高考反函数问题常见类型解析

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反函数

反函数[重点难点]概念的把握,求反函数一、定义高中数学对函数的研究是以映射的观点来进行的，回顾前面研究映射时我们定义了一个特殊映射.一一映射.若将某映射f:的对应关系调转，只有一一映射能够保证调转后的对应仍是映射，称这一映射f-1:为原映射的逆映射.若将前述一一映射限制在数集到数集上，就可以得到我们这里研究的反函数.定义:如果确定函数y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是从A到B上的一一映射，则它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).所确定的函数y=f-1(x), x∈B称为y=f(x),x∈A的反函数.二、说明及性质1．由定义和f(x)存在反函数的充要条件是它的映射为一一映射.如f(x)=x2(x∈R)无反函数（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函数，因为它是到[1，+∞）上的一一映射.2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互为反函数.3．原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域.4．单调函数具有反函数，因为单调一一映射有反函数.可见函数在区间上具单调性是它有反函数的充分不必要条件.如函数y=(x≠0), 其反函数与自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具单调性.5．若b=f(a), 则a=f-1(b),即(a, b)在函数图象上，则(b, a)在其反函数图像上；反之也对.利用这一点可以把反函数上点的问题转化为研究函数上的点的问题.6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.7．原函数与反函数图象关于y=x对称.8．单调函数的反函数与原函数具有相同的单调性.奇函数如果有反函数，则其反函数也是奇函数.需要认识到，奇函数不一定有反函数.如：y=x3-x, 当y=0时x=0, ±1,这不是一一映射，因此不具有反函数.但偶函数是不是一定没有反函数？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其图象就是原点.它是偶函数，也具有反函数（即自身）.三、求反函数的一般步骤1．求D,因为原函数的值域R是反函数的定义域，这定义域在结论中是必须指出的.2．在原函数的解析式中反求x，写成x=g(y).3．x, y互换，即将反函数写成y=g(x)因为习惯上通常将x作为自变量.4．下结论（注意给出反函数定义域）四、例题.例1．已知f(x)=(0≤x≤4), 求f(x)的反函数.分析：这里要先求f(x)的范围（值域）.解：∵0≤x≤4,∴0≤x2≤16, 9≤25-x2≤25,∴3≤y≤5,∵y=, y2=25-x2,∴x2=25-y2.∵0≤x≤4,∴x=(3≤y≤5)将x, y互换，∴f(x)的反函数f-1(x)=(3≤x≤5).例2．已知.f(x+1)=x2-3x+2, x∈(-∞,),求.f-1(x).分析：本题是求函数解析式与求反函数两类问题的稼接，因此可套用相应方法分别处理. 解：(1)求f(x)解析式（用换元法）令t=x+1, ∴t<, x=t-1,∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, t∈(-∞,).即y=f(x)=x2-5x+6, x∈(-∞,).这是f(x)的单调区间，存在反函数.(2)求反函数易知y∈(-,+∞).y=(x-)2-, (x-)2=y+,∵x<, x-<0,∴x-=-(y>-).∴x=-(y>-).∴f-1(x)=-(x>-).例3．已知f(x)=，求f-1(x).分析：求分数函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.解：当x≥0时，y=x+1≥1,∴y∈[1,+∞),∴f-1(x)=x-1 (x≥1)当x<0时，y=1-x2<1,∴y∈(-∞,1).反解x2=1-y, x=-(y<1)∴f-1(x)=-(x<1)∴综上f-1(x)=.例4．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).分析：这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.解：设f-1(5)=x0, 则f(x0)=5,即=5 (x0≥3)∴x02+1=5x0-5, x02-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴f-1(5)=3.例5．设点（4，1）既在f(x)=ax2+b (a<0,x>0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式.分析：由前面总结的性质我们知道.点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a,b的点，也就有了两个求解a,b的方程.解：解得.a=-, b=,∴f(x)=-x+.另这个题告诉我们.函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.这一点好些同学弄不清楚.例6．已知f(x)=的反函数为f-1(x)=,求a,b,c的值.分析：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1(x)=的反函数就是含字母的反函数f(x).解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.∴(y-2)x=3y+5∴x=(y≠2),f-1(x)的反函数为y=.即=，∴a=3, b=5, c=-2.参考题目：求f(x)=-2x2-4x+1 (x≤-1)的反函数.（答案.f-1(x)=-1-(x≤3)）求f(x)=x(x<0)的反函数.（答案.f-1(x)=-x(x>0)）.在线测试选择题1．已知函数y=(x∈R且x≠1) ，那么它的反函数为（）A、y=(x∈R且x≠1)B、y=(x∈R且x≠6)C、y=(x∈R且x≠-)D、y=(x∈R且x≠-5) 2．若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)则f-1(x)为（）A、(x≥2)B、1-(x≥2)C、-(x≥3)D、(x≥3)3．欲使y=x2+4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为（）A、-2B、2C、0D、44．f(x)=(x<-1)的反函数是（）A、f-1(x)=-B、f-1(x)=-,(x>0)C、f-1(x)=,(x<0)D、f-1(x)=,(x>0) 5．f(x+1)=则f-1(x+1)的解析式是（）A、B、-C、-D、答案与解析答案：1、B 2、C 3、A 4、C 5、B解析：1．解答：由y=x=y=, x≠6．选B．2．解答：由f(x-1)=x2-2x+3,x≤0 f(x)=(x+1)2-2(x+1)+3=x2+2,x≤-1 y≥3,又由y=x2+2,x≤-1 x=-y=-, x≥3.选C．3．解答：由y=x2+4x=(x+2)2-4, x≥a有反函数，则a≥-2，因此选A．4．解答：由y=x2=1-,∵ x<-1, ∴x2>1 1->1且x=-y<0, f-1(x)=, x<0，选C．5．解答：由f(x+1)=f(x)=x=f-1(x)=f-1(x+1)==-．选B．反函数1.反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)=的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数f-1(x)=x2-1, x≥0，定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

SXA261高考数学必修_反函数常见考点

反函数常见考点一．利用反函数的概念求函数值例1.若f(2x-1)=x+1，则1(2)f -= 。

分析：令x+1=2，则x=1，则2x-1=1即f(1)=2，因此1(2)f -=1.点评：此题是否不必有求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的。

充分利用反函数的性质：f(a)=b ⇔1()f b a -=即可解决此类问题。

二．求原函数与其反函数的交点例2.若与1()f x -都过（1，2）点，则f(x)与1()f x -图象交点的个数为个。

分析：解方程组21⎧=⎪⎨=⎪⎩解得a=-3,b=7，则由f(x)与1()f x -的图象关于直线y=x 对称知f(x)与1()fx -均过（2，1）点，又因为2条曲线与y=x 交点也是同一点，故共有3个交点。

点评：函数f(x)与1()f x -的交点若为（a,b ），则点（b,a ）也为它们的交点；三．利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例3.函数f(x)=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12(4)f x --的单调减区间是。

分析：（1）设u=4-x 2，1()fx -=12log x ，令u>0，4- x 2>0，得-2<x<2。

当x ∈(-2,0)时，u 是增函数，而1()f x -=12log x 为减函数，则12(4)fx --是单调递减函数。

即（-2，0）。

（2）f(x)在定义域内为减函数，由于原函数与其反函数的图象关于y=x 对称，单调性不变，则其反函数在定义域内也为减函数；因此只需考虑4- x 2的增区间，由复合函数“同增异减”可得4- x 2的增区间即为12(4)f x --的减区间。

解法同上。

点评：（1）函数y=f(g(x))，若y=f(x)是递减的，则u=g(x)的增区间就是y=f(g(x))的减区间，u=g(x)的减区间就是y=f(g(x))的增区间；（2）互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）。

2-反函数

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第二章
函数
探究3 的解析式．
注意到f－1(x)与f(x)有相同的奇偶性和单调性，
只需研究原函数f(x)的奇偶性和单调性，从而回避了求f－1(x)
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函数
思考题 3
－
1 (08·天津卷)设函数 f(x)＝ (0≤x<1)的反 1－ x )
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函数
x－5 5＋my (3)由 y＝得 x＝ 2x＋m 1－2y 5＋mx －mx－5 ∴f (x)＝＝ 1－2x 2x－1
－1
∵函数 f(x)的图象关于直线 y＝x 对称
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∴f(x)＝f 1(x) ∴m＝－1.
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在 y
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函数
3．反函数的性质 (1)y＝f(x)与y＝f－1(x)具有 (2)奇函数的反函数是的反函数是本身．相同的单调性．．(若存在) 奇函数
(3)若函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则y＝f(x)
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①求反函数忘记注明定义域． ②错误地将y＝f－1(x＋a)理解为y＝f(x＋a)的反函数． ③易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性关系，从而导致解题过程繁琐．
－
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函数
探究2 本题主要考查函数与反函数之间的关系． ①②题主要训练：若f(a)＝b，则f－1(b)＝a ③题主要训练：f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称以上这几种关系是常考点．

高考数学函数专题、反函数

函数专题（一）、反函数1.原函数存在反函数的条件：原函数从定义域到值域上要满足一对一的对应关系，而不能有多对一的的对应关系。

因此单调函数一定有反函数，存在反函数的原函数不一定是单调函数。

偶函数一定没有反函数。

2.)1(+=x f y 的反函数不是)1(1-+=x f y 而是1)(1--=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1-1-1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y . 同理，)1(1-+=x f y 的反函数不是)1(+=x f y ，而是1)(-=x f y ，理由如下：1)(1)()(1)1(1--=⇒-=⇒=+⇒+=x f y y f x y f x x f y .3.原函数和反函数在相同定义域内的单调性相同。

4.原函数与反函数的交点不一定都在直线y =x 上，它们还可以位于直线y =x 的两侧，且以（a ，b ）、（b ，a ）的形式成对出现，如x x f ）（161)(=与其反函数x x f 1611-log )(=的交点有），（4121和），（2141，这两个交点就不在直线y =x 上。

例1.（2010长宁区二模）如果函数||12|lg |)(-=x x f 在定义域的某个子区间)1,1(+-k k 上例2.设)(1x f -是函数f (x )＝2x －(13)x ＋x 的反函数，则)(1x f ->1成立的x 的取值范围是________例3.已知132)(-+=x x x f ，函数)(x h y =的图像与)1(1-=-x f y 的图像关于直线x y =对称，则)8(h =__________变式训练：1.已知函数()221f x x tx =-+，[]2,5x ∈有反函数，且函数()f x 的最大值为8，则实数t 的值为_________2.已知函数()log (2)log (2)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠，设()f x 的反函数为1()f x -.若关于x 的不等式1()()f x m m R -<∈有解，则m 的取值范围是________3.的反函数1()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为4.()1x y a a =>及其反函数的图像分别交于A 、B 两点，若，则实数a 为____________5.已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，1(5)2f -=，若函数(1)y f x =-是奇函数，那么1(5)f --=________6.函数)(x f y =的图像与x y 2=的图像关于y 轴对称，若)(1x fy -=是)(x f y =的反函数，则)2(21x x f y -=-的单调递增区间是_______________7.（2013上海）对区间I 上有定义的函数)(x g y =，记)(I g ={y |)(x g y =，x ∈I}．已知定义域为[0，3]的函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，且)2,1[))1,0([1=-f ，)1,0[])4,2((1=-f ．若方程0)(=-x x f 有解0x ，则0x =__________8.若1x 满足233=+xx ，2x 满足2)1(3log 33=-+x x ，则21x x +=_________9．（2007陕西）若函数)(x f 的反函数为)(1x f -,则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（）10.已知函数存在反函数，方程－＝0的解集是P ，方程－＝0的解集是Q ，则一定有（） A.P QB.Q P C.P ＝Q D.P∩Q ＝11．函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，则)1(+=x f y 的图像与)1(1-+=x f y 的图像（）A.关于直线x y =对称B.关于直线1+=x y 的对称C.关于直线1-=x y 对称D.关于直线1=x 对称)(x f )(1x f -)(x f x )(x f )(1x f -⊆⊆Φ12.（2016闵行区二模）设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则()()y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则()()y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则()()y ff x =也是单调递减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数()1y f x -=，且函数()()1y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点。

人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲

高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容：函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间（1）增函数：对任意，则为上的增函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。

，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。

图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。

注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。

2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。

，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。

（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。

（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。

（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。

3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明）（3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。

高考数学中的三角函数反函数及其应用

高考数学中的三角函数反函数及其应用随着社会的不断发展，高考已经成为了众多学子们追求的目标。

其中，数学作为其中一门重要的科目，是检验学生数学素养的关键。

而在数学当中，三角函数及其反函数无疑是数学知识的重要组成部分之一。

本文旨在深入探讨高考数学中三角函数反函数及其应用。

1.三角函数反函数的引入在高一数学学习的时候，我们已经接触到了三角函数。

三角函数是一种周期函数，它们分别为正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)。

在三角函数中常常用来描述直角三角形的关系。

但是，我们在实际应用中常常需要求解三角函数的反函数问题。

下面我们来看一下三角函数的反函数定义。

2.三角函数反函数的定义正弦函数sin(x)在区间[-π/2，π/2]上单调递增且连续，余弦函数cos(x)在区间[0，π]上单调递减且连续。

正切函数tan(x)在区间(-π/2，π/2)上单调递增且连续。

因此，这三个三角函数在这些区间上都可以有反函数，这就是它们的反函数：正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)，余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)，正切函数反函数y=tan⁻¹(x)。

值得注意的是，在定义反函数时应注意反函数的定义域和值域问题。

其中，正弦函数反函数y=sin⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[-π/2，π/2]; 余弦函数反函数y=cos⁻¹(x)的定义域为[-1，1], 值域为[0，π]; 正切函数反函数y=tan⁻¹(x)的定义域为R, 值域为(-π/2，π/2)。

3. 三角函数反函数的性质对于三角函数的反函数来说，有以下分类讨论：（1）正弦函数反函数sin⁻¹(x)的性质i. sin(sina⁻¹x) = x，a∈[-π/2,π/2]ii. sina⁻¹sinx = x或π-x,x∈[-π/2,π/2],a∈[-π/2,π/2]（2）余弦函数反函数cos⁻¹(x)的性质i. coscosa⁻¹x = x，a∈[0,π]ii. cosa⁻¹cosx = x或2π-x,x∈[0,π],a∈[0,π]（3）正切函数反函数tan⁻¹(x)的性质i. tantana⁻¹x = x, a∈(-π/2,π/2)ii. tana⁻¹tanx = x+kπ,x∈(-π/2,π/2),k∈Z从上面的性质可以看出，三角函数反函数的性质是与原函数有密切关系的。

高三一轮复习反函数

－1
高三总复习
数学 (大纲版)
解析：解法 1：求得 f－1(x)＝loga(x＋ x2＋1)(a>1) 由 f－1(x)>1 得 loga(x＋ x2＋1)>logaa， a2－1 ∴x＋ x2＋1>a，解得 x> . 2a 1 x －x 解法 2：∵a>1，∴f(x)＝ (a －a )为增函数． 2 根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，f－ 1 (x)>1. 即在 f(x)中，在 x>1 的条件下，求 f(x)的范 a2－1 1 围．∴f(x)>f(1)＝ (a－a－1)＝ . 2 2a
高三总复习
数学 (大纲版)
(1)函数y＝f(x)的反函数y＝f －1(x)的图象与y轴交于点 P(0,2)(如图1所示)，则方程f(x)＝0的根是x等于 ( )
A．4
C．2
B．3
D．1
(2)函数y＝1＋ax(0<a<1)的反函数的图象大致是下图中
的
解析：(1)∵反函数图象经过(0,2)， ∴原函数图象经过(2,0)， ∴x＝2.答案为C.
1(x)的
高三总复习
数学 (大纲版)
2．互为反函数的函数图象间的关系 (1)函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f －1(x)的图象关于直线y＝x 对称． (2)若函数y＝f(x)的图象过点(a，b)，则y＝f －1(x)的图象必过点 (b，a) ，即f(a)＝b⇔ f－1(b)＝a .
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注意：互为反函数的两个函数的图象的对称性是在横、纵坐标单位长度相同的前提下研究的．
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数学 (大纲版)
1－ax 1．(2009· 湖北高考)设 a 为非零实数，函数 y＝ 1＋ax 1 (x∈R，且 x≠－ )的反函数是 ( ) a 1－ax 1 A．y＝ (x∈R，且 x≠－ ) a 1＋ax 1＋ax 1 B．y＝ (x∈R，且 x≠ ) a 1－ax 1＋x C．y＝ (x∈R，且 x≠1) a(1－x) 1－x D．y＝ (x∈R，且 x≠－1) a(1＋x)

SXA202高考数学必修_利用反函数与原函数之间的性质

利用反函数与原函数之间的关系在函数的反函数定义中，能体现反函数实质的是将x ，y 的互换，由此确定了反函数与原函数的定义域与值域、对应法则及图象之间都渗透着互换关系.如果能充分利用好这种互换关系，能起到化繁为简，化生为熟，快速解题的目的.下面以近三年的高考题为例说明这种互换关系的应用.一、利用反函数与原函数的定义域与值域的互相性性质：函数y ＝f(x)的定义域为A ，值域为B ，则其反函数y ＝f -1(x)的定义域为B ，值域为A.例1(2005年天津高考题）设f -1(x)是函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)的反函数，则使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围为( A )A.(a 2－12a ，＋∞)B.(－∞，a 2－12a )C.(a 2－12a ，a)D.(a ，＋∞)解析：求“使f -1(x)＞1成立的x 的取值范围”，实为求“求函数f -1(x)的值域为(1，＋∞)时的定义域”，根据反函数与原函数的定义域与值域的互换性，转化为“求函数f(x)＝12(a x －a -x )(x ＞1)的值域”. 而函数f(x)＝12(a x －a -x )(a ＞1)在(1，＋∞)上为增函数，所以f(x )≥12(a 1－a -1)＝a 2－12a.故选A. 点评：本题也可以通过求出反函数进行求解，但其过程较为繁琐.解答本题的关键是要充分利用转化的思想，将问题转化为求原函数的值域问题.二、利用反函数与原函数对应法则的互逆性性质：f (a)＝b ⇔f -1(b)＝a .例2（2004年上海春季高考）已知函数f(x)＝log 3(4x＋2)，则方程f -1(x)＝4的解x ＝__________. 解析：求解问题实质是“已知反函数的函数值f -1(x)＝4，求自变量x 值”根据反函数与原函数对应法则的互逆性，问题转化为“已知原函数f(x)的自变量x ＝4时，求函数值f(4)”，即f -1(x)＝4转化为x ＝f(4)而f(4)＝log 3(44＋2)＝1，即方程f -1(x)＝4的解x ＝1. 点评：f (a)＝b 与f -1(b)＝a 实质上都反映的是a ，b 的同一关系.此关系还可体现为f[f -1(x)]＝x(x ∈C ，C 为原函数的值域)，f -1[f(x)]＝x(x ∈A ，A 为原函数的定义域)，在反函数的求值问题中有广泛的应用.三、利用反函数与原函数图象之间的对称性性质：若(a ，b)在函数y ＝f(x)的图象上，则(b ，a)在反函数y ＝f -1(x)的图象上.例3（2006年广东高考题）函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x)的图像与y 轴交于点P(0，2)（如图2所示），则方程f(x)＝0在[1，4]上的根是x ＝ A.4 B.3 C.2 D.1解析：由条件知点P(0，2)y ＝f -1(x)的图像上，则点(2，0)在函数y ＝f(x)的图象上，所以，f(2)＝0，即f(x)＝0的根是x ＝2，故选C . 点评：解答本题的关键是确定y ＝f -(x)的图像过点(2，0)，代入函数y ＝f(x)，即知x ＝2是方程f(x)＝0的根，由反函数定义知，定义域与值域之间是一对一的，故只有一个解(由于是选择题，是否只有一根上面解答可不作进一步判断).例4(2006年陕西高考题)设函数f(x)＝log a (x ＋b)(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图像过点(2，8)，则a ＋b 等于( )A.6B.5C.4D.3解析：因为反函数的图象过点(2，8)，所以函数f(x)＝log a (x ＋b)过点(8，2)，)又函数f (x )=log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1)的图象过点(2，1)，则⎩⎨⎧ log a (2＋b )＝1log a (8＋b )＝2，∴⎩⎨⎧ 2＋b ＝a 8＋b ＝a 2，a ＝3或a ＝－2(舍)，b ＝1，∴a ＋b ＝4，选C ．点评：确定多个(两个或两个以上)参数之间的关系，一般是通过建立关于参数的方程或不等式(组)来确定的，而本题则是通过确定出原函数过两定点(2，1)与(8，2)，建立方程组，解出a ，b 的值来确定的.此解法体现了一种数学思想——方程的思想.例5(2006年重庆高考题)设函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x)，且y ＝f(2x －1)的图像过点(12，1)，则y ＝f -1(x)的图像必过（A ）(12，1) （B ）(1，12) （C ）(1，0) （D ）(0，1)解析：当x ＝12时，2x －1＝0，即y ＝f(x)的图象过点(0，1)，所以y ＝f －1(x)的图像必过(1，0)，故选C . 点评：本题是一道关于抽象函数的反函数问题，解答此问题的关键是由y ＝f(2x －1)图象上的定点确定出f(x)的图象过定点(0，1).四、利用反函数与原函数单调性的一致性性质：增函数的反函数是增函数；减函数的反函数是减函数例6（2006年山东高考题）函数y ＝1＋a x (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）解：由于y ＝1＋a x ＞1，所以反函数的定义域为(1，＋∞)，排除B 、D.又0＜a ＜1，所以y ＝1＋a x 在R 上是减函数，于是y ＝1＋a x 的反函数在(1，＋∞)上是减函数，排除C ，选A .点评：对函数图象的选择，一般在解答时都不通过作出函数的图象，然后与选择支对照进行选择，而是利用函数的性质(定义域、值域、单调性、反函数与原函数的关系以及图象上的定点等)进行判断.。

.关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用 (2019高考)数学考点分类解析

关于互为反函数的两个函数图象公共点的结论及其应用定理1 (1)若函数)(x f y =是增函数，则 ①方程x x f f f fn =个)))(((与x x f =)(同解；②方程)()(()(11x f x fx f --=表示函数)(x f y =的反函数，下同)与x x f =)(同解；(2)增函数与其反函数图象的公共点在直线x y =上．证明 (1)①只需证明：方程x x f f f fn =个)))(((的解是方程x x f =)(的解．若方程x x f f f fk =+个1)))(((有解a x =，得a a f f f fk =+个1)))(((．假设a a f >)(，由函数)(x f y =是增函数，得a a f a f f >>)())((，再得a a f a f f f >>)()))(((，…，得a a f f f fk >+个1)))(((．假设a a f <)(，同理可得a a f f f fk <+个1)))(((．均与a a f f f fk =+个1)))(((矛盾！所以a a f =)(．即欲证成立．②因为函数)(x f y =是增函数，所以方程)()(1x fx f -=即方程))(())((1x f f x f f -=也即方程x x f f =))((，由①中2=n 时的结论知也即方程x x f =)(，所以欲证成立．(2)由(1)②可得．用定理1可方便地解决求增函数与其反函数图象的公共点问题：若)(x f y =是增函数，则方程组⎩⎨⎧==-)()(1x f y x f y 与⎩⎨⎧==xy x f y )(同解．例如，求0)1(2≥-=x x y 与其反函数图象的公共点坐标．由定理1-3可得答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++251,251．注减函数与其反函数的图象的公共点不一定在直线x y =上．反例 1 函数⎪⎭⎫⎝⎛≤-=3737x x y 与其反函数372x y -=)0(≥x 图象的公共点)1,2(),2,1(均不在直线x y =上．反例 2 函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=161与其反函数x y 161log =图象的公共点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21,21,41均不在直线x y =上．但我们有较定理1更普遍的结论成立：定理2 若互为反函数的两个函数图象有公共点(,)a b ，则它们也有公共点(,)b a ．证明若曲线()y f x =与1()y f x -=有公共点(,)a b ，得⎩⎨⎧==-)()(1a fb a f b ，所以⎪⎩⎪⎨⎧====---aa f fb f aa f fb f ))(()())(()(111即函数()y f x =与1()y f x -=也有公共点(,)b a ．下面用定理1,2来解答三道高考题．题1 (2013年高考四川卷文科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数)．若存在]1,0[∈b 使得(())f f b b =，则a 的取值范围是( ) A.[1,e] B.[1,1e]+ C.[e,1e]+ D.[0,1]答案 A解因为函数()f x 在定义域内是增函数，所以由定理1(1)①知题设即方程()f x x =([0,1])x ∈也即2(e [0,1])x x a x x ∈=+-有解．设函数2([0,1])()e x g x x x x ∈=+-，得([(e 12(1)10,1]2=20)x g x x x x x x '=+-≥++∈-->）(因为用导数易证e 1(x x x ≥+∈R ))，所以函数()g x 是增函数，得函数()g x 的值域是)]1(),0([g g 即[1,e]．得所求a 的取值范围是[1,e]．题2 (2013年高考四川卷理科第10题)设函数()e (x f x x a a =+-∈R ,e 为自然对数的底数)．若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )A.[1,e]B.]1,1e [1-- C.[1,e 1]+ D.]1e ,1e [1+--答案 A解可得题设即“存在]1,0[0∈y 使得00(())f f y y =”，接下来的解答就全同题1的解答了……题 3 (2007年高考重庆卷文科第10题)设(31)P ，为二次函数2()2(1)f x ax ax b x =-+≥的图象与其反函数1()y f x -=的图象的一个交点，则( )A.15,22a b == B.15,22a b ==- C.15,22a b =-= D.15,22a b =-=- 答案 C解由定理2可得(1)3f =且(3)1f =，解得15,22a b =-=．用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，.(3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ；解首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n na a 1,3211+==+，求n a .解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列：当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠.当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32e a <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。

2019高职高考数学复习-反函数

【分析】因为函数 y=f(x)和其反函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称, 所以反函数的图象经过点(-3, -2), 亦即原函数的图象经过点(-2, -3), 而且一次函数 y=kx+b 的图象经过点(1, 3), 因 �� + �� = �� 此有解之可得 k, b.请同学们自己写解答过程. −�� + �� = −�� + �� = �� 【解】由已知可得: 解得: k=2, b=1 −�� + �� = −�� ∴所求函数为 y=2x+1
4.5 反函数
【复习目标】 1.理解反函数概念,掌握反函数性质. 2.会求简单函数的反函数. 【知识回顾】 1.定义:已知一个函数y=f(x),设其定义域为A,值域为C,根据 y=f(x)中y与x的关系,用y表示x,得x=φ(y),如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么就得到一个定义在C上的,以y为自变量的新函数x=φ(y),这个新函数叫做函数y=f(x)的反函数,通常记作x=f-1(y). 在函数x=f-1(y)中,y表示自变量,x表示因变量.但是习惯上,我们用x表示自变量,用y表示因变量.这样y=f(x)的反函数记作 y=f-1(x),函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数. 2.函数y=f(x)和其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 3.函数的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域.
【同步训练】
一、选择题 1.函数 y=2x-1 的反函数是 A.x=2y+1 B.y=
(

高三数学第一轮复习高考试题大盘点——反函数-人教版[原创]

高三数学第一轮复习高考试题大盘点——反函数的反函数是函数2e y .1x x e --= C A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.2.(99年全国理农医)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 AA.aB.1-aC.bD.1-b3.函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是 AA ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２] 4,（01年春招理农医）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是CA.)01(12≤≤--=x x yB.)10(12≤≤-=x x yC.)0(12≤-=x x yD.)10(12≤≤-=x x y5.(04年全国理)函数)(2R x e y x ∈=的反函数为（ C ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x yD ．)0(2ln 21>=x x y 6.（04年北京理）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A.a ∈-∞(,]1B.a ∈+∞[,)2C.a ∈[,]12D.a ∈-∞⋃+∞(,][,)127.( 04年湖南理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 28.(04年湖南文史)设)(1x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是（ C ）A.12)(1-≤-x x fB.12)(1+≤-x x fC.12)(1-≥-x x fD.12)(1+≥-x x f9．(04年天津文史)函数13+=x y )01(<≤-x 的反函数是（ D ）A.)0(log 13>+=x x yB.)0(log 13>+-=x x yC.)31(log 13<≤+=x x yD.)31(log 13<≤+-=x x y 10（ 04年江苏）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A.3 B ．32 C ．43 D ．6511.(04年上海理)若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=（ A ） A ．10－x －1 B ．10x －1 C ．1－10－x D ．1－10x .12.(04年全国文史)记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（ B ）A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-13.(04年全国理 )函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)14.(04年全国文)函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（ A ） A.)0(51≠-=x x y B.)(5R x x y ∈+=C.)0(51≠+=x x yD.)(5R x x y ∈-= 15.(02年天津理农医)函数)),1((12+∞-∈+=x xx y 图象与其反函数图象的交点坐标为_（0,0）,（1,1）__16.(00年上海理农医)已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 117.(04年理农医)已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g 218.(04年广东) 函数10)f x In x =>（））（的反函数_________)(1=-x f )(22R x e e x x ∈+。

数学上海高考函数与分析(反函数)教师版

x1
x2
1,
f
1(x1)
f
1(x2 )
2( (1
x1 x2 ) 0 ， x1 )(1 x2 )
f 1(x1) f 1(x2 ) ，即 f 1(x) 在 0,1 上单调递增．
3
【课堂小练】
1. 要使 y x2 4x （ x ≥ a ）有反函数，则 a 的最小值为
（-2）
2.设 f (x) 4x 2x1 ，则 f 1(0) 1
8、若函数 y f (x) 与 y f 1(x) 互为反函数，若 f a b ，则 f 1 b a .
9、求证一个函数 y f (x) 的图象关于 y x 成轴对称图形，只须证明 f (x) f 1(x) .
1
【典型例题分析】
例 1、求下列函数的反函数：
（1） y x 1 1（ x ≥1）；答案： f 1(x) (x 1)2 1(x 1)
6. 给定实数a，a≠0，且a≠1，设函数 y x 1 x R,且x 1 ．试证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴
ax 1
a
对称图形．分析：证法一:
设点P(x, y)是这个函数的图象上任意一点,则x 1 ,且 a
y x 1 .……① ax 1
易知点P(x, y)关于直线y x的对称点P的坐标为( y, x).
x R ，求
f 1(1) 的值。（-1） 3
例 3、（1）与方程 y e2x 2ex 1(x ≥ 0) 的曲线关于直线 y x 对称的曲线方程为（ A ）
A. y ln(1 x )
B. y ln(1 x )
C. y ln(1 x )
D. y ln(1 x )
（2）函数 y 2x 2x 的反函数（ C ）

高考数学二轮复习卷：2-5反函数

第2章第5节[基础强化]考点一：求反函数1．(·高考四川卷)函数y ＝ln(2x ＋1)(x ＞－12)的反函数是( )A ．y ＝12ex －1(x ∈R)B ．y ＝e2x －1(x ∈R)C ．y ＝12(ex －1)(x ∈R)解析：由y ＝ln(2x ＋1)(x ＞－12)得2x ＋1＝ex ，x ＝ey －12，因此函数y ＝ln(2x ＋1)(x ＞－12)的反函数是y ＝12(ex－1)(x ∈R)，选C.答案：C2．函数y ＝3x2－1(－1≤x≤0)的反函数为( )A ．y ＝1＋log3x ⎝⎛⎭⎫x ≥13 B ．y ＝－1＋log3x ⎝⎛⎭⎫x ≥13 C ．y ＝1＋log3x ⎝⎛⎭⎫13＜x≤1 D ．y ＝－1＋log3x ⎝⎛⎭⎫13＜x≤1 解析：解法一：由y ＝3x2－1(－1≤x ＜0)可知其反函数值域为[－1,0)，排除A 、C ，而y ＝3x2－1(－1≤x ＜0)的值域为⎝⎛⎦⎤13，1，排除A.故选D. 解法二：由y ＝3x2－1(－1≤x ＜0)，∵－1≤x ＜1.∴－1＜x2－1≤0，∴13＜y≤1.又y ＝3x2－1⇒x2－1＝log3y ⇒x2＝1＋log3y ，而－1≤x ＜0，∴x ＝－1＋log3y ，∴f －1(x)＝－1＋log3x ⎝⎛⎭⎫13＜x≤1.故选D. 答案：D考点二：互为反函数图象间的关系3．设函数f(x)＝loga(x ＋b)(a ＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a ＋b 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：函数f(x)＝loga(x ＋b)(a ＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则⎩⎪⎨⎪⎧ loga(2＋b)＝1，loga(8＋b)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝a ，8＋b ＝a2， a ＝3或a ＝－2(舍)，b ＝1.∴a ＋b ＝4，选C.答案：C4．(·成都第37中学)函数f(x)＝2x ＋1的反函数y ＝f －1(x)的图象是( )解析：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和图象的平移变换以及反函数的概念．由于f(x)＝2x ＋1，所以y ＝f －1(x)＝log2x －1，它的图象是y ＝log2x 的图象向下平移一个单位得到，故选A.答案：A5．若函数f(x)＝2x ＋1x ＋a的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝________. 解法一：由y ＝2x ＋1x ＋a，得(y －2)x ＝1－ay. 若y ＝2，则1－2a ＝0，a ＝12.此时y ＝2，图象不关于直线y ＝x 对称，于是x ＝1－ay y －2(y≠2)．从而f －1(x)＝1－ax x －2(x≠2)．由f(x)＝f －1(x)，得2x ＋1x ＋a ＝1－ax x －2，整理得 (a ＋2)x2＋(a2－4)x －(a ＋2)＝0.于是a ＋2＝0，且a2－4＝0，解得a ＝－2.解法二：依题意得f(x)＝f －1(x)．因为f(x)与f －1(x)的图象关于直线y ＝x 对称，所以若点(a ，b)在f(x)的图象上，则点(b ，a)必在f －1(x)的图象上，从而点(b ，a)也在f(x)的图象上．因f(x)的图象过点(－12，0)，故点(0，－12)也在f(x)的图象上，于是f(0)＝1a ＝－12，∴a ＝－2.答案：－2考点三：反函数的综合问题6．(·郑州模拟)已知f(x)是R 上的增函数，点A(－1,1)、B(1,3)在它的图象上，f －1(x)是它的反函数，那么不等式|f －1(log2x)|＜1的解集为________．解析：由题意知f －1(x)在R 上是增函数，且f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.又由|f －1(log2x)|＜1，得－1＜f －1(log2x)＜1，即1＜log2x ＜3.∴2＜x ＜8.答案：(2,8)7．(·黄冈质检)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－x2，－1＜x ＜02x －2，0≤x ＜1的反函数是f －1(x)，解不等式f －1(－x)＋x ＞0. 解：当－1＜x ＜0时，由y ＝1－x2得x ＝－1－y2，0＜y ＜1；当0≤x ＜1时，由y ＝2x －2得x ＝log2(y ＋2)，－1≤y ＜0.∴f －1(x)＝⎩⎨⎧ －1－x2，0＜x ＜1，log2(x ＋2)，－1≤x ＜0. ∴f －1(－x)＝⎩⎨⎧ －1－x2，－1＜x ＜0，log2(－x ＋2)，0＜x≤1.当－1＜x ＜0时，f －1(－x)＋x ＞0，即－1－x2＋x ＞0无解；当0＜x≤1时，f －1(－x)＋x ＞0，即log2(－x ＋2)＋x ＞0.又0＜x≤1，∴1≤2－x ＜2,0≤log2(－x ＋2)＜1.∴log2(－x ＋2)＋x ＞0，恒成立．故f －1(－x)＋x ＞0的解集为{x|0＜x≤1}．8．设f(x)＝a·2x －12x ＋1是R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求f(x)的反函数f －1(x)；(3)对任意给的k ＞0，解不等式f －1(x)＞log21＋x k .解：(1)由题意知f(－x)＝－f(x)，x ∈R.即a·2－x －12－x ＋1＝－a·2x －12x ＋1，即(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x －12x ＋1，由y ＝2x －12x ＋1得2x ＝1＋y 1－y， x ＝log21＋y 1－y ，且由2x ＞0，即1＋y 1－y＞0知－1＜y ＜1， ∴f －1(x)＝log21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)f －1(x)＞log21＋x k 可变为log21＋x 1－x＞log21＋x k ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，1＋x k ＞0.而k ＞0，－1＜x ＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)[x －(1－k)]＞0，1＋x ＞0. ∴k ＞2时，－1＜x ＜1；0＜k≤2时，1－k ＜x ＜1.因此当k ＞2时，不等式的解集为{x|－1＜x ＜1}；当0＜k≤2时，不等式的解集为{x|1－k ＜x ＜1}.[感悟高考]1.若函数y ＝f(x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝( )A ．e2x －1B ．e2xC ．e2x ＋1D ．e2x ＋2解析：∵函数y ＝ln x ＋1的反函数为y ＝e2(x －1)，即f(x －1)＝e2(x －1)，∴f(x)＝e2x.故选B.答案：B2．设a 为非零实数，函数y ＝1－ax 1＋ax(x ∈R ，且x≠－1a )的反函数是 ( )A ．y ＝1－ax 1＋ax(x ∈R ，且x≠－1a ) B ．y ＝1＋ax 1－ax(x ∈R ，且x≠1a ) C ．y ＝1＋x a(1－x)(x ∈R ，且x≠1) D ．y ＝1－x a(1＋x)(x ∈R ，且x≠－1) 解析：由y ＝1－ax 1＋ax 得x ＝1－y a ＋ay， ∴f －1(x)＝1－x a ＋ax(x ∈R ，且x≠－1)，故选D. 答案：D3．若函数y ＝f(x)是函数y ＝ax(a ＞0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a)，则f(x)＝( )A ．log2xB ．log 12x C.12x D ．x2解析：y ＝ax 的反函数为y ＝logax ，∵(a ，a)在y ＝logax 的图象上，∴a ＝loga a ＝12logaa ＝12.答案：B4．函数f(x)＝2x －4(x≥4)的反函数为( )A ．f －1(x)＝12x2＋2(x≥0)B ．f －1(x)＝12x2＋2(x≥2)C ．f －1(x)＝12x2＋4(x≥0)D ．f －1(x)＝12x2＋4(x≥2)解析：令y ＝2x －4(x≥4)，则y2＝2x －4⇒x ＝12y2＋2，∴f －1(x)＝12x2＋2.又y ＝2x －4≥2，故选B.答案：B[高考预测]1.函数y ＝2x2－2(x≤－1)的反函数是( )A ．y ＝－12x2＋1(x≥0) B ．y ＝12x2＋1(x≥0) C ．y ＝－12x2＋1(x≥2) D ．y ＝12x2＋1(x≥2)解析：由y ＝2x2－2得x2＝12y2＋1，又因x≤－1，所以x ＝－12y2＋1.所以其反函数解析式为y ＝－12x2＋1，又因y ＝2x2－2(x≤－1)的值域为[0，＋∞)，所以反函数定义域为[0，＋∞)．答案：A2．已知a ∈R ，b ∈R ，f(x)为奇函数，且f(2x)＝a·4x ＋a －24x ＋b. (1)求f(x)的反函数f －1(x)及其定义域；(2)设g(x)＝log 21＋x k ，若x ∈[12，23]，f －1(x)≤g(x)恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由f(2x)＝a·4x ＋a －24x ＋b，得f(x)＝a·2x ＋a －22x ＋b， ∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝2a －21＋b＝0，得a ＝1. 又f(－1)＝－f(1)，∴b ＝1.∴f(x)＝2x －12x ＋1. 得f －1(x)＝log21＋x 1－x ，由此得2x ＝1＋y 1－y＞0， ∴－1＜y ＜1.故反函数f －1(x)的定义域为(－1,1)．(2)当x ∈[12，23]时，f －1(x)≤g(x)恒成立，由1＋x k ＞0，x ∈[12，23]，∴1＋x ＞0,1－x ＞0，且k ＞0.∴k2≤1－x2.令h(x)＝1－x2，则h(x)min ＝h(23)＝59，∴k2≤59.故0＜k≤53.。

高考数学中的微积分知识点之反函数求导法

高考数学中的微积分知识点之反函数求导法微积分是数学的重要分支之一，不仅是大学数学的重要组成部分，还是高中数学中不可或缺的一部分。

在高考数学中，微积分的考察内容占据了很大的比重，掌握微积分知识对于学生来说至关重要。

其中，反函数求导法是微积分中的一个重要概念，本文将对其进行详细的介绍。

一、反函数概念反函数是指一个函数的输入和输出互换的函数。

具体来说，如果函数$f$的定义域为$X$，值域为$Y$，那么我们可以定义一个新函数$g$，它的定义域为$Y$，值域为$X$，并且对于任意的$x\inX$和$y\in Y$，有以下关系式成立：$y=f(x)\Leftrightarrow x=g(y)$。

这样的$g(y)$称为$f(x)$的反函数。

二、反函数求导法在微积分中，反函数求导法是一种通过已知函数的导数来求其反函数的导数的方法。

假设已知函数$f(x)$在$x_0$处连续可导，并且$y_0=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处有切线，其斜率为：$$k=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$由于$y_0$是$f(x)$在$x_0$处的函数值，因此$$y_0=f(x_0)\Leftrightarrow x_0=g(y_0)$$同时，$g(y)$是$f(x)$的反函数，因此$$g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$因此，$f(x)$的反函数$g(y)$在$y_0=f(x_0)$处的导数为$\displaystyle{g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}}$。

这就是反函数求导法的基本原理。

三、应用举例下面我们通过例题来说明反函数求导法的具体应用。

已知函数$f(x)=\sin x+\cos x$，求其反函数$f^{-1}(x)$在$x=\sqrt{2}$处的导数。

第13讲反函数的概念题型与解题策略(解析版)-高考数学二轮复习

第13讲反函数的概念题型与解题策略一、知识与方法1．反函数的定义对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，对应法则为f ，若对于每一个y ∈A ，都有唯一的x D ∈满足()f x y =．则这样的对应也构成一个函数，称为原来函数y =()f x 的反函数，记作1()x f y -=．习惯上，自变量常用x 表示，因变量常用y 表示，所以我们对调反函数式1()x f y -=中的,x y ，把它改写成1(),y f x x A -=∈． 2．求函数()y f x =的反函数的基本步骤(1)由()y f x =解出x ，得1()x f y -=； (2)将,x y 互换得1()y f x -=；(3)由原函数的值域写出反函数1()y f x -=的定义域．若()f x 与1()f x -互为反函数，则①()f x 的定义域和值域分别为1()f x -的值域和定义域；②()f x 和1()f x -的对应法则互递；③()f x 和1()f x -的图像关于直线y x =对称． 3．原函数与反函数的“交叉关系”原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量互换、定义域与值域互换，应特别注意以下两点．(1)()111()(),(),(())f a b f b a f f x x f f x x ---=⇔===，但()1()f f x -≠1(())f f x - (2)函数()(0)y f x a a =+≠的反函数是1()y f x a -=-，而不是1()y f x a -=+． 4．对反函数概念的进一步阐述(1)不是每个函数都有反函数，由定义可知，对每个y A ∈都能从()f x y =中解出唯一的x D ∈(与之对应)，这样的函数存在反函数；(2)单调函数具有反函数，且可以证明其反函数的单调性与原来函数的单调性一致．二、典型例题【例1】(1)若121(),()()21x x f x g x f x --==+，则35g ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．(2)函数11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈⎪+⎝⎭R 的图像关于y x =对称，则a 的值为________． (3)设1()f x -是函数()1()(1)2xx f x a a a -=->的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是________．(4)2()f x a x b =++与()13c g x x =-+-互为反函数，则a b c ，，的值依次为________．【分析】解决反函数问题要特别注意利用原函数和反函数之问的关系．概念清晰非常重要，可以大大减少解题时的运算量．【解析】(1)设13355g f t -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3()5f t =，即213,2215t t t -=∴=+．即325g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(2)一个函数的图像关于直线y x =对称，则这个函数的反函数就是原函数，利用待定系数法可求出a 的值．由11,1ax y x x ax a -⎛⎫=≠-∈ ⎪+⎝⎭R 得1(1)(1)y x y a y -=≠-+．设11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+．由题知：1()()f x f x -=，即11,1(1)1x axa a x ax--=∴=++．(3)【解法一】由()12xx y a a -=-得()2210x x a ya --=．∴x a y =(负值舍去)，∴(log a x y =+，即(1()log a f x x -=+．由(log 1ax +>得x a >，解得212a x a->．【解法二】∵1,()a f x >∴为增函数且值域为R ，∴()1()(1)f f x f ->，即(1)x f >．即211122a x a a a-⎛⎫>-= ⎪⎝⎭．(4)∵3()f x a x b =++的定义域为x b ≠-，值域为y a ≠，()13cg x x =-+-的定义域为3x ≠，值域1y ≠-，∴21,3,()31b a f x x -=-=∴=++．在()f x 上取一点(0,5)，则点(5,0)在()g x 上，∴(5)1053cg =-+=-．解方程得2c =，故a b c ，，的值分别为3,1,2．【例2】(1)已知函数3(0)3x x f x x +⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，求13x f -⎛⎫⎪⎝⎭；(2)已知函数1()(0,1)x f x a b b b -=+>≠的图像经过点(1,3)，函数1()f x a -+(0)x >的图像经过点(4,2)，试求函数1()f x -的表达式； (3)已知函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称，又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，求(4)h 的值；(4)判断函数2,0,2,0x x x y x x ⎧-=⎨->⎩是否有反函数，如果有，求出反函数，否则说明理由．【分析】本题的解题要诀：按部就班，不要“跳跃”，吃透概念，循序渐进，读出“几何条件”背后的“代数信息”．【解析】 (1)设3x t =，则33113,().().13t t x x t f t y f x yx x t t x+++===∴==∴=+．∴1(1)1,1x y x y -=∴=-，得11()1f x x -=-．可得1133313x f x x -⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，得1333x f x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭． (2)10,1,()x b b y f x a b ->≠==+，则1,1log ()x b b y a x y a -=--=-．∴1()log ()1()b f x x a x a -=-+>，可得1()log 1b f x a x -+=+．1()x f x a b -=+的图像经过点(1,3)，可得2a =．1()(0)f x a x -+>的图像经过点(4,2)，可得4b =．∴14()log (2)1(2)f x x x -=-+> (3)设(4)h t =，则点(4,)t 在函数()y h x =的图像上．又函数()h x 与(2)g x +互为反函数，∴点(,4)t 在(2)y g x =+的图像上，即(2)4g t +=，即点(2,4)t +在函数()y g x =的图像上．又函数13()12xf x x+=-与函数()g x 的图像关于直线y x =对称， ∴点(4,2)t +在13()12x f x x +=-的图像上．∴13272,77t t =+∴=--． (4)由反函数的概念判断所给的函数存在反函数．①当0x 时，221124y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知[0,y ∈+)∞．反解，得102x y =-． ②当0x >时，2y x =-，由一次函数的性质可知(,0)y ∈-∞．反解，得12x y =-，0y <．由①，②得10,21,0.2y x y y ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩互换,x y得所求的反函数为1021,0.2x y x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩．【例3】为研究“原函数图像与其反函数图像的交点是否在定直线y x =上”这一课题，可以分3步进行研究：(1)首先选取如下函数：221,,1xy x y y x =+==+图像的交点坐标：21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为(1,1)--． 21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点坐标为(0,0),(1,1)．y =21(0)y x x =-的交点坐标为⎝⎭，(1,0),(0,1)--(2)观察分析上述结果得到研究结论．(3)对得到的结论进行证明，现在请完成(2)和(3)．【分析】本例研究函数()f x 与其反函数1()f x -的交点有什么特点，是一个很好的研究性课题，一是交点的个数，二是交点的位置，这些疑点，本例均可以破解．21y x =+与其反函数12x y -=只有1个交点，且在y x =上；21x y x =+与其反函数2xy x=-的交点有2个，且都在y x =上；y =21(0)y x x =-的交点有3个，不都在y x =上，故第三例是一个很好的研究点．21),1(0)y x y x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩⇒21x -，两边平方解42424222121200(1)x x x x x x x x x x x x +=-+⇒--=⇒---=⇒+(1)(1)0x x x --+=⇒()2(1)100x x x x x +--=⇒=或1x =-或x =，由于[1,0],x x ∈-∴=舍去，∴1,0,0,1,x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故有3个交点，(0,1)-不在y x =上，⎝⎭在y x =上．又比如函数1y x=-的反函数就是其本身，图像不与直线y x =相交，但与直线y x =对称，图像上每一点都是它与反函数的交点，故可以说有无穷多个交点且与直线y x =对称．再举一例我们探究方程1161log 16xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解的个数，实质就是互为反函数的116xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与116log y x =图像交点的个数，有3个交点，其中1111,,,2442⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两个交点也不在直线y x=上．根据上面的分析可以得出如下结论：()y f x =与1()y f x -=的交点可能在y x =上，也可能不在直线y x =上．若不在y x =上，则必关于y x =对称．交点的个数可以有1个，2个，3个或无穷多个．【解析】 (1)略．(2)原函数图像与其反函数图像的交点不一定在直线y x =上．(3)证明：设点(,)a b 是()f x 的图像与其反函数图像的任一交点，由于原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称，则点(,)b a 也是()f x 的图像与其反函数图像的交点，且有(),()b f a a f b ==．若a b =，则交点显然在直线y x =上；若a b <且()f x 是增函数时，有()()f b f a <，从而有b a <，前后矛盾；若b a <且()f x 是增函数时，有()()f a f b <，从而有a b <，前后矛盾；若a b <且()f x 是减函数时，有()()f b f a <，从而有a b <成立，此时交点不在直线y x =上．同理，若b a <且()f x 是减函数时，交点也不在直线y x =上．综上所述，如果函数()f x 是增函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点一定在直线y x =上；如果函数()f x 是减函数，并且()f x 的图像与其反函数的图像有交点，则交点不一定在直线y x =上．三、易错警示【例】已知23()1x f x x +=-，若函数()g x 的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称，求g (3)的值．【错解】(若对反函数的概念不够清晰，则易出现如下的错解)由题意知，()g x 是1(y f x -=1+)的反函数，而1(1)y f x -=+的反函数是(1)y f x =+， ∴2(1)325()(1)(1)1x x g x f x x x +++=+==+-，于是23511(3)33g ⨯+==．【分析】事实上，()y f x =的反函数为1()y f x -=，因此1()y f x -=是函数1()y f x -=当x 取1x +时所得的函数值．另一方面，(1)y f x =+的反函数是这样求出的：由(1)y f x =+得11()x f y -+=．即1()1x f y -=-，互换,x y ，得1()1y f x -=-， ∴(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+．【解析】【正解一】∵1233(),()12x x f x f x x x -++=∴=--．则14(1)1x f x x -++=-，令1(1)y f x -=+41x x +=-，则41y x y +=-，互换x y 、得1(1)y f x -=+的反函数为()y g x ==4347,(3)1312x g x ++∴==--．【正解二】设(3)g x =，则1()3g x -=．()y g x =的图像与1(1)y f x -=+的图像关于直线y x =对称． ∴()y g x =与1(1)y f x -=+互为反函数．因此有11()(1)3g x f x --=+=．因此2339(3)1312f x ⨯+=+==-．于是97(3)122g x ==-=．四、难题攻略【例】已知函数210()(10)10x f x x x -⎛⎫=> ⎪+⎝⎭．(1)求的反函数；(2)如果不等式对于上的每一个的值都成立，求实数的取值范围；(3)设，求函数的最小值及相应的的值．【分析】本例是一道涉及函数与反函数、含参数无理不等式恒成立，以及求函数最值等众多数学知识的综合题，包含的信息很多．如何处理这些信息，使问题的解决一步步获得进展并最后加以攻克呢?数学教育家·波利亚为我们提供了这样一条路线：(1)为了解答一道题目，我们必须具备关于题目的一些知识，此外还必须在我们已经存在的，但原本潜伏着的知识中挑选和收集相关的内容……从我们的记忆中萃取这样的相关元素可以称之为‘动员’．(2)然而，要解答一道题目，仅仅回忆起一些孤立的事实是不够的，我们必须把它们组织起来，而且它们的组合必须能很好地适用于我们手头的题目．(3)动员和组织绝不可能真正分开．(4)工作取得进展的另一个方面，是我们概念转换的模式．(5)当我们在向最终目标前进时，就可以越来越清楚地看到它，当我们看得更清楚一些时，就可以判断，我们离它更近了一些．(6)什么是趋向解答的进展?我们可以以不易觉察的小脚步稳步前进，但又不时跳跃腾飞，()fx 1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦xm 11()()g x f x -=()y g x =x G取得突破性的进展．解综合题的过程实质就是汇聚相关知识，恰到好处地加以运用，一步步使之深入并完美地获得最终结果的过程，这里既有知识的再现、思维的不断深化、解题策略的实施，也是解题能力的展示．本例第(2)问可转化为含参数一次不等式在区问上恒成立，求参数的取值范围，且必须分类讨论．第(3)问的解题关键是有效变形后运用基本不等式求最小值．【解析】(1)得．．(2)要使对于上的每一个的值都成立．即，也即在，则．设，①当，即时，要使恒成立，只要即可．∴．又．②当，即时，．③当，即时，要使恒成立，只要即可．∴，即，解得．又．．（3）． 210(10)10x y x x -⎛⎫=>⎪+⎝⎭1)x y =<<1()1)f x x -∴=<<1(1()(f x m m ->11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦x (1(m m >-10(1(m m +>-11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦t =211,(10)10032t m t m ++->2()(10)10M t m t m =++-100m +>10m >-()0M t >103M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2210100,34003m m m m ++->--<m <10,m >-m <<100m +=10m =-()900.10M t m =-<∴≠-100m +<10m <-()0m t >102M ⎛⎫> ⎪⎝⎭2101002m m ++->22300m m --<m <<10,m m <-∴∈∅m <<111()2()10f x f x -⎤=+=⎥⎦111122101010⎛==⨯+⨯ ⎝=等号成立的条件为(舍去，∴．∴当时，．五、强化训练1．在上的递减函数满足：当且仅当时，函数值的集合为，且，又对中的任意，都有．(1)判断和是否都是中的元素，并说明理由．(2)若表示在上的反函数，则是否具有这样的性质：?并说明理由．(3)不等式是否有解?如有，求出解集；如没有解，说明理由．【解析】(1)∵[]1110,2.22f M⎛⎫=∈∴∈⎪⎝⎭于是111112[0,2]42222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+=∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1.4M∴∈又1111111.213[0.2]..8248248f f f M⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯∴=+=+=∉∴∉⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)∵()f x是R上的减函数,而,()M f x∴R是M上的减函数.故()f x在M上的反函数必然存在,且1()f x-的定义域为()f x的值域[0,2].对于任意的12,[0,2]x x∈,记()()111122,y f x y f x--==.则()()()112212,,x f y x f y y y M==∈.故()()()()11212121212.x x f y f y f y y y y f x x-+=+=∴=+.而()()()()()1111112121212.y y f x f x f x f x f x x-----=∴=+.故1()f x-具有性质()()()2111112=.+f x f x f x x---（3）∵()f x在M上是减函数,,∴1()f x-在[0,2]上也是减函数.由()1211(2)4f x x f x--++,得()1211(2)(2)f x x f x f---+⋅+.11=-1-3x=-3x=-()g xR()f x x M+∈⊆R()f x[0,2]112f⎛⎫=⎪⎝⎭M12,x x()()()1212f x x f x f x=+1418M1()f x-()f x M1()f x-()()()1111212f x f x f x x---=+()1211(2)([0,2])4f x x f x x--++∈即()()121121(2)2(2)fxx f x f x x x f ----++=+++.∴{}2202022,0,0.222x x x x x x ⎧+⎪+=∴⎨⎪++⎩即不等式的解集是2．设． (1)试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；(2)若的反函数为，证明：对任意的自然数都有； (3)若的反函数为，证明：方程有唯一解．【解析】211(1)()log ,(1,1),21x F x x x x +=+∈---函数12y x=-在(1,1)-上单调递增,且函数y =21log 1x x +-可写成22log (1)1y x =---，在(-1，1)上单调递增.211()log 21xF x x x+∴=+--在(-1，1)上单调递增。

高考数学第二章第六节反函数

同步检测训练一、选择题 1．(2008·全国Ⅰ)若函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝ln x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．e 2x －1 B ．e 2xC ．e 2x ＋1D ．e 2x ＋2 答案：B解析：∵函数y ＝ln x ＋1的反函数为y ＝e 2(x －1)，即f (x －1)＝e 2(x －1)，∴f (x )＝e 2x ，故选B.2．(2008·北京)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：若函数f (x )在R 上为增函数，则x 与y 一一对应，故存在反函数，∴必要性成立；若函数f (x )存在反函数，则x 与y 一一对应，函数f (x )在R 上也可能是减函数，∴充分性不成立，故选B.3．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2，x <0的反函数是( )A ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x ，x <0B ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－－x ，x <0D ．y ＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，－－x ，x <0答案：C解析：本题考查求分段函数的反函数． y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0－x 2，x <0，当x ≥0，x ＝y 2，∴y ＝x 2.当x <0，x ＝－－y ，∴y ＝－－x .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－－x，x ≥0，x <0 故选C.4．(2009·郑州一测)定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且对于任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝3，则f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝( )A ．0B ．－2C ．2D ．2x －4 答案：A解析：由f (－x )＋f (x )＝3可知函数y ＝f (x )的图象关于点(0，32)对称，因此其反函数y ＝f－1(x )的图象必关于点(32，0)对称，即有f －1(x )＋f －1(3－x )＝0，故f －1(x －1)＋f －1[3－(x －1)]＝0，即f －1(x －1)＋f －1(4－x )＝0，选A.5．已知函数f (x )＝a －x x －a －1的反函数f －1(x )的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫－1，32，则函数h (x )＝log a (x 2－2x )的单调递增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0)D ．(2，＋∞)答案：C解析：由已知得f (x )＝－1－1x －(a ＋1)知，其对称中心是点(a ＋1，－1)，因此，其反函数f －1(x )的对称中心是点(－1，a ＋1)，结合题意得a ＋1＝32，a ＝12.因此函数h (x )的单调递增区间由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0x ≤1确定，由此解得x <0，即函数h (x )的单调递增区间是(－∞，0)．故选C. 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3(x ＋1)， (x >4)2x －4， (x ≤4)的反函数为f －1(x )，且f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，则f (a ＋7)等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：A解析：当x >4时，f (x )＝－log 3(x ＋1)<－log 35<0；当x ≤4时，0<f (x )＝2x －4≤1.又f －1⎝⎛⎭⎫18＝a ，因此f (a )＝18>0,2a －4＝18＝2－3，a ＝1，f (a ＋7)＝f (8)＝－log 39＝－2.故选A.7．已知函数f (x )＝ax ＋3x －1的反函数为f －1(x )，若函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f －1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝72，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．－1 D.12答案：A解析：由题意得f －1(x )＝x ＋3x －a，∴f －1(x ＋1)＝x ＋4x ＋1－a ，又∵g (3)＝72，∴y ＝x ＋4x ＋1－a中的x ＝72，y ＝3，代入解得a ＝2，故选A.8．(2009·湖北八校联考)已知函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)(x <1)(其中e 是自然对数的底数)的反函数为f －1(x )，则有( )A ．f －1(12)<f －1(32)B ．f －1(12)>f －1(32)C ．f －1(32)<f －1(2)D ．f －1(32)>f －1(2)答案：A解析：∵函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)＝e 2＋12e2e x 是一个单调递增函数，∴f －1(x )在(0，＋∞)上也是单调递增函数．又∵x <1，∴f (x )＝e 2＋12e 2e x <e 2＋12e 2e ＝e 2＋12e.e 2＋12e －2＝e 2－4e ＋12e ＝(e －2)2－32e ，∵2<e<3，∴0<e －2<1，∴(e －2)2－3<0，∴e 2＋12e<2； e 2＋12e －32＝e 2－3e ＋12e ＝(e －32)2－542e， ∵2.7<e<2.8，∴1.2<e －32<1.3，∴(e －32)2－54>0，∴e 2＋12e >32，∴32<e 2＋12e<2.∴在x <1时，函数f (x )＝12(e x ＋e x －2)的值域为(0，e 2＋12e )，其中32<e 2＋12e<2，故选A.二、填空题9．(2009·成都模拟)设函数f (x )＝e 2(x －1)，y ＝f －1(x )为y ＝f (x )的反函数，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤0)f －1(x )(x >0)，则g [g (－1)]＝__________. 答案：1解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g [g (－1)]＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g [g (－1)]＝1.10．已知y ＝f (x )在定义域(0，＋∞)内存在反函数，且f (x －1)＝x 2－2x ＋1，则f －1(7)＝__________.答案：7解析：设x －1＝t ，则x ＝1＋t ，所以f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋1＝t 2，即f (x )＝x 2(x >0)，设f －1(7)＝a ，则f (a )＝a 2＝7，故a ＝7.11．(2009·湖北五市联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)12(x <0)的反函数为f －1(x )，则f －1(18)＝________.答案：4解析：设f －1(18)＝m ，∴f (m )＝18，∴x 2＋2＝18，得x ＝±4，又x ≥0，∴x ＝4. 三、解答题12．求下列函数的反函数(1)y ＝2x ＋3x －1(x <－1)；(2)y ＝－x 2－1(x ≥1)； (3)y ＝x |x |＋2x .解：(1)y ＝2x ＋3x －1＝2＋5x －1，在x <－1时为减函数，存在反函数，原函数值域为{y |－12<y <2}．又由y ＝2x ＋3x －1，得x ＝y ＋3y －2，故反函数为y ＝x ＋3x －2(－12<x <2)．(2)∵x ≥1，∴y ＝－x 2－1≤0.由y ＝－x 2－1，得y 2＝x 2－1，∴x 2＝1＋y 2， ∵x ≥1，∴x ＝1＋y 2(y ≤0)． ∴f －1(x )＝1＋x 2(x ≤0)．(3)当x ≥0时，y ＝x 2＋2x ，即(x ＋1)2＝y ＋1， ∴x ＝－1＋y ＋1(y ≥0)．当x <0时，y ＝－x 2＋2x ，即1－y ＝(x －1)2.∴x ＝⎩⎨⎧－1＋y ＋1，(y ≥0)，1－1－y ，(y <0).∴所求反函数为y ＝⎩⎨⎧－1＋1＋x ，(x ≥0)，1－1－x ，(x <0).13．已知函数f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)的图象经过点A (1,3)，函数y ＝f －1(x ＋a )的图象经过点B (4,2)，试求f －1(x )的表达式．解：由f (x )＝a ＋b x －1(b >0，b ≠1)得， x －1＝log b (y －a )．∵b x －1>0，则a ＋b x －1>a ，∴y >a ，∴f －1(x )＝1＋log b (x －a )(x >a )， ∴f －1(x ＋a )＝1＋log b x (x >0)．∵点A 在f (x )的图象上，点B 在f －1(x ＋a )的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b 0＝3，log b 4＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4， ∴f －1(x )的表达式为f －1(x )＝log 4(x －2)＋1(x >2)．14．已知定义在R 上的函数f (x )的反函数为f －1(x )，且函数f (x ＋1)的反函数恰为y ＝f －1(x ＋1)．若f (1)＝3999，求f (2010)的值．解：∵y ＝f －1(x ＋1)，∴f (y )＝f [f －1(x ＋1)]． ∴x ＝f (y )－1.∴y ＝f －1(x ＋1)的反函数为y ＝f (x )－1.∵f (x ＋1)的反函数为y ＝f －1(x ＋1)． ∴f (x ＋1)＝f (x )－1.∴{f (n )}是以3999为首项，－1为公差的等差数列， ∴f (2010)＝3999－(2010－1)＝1990.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x >013x 3＋mx 2，x ≤0(m ∈R ，e ＝2.71828…是自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的极值；(2)当x >0时，设f (x )的反函数为f －1(x )，对0<p <q ，试比较f (q －p )、f －1(q －p )及f －1(q )－f －1(p )的大小．解：(1)当x >0，f (x )＝e x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (x )＝e x －1>0；当x ≤0时，f (x )＝13x 3＋mx 2，此时f ′(x )＝x 2＋2mx ＝x (x ＋2m )．①若m ＝0，f ′(x )＝x 2≥0，则f (x )＝13x 3，在(－∞，0]上单调递增，且f (x )＝13x 3≤0.又f (0)＝0，可知函数f (x )在R 上单调递增，无极值． ②若m <0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0 ⇒x <0或x >－2m (舍去)．函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，0]上单调递增，同理，函数f (x )在R 上单调递增，无极值．③若m >0，令f ′(x )＝x (x ＋2m )>0⇒x >0或x <－2m .函数f (x )＝13x 3＋mx 2在(－∞，－2m ]上单调递增，在(－2m,0]上单调递减．此时函数f (x )在x ＝－2m 处取得极大值：f (－2m )＝－83m 3＋4m 3＝43m 3>0；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故在x ＝0处取得极小值：f (0)＝0.综上可知，当m >0时，f (x )的极大值为43m 3，极小值为0；当m ≤0时，f (x )无极值．(2)当x >0时，设y ＝f (x )＝e x－1⇒y ＋1＝e x ⇒x ＝ln(y ＋1)． ∴f －1(x )＝ln(x ＋1)(x >0)．(ⅰ)比较f (q －p )与f －1(q －p )的大小．记g (x )＝f (x )－f －1(x )＝e x －ln(x ＋1)－1(x >0)．∵g ′(x )＝e x －1x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数，∴g ′(x )>g ′(0)＝e 0－10＋1＝0恒成立．∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴g (x )>g (0)＝e 0－ln(0＋1)－1＝0. 当0<p <q 时，有q －p >0，∴g (q －p )＝e q －p －ln(q －p ＋1)－1>0.∴e q －p －1>ln(q －p ＋1)，即f (q －p )>f －1(q －p )．①(ⅱ)比较f －1(q －p )与f －1(q )－f －1(p )的大小． ln(q －p ＋1)－[ln(q ＋1)－ln(p ＋1)] ＝ln(q －p ＋1)－ln(q ＋1)＋ln(p ＋1)＝ln (q －p ＋1)(p ＋1)q ＋1＝ln pq ＋q －p 2－p ＋p ＋1q ＋1＝ln pq ＋q －p 2＋1q ＋1＝ln p (q －p )＋q ＋1q ＋1＝ln[p (q －p )q ＋1＋1]．∵0<p <q ，∴p (q －p )q ＋1＋1>1，故ln[p (q －p )q ＋1＋1]>0.∴ln(q －p ＋1)>ln(q ＋1)－ln(p ＋1)，即f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．②∴由①②可知，当0<p <q 时，有f (q －p )>f －1(q －p )>f －1(q )－f －1(p )．。