杨辉三角ppt课件

杨辉三角的简介
杨辉
杨辉是中国南宋末年数学家、教育 家。“杨辉三角”出现在杨辉编著 的《详解九章算法》一书中，且我 国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪。在欧洲，这个表 被认为是法国数学家物理学家帕斯 卡首先发现的,他们把这个表叫做帕 斯卡三角。杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右。
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
杨辉三角基本性质
• 1、杨辉三角具有对称 性（对称美），与首 末两端“等距离 ”的 两个数相等。 1 对称 1 1 3 2 3
1
1 1
1
由1开始逐渐变大， 然后变小，回到1。 1 1
4
6
4
1
1 1
5 10 10 5 6 15 20 15 6
杨辉三角基本性质
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 y 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
2
n
n
行的数字特征
1
1 1 第 2 行所有数之 n 1 2 1 和为2 的平方÷2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2= 1a2+2ab+1b2 （a+b) 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
例如： 2+1=3
4+6=10
1 1 1
r rcn- + cn1 1 1
=
cnr
1
杨辉三角基本性质
•
f(r) 20
14
假设2k=6，
4、杨辉三角的第2k行中第k+1 个数最大；第2k＋1行中第是k个 数与第k+1个数相等且最大。 1 1 1 3 4 6 2 3 4
1
1 1 1 1
6 1 r
1
5 10 10 5 6 15 20 15 6
7 3 4 n 2k 1 2 3和4时取得最大 值。
杨辉三角基本性质
5、每一行的第 二个数，可以 构成一个等差 数列。
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
行数为质数的数都能被行数整除
在弹球游戏中的应用
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
行数整除所有的数
都是质数
1 1 第 2行 1 2 1 1 3 3 1 第3行 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第5行 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
杨辉三角基本性质
这个表就称为杨辉三角
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
2 2
1
2
0
1
2
3
• 2、第n行的 数字个数为 n-1个， n行 数字和为：y
2
n
杨辉三角基本性质
• 3、数字等于上一行的左右两个数字之和。 A、表中每行两端都是1。 B、除1外的每一个数都等于它 肩上两个数的和。 1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 4 3 6 6 10 10 10 15 20 15 2 2 3 3 4 5 6 1 1 1
1 1 1 2 1 6、每一行 1 3 3 1 的第三个 1 4 6 4 1 数等于上 1 5 10 10 5 1 一行的第 1 6 15 20 15 6 1 三个家行 数减一。 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AJ区奖品最好，BI区奖 品次之，CH区奖品第三， EF 区奖品最差）。
A
B C D
E
F G
H I
wenku.baidu.com
J
杨辉三角的实际应用
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的 部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由 北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？ 我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在 交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的 走法有什么关系? ．
问：纵横各有五条路呢？
A
B
图1
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)． 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法 数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
A 1
1 1
A
A
1
2 3 3 6
B
1 C B
D
B
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
O
4
7
1
1
4、杨辉三角的第2k行 中第k+1个数最大；第 2k＋1行中第是k个数与 第k+1个数相等且最大。
f（r） 35
30
2k+1为奇数行； 如2k+1=7
2k 1 1 2
20
2k 1 1 2
1 1 1 10 1 2 1 1 3 3 1 O 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
第2k行的数字特征
所有数的和是偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
杨辉三角 基本性质
1
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
11 1 11 2 11 3 11
0
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………