杨辉三角ppt课件
合集下载
中考复习 杨辉三角ppt课件
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1 + 5 +10 + 10 + 5 + 1= 32 , 1 + 6 +15 +20 + 15 + 6 + 1= 64 ,
············ 2n
4
探究2
杨辉三角中与腰平行的第m条斜线(从右上到
左下)上前n个数字的和, 与第m+1条斜线上的第n
个数有什么关系?
第0行
1
相等关系
第1行 第2行 第3行 第4行
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
中考复习 规律问题之杨辉三角
1
杨辉简介
杨辉 ( 约公元13世纪中叶至后 半叶 ) 字谦光, 钱塘 ( 今浙江杭州 ) 人, 是中国南宋末年的数学家、数 学教育家. 著作甚多, 他编著的数 学书共五种二十一卷, 著有《详解九章算法》十二 卷 (1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、等.
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人教高中数学选修2“杨辉三角”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
杨辉三角ppt PPT课件
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
研究性课题：
杨辉三角
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
C
r n
C r1 n1
C
r n1
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
五、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
1， 3， 6， 10， 15， 21，… 2 3 4 5 6… 1 1 1 1…
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
杨辉三角(小学版)ppt课件
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
杨辉三角的简介
杨辉
杨辉是中国南宋末年数学家、教育 家。“杨辉三角”出现在杨辉编著 的《详解九章算法》一书中，且我 国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪。在欧洲，这个表 被认为是法国数学家物理学家帕斯 卡首先发现的,他们把这个表叫做帕 斯卡三角。杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右。
第2k行的数字特征
所有数的和是偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
例如： 2+1=3
4+6=10
1 1 1
r rcn- + cn1 1 1
=
cnr
1
杨辉三角基本性质
•
f(r) 20
14
假设2k=6，
4、杨辉三角的第2k行中第k+1 个数最大；第2k＋1行中第是k个 数与第k+1个数相等且最大。 1 1 1 3 4 6 2 3 4
1
1 1 1 1
6 1 r
1
5 10 10 5 6 15 20 15 6
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
O
4
7
1
1
4、杨辉三角的第2k行 中第k+1个数最大；第 2k＋1行中第是k个数与 第k+1个数相等且最大。
f（r） 35
30
2k+1为奇数行； 如2k+1=7
2k 1 1 2
20
2k 1 1 2
1 1 1 10 1 2 1 1 3 3 1 O 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1 1 1 2 1 6、每一行 1 3 3 1 的第三个 1 4 6 4 1 数等于上 1 5 10 10 5 1 一行的第 1 6 15 20 15 6 1 三个家行 数减一。 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
7 3 4 n 2k 1 2 3和4时取得最大 值。
杨辉三角基本性质
5、每一行的第 二个数，可以 构成一个等差 数列。
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
问：纵横各有五条路呢？
A
B
图1
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)． 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法 数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
A 1
1 1
A
A
1
2 3 3 6
B
1 C B
D
B
杨辉三角基本性质
• 1、杨辉三角具有对称 性（对称美），与首 末两端“等距离 ”的 两个数相等。 1 对称 1 1 3 2 3
1
1 1
1
由1开始逐渐变大， 然后变小，回到1。 1 1
4
6
4
1
1 1
5 10 10 5 6 15 20 15 6
杨辉三角基本性质
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 y 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
行数为质数的数都能被行数整除
在弹球游戏中的应用
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
2 2
1
2
0
1
2
3
• 2、第n行的 数字个数为 n-1个， n行 数字和为：y
2
n
杨辉三角基本性质
• 3、数字等于上一行的左右两个数字之和。 A、表中每行两端都是1。 B、除1外的每一个数都等于它 肩上两个数的和。 1 1 1 1 1 1 1 6 5 4 4 3 6 6 10 10 10 15 20 15 2 2 3 3 4 5 6 1 1 1
杨辉三角基本性质
这个表就称为杨辉三角
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
行数整除所有的数
都是质数
1 1 第 2行 1 2 1 1 3 3 1 第3行 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 第5行 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 第7行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
杨辉三角 基本性质
1
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
11 1 11 2 11 3 11
0
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
2
n
n
行的数字特征1来自1 1 第 2 行所有数之 n 1 2 1 和为2 的平方÷2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2= 1a2+2ab+1b2 （a+b) 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AJ区奖品最好，BI区奖 品次之，CH区奖品第三， EF 区奖品最差）。
A
B C D
E
F G
H I
J
杨辉三角的实际应用
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的 部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处 (只能由 北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？ 我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在 交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的 走法有什么关系? ．