高二数学杨辉三角

10 10 10 5 1 15 20 15 15 6 1
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一 不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及 Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2. 性质
联系函数
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
1 n
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
0 n 1 n 2 n r n
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C , C , C ,, C ， , C .
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
2 n
n
证明：在展开式C 0a n
n 0 n
C a
1 n
1 n1 n
2 n
1 n
b C b
3 n 1 n
3 n
n1
n n 中 n
n n n
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 C n C n C C n
r n 可看成是以r为自变量的函数
16108642-
. .. .. . .
3
6
9
r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性” 、 “增减性与最大值” ， 一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证：n
C C C C 2
m m m 1 这就是组合数的性质 2: Cn C C 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
0 1 2 r n Cn , Cn , Cn ,, Cn ， , Cn .
C
f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 n=6时，其图象是右图中的7个孤立 点.
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考 本课小结
思考三
作业:课本 P A 组第 8 题 ,B 组第 2 题 43
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当 n依次取1，2，3，…时，可列成下表： 在我国,很早 1 就有人研究过二 1 1 1 (a+b) → 项式系数表 , 南 1 2 1 (a+b)2→ 宋数学家杨辉在 1 3 3 1 (a+b)3→ 其所著的《详解 1 4 6 4 1 九章算法》中就 (a+b)4→ (a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现. (a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
0 n
1 n
2 n
n n
n 1 C
0 1 2 n Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 1 2n1
n 2 2
n 2 (C C C C )
0 n 1 n 2 n n n n
nC 2 C
2 C 20 3 2源自文库 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
C 2C 3C n 1 C n 2 2 思考:求证：
0 n 1 n 2 n n n
n1
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C
C 2C 3C n 1 C
0 n 1 n 2 n n n 0 n
2(21-r)>3r
8 20 12 8
得7 2 r 8 2 5 5
12 8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
r=5.
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）
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C C C C
0 n n n 1 n
n 1 n n n
C C
2 n 0 n
n 2 n

C
n 1 n
C C C C
1 n
n 2n
m n m 再由 Cn 得 Cn
(C ) (C ) (C ) (C ) C .
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n n 2n
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C ( ) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
学习小结:
作业:课本 P A 组第 8 题 ,B 组第 2 题 43
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.