杨辉三角(小学版)
杨辉三角解题公式(二)
杨辉三角解题公式(二)杨辉三角解题公式什么是杨辉三角？杨辉三角是中国古代数学家杨辉发现的一种特殊数列排列方式。
它的特点是，每一行的端点和每一行的中间数都是1，其他位置上的数是上一行两个相邻数的和。
杨辉三角解题公式第n行第k个数的计算公式第n行第k个数的计算公式可以表示为：C(n,k)=n!k!(n−k)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n−1)×(n−2)×...×2×1。
例子我们来计算一下杨辉三角的第5行：第1个数：C(5,1)=5!1!(5−1)!=5!1!×4!=5×4×3×2×11×4×3×2×1=5第2个数：C(5,2)=5!2!(5−2)!=5!2!×3!=5×4×3×2×12×1×3×2×1=10第3个数：C(5,3)=5!3!(5−3)!=5!3!×2!=5×4×3×2×13×2×1×2×1=10第4个数：C(5,4)=5!4!(5−4)!=5!4!×1!=5×4×3×2×14×3×2×1×1=5第5个数：C(5,5)=5!5!(5−5)!=5!5!×0!=5×4×3×2×15×4×3×2×1×1=1所以，第5行的数列为：1, 5, 10, 10, 5, 1。
这就是杨辉三角的特性：每一行的数都可以通过计算上一行的两个相邻数得到，并且每一行的端点和中间数都是1。
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
最新杨辉三角课件精品课件
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
课件8：1.3.2 杨辉三角
解：由图知，数列的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23， 第 4 项是 C13，…，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211， ∴S19＝C22＋C21＋C32＋C31＋…＋C120＋C110＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋C24＋…＋C211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C33＋C23＋…＋C211) ＝2＋120×9＋C132＝54＋121××121××310＝274.
于是得到： (1)二项式系数和为 2n，即 Cn0＋Cn1＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)二项式的奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式 系数和相等，都等于 2n－1.即 C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n ＋Cn4＋…＝2n－1.
在理解二项展开式的二项式系数和的有关性质 时，要掌握这种给字母赋值的思想(实际上是函数思 想)；具体到计算特定项的二项式系数时可以直接给字 母赋值，也可以联系二项式的展开式；对整体式子的 求值，用给字母赋值的方法非常方便．
1.3.2 杨辉三角
情景导入 幻方，在我国也称纵横图，
它的神奇特点吸引了无数人为之痴 迷．一天，时任台州地方官的杨辉外 出巡游，遇到一学童，学童正在为老 先生布置的题目犯愁：“把 1 到 9 的数字分行排列， 不论竖着加，横着加，还是斜着加，结果都等于 15”．
情景导入
杨辉看到这个题顿时兴趣大发，于是和学童一起研究 起来，直至午后，两人终于将算式摆出来了．杨辉回 到家后，反复琢磨，终于发现了规律，并总结成四句 话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．”
方法总结 (1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c ∈R，n，m∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R， x∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令 x ＝y＝1 即可．
杨辉三角
1
二、杨辉三角的基本性质 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n! r r+1个数是 C
n
r !( n r )!
r 1 n 1
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
C C
r n
C
r n 1
3）杨辉三角具有对称性
n 0 n n 1 n 1 1 n
r 1 k r r 1 k 1
k 1 k 1 k 1
1、横行规律
第 0行
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即2k—1行的各 个数字有什么特点？ 都是奇数
则第2K行的数字有什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
0 k k 1 k 1 1 k r k k r r k k
(a b) C a C a b C a b C b k 1 k 则当n=k+1时， (a b ) (a b) (a b)
C a b C a b C ab C b 0 k +1 = C k a + (C C )a b + + (C C )a b + k + (C k C )ab + C b
利用组合数的两个重要性质可得
k 1 0 k 1 k 1 1 k 1 k 1
0 k k 1 0 k k k k－1 k k
r k r r 1 k r +1 k k k +1 k
k 1 k k r k r b +1 k
k k 1 k
(a b) C a C a b C a b C b
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
杨辉三角(小学版)
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所 对应的第n行的数字，
很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。 古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
课件5：1.3.2 杨辉三角
C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.
自我尝试 1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相 同的．( ) (3) 二 项 式 展 开 式 的 二 项 式 系 数 和 为 C n1 ＋ C n2 ＋ … ＋ Cnn.( )
(2)如图，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组
成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记
这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )
A．144
B．146
C．164
D．461
【解析】 (1)由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以 外，均能被 7 整除． (2)由题干图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C92，第 16 项 是 C19.所以 S(16)＝C21＋C22＋C13＋C23＋…＋C91＋C92 ＝(C21＋C31＋…＋C19)＋(C22＋C32＋…＋C29)
解：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1.① (2)令 x＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2 018＝32 018.② 与①式联立，①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
所以
a1＋a3＋…＋a2
017＝1－232
(3)如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么其展开式 _中_间__一__项___T_n2_＋_1 _的二项式系数最大；如果 n 是奇数，那
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解
杨辉三角，又被称为杨辉梯形或帕斯卡三角形，是一种数学图形，以数学家杨辉命名。
它的形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
..........
杨辉三角的特点是，每个数等于它上方两个数之和。
首行只有一个数为1，其余行每行的第一个数和最后一个数也为1。
杨辉三角中的数字具有很多有趣的性质。
以下是一些常见的性质：
1. 对称性：杨辉三角是关于中心垂直线对称的。
也就是说，从中心列开始，每个数都等于它对称位置的数。
2. 任意行数之和等于2的n次方：杨辉三角的任意一行数字之和等于2的n次方，这里n表示杨辉三角的行数。
3. 组合数性质：杨辉三角的每个数都可以表示为一个组合数。
例如，第n行的第k个数可以表示为C(n-1, k-1)，其中C是组合数。
4. 形成二项式展开式：杨辉三角的每一行的数字依次对应二项式展开式的系数。
例如，第n行的数字依次表示(x+y)^n展开式中的各项系数。
杨辉三角在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
它可以用于求解组合数、排列组合问题，以及在动态规划算法中的应用等。
通过杨辉三角，我们可以深入理解数学中的组合数性质和二项式展开式，进一步拓展数学思维。
同时，杨辉三角也为我们提供了一种简便的计算和记忆组合数的方法。
总之，杨辉三角是数学中一个有趣而重要的概念，它的形状和数字特性使得它成为了数学教学和应用的重要工具。
杨辉三角优质课件
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
《1.3.2 杨辉三角》PPT课件(云南省市级优课)
五、拓展探究
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1+1+1=6 C 1 6 第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20 C 3 6
第四条斜线上：1+4+10=15 C 4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数.
11 121 1 33 1 1 4641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
教学基本流程
复习旧知，自然引出所探究的问题 学生动手写出二项式系数表，观察发现规律
观察、讨论、归纳二项式系数的性质 通过例题和练习，巩固对二项式系数的认识
一、复习引入
①二项式定理
a b n Cn0anb0 Cn1an1b Cn2an2b2
问题4：观察每一行中数字之和，有什么规律？
三、归纳总结
二项式系数的四个性质
1、对称性： Cnm Cnnm
2、递推性：
Cr-1 n
Crn
Cr n 1
3、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，
在最中间取到最大值 CCnnn2n，21 =当Cnnn2是1，偶当数n时是奇书时
4、各二项式系数和： C0n C1n C2n Cnn 2n
②二项展开式的通项
Cnna0bn
Tk 1 Cnk a nk bk
③二项展开式中的二项式系数是哪些？
Cn0 , Cn1 , Cn2 Cnn
二、引导探究、获得新知
探究 计算a bn 展开式的二项式系数并填入下表.
《杨辉三角》_精品教学PPT人教版1
《 杨辉三 角》优 品教学P PT人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22 第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
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2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
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针对性练习
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三 角中，第___3_4__行中从左到右第14与第15个数的 比为2:3 .
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课堂小结
1.二项式系数的三条性质
（1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.
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杨辉三角
前提：端点的数为1.1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)（组合数性质之一）6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。
可用此性质写出整个杨辉三角。
即第n+1行的第i个数等于第n 行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。
（公式见右图）7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)组合数计算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
[1]9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
应用性质6和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。
杨辉三角的图算与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。
例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数，即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3以此类推。
又因为性质6：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。
杨辉三角应用
杨辉三角应用（回家的路有多少条）小明生活的城市规划得非常规则，街区都是矩形，他的家和学校相隔了好几个街道。
有一天，小明在回家的路上正在为走哪条路发愁。
忽然，他想起这段时间数学课正在学“排列组合”这一章，“我何不用刚学到的知识来计算一下我回家可有多少条路供选择？”于是，他边走边思考这个问题，他发现这个问题还真不简单，需要静下心来好好想一想。
同学们，你们会算吗？小明这样想：“我肯定不会走回头路的，所以我只能向右和向上走，一共应该向右走5条街道，向上走5条街道。
”小明想起老师经常告诉他：“在遇到困难的时候，要学会将问题转化！”。
于是，小明用a表示横向的一条街道，用b表示纵向的一条街道，那么“abbaaabba”就表示如图的一条路线。
这样，小明就可以用a,b的字符串来表示每一条路线了，而路线的条数就等于a,b 的字符串个数。
问题就转化成为求“5个a和5个b组成多少个不同的字符串？”。
这一问题的解答就很简单了：将10个位置种选出5个位置用来放置a，有C 10 5 种方法；余下的位置自然就用来放置。
所以，一共有C 10 5=252个不同的字符串。
小明终于明白了，从家到学校竟然有252条路可以供选择，怪不得平时很少走重复的路线。
小明对自己的解法很是得意！他一到学校，就把这个题目告诉了好朋友小刚，却不告诉小刚答案，他想考考小刚。
小刚也是一个爱思考的同学，但是一时还真没做上来。
不过，小刚没有气馁，他觉得这个问题中由于街道太多，导致问题比较复杂，所以他决定将问题简化，先做几个数学实验，然后从中找规律，最后才解决这个问题。
小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区，图中顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有一条路线。
小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区，图中顶点处的数字表示从这个顶点到达学校的路线条数。
这时小刚发现了规律：若顶点位于最上面或最左面，则它到H的路线只有1条；若顶点位于其他位置，则它到H的路线条数等于它上面和左面的顶点到H的路线条数之和！小刚根据这个规律一口气将所有顶点的路线条数都写了出来，发现从学校S到家H的路线正好是252条。
小学数学四年级杨辉三角与走最短路线课件
如果途中C点堵上了，从A点到B点共有几条
最短路线？
A
A
C B
C B
四年级数学名师课程
如果途中C点堵上了，从A点到B点共有几条 最短路线？
四年级数学名师课程
如果从A点必须经过C点再到B点，那又有 多少条最短路线呢？
A
C
B
四年级数学名师课程
如果从A点必须经过C点再到B点，那又有 多少条最短路线呢？
四年级数学名师课程
11
杨辉三角的神秘特性 1 1 3
121 6
第三层是三角数列 1 3 3 1 10
1 4 6 4 1 15
1 5 10 10 5 1 ……
1 6 15 20 15 6 1
……
四年级数学名师课程
1
杨辉三角的神秘特性 1 1
第三层是三角数列
1
1
1 4
3+26+=3+91=441 1
THANKS
B
A
四年级数学名师课程
标数法 列举画一画
标数找规律
1
2
1
四年级数学名师课程
标数法 列举画一画
标数找规律
1
3
1
2
1
四年级数学名师课程
标数法 ·找起点 ·定方向 ·标数字
B 1 36 ? 1 23 ?
A 111
四年级数学名师课程
标数法 ·找起点 ·定方向 ·标数字
B 1 3 6 10 1 23 4
1 1 6 5 15+1=022=50116015 5 6 1 1
……
四年级数学名师课程
杨辉三角的神秘特性
方数数列
……
1 4 9 16 25
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
杨辉三角(小学版)ppt课件
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
杨辉三角(小学版)讲解学习
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
谢 谢 大 家！
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。
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1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。
大家可以看出11的几次方，也就是n个11连乘答案正好是杨辉三角所 对应的第n行的数字，
很神奇吧！
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。 古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？