDC=45∘，∵ BC=BD=5，∵ sin A=513，∵ AB=12，∵ AD=AB−BD=12−5=7；过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵ △ADE是等腰直角三角形，∵ AE=DE=7√22，则sin∠ACD=7√226．【解答】∵ ∠B=90∘，∠BDC=45∘，∵ BC=BD=5，∵ sin A=5，13∵ AB=12，∵ AD=AB−BD=12−5=7；过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵ △ADE是等腰直角三角形，，∵ AE=DE=7√22．则sin∠ACD=7√226。
《解直角三角形》全章复习与巩固(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练
专题1.17《解直角三角形》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2sin60°的值等于（）A ．12B ．3C ．2D 2．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB=B ．cos BC A AC=C ．tan AB C BC=D ．cos AC C BC=3．如图，在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB 为（）A ．6cos αB ．6cos αC ．6sin αD ．6sin α4．如图，为了测量河岸A 、B 两地间的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，ABC α∠=，那么A 、B 两地的距离等于（）A ．tan a αB ．tan a α⋅C ．sin a α⋅D ．cos a α⋅5．点()sin 60,cos30︒︒关于y 轴对称的点的坐标是（）．A ．12⎛- ⎝⎭B ．1,2⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．⎝⎭6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣1，2)，以点O 为圆心，将线段OA 逆时针旋转，使点A 落在x 轴的负半轴上点B 处，则点B 的横坐标为（）AB C D7．已知，斜坡的坡度i =1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（）A ．B ．20米C ．D ．1003米8．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔．如图，在高为12米的建筑物DE 的顶部测得信号发射塔AB 顶端的仰角∠FEA ＝56°，建筑物DE 的底部D 到山脚底部C 的距离DC ＝16米，小山坡面BC 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，坡长BC ＝40米（建筑物DE 、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直），则信号发射塔AB 的高约为（）（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）A ．71.4米B ．59.2米C ．48.2米D ．39.2米9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒．边BC 在x 轴上，顶点,A B 的坐标分别为()2,6-和()7,0．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（）A ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,2C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,210．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF ＝143°，AB ＝1.18米，AE ＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC sin2A＝_____．12．若关于x 的方程x 2+sin α=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．13．如图，P （12，a ）在反比例函数60y x=图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．15．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan C =3AB =，则AC 的长为_____．17．如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．18．如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为________；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为________．三、解答题19．计算：（1sin 602︒；（2）26tan 30cos30tan 602sin 45cos 60︒-︒︒-︒+︒ ．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边上一点，AC =2，CD =1，设∠CAD =α．(1)求sin α、cos α、tan α的值；(2)若∠B =∠CAD ，求BD 的长．21．如图，为了测得旗杆AB 的高度，小明在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得旗杆顶点A 的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m ，又测得旗杆顶点A 的仰角为60°，求旗杆AB 的高度．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．23．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）24．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，≈1.41）参考答案1．D【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．解：2sin60°＝故选：D ．【点拨】本题考查特殊角三角函数值，熟知sin60°的值是正确计算的关键．2．C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，则sin ,cos ,tan ,cos BC AB AB BCA A C C AC AC BC AC====．故选：C ．【点拨】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．B【分析】根据余弦的定义计算，判断即可．解：在Rt △ABC 中，6BC =米，ABC α∠=，∵cos BCABC AB∠=，∴6cos BC AB ABC coa α==∠，故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．4．A【分析】根据正切的定义计算选择即可．解：∵tanα=ACAB，∴AB =tan tan AC aαα=，故选A ．【点拨】本题考查了正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．5．C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y 轴对称的坐标即可．解：∵sin60°cos30°，）关于y 轴对称的点的坐标是（．故选：C ．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．6．C【分析】利用勾股定理求出OA ，可得结论．解：∵A （﹣1，2），∴OA由旋转的性质可知，OB ＝OA∴B 0）．故选：C ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA 即可．7．A【分析】根据坡度意思可知1tan 2A ∠=，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，求出h 即可．解：如图：由题意可知：1tan 2A ∠=，100AB =米，设BC h =米，则2AC h =米，由勾股定理可得：222AB AC BC =+，即2221004h h =+，解得：h =米，h =-．故选：A【点拨】本题考查勾股定理，坡度坡比问题，解题的关键是理解坡度的意思，找出BC ，AC之间的关系．8．D【分析】延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，可得四边形EDGH是矩形，根据小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43BGCG=，求得BG＝32，CG＝24，再根据三角函数即可求出信号发射塔AB的高．解：如图，延长EF交AB于点H，DC⊥AB于点G，∵ED⊥DG，∴四边形EDGH是矩形，∴GH＝ED＝12，∵小山坡面BC的坡度i＝1：0.75，即43 BGCG=，设BG＝4x，CG＝3x，则BC x，∵BC＝40，∴5x＝40，解得x＝8，∴BG＝32，CG＝24，∴EH＝DG＝DC+CG＝16+24＝40，BH＝BG﹣GH＝32﹣12＝20，在Rt△AEH中，∠AEH＝56°，∴AH＝EH•tan56°≈40×1.48≈59.2，∴AB＝AH﹣BH＝59.2﹣20＝39.2（米）．答：信号发射塔AB的高约为39.2米．故选：D．【点拨】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．9．B【分析】先画出E 落在AB 上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O B '的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：()2,0,C - 四边形COED 为正方形，,CO CD OE ∴==90,DCO ∠=︒()()2,2,0,2,D E ∴-如图，当E 落在AB 上时，()()2,6,7,0,A B - 6,9,AC BC ∴==由tan ,AC EO ABC BC O B'∠=='62,9O B∴='3,O B '∴=734,2,OO OC ''∴=-==()2,2.D ∴故选.B 【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】延长BA 、FE ，交于点D ，根据AB ⊥BC ，EF ∥BC 知∠ADE =90°，由∠AEF =143°知∠AED =37°，根据sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米求出AD 的长，继而可得BD 的值，从而得出答案．解：如图，延长BA 、FE ，交于点D ．∵AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∴BD ⊥DF ，即∠ADE =90°．∵∠AEF =143°，∴∠AED =37°．在Rt △ADE 中，∵sin ∠AED AD AE=，AE =1.2米，∴AD =AE •sin ∠AED =1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD =AB +AD =1.18+0.72=1.9(米)．故选：A ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．11．12【分析】根据∠A 的正弦求出∠A ＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．解：∵sin BC A AB ==∴∠A ＝60°，∴1sin sin 3022A ︒==．故答案为12．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．12．30°##30度解：∵关于x 的方程2sin 0x α+=有两个相等的实数根，∴(241sin 0 ，α=-⨯⨯=解得：1sin 2α=∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°13．512解：∵P （12，a ）在反比例函数60y x =图象上，∴a=6012=5，∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH=5，OH=12，∴tan ∠POH=512，故答案为512．14．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==4AD = 165AE ∴=125DE ∴===DE AC⊥ 90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠==534CD DE ∴=⋅=在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．45°【分析】根据等角的正切值相等得出∠1=∠3，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：如图所示：由题意可得：11tan 3,tan 122BC CF AB EF ∠==∠==∴∠1=∠3，tan 1FM FAM AM∠== 122345FAM ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：45°．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数以及等角三角函数关系，由图得出∠1=∠3是解题的关键．16【分析】过A 作AD 垂直于BC ，在直角三角形ABD 中，利用锐角三角函数定义求出AD 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可．解：过A 作AD BC ⊥，在Rt ABD ∆中，1sin 3B =，3AB =，∴sin 1AD AB B =⋅=，在Rt ACD ∆中，tan 2C =，∴AD CD =CD ，根据勾股定理得：AC =．【点拨】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．【分析】根据B C 、的坐标求得BC 的长度,60CBO ∠=︒，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC 的长度，即点A 的横坐标，易得//AC x 轴，则C 的纵坐标即A 的纵坐标．解：B C 、的坐标分别是(1,0)、2BC ∴=tan OC CBOOB∴∠==60CBO ∴∠=︒90,30ABC A ∠=︒∠=︒60,24ACB AC BC ∴∠=︒==//AC x ∴轴A ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．18．6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF 垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF 的长；根据折叠的性质可知，AF =FM ,若DF 取最大值，则FM 取最小值，即为边AD 与BC 的距离DG ，即可求解.解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3，在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB，∴EF当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG故答案为：【点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．19．（1（2）1【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝11232-＝16（2）原式21316221222=⨯-⨯=--=-【定睛】此题主要考查实数的运算。
苏教版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
苏科版九年级下册数学 下册 7.5---7.6练习题带答案
C BA7.5锐角三角函数章节------解直角三角形（含答案）例1. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）(A)．1 (B)．√2 (C)．√22(D)．2√2例2、如果a 是锐角，且cosa=45，那么sina 的值是（ ）． （A ）925 （B ） 45 （C ）35 （D ）1625例3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512例4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）．（A ）sinA=sinB （B ）sinA=cosB（C ）tanA=tanB （D ）cotA=cotB例5、已知α为锐角，tan （90°－α）=√3，则α的度数为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°例6、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．（A ）12 （B ）√22 （C ）√32（D ）1 例7、如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝√22，则BC ＝例8、如图，沿倾斜角为30 的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ， 那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)例9、求值：sin 245°- cos60°+ tan60°·cos 230°例10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为60°， 路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.例11、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度i=1：3.求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB ． （精确到0.1米）例12、某中学有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测到∠A=30°,AC=40米,BC=25米, 请你求出这块花圃可能的面积(结果保留根号)巩固练习：1．如图，在Rt△ABC 中，除∠C＝90°外，其余______个元素之间存在以下关系： (l)三边之间的关系：____________（也就是__________定理）；(2)两个锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝________，cos A ＝________，tan A ＝_________． D CBA2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝3√3，则底BC 的长为_______． 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，a＝3，c ＝2√3，则∠B ＝________．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，c ＝6，则b ＝________．5．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝√5，AC ＝√15，则∠A 的度数为 ( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，则在下列边角之间的关系中，正确的是 () A ．b ＝c sin A B ．a ＝b tan A C ．a ＝b tan B D ．b ＝c cos B7．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，则sin B 的值为 () A ．√1010 B ．23 C ．34 D ．√10√108．如图，在△ABC 中，cosB=√22，sinC ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ．212 B ．12 C ．14 D ．219．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，则AB 的长为 ( )A ．a ．sin αB ．a ．tan αC ．a ．cos αD ．3310.在Rt△ABC中，∠C＝90°．根据下列条件解直角三角形：(1)已知c＝20，∠A＝45°；(2)已知a＝36，∠B＝30°；(3)已知a＝19，c＝19√2；(4)a＝6√2，b＝．求四边形ABCD的周长．11．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，EC＝1，sinB＝51312．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠ADC＝60°，AC＝√3，求△ABD的周长．13．如图，某居民楼I高20米，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台到地面的距离CM为2米，窗户CD高1.8米．现计划在I楼的正南方向距I楼30米处新建一居民楼Ⅱ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光，新建Ⅱ楼最高只能盖多少米？14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＋c＝24，∠A－∠B＝30°，解此直角三角形．15．如图，在△ABC中∠C＝90°，∠A＝45°，D为AC上一点，∠BDC＝60°，AD＝2，求BC 的长．16．已知等腰三角形的底边长为20 cm，面积为100√3cm2，求此三角形各内角的度数．317．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，弧BC=弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD＝34，求线段AD、CD的长．18.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取√3＝1.732，结果精确到1m）巩固练习答案：1．5 (1) a2＋b2＝c2 勾股(2) ∠A＋∠B＝90°(3)acbcab2．103．30°4．5．D 6．B 7．D 8．A 9．B 10．(1)∠B ＝45°，a ＝10√2，b ＝10(2)∠A ＝60°，b ＝12，c ＝24 (3)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝19 (4)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝12311．可以求得边长为13，则四边形ABCD 的周长为52.12．△ABD 的周长为37+13．新建居民楼Ⅱ最高只能盖（10√3＋2）米14. ∠A ＝60°，∠B ＝30°，a ＝83，b ＝8，c ＝1615．BC 的长为3＋116．三个内角分别为30°、30°、120°17．AD ＝6， CD ＝3718. 设CE ＝x m ，则由题意可知BE ＝x m ，AE ＝(x ＋100)m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan30°＝100+x x∴33100=+x x ，3x ＝3(x ＋100) 解得x ＝50＋503＝136.6∴CD ＝CE ＋ED ＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)7.6锐角三角函数章节------锐角三角函数的简单应用练习（含答案） 例1．如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）。
人教新版九年级下册《28.2_解直角三角形及其应用》2024年同步练习卷(13)+答案解析
人教新版九年级下册《28.2解直角三角形及其应用》2024年同步练习卷（13）一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，，则拉线BC的长度为、D、B在同一条直线上()A.B.C.D.2.身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、250米、200米，线与地面的夹角分别为、、假设风筝线是拉直的，三人所放风筝()A.甲的最高B.乙的最高C.丙的最高D.一样高3.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为()A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里4.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为度，，则树高BC为用含的代数式表示()A.B.C.D.5.如图，这是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为()A. B. C. D.24m6.如图，斜面AC的坡度与AD的比为1：2，米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若米，则旗杆BC的高度为()A.5米B.6米C.8米D.米7.如图，小明利用一个锐角是的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是()A.B.C.D.8.如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度为：，坡顶D到BC的垂直距离米，点A、B、C、D、E在同一面内，在点D处测得建筑物顶点A的仰角为，则建筑物AB的高度约参考数据：，，A.米B.米C.米D.米9.如图，为了测量某建筑物BC高度，小明采用了如下的方法：先从与某建筑物底端B在同一水平线上的A 点出发，先沿斜坡AD行走260米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端B的俯角为，其中点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度：，根据小明的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为计算结果精确到米，参考数据：，，，()A.米B.米C.米D.米二、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。
苏科版九年级数学下册 7.5 解直角三角形同步练习
7.5解直角三角形【方法点拨】解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．（2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． （3）边角之间的关系（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 1. 已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，b =3c =4，解Rt △ABC 。
2．已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是 A ．20n <<B ．102n << C ．30n << D ．30n << 3．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足是E ， A ．21 B ．37 C ．773 D ．434．如图，在RtΔABC 中，∠C ＝90O ，AC ＝6，AC 边上的中线BD ＝21， 解这个RtΔABC ．ABC D学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------CA B5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC=30°，BD＝2，AB＝23，求AC的长6. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角（视线与水平线夹角）分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离。
7. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=31，BC=10,求AB的长。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题（含答案）一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.若角α的余角是30∘，则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sinA=35，则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，cosA=45，则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a，b，c是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边，且a：b：c=1：√2：√3，则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r=3时，⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图，已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置，从A点观测标志物C的俯角是65°，从B点观测标志物C的俯角是35°，则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中，已知∠C=90∘.若AC=2BC，则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中，∠C=90°，若∠A=2∠B，则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=2√3，∠B=30°，S△ABC=10√3，则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中，∠C=90，AC=12，cosA=1213，则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）16.计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻，到达C时接到命令，立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行，从C到B航行了3小时．求A，B间的距离(结果保留整数).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）18.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数)．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．19.如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10,0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．(1)求点B的坐标；(2)求tan∠BAO的值．)−1+√18−6sin45°．20.计算：(1221.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(√3取1.7)．22.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3．5(1)求CD的长；(2)求tan∠DBC的值．1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】解：因为角α的余角是30∘，所以α=90°−30°=60°，则．故选A．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=，故选：B．3.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，cosA=45，∴AB=ACcosA=5，∴BC=√AB2−AC2=3，∵∠DBC=∠A．∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45，∴BD=3×54=154，故选：C．在△ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函数求得BD．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．4.【答案】B【解析】解：∵，∴△ABC为直角三角形．cosB==．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，∴ACAB =AC5=45，∴AC=4，∴BC=√AB2−AC2=3，∵r=3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．6.【答案】B【解析】【解析】解：∵在Rt△ADE中，DE=6，AE=AB−BE=AB−CD=x−1，∠ADE=55°，∴sin55°=，cos55°=，tan55°=，故选：B．7.【答案】B【解析】【解析】解：根据题意可知：∠ACD=65°，∠BCD=35°，∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°．故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法，属于基础题．可先求出斜边AB，然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可．【答案】解：∵AC=2BC，由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC，∴sin∠A=BCAB =√5=√55，故选C．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A=2∠B，∴∠B=30°，∴cosB=cos30°=√32，故选：C．根据直角三角形的性质求出∠B，根据30°的余弦值是√32解答．本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵在△ABD中，∠ADB=90°，AD=2√3，∠B=30°，∴BD=ADtanB =√3√33=6．∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3，∴12BC⋅2√3=10√3，∴BC=10，∴CD=BC−BD=10−6=4，∴tanC=ADCD =2√34=√32．故选：D．首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC=10√3，求出BC，那么CD=BC−BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长．【解析】解：∵cosA=ACAB =1213，AC=12，∴AB=13，BC=√AB2−AC2=5，∴tanA=BCAC =512．故选：D．根据cosA=1213求出第三边长的表达式，求出tanA即可．本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义．12.【答案】B【解析】解：连接BC，∵每个小正方形的边长均为1，∴AB=√5，BC=√5，AC=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴△ABC是直角三角形，∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22，故选：B．根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求得cos∠BAC的值．本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理，解答本题的关键是明确题意，判断出△ABC 的形状，利用锐角三角函数解答．13.【答案】A【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选：A．在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形．作AH⊥CB，交CB延长线于H点，∠ACB的正切值是AH与CH的比值．【解答】解：如图，作AH⊥CB，交CB延长线于H点，则tan∠ACB=AHHC =26=13．故选A．15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质解答．【解答】解：三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A的大小不变，∴锐角A的余弦值不变，故选：A．16.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知：∠ACD=55°，∠BCD=60°，BC=20×3=60(海里)，BC=30(海里)，BD=30√3(海里)，在Rt△BCD中，CD=12在Rt△ADC中，AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里)，∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里)．答：A，B间的距离为95海里．【解析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长，进而可求出A、B间的距离．本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．18.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB=45°，∴AD=CD，设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB⋅sin58°≈0.85x，BD=AB⋅cos58°≈0.53x，又∵BC=221，即CD+BD=221，∴0.85x+0.53x=221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．19.【答案】解：(1)如图，过点B作BH⊥OA于点H，∵OB=5，sin∠BOA=，∴BH=3，OH=4，∴点B的坐标为(4,3)，(2)∵OA=10，∴AH=OA−OH=10−4=6，∴在Rt△AHB中，tan∠BAO===．【解析】解答案20.【答案】解：(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2．【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．21.【答案】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形．∴CE=AB=12m．在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE，CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3．在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得DE=BE=12√3．∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22.【答案】解：(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6，cosA=3，5∴AD=AE=10，cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD=DE=8；(2)由(1)AD=10，DC=8，∴AC=AD+DC=18，在△ADE与△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，即8BC=618,BC=24，∴tan∠DBC=CDBC =824=13．【解析】(1)在Rt△ADE中，根据余弦函数的定义求出AD，利用勾股定理求出DE，再由角平分线的性质可得DC=DE=8；(2)由AD=10，DC=8，得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A，∠AED=∠ACB，可知△ADE∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可求出BC的长，根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13．本题考查了解直角三角形，角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，求出DE是解第(1)小题的关键；求出BC是解第(2)小题的关键．。
精品 九年级数学 下册解直角三角形定义 同步讲义+练习8页
）
7.在△ABC 中,∠A=30º,tan B=
1 ，BC= 10 ,则 AB 的长为 3
； 9.锐角 A 满足 2 sin( A 15 0 ) 3 ,则∠A=
8.计算： 8 4sin 45 (3 )0 4 = 10.已知 tanB= 3 ，则 sin 12.已知 cos 14.计算： （1) sin 30 0 sin 60 0 2 cos 45 0 2
例 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=900, sin B
5 ,D 在 BC 边上,且∠ADC=450,AC=5.求∠BAD 的正切值. 13
例 5.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=135°求 tanB 的值.
课堂练习： 1.填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
1 ，AC=6，则 BC 的长为（ ） 3 A.6 B.5 C.4 D.2 0 3.在 Rt△ABC 中，∠C=90 ，AC=4，BC=3，cosB 的值为 （ ） 1 3 4 3 A. B. C. D. 5 5 5 4 0 4.在△ABC 中，∠C=90 ，tanA=1，则 sinB 的值是 （ ）
0Leabharlann 10 3 cm,求∠B，AB 及 BC. 3
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九年级数学下册 同步讲义
16.在△ABC 中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8，则 BC=
． .
4 0 17.在 Rt△ABC 中,∠C=90 ,tanA= ,BC=8,则△ABC 的面积为 3
0
18.如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30 ，则该山坡的高 BC 的长为______米．
4 ，AB=15，求 tanA 和△ABC 的周长． 5
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-5解直角三角形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．102．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．33．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7B．8C．8或17D．7或174．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝216．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2B．3C．3D．27．如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．2二．填空题9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则AB的长为．10．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cos B＝，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．12．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为．三．解答题13．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．14．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sin C 的值．15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD 的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．17．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．20．已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：．（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．参考答案一．选择题1．解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．故选：B．2．解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选：A．3．解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．4．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选：C．5．解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选：B．6．解：∵AC＝6，∠C＝45°，∴AD＝AC•sin45°＝6×＝6，∵tan∠ABC＝3，∴＝3，∴BD＝＝2，故选：A．7．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C＝72°，∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝﹣2±2（负值舍去），∴AE＝﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cos A＝＝＝．故选：C．8．解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．二．填空题9．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+．故答案为：3+．10．解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cos B＝，又cos B＝，于是，解得x＝10，即AB＝10．所以易求BE＝8，AE＝6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE＝BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为4.8．11．解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．12．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为：2或2﹣或，故答案为：2或2﹣或．三．解答题13．解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，∵cos C＝，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC•cos C＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tan B＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE+CE＝4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD﹣CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝．14．解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD•tan∠BAD＝12×＝9，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，∴AC＝＝＝13，∴sin C＝＝．15．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°∴∠BCD+∠ACH＝90°∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，即∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得AC＝CH，∴CH：AC＝1：，∴sin B＝；（2）∵sin B＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．∵∠CAH＝∠B，∴sin∠CAH＝sin B＝＝，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，则x2+22＝（x）2，∴CE＝x＝1，AC＝2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∵AB＝2CD＝2，∴BC＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．16．解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，而BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB中点，∴CD＝AB＝5；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，∴BE＝＝，在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，即cos∠ABE的值为．17．解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE＝45°，P A＝，∴AE＝PE＝×＝1，∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴AB＝＝．②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△P AD≌△P'AB，PD＝P'B，P A＝P'A．∴∠P AP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°∴PP′＝P A＝2，∴PD＝P′B＝＝＝；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．在Rt△PFG中，可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．在Rt△PDF中，可得，PD＝＝＝．（2）如图所示，将△P AD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝P A＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．18．解：（1）∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝＝＝3，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝AD•cos45°＝2×＝，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣＝2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE•cos45°＝2×＝2，∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△CHE中，cot∠ECB＝＝，即∠ECB的余切值为．19．解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1．在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD+DC＝2+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝+，∴DE＝CE﹣CD＝﹣，∴tan∠DAE＝＝﹣．20．（1）证明：如图1，连接AD．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC．又∵∠ABC＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABC即AB＝BD．∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，∴△ABE∽△DBM．∴，∴AE＝MD．（2）解：∵cos60°＝，∴MD＝AE•cos∠ABC＝AE•，即AE＝2MD．∴AE＝2MD；（3）解：如图2，连接AD，EP．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．又∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAC＝30°，BD＝DC＝AB．∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，∴△ABE∽△DBM．∴，∠AEB＝∠DMB．∴EB＝2BM．又∵BM＝MP，∴EB＝BP．∵∠EBM＝∠ABC＝60°，∴△BEP为等边三角形，∴EM⊥BP，∴∠BMD＝90°，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝7，∴BE＝．∴tan∠EAB＝．∵D为BC中点，M为BP中点，∴DM∥PC．∴∠MDB＝∠PCB，∴∠EAB＝∠PCB．∴tan∠PCB＝．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin∠ABD＝，在Rt△NDC中，ND＝DC•tan∠NCD＝，∴NA＝AD﹣ND＝．过N作NH⊥AC，垂足为H．在Rt△ANH中，NH＝AN＝，AH＝AN•cos∠NAH＝，∴CH＝AC﹣AH＝，∴tan∠ACP＝．。
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7.5解直角三角形
【方法点拨】解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．
（2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． （3）边角之间的关系
（4）解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 1. 已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，b =3c =4，解Rt △ABC 。
2．已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是 A ．20n <<
B ．1
02
n << C ．30n << D ．30n << 3．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足是E ， A ．
2
1 B ．
37 C ．773 D ．4
3
4．如图，在RtΔABC 中，∠C ＝90O ，AC ＝6，AC 边上的中线BD ＝21， 解这个RtΔABC ．
A
B
C D
学校 班级 姓 考试
-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------
C
A B
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，∠DAC=30°，BD＝2，AB＝23，求AC的长
6. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角（视线与水平线夹角）分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，求AB两点的距离。
7. 如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=
3
1
，BC=10,求AB的长。
8. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°∠C=120°，AB=8，求CD的长。
9. 已知△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,且BD:CD=4:3.求sinB的值.
D
C A
B
10．如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC ，交BC 于点E ，若BD ＝8，sin ∠CBD =
4
3
，求AE 的长．
11．把两块相同的含30º角的三角尺ABC 和BDE 如图所示放置，若AD =6，
求三角尺ABC 各边的长。
12．如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，
（1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值； （3）求证：︒=∠135AOB ．
13．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方
形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，求tan ∠APD 的值．
B
D C
A
O
1
1
y
（第13题图）
A
D
C
B
P
14.已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6cm，动点P从点B出发沿BC 方向以每秒2cm的速度向终点C运动，点Q从点C出发沿CA方向以每秒acm的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点停止运动时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC和BC的长；
（2）如图1，若点D为边AC上一点，且CD＝4cm，DE⊥BC于点E，在点P和Q 的运动过程中，是否存在a和t，使得△PCQ≌△DCE，若存在，求出a和t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，当a＝2时，那么当运动时间t为多少时，△PQC为等腰三角形；
（4）如图3，当a＝1时，如果点P到达C后立即以原来的速度返回点B，即点P从B 出发沿着B→C→B的路径运动，P，Q两点中有一点到达终点另一点也随之停止运动，那么当运动时间t为多少时，△PQC为直角三角形．（直接写出结果）
15.直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）．平移二次函数
y＝﹣tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C 两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
参考答案
1.0
2,30,60a A B ===；2.A ；3.
4. 略；
5.
6.
7.AB=3+3；
8.
9. 10.
11.
12.（1）解：由，解得，所以y＝x+；
（2）解：C（﹣，0），D（0，）．
在Rt△OCD中，OD＝，OC＝，∴tan∠OCD＝；
（3）证明：取点A关于原点的对称点E（2，1），则问题转化为求证∠BOE＝45度．
由勾股定理可得，OE＝，BE＝＝，OB＝，
∵OB2＝OE2+BE2，∴△EOB是等腰直角三角形．
∴∠BOE＝45度．∴∠AOB＝135度．
【点评】此题较复杂，解答此题的关键是延长AO，过B作BE⊥AE于E，构造出直角三角形，利用勾股定理即锐角三角函数的定义求解．
13.2；
14.解：（1）∵∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝6cm，
∴AC＝2AB＝12cm，BC＝＝＝6cm；
（2）存在，如图1，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，DC＝4，∴DE＝CD＝2cm，EC＝6cm，
由题意得：BP＝2t，CQ＝at，则PC＝6﹣2t，
当∠PQC＝90°时，有CQ＝CE，CP＝CD，则△PCQ≌△DCE，
∴at＝6，6﹣2t＝4，∴a＝6，t＝1；
（3）当a＝2时，CQ＝2t，△PQC为等腰三角形时，有三种情况：
①当PQ＝CQ时，△PQC为等腰三角形，如图2，过Q作QD⊥CP于D，∴CD＝PD，∵∠C＝30°，∴DQ＝CQ＝t，∴PD＝CD＝t，
∵BC＝BP+PD+CD＝6，∴2t+2t＝6，t＝；
②当PC＝CQ时，△PQC为等腰三角形，如图3，则6﹣2t＝2t，t＝；
③当CP＝PQ时，△PQC为等腰三角形，如图4，过P作PD⊥AC于D，
同理得：CD＝DQ＝CQ＝t，∵PC＝6﹣2t，∠C＝30°，
∴PD＝PC＝3﹣t，∴DC＝PD，即t＝（3﹣t），t＝；
点P运动的时间为：＝3秒，点Q运动的时间为：＝6秒，
综上，当运动时间t为秒或秒或秒时，△PQC为等腰三角形；
（4）当a＝1时，CQ＝t，
①当P由B向C运动时，如图5，∠CQP＝90°时，PC＝6﹣2t，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
②当P由B向C运动时，如图6，∠QPC＝90°时，PC＝6﹣2t，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
③当P由C向B运动时，∠CPQ＝90°时，如图7，
此时，CP＝2t﹣6，cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝4，
④当P由C向B运动时，∠CQP＝90°时，如图8，此时，CP＝2t﹣6，
cos C＝cos30°＝＝，∴＝，t＝；
综上，当运动时间t为秒或秒或4秒或秒时，△PQC为直角三角形．
【点评】本题考查三角形综合题、30°角的直角三角形的性质、勾股定理、特殊的三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
15.解：（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|．
理由是：∵平移y＝﹣tx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q，
∴抛物线F对应的解析式为：y＝﹣t（x﹣t）2+b，即y＝﹣tx2+2t2x﹣t3+b，
令y＝0，得OB＝t﹣，OC＝t+，
∴|OB|•|OC|＝|（t﹣）（t+）|＝|t2﹣|＝t2＝OA2，即，
所以当b＝2t3时，存在抛物线F使得|OA|2＝|OB|•|OC|，
即：存在这样的抛物线F，使得|OA|2＝|OB|•|OC|．
（2）∵AQ∥BC，∴t＝b，得：y＝﹣t（x﹣t）2+t，解得x1＝t﹣1，x2＝t+1．
在Rt△AOB中，①当t＞0时，由|OB|＜|OC|，得B（t﹣1，0），
当t﹣1＞0时，由tan∠ABO＝＝＝，解得t＝3，
此时，二次函数解析式为y＝﹣3x2+18x﹣24；
当t﹣1＜0时，由tan∠ABO＝＝＝，解得t＝，
此时，二次函数解析式为y＝﹣x2+x+；
②当t＜0时，由|OB|＜|OC|，将﹣t代替t，解得：t＝﹣，t＝﹣3，
同法求出y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x+24；
故二次函数解析式为y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x+24，
答：抛物线F对应的二次函数的解析式是y＝﹣x2+x+或y＝﹣3x2+18x﹣24或y＝x2+x﹣或y＝3x2+18x﹣24．
【点评】我们可以先假设存在这样的抛物线，如果能够求出对应的值，则存在，如果求不出，则不存在．。