第8章课后习题答案
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解：建立统计假设
H0 : m £ 19, H1 : m > 19
检验统计量T = X -19 Sn
拒绝域为
T
=
X S
- 19 n
³
ta
(n -1)
由 n = 10, X = 1905, S 2 = 1.25,t0.05 (9) = 2.2622
算得
T = 19.5 -19 = 1.2648 < 2.2622 1.25 10
第八章 习题选解
习题 8-2 4、红果罐头维生素C的含量服从正态分布，用传统工艺加工的红果罐头， 每瓶平均维生素C的含量为19毫克，现改进加工工艺，抽查16瓶罐头，测得维 生素C的含量为：（单位：毫克）
23，20.5，21，22，20，22.5，19，20，23，20.5， 18.8，20，19.5，22，18，23 若假定新旧工艺的方差均为 s 2 = 4 ，问新工艺下维生素C的含量是否比旧工艺 下含量高？（取a = 0.05 ） 解：建立统计假设： H0 : m £ 19, H1 : m > 19
算得
T = 379.812 - 379 = 0.2379 < 2.2622 10.7918 10
所以统计量T 未落如拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下， 可以认为平均净重符合规格要求。
再建立统计假设：
H 0 : s 2 £ 112 , H1 : s 2 > 112
检验统计量
算得
T = 998 -1000 = 0.2092 < 2.2622 30.2288 10
所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下，可以 认为洗衣粉的净重为 1000 克。 再建立统计假设：
/ 2 (n1
-1,
n2
- 1)
=
F
(n -1 0.025 2
- 1,
n1
- 1)
Hale Waihona Puke Baidu
=
1 5.12
=
0.195
Fa / 2 (n1 -1, n2 -1) = F0.025 (7, 6) = 5.70
故假设 H 0 的拒绝域为
算得
F £ 0.195或F ³ 5.70
S12 = 0.2164,
S
2 2
=
0.2729
H0 : m = 1000, H1 : m ¹ 1000 检验统计量
拒绝域为
T = X -1000 : t(n -1) Sn
X -1000 T = S n ³ ta / 2 (n -1)
由 n = 10, X = 998, S 2 = 913.7778, S = 30.2288, t0.025 (9) = 2.2622 ，
=
1.237,s
2 0
=
0.012 2
S 2 = 0.035, , X = 4.36,
算得
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
=
6´ 0.0351 0.012 2
= 16.7889
> 14.449
所以拒绝假设 H0 ，即不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1122
8、某洗衣粉包装机，在正常工作情况下，每袋标准重量为 1000 克，标准 差s 不能超过 15 克。假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布，某天为检查 机器工作是否正常，从已装好的袋中，随机抽查 10 袋，测其净重（克）
为： 1020，1030，968，994，1014，998，976，982，950，1048
问这天机器工作是否正常 (a = 0.05) ？
（提示： (1)H0 : m = 1000 (2)H0 :s 2 £ 152
解： 先作统计假设
, H1 : m ¹ 1000 ） , H1 :s 2 > 152
解：建立统计假设： H0 : m ³ 1000, H1 : m < 1000
采用U 检验法，U = X -1000 100 / 25
拒绝域为U < -u0.05 = -1.645 由题知， x = 950 ， 那么检验统计量U = x -1000 = 950 -1000 = -2.5 < -1.645 100 / 25 100 / 25
2、某厂对废水进行处理，要求某种有害物质的浓度不超过19(mg / L) ，抽
样检测得到 10 个数据，其样本均值 x = 19.5(mg / L) ，样本方差 s2 = 1.25(mg / L)2 。
假定某种有害物质的浓度服从正态分布,问在显著性水平a = 0.05 下能认为处理 后的废水符合标准吗？
那么检验统计量U = x - 40 = 41.5 - 40 = 3.125 > 1.645 2 / 25 2 / 25
所以拒绝 H0 ，可以认为这批推进器的燃烧率较以往生产的推进器的燃烧率 有显著的提高 7、要求一种元件使用寿命不得低于 1000 小时，今从一批这种元件中随机抽取
25 件，测得其寿命的平均值为 950 小时，已知该种元件寿命服从标准差为 s = 100 小时的正态分布，试在显著性水平 a = 0.05 下确定这批元件是否合 格？
c
2
=
(n
- 1) S 2 112
拒绝域为
c2
=
(n -1)S 2 112
>
ca2 (n -1)
由
n
= 10,a
=
0.05,
c
2 0.05
(9)
= 16.919, S 2
= 116.4624,
算得
c2
=
(n -1)S 2 112
=
9 ´116.4624 112
= 8.6625 < 16.919
所以统计量 c 2 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下， 可以认为平均净重和标准差都符合规格要求。
则F
=
S12 S22
=
3.2 4
=
0.8，
未落入拒绝域
所以不能拒绝假设 H0 ，在a = 0.05 水平上可以认为两台机床的加工精度一
致。 6、有两台机床生产同一型号的滚珠，根据已有经验，这两台机床生产的滚珠直
径都服从正态分布。现从这两台机床生产的滚珠中分别抽取 7 个和 9 个样本， 测得滚珠直径如下：（单位：毫米）：
采用U 检验法，U = X -19 2 / 16
拒绝域为U > u0.05 = 1.645 现算得， x = 20.8 ， 那么检验统计量U = x -19 = 20.8 -19 = 3.6 > 1.645 2 / 16 2 / 16
所以拒绝 H0 ，可以认为新工艺下维生素 C 的含量比旧工艺下含量高。
6 、 某 工 厂 生 产 的 固 体 燃 料 推 进 器 的 燃 烧 率 服 从 正 态 分 布 N(m,s 2 ) ，
m = 40(cm / s) ，s = 2(cm / s) 。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取
n = 25 只，测得燃烧率的样本均值为 x = 41.25(cm / s) ，设在新方法下总体均方
故在显著性水平a = 0.05 下接受原假设。可以认为处理后的废水符合标准。 4、从 2005 年的新生儿(女)中随机地抽取 20 个, 测得其平均体重为 3160 克, 样
本标准差为 300 克. 而根据过去统计资料, 新生儿(女)平均本重为 3140 克. 问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(假设新生儿体重服从正态分 布)?(a = 0.05 )
解： H0 : m = 3140, H1 : m ¹ 3140
检验统计量
T = X - 3140 : t(n -1) Sn
拒绝域为
X - 3140 T = S n ³ ta / 2 (n -1)
由 n = 20, X = 3160, S = 300, t0.025 (19) = 2.0930 ，
算得
（取a = 0.05 ） 解：建立假设
H0
:
s
2 1
=
s
2 2
,
H1
:
s
2 1
¹
s
2 2
检验统计量
F
=
S12 S22
假设 H 0 的拒绝域为
F £ F1-a 2 (n1 -1, n2 -1)或F ³ Fa 2 (n1 -1, n2 -1)
n1 = 8, n2 = 7, 对给定a = 0.05，
知 F1- a
H0 : m = 379, H1 : m ¹ 379
由于s 2 未知，用 t 检验法。当 H0 为真时，统计量
T = X - m = X - 379 : t(n -1) Sn Sn
假设 H 0 拒绝域为
T
=
X - m0 Sn
³ ta /2 (n -1)
由 n = 10, X = 379.812, S 2 = 116.4624, S = 10.7918, t0.025 (9) = 2.2622 ，
:
N
(m1
,
s
2 1
),
Y
:
N
(
m2
,
s
2 2
)
，
建立假设
H0
:
s
2 1
£
s
2 2
,
H1
:
s
2 1
>
s
2 2
检验统计量
F
=
S12 S22
假设 H 0 的拒绝域为
F ³ Fa (n1 -1, n2 -1)
n1 = 7, n2 = 9, 对给定a = 0.05， Fa (n1 -1, n2 -1) = F0.05 (6,8) = 3.58
所以拒绝 H 0 ，可以认为这批元件使用寿命低于 1000 小时，确定这批元件 不合格。
习题 8-3
3、甲
乙两台机床分别加工
某种轴，轴
的直径
分别服从正态分布
N
(m1
,s
2 1
)
与
N
(m
2
,s
2 2
)
，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分
别抽取若干根轴测其直径，结果如下： 机床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9 机床乙：20.7，19.8，19.5，20.8，20.4，19.6，20.2
差仍为 2(cm / s) ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有 显著的提高？取显著性水平a = 0.05
解：建立统计假设： H0 : m £ 40, H1 : m > 40
采用U 检验法，U = X -19 2 / 16
拒绝域为U > u0.05 = 1.645 由题知， x = 41.25 ，
试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求？
（提示：检验 H 0 : m = 379, H 0 : s 2 £ 11, a = 0.05 ）
解：设罐头净重为 X ，则 X : N (m,s 2 ), 记从 X 中抽取的容量为 n = 10 的样本均
值为 X ，样本标准差为 S ，本题是在显著性水平a = 0.05 下检验假设：
T = 3160 - 3140 = 0.2981 < 2.0301 300 20
所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下，可以
认为现在与过去的新生儿(女)体重没有显著差异。 7、某炼铁厂铁水的含碳量 X ，在正常情况下服从正态分布，现对操作工艺进行
了某些改变，从中抽取 7 炉铁水的试样，测得含碳量数据如下： 4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683。
甲机床：15.2，14.5，15.5，14.8，15.1，15.6，14.7 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，14.9，15.1，14.8，15.3 问乙机床的产品直径的方差是否比甲机床小？（a = 0.05 ） 解：设 X 表示甲机床的产品直径，Y 表示甲机床的产品直径
根据题设， X
故假设 H 0 的拒绝域为
算得
F ³ 3.58
S12 = 0.1745, X = 15.057,
S
2 2
= 0.0438,Y
= 15.033
则F
=
S12 S22
=
0.1745 0.0438
=
3.984，
落入拒绝域
所以拒绝假设 H0 ，在a = 0.05 水平上可以认为乙机床的产品直径的方差明
显地比甲机床小。 复习题 8（计算题三） 1、某种罐头在正常情况下，按规格平均净重 379 克，标准差为 11 克，并且假定 净重服从正态分布。现抽查十盒，测得如下数据：370.74，372.80，386.43，398.14， 369.21，381.67，367.90，371.93，386.22，393.08（克）
问是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1122 (a = 0.05)
（提示 H 0 :s 2 = 0.1122 , H1 :s 2 ¹ 0.1122 ） 解：设含碳量为 X ，则 X : N (m,s 2 ) 。考虑假设
H0 :s 2 = 0.0122 , H1 :s 2 ¹ 0.0122 检验统计量
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
:
c 2 (n -1)
由表 8-2，本检验问题的拒绝域为
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
>
ca2 /2 (n -1), 或c 2
=
(n -1)S 2
s
2 0
<
c2 1-a
/
2
(n
-
1)
由
n
=
7,a
=
0.05, c 20.025 (6)
=
14.449,
c
2 0.975
(6)
H0 : m £ 19, H1 : m > 19
检验统计量T = X -19 Sn
拒绝域为
T
=
X S
- 19 n
³
ta
(n -1)
由 n = 10, X = 1905, S 2 = 1.25,t0.05 (9) = 2.2622
算得
T = 19.5 -19 = 1.2648 < 2.2622 1.25 10
第八章 习题选解
习题 8-2 4、红果罐头维生素C的含量服从正态分布，用传统工艺加工的红果罐头， 每瓶平均维生素C的含量为19毫克，现改进加工工艺，抽查16瓶罐头，测得维 生素C的含量为：（单位：毫克）
23，20.5，21，22，20，22.5，19，20，23，20.5， 18.8，20，19.5，22，18，23 若假定新旧工艺的方差均为 s 2 = 4 ，问新工艺下维生素C的含量是否比旧工艺 下含量高？（取a = 0.05 ） 解：建立统计假设： H0 : m £ 19, H1 : m > 19
算得
T = 379.812 - 379 = 0.2379 < 2.2622 10.7918 10
所以统计量T 未落如拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下， 可以认为平均净重符合规格要求。
再建立统计假设：
H 0 : s 2 £ 112 , H1 : s 2 > 112
检验统计量
算得
T = 998 -1000 = 0.2092 < 2.2622 30.2288 10
所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下，可以 认为洗衣粉的净重为 1000 克。 再建立统计假设：
/ 2 (n1
-1,
n2
- 1)
=
F
(n -1 0.025 2
- 1,
n1
- 1)
Hale Waihona Puke Baidu
=
1 5.12
=
0.195
Fa / 2 (n1 -1, n2 -1) = F0.025 (7, 6) = 5.70
故假设 H 0 的拒绝域为
算得
F £ 0.195或F ³ 5.70
S12 = 0.2164,
S
2 2
=
0.2729
H0 : m = 1000, H1 : m ¹ 1000 检验统计量
拒绝域为
T = X -1000 : t(n -1) Sn
X -1000 T = S n ³ ta / 2 (n -1)
由 n = 10, X = 998, S 2 = 913.7778, S = 30.2288, t0.025 (9) = 2.2622 ，
=
1.237,s
2 0
=
0.012 2
S 2 = 0.035, , X = 4.36,
算得
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
=
6´ 0.0351 0.012 2
= 16.7889
> 14.449
所以拒绝假设 H0 ，即不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1122
8、某洗衣粉包装机，在正常工作情况下，每袋标准重量为 1000 克，标准 差s 不能超过 15 克。假设每袋洗衣粉的净重服从正态分布，某天为检查 机器工作是否正常，从已装好的袋中，随机抽查 10 袋，测其净重（克）
为： 1020，1030，968，994，1014，998，976，982，950，1048
问这天机器工作是否正常 (a = 0.05) ？
（提示： (1)H0 : m = 1000 (2)H0 :s 2 £ 152
解： 先作统计假设
, H1 : m ¹ 1000 ） , H1 :s 2 > 152
解：建立统计假设： H0 : m ³ 1000, H1 : m < 1000
采用U 检验法，U = X -1000 100 / 25
拒绝域为U < -u0.05 = -1.645 由题知， x = 950 ， 那么检验统计量U = x -1000 = 950 -1000 = -2.5 < -1.645 100 / 25 100 / 25
2、某厂对废水进行处理，要求某种有害物质的浓度不超过19(mg / L) ，抽
样检测得到 10 个数据，其样本均值 x = 19.5(mg / L) ，样本方差 s2 = 1.25(mg / L)2 。
假定某种有害物质的浓度服从正态分布,问在显著性水平a = 0.05 下能认为处理 后的废水符合标准吗？
那么检验统计量U = x - 40 = 41.5 - 40 = 3.125 > 1.645 2 / 25 2 / 25
所以拒绝 H0 ，可以认为这批推进器的燃烧率较以往生产的推进器的燃烧率 有显著的提高 7、要求一种元件使用寿命不得低于 1000 小时，今从一批这种元件中随机抽取
25 件，测得其寿命的平均值为 950 小时，已知该种元件寿命服从标准差为 s = 100 小时的正态分布，试在显著性水平 a = 0.05 下确定这批元件是否合 格？
c
2
=
(n
- 1) S 2 112
拒绝域为
c2
=
(n -1)S 2 112
>
ca2 (n -1)
由
n
= 10,a
=
0.05,
c
2 0.05
(9)
= 16.919, S 2
= 116.4624,
算得
c2
=
(n -1)S 2 112
=
9 ´116.4624 112
= 8.6625 < 16.919
所以统计量 c 2 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下， 可以认为平均净重和标准差都符合规格要求。
则F
=
S12 S22
=
3.2 4
=
0.8，
未落入拒绝域
所以不能拒绝假设 H0 ，在a = 0.05 水平上可以认为两台机床的加工精度一
致。 6、有两台机床生产同一型号的滚珠，根据已有经验，这两台机床生产的滚珠直
径都服从正态分布。现从这两台机床生产的滚珠中分别抽取 7 个和 9 个样本， 测得滚珠直径如下：（单位：毫米）：
采用U 检验法，U = X -19 2 / 16
拒绝域为U > u0.05 = 1.645 现算得， x = 20.8 ， 那么检验统计量U = x -19 = 20.8 -19 = 3.6 > 1.645 2 / 16 2 / 16
所以拒绝 H0 ，可以认为新工艺下维生素 C 的含量比旧工艺下含量高。
6 、 某 工 厂 生 产 的 固 体 燃 料 推 进 器 的 燃 烧 率 服 从 正 态 分 布 N(m,s 2 ) ，
m = 40(cm / s) ，s = 2(cm / s) 。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取
n = 25 只，测得燃烧率的样本均值为 x = 41.25(cm / s) ，设在新方法下总体均方
故在显著性水平a = 0.05 下接受原假设。可以认为处理后的废水符合标准。 4、从 2005 年的新生儿(女)中随机地抽取 20 个, 测得其平均体重为 3160 克, 样
本标准差为 300 克. 而根据过去统计资料, 新生儿(女)平均本重为 3140 克. 问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(假设新生儿体重服从正态分 布)?(a = 0.05 )
解： H0 : m = 3140, H1 : m ¹ 3140
检验统计量
T = X - 3140 : t(n -1) Sn
拒绝域为
X - 3140 T = S n ³ ta / 2 (n -1)
由 n = 20, X = 3160, S = 300, t0.025 (19) = 2.0930 ，
算得
（取a = 0.05 ） 解：建立假设
H0
:
s
2 1
=
s
2 2
,
H1
:
s
2 1
¹
s
2 2
检验统计量
F
=
S12 S22
假设 H 0 的拒绝域为
F £ F1-a 2 (n1 -1, n2 -1)或F ³ Fa 2 (n1 -1, n2 -1)
n1 = 8, n2 = 7, 对给定a = 0.05，
知 F1- a
H0 : m = 379, H1 : m ¹ 379
由于s 2 未知，用 t 检验法。当 H0 为真时，统计量
T = X - m = X - 379 : t(n -1) Sn Sn
假设 H 0 拒绝域为
T
=
X - m0 Sn
³ ta /2 (n -1)
由 n = 10, X = 379.812, S 2 = 116.4624, S = 10.7918, t0.025 (9) = 2.2622 ，
:
N
(m1
,
s
2 1
),
Y
:
N
(
m2
,
s
2 2
)
，
建立假设
H0
:
s
2 1
£
s
2 2
,
H1
:
s
2 1
>
s
2 2
检验统计量
F
=
S12 S22
假设 H 0 的拒绝域为
F ³ Fa (n1 -1, n2 -1)
n1 = 7, n2 = 9, 对给定a = 0.05， Fa (n1 -1, n2 -1) = F0.05 (6,8) = 3.58
所以拒绝 H 0 ，可以认为这批元件使用寿命低于 1000 小时，确定这批元件 不合格。
习题 8-3
3、甲
乙两台机床分别加工
某种轴，轴
的直径
分别服从正态分布
N
(m1
,s
2 1
)
与
N
(m
2
,s
2 2
)
，为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分
别抽取若干根轴测其直径，结果如下： 机床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9 机床乙：20.7，19.8，19.5，20.8，20.4，19.6，20.2
差仍为 2(cm / s) ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有 显著的提高？取显著性水平a = 0.05
解：建立统计假设： H0 : m £ 40, H1 : m > 40
采用U 检验法，U = X -19 2 / 16
拒绝域为U > u0.05 = 1.645 由题知， x = 41.25 ，
试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求？
（提示：检验 H 0 : m = 379, H 0 : s 2 £ 11, a = 0.05 ）
解：设罐头净重为 X ，则 X : N (m,s 2 ), 记从 X 中抽取的容量为 n = 10 的样本均
值为 X ，样本标准差为 S ，本题是在显著性水平a = 0.05 下检验假设：
T = 3160 - 3140 = 0.2981 < 2.0301 300 20
所以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受 H0 ，即在显著性水平a = 0.05 下，可以
认为现在与过去的新生儿(女)体重没有显著差异。 7、某炼铁厂铁水的含碳量 X ，在正常情况下服从正态分布，现对操作工艺进行
了某些改变，从中抽取 7 炉铁水的试样，测得含碳量数据如下： 4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683。
甲机床：15.2，14.5，15.5，14.8，15.1，15.6，14.7 乙机床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，14.9，15.1，14.8，15.3 问乙机床的产品直径的方差是否比甲机床小？（a = 0.05 ） 解：设 X 表示甲机床的产品直径，Y 表示甲机床的产品直径
根据题设， X
故假设 H 0 的拒绝域为
算得
F ³ 3.58
S12 = 0.1745, X = 15.057,
S
2 2
= 0.0438,Y
= 15.033
则F
=
S12 S22
=
0.1745 0.0438
=
3.984，
落入拒绝域
所以拒绝假设 H0 ，在a = 0.05 水平上可以认为乙机床的产品直径的方差明
显地比甲机床小。 复习题 8（计算题三） 1、某种罐头在正常情况下，按规格平均净重 379 克，标准差为 11 克，并且假定 净重服从正态分布。现抽查十盒，测得如下数据：370.74，372.80，386.43，398.14， 369.21，381.67，367.90，371.93，386.22，393.08（克）
问是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为 0.1122 (a = 0.05)
（提示 H 0 :s 2 = 0.1122 , H1 :s 2 ¹ 0.1122 ） 解：设含碳量为 X ，则 X : N (m,s 2 ) 。考虑假设
H0 :s 2 = 0.0122 , H1 :s 2 ¹ 0.0122 检验统计量
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
:
c 2 (n -1)
由表 8-2，本检验问题的拒绝域为
c2
=
(n -1)S 2
s
2 0
>
ca2 /2 (n -1), 或c 2
=
(n -1)S 2
s
2 0
<
c2 1-a
/
2
(n
-
1)
由
n
=
7,a
=
0.05, c 20.025 (6)
=
14.449,
c
2 0.975
(6)