高二数学杨辉三角
杨辉三角的数学规律
杨辉三角的数学规律《杨辉三角的数学规律》杨辉三角有着独特而有趣的数学规律：杨辉三角中的每个数等于它上方两数之和，且每行数字左右对称，由1开始逐渐变大再变小到1。
那我们来幽默风趣地解释一下这个规律吧。
把杨辉三角想象成一个金字塔，每个数字就像是金字塔里的小砖块。
这些小砖块可都是有“组织纪律”的呢。
每一个砖块的价值（数值）都是由它头顶上的两个小伙伴相加得来的，就好像它是这两个小伙伴的“结合体”。
而从整体看这个金字塔，每行的数字就像照镜子一样左右对称，1就像是守护在每行两端的忠诚卫士，保卫着中间的数字伙伴们。
再来看实例吧。
我们可以从一个简单的展开式来看杨辉三角的规律体现。
例如，(a + b)²=a²+2ab + b²。
这里的系数1、2、1正好就是杨辉三角第三行的数字。
再看(a + b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，系数1、3、3、1就是杨辉三角的第四行。
这可不是巧合哦，在二项式展开(a + b)ⁿ中，各项的系数正好就是杨辉三角第n + 1行的数字。
这就像是杨辉三角提前就把这些二项式展开的密码给藏在自己的身体里了。
还有一个有趣的现象。
如果我们看杨辉三角中每行数字之和，会发现也是有规律的。
第一行数字之和是1，第二行1+1 = 2，第三行1+2+1 = 4，第四行1+3+3+1 = 8……你会发现第n行数字之和就是2ⁿ⁻¹。
这就像杨辉三角在默默地按照2的幂次来安排每行数字的总和。
比如说，如果把杨辉三角想象成一个兵力分配图，每一行的数字总和就像是这一行的总兵力，那么这个兵力是按照2的幂次增长的，从1个开始，然后2个、4个、8个……在数学研究中，杨辉三角的规律也有着广泛的应用。
在组合数学中，杨辉三角中的数字可以表示组合数。
比如第n行第k个数字就等于从n - 1个元素中选取k - 1个元素的组合数。
这在计算概率等问题时非常有用。
杨辉三角的规律公式
杨辉三角的规律公式杨辉三角，又称帕斯卡三角，是古代数学中一种重要的图形。
它的构造方法非常简单：从第一行开始，每一行的两端都是1，其余的数是上一行相邻两个数的和。
下面我们将深入探讨杨辉三角的规律和公式。
1. 杨辉三角的构造让我们以一个简单的示例来说明杨辉三角的构造过程。
首先是第一行的唯一元素1。
然后，每一行的两端都是1，如下所示：11 1接着，根据规则，我们可以继续构造出下一行：11 11 2 1依此类推，我们可以继续构造出更多行，形成完整的杨辉三角。
2. 杨辉三角的规律杨辉三角不仅仅是一种几何图形，它还蕴含着许多有趣的规律。
其中最引人注目的规律之一就是每一行的数字都遵循一定的数学公式。
首先，每一行的数字个数是递增的，从1开始逐渐增加；其次，除了两端的数字是1之外，其他数字都是其上一行相邻两个数字之和。
这一规律可以用数学公式表示如下：考虑第n行的第k个数字，我们记为T(n, k)。
根据规律，有：T(n, k) = T(n-1, k-1) + T(n-1, k)当k等于1或n时，T(n, k)为1。
这个公式描述了杨辉三角中每个数字的生成过程。
3. 应用与拓展杨辉三角虽然看似简单，却有着丰富的应用。
在数学领域，它与组合数学和多项式有着密切的联系；在计算机科学领域，它则与动态规划等算法密切相关。
此外，杨辉三角还有不少拓展和变体。
例如，帕斯卡梯形（Pascal’s Trapezium）就是杨辉三角的一个拓展形式，每一行的元素都是由对应的斜线上的元素之和得到。
结语杨辉三角作为古代数学的经典之作，展现了数学中的奇妙规律和美丽结构。
通过对其规律和公式的探究，我们可以更深入地理解其内在的数学之美。
愿每一个探索者在这个数学的世界里都能发现属于自己的精彩之处！。
高中数学杨辉三角
f(r)
35
20
30
14
填
导
20
学
6
案 10
O
36
r
O
34
7
① n=6时，函数f (r) C6r 关于
r=3对称
① n=7时，函数f (r) C7r
关于r=3.5对称
②r<3时，函数单调递增
②r<3.5时，函数单调递增
r>3时，函数单调递减 ③r=3取得最大值
r>3.5时，函数单调递减 ③r=3和r=4时取得最大值
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
解:
第8、9项的二项式系数
C
7 15
与
C
8 15
最大。
即6435最大。
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项
的系数。
最大的系数呢？
C
5 11
4
6
2
C
6 11
462
n
4.
已
知
x4
1 x3
的 展 开 式 中 只 有 第10项 系 数 最 大 ,
求第五项
解 依题意, n为偶数 且 n 1 10, n 18. 2
4
T5 T41 C148
x
184 1 4 x3
3060x4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项” 呢？
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ） A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
0 6
C61
C
2 6
C
3 6
C
4 6
120227高二数学(理)杨辉三角”及二项式系数的性质(1)(
(1)写出这个三角形数表的第四行, 第五行各数。
第四行：17、18、20、24； 第五行：33、34、36、40、48
(2)求a100 a100=16640源自《考一本》P30 -P32
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
(3)该小弹子落入第 n层第 m 1个竖直 通道的概率与该小弹子 落入第 n层第 m个 竖直通道的概率之和等 于什么？
(2007年湖南)将杨三角中的奇数换成
1, 偶数换成0, 得到如图所示的0−1三角
数表: 第1行
11
第2行
101
第3行 第4行 第5行
1111 10001 110011
…… ……………………………
在交点处向左或向右是 等可能的。若竖直线段
有一条的为第一层 ,有两条 的为第二层 ,..., 以此类推 , 现有一颗小弹子从第一 层的通道里向下运动。
入口 第一层 第二层
第二 通道
第三层 第四层
(1)求该小弹子落入第四层 第二个竖直 通道的概率（从左到右 数）；
(2)猜想落入第 n 1层第 m个竖直通道 的里的概率；
研读教材P32-P33： 1. 什么是杨辉三角？ 2.“杨辉三角”与二项式系数间有怎 样的联系？ 3. 从杨辉三角的数表中, 你可以发现 哪些规律？
探究教材P35-P36： “杨辉三角” 中的一些秘密
(苏锡常联考模拟题 )如图是在竖直平面内
的一个“通道游戏”。 图中竖直线段和斜线段
表示通道 ,并且在交点处相通 ,假设一个小弹子
从上往下数, 第1次全行的数都 为1的是第1行, 第2次全行的数都为1 的是第3行, ……, 第n次全行的数都 为1的是第____行；第61行中1的个数 是____个。
杨辉三角高中例题及其解析
杨辉三角高中例题及其解析1. 引言说到杨辉三角，大家可能会想，“这玩意儿有什么用啊？”但其实，它可不是只会在数学课上转圈圈的无聊东西，简直就是个数学宝藏！想象一下，一个看似简单的三角形，里面藏着的却是无穷无尽的组合和规律，真是让人拍案叫绝。
今天我们就来聊聊这个神奇的东西，看看它如何影响我们的日常生活和学习。
2. 杨辉三角的构建2.1 基础知识首先，杨辉三角是通过一种简单的方式构建出来的：每个数字都是它上面两个数字的和。
比如，第一行只有一个“1”，第二行就是两个“1”，第三行就变成了“1, 2,1”，依此类推。
就像一颗种子，慢慢长成一棵大树，枝繁叶茂，层层递进，真的是看着就让人心情大好。
2.2 规律揭示你知道吗？杨辉三角里面还藏着许多数学规律！比如说，三角形的每一行对应着二项式定理的系数，这些系数在组合数学中可是大有用处的。
有时候就像是在打麻将，抓到的牌越多，组合的可能性就越多，运气好的人总能组合出大胡来！是不是听着就很带感？3. 杨辉三角的应用3.1 组合问题好吧，接下来我们聊聊它的应用。
杨辉三角在组合问题上可谓是“如鱼得水”。
比如说，假设你有五种不同的水果，想从中选出三种来做沙拉，杨辉三角就能帮你轻松算出组合数。
用数学术语来说，就是“从五选三”的组合数，这在三角里就是“10”。
这下你再也不怕在超市里纠结该买哪个水果了！3.2 概率问题而且，它在概率问题上也是个高手。
假设你正在玩一个简单的游戏，随机抽取一个球，有三种颜色的球，你想知道抽到某种颜色的概率。
通过杨辉三角的帮助，你可以快速算出不同颜色球的组合，来制定最佳的抽取策略。
就好比在街上玩飞镖，选好目标才能一击必中，当然得事先做点功课啦！4. 经典例题解析让我们通过一个例题来深入了解一下杨辉三角的妙用。
比如说，考题问：“从八个人中选出三个人，一共有多少种选法？”如果不看三角，我们可能得算个半天，但用杨辉三角，我们可以直接找到第八行的第三个数，答案就是56。
杨辉三角的系数规律公式
杨辉三角的系数规律公式杨辉三角，这玩意儿在数学里可有着独特的魅力。
咱们先来说说啥是杨辉三角。
它就是一个像三角形一样的数字排列组合。
从最上面的“1”开始，然后下面每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。
比如说，最上面那行是 1，第二行就是 1 1 ，第三行就是 1 2 1 ，第四行就是 1 3 3 1 ，就这么一直排下去。
那杨辉三角的系数规律公式是啥呢？其实就是二项式定理的系数嘛。
咱们就拿（a + b）² = a² + 2ab + b²来说，这里的系数 1 2 1 正好就是杨辉三角第三行的数字。
再比如（a + b）³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角第四行的数字。
我还记得我之前给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大了去了。
就比如说咱们算组合数的时候，杨辉三角就能帮上大忙。
”这杨辉三角里的数字排列可是有很多有趣的规律。
比如说每行数字的和是 2 的幂次方。
像第二行 1 1 ，和是 2；第三行 1 2 1 ，和是 4；第四行 1 3 3 1 ，和是 8 ，就这么一直下去。
还有呢，杨辉三角是左右对称的，就像照镜子一样。
而且每行中间的数字最大。
咱们在解题的时候，杨辉三角能让复杂的计算变得简单明了。
比如有个题目让咱们算从 10 个不同的球里选 3 个的组合数，要是直接去算，那可麻烦了。
但要是咱们对照着杨辉三角，一下就能找到对应的系数，轻松得出答案。
我之前碰到过一个实际问题，就是在安排座位的时候。
教室里有 5排座位，每排要安排不同数量的学生，而且要求总的安排方式要尽可能多。
这时候我就想到了杨辉三角，通过分析其中的规律，很快就找到了最优的安排方案。
总之，杨辉三角的系数规律公式虽然看起来有点神秘，但只要咱们认真去琢磨，就能发现它在数学世界里就像一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门，让咱们在数学的海洋里畅游得更畅快！所以啊，同学们，可别小看了这杨辉三角，好好研究它，能让你们的数学更上一层楼！。
2018学年第二学期高二数学《杨辉三角与二项式系数的性质》学案含答案
2018学年第⼆学期⾼⼆数学《杨辉三⾓与⼆项式系数的性质》学案含答案1.3.2“杨辉三⾓”与⼆项式系数的性质学习⽬标 1.了解杨辉三⾓，会⽤杨辉三⾓求⼆项式乘⽅次数不⼤时的各项的⼆项式系数.2.理解⼆项式系数的性质并灵活运⽤(重、难点).知识点1杨辉三⾓的特点(1)在同⼀⾏中每⾏两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两⾏中，除1外的每⼀个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＋C r n.＝C r－1n【预习评价】(1)杨辉三⾓的第n⾏数字规律与⼆项展开式有何联系？提⽰杨辉三⾓的第n⾏数字规律是⼆项式(a＋b)n展开式的⼆项式系数，即(a ＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(2)C03＋C14＋C25＋…＋C1821＝________.解析原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝…＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.答案7 315知识点2⼆项式系数的性质相等，且同时取得最⼤值【预习评价】(1)⼆项展开式中系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提⽰错误.⼆项展开式中项的系数与⼆项式系数是不同的，⼆项式系数最⼤项是中间⼀项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最⼤值与项其他数字因数的⼤⼩有关.(2)在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最⼤的项是( ) A.第6项B.第5项C.第5，6项D.第6，7项解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其⼆项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中⼆项式系数最⼤的项为第6项，它也是系数最⼤的项. 答案 A题型⼀与杨辉三⾓有关的问题【例1】如图在“杨辉三⾓”中，斜线AB 的上⽅，从1开始箭头所⽰的数组成⼀个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.解由题图知，数列中的⾸项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律⽅法解决与杨辉三⾓有关问题的⼀般思路(1)观察找出每⼀⾏数据间的相互联系以及⾏与⾏间数据的相互联系.(2)将数据间的这种联系⽤数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察⽅向：横看、竖看、斜看、连续看、隔⾏看，从多⾓度观察.【训练1】如图，在由⼆项式系数所构成的杨辉三⾓中，第________⾏中从左到右第14与第15个数的⽐为2∶3.第0⾏1第1⾏1 1第2⾏12 1第3⾏133 1第4⾏1464 1第5⾏1510105 1………解析设第n⾏从左⾄右第14与第15个数之⽐为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·（n－13）！＝2·n！14！·（n－14）！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34【例2】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.解令x ＝1，得：(2×1－1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 解∵(2x －1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5. 令x ＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－(－3)5＝35，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝35＝243.【迁移2】 (变换所求)例2条件不变，求a 1＋a 3＋a 5. 解由上题得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝243，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝12×(1－243)＝－121.规律⽅法 (1)赋值法是求⼆项展开式系数及有关问题的常⽤⽅法，注意取值要有利于问题的解决，可以取⼀个值或⼏个值，也可以取⼏组值，解决问题时要避免漏项.(2)⼀般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0). 【训练2】已知(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 8； (2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8＝48.②①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝28＋48，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12×(28＋48)＝32 896.(3)由于(1－3x )8＝C 08＋C 18×(－3x )＋C 28×(－3x )2＋…＋C 88×(－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，故a 0，a 2，a 4，a 6，a 8＞0，a 1，a 3，a 5，a 7＜0，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝48＝65 536. 题型三⼆项式系数性质的应⽤【例3】已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和⽐各项的⼆项式系数和⼤992.(1)求展开式中⼆项式系数最⼤的项； (2)求展开式中系数最⼤的项.解 (1)令x ＝1，则⼆项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，⼜展开式中各项的⼆项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中⼆项式系数最⼤的项为中间两项，它们分别是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·x 23(5＋2r ).假设T r ＋1项系数最⼤，则有C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴5！（5－r ）！r ！×3≥5！（6－r ）！（r －1）！，5！（5－r ）！r ！≥5！（4－r ）！（r ＋1）！×3.∴3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最⼤的项为T 5＝C 45·34x 263＝405x 263. 规律⽅法 (1)求⼆项式系数最⼤的项，要依据⼆项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进⾏讨论，n 为奇数时中间两项的⼆项式系数最⼤；n 为偶数时，中间⼀项的⼆项式系数最⼤.(2)求展开式中系数最⼤项与求⼆项式系数最⼤项是不同的.求展开式系数最⼤的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R 展开式中系数最⼤的项，⼀般是采⽤待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最⼤，应⽤A r ≥A r －1， A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最⼤的项. 【训练3】已知? ????x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的⽐是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数的绝对值最⼤的项.解∵? ????x －2x 2n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ·－2x 2r＝(－2)r C rn x n －5r 2(0≤r ≤n ，r ∈N )，∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n x n 2－10，T 3＝T 2＋1＝22C 2n x n2－5.∵24C 4n 22C 2n＝101，∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1，则? ????x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r8x 8－5r 2(0≤r ≤8，r ∈N ).令8－5r 2＝32，得r ＝1，∴展开式中含x 32的项为T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 18x 32＝－16x 32.(3)展开式的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数的绝对值分别为C r －182r －1，C r 82r ，C r ＋182r ＋1.若第r ＋1项的系数绝对值最⼤，则有C r －182r －1≤C r 82r ，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，解得5≤r ≤6，故系数的绝对值最⼤的项为第6项和第7项，即 T 6＝－1 792x －172，T 7＝1 7921x 11.课堂达标1.(1＋x )2n ＋1的展开式中，⼆项式系数最⼤的项所在的项数是( ) A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的⼆项式系数最⼤，分别为第? ????2n ＋1－12＋1项，第? ????2n ＋1＋12＋1项，即第(n ＋1)项与第(n ＋2)项.故选C. 答案 C2.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( ) A.－2B.－1C.1D.2解析令x ＝－1，则原式化为 [(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2. 答案 A3.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数为________.解析 (1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝35. 答案 354.设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，两式相减，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 答案－63655.已知(2x －1)n ⼆项展开式中，奇次项系数的和⽐偶次项系数的和⼩38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值.解设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由⼆项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.课堂⼩结1.⼆项式系数的性质可从杨辉三⾓中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.⼀般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开⼆项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最⼤时的不等式组时，注意其中r∈{0，1，2，…，n}的范围.基础过关1.已知(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，则n等于()A.11B.10C.9D.8解析∵(a＋b)n的⼆项展开式中只有第5项的⼆项式系数最⼤，∴⼆项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案 D2.(x－1)11展开式中x的奇次项系数之和是()A.－2 048B.－1 023C.－1 024D.1 024解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 答案 D3.(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( ) A.2n ＋1 B.2n －1 C.2n ＋1－1D.2n ＋1－2解析令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 答案 D4.若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81. 答案 815.在(a －b )10的⼆项展开式中，系数最⼩的项是________.解析在(a －b )10的⼆项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的⼆项式系数，因为展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，所以系数最⼩的项为T 6＝C 510a 5(－b )5＝－252a 5b 5.答案－252a 5b 56.若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，求log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)的值.解令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.7.设a ≠0，n 是⼤于1的⾃然数，? ?1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0，1，2)的位置如图所⽰，求a 的值.解由题意知，A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4. 由? ?1＋x a n 的展开式的通项知， T r ＋1＝C r n ? ???x a r(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.能⼒提升8.在?1x ＋51x 3n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( ) A.330B.462C.682D.792解析∵⼆项式的展开式中所有项的⼆项式系数和为2n ，⽽所有偶数项的⼆项式系数和与所有奇数项的⼆项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案 B9.(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( ) A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6D.a ＝1，b ＝2，n ＝5解析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过⽅程组解决.只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选D.答案 D10.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的⼆项式系数的最⼤值为a，(x＋y)2m＋1展开式的⼆项式系数的最⼤值为b，若13a＝7b，则m＝________.解析由题知a＝C m2m，b＝C m＋12m＋1，∴13C m2m＝7C m＋12m＋1，即13×（2m）！m！m！＝7×（2m＋1）！（m＋1）！m！，解得m＝6.答案 611.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案 312.在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的⼆项式系数的和；(2)奇数项的⼆项式系数的和与偶数项的⼆项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的⼆项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024. (2)奇数项的⼆项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512. 偶数项的⼆项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可⽤“赋值法”求解.令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.13.(选做题)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和⽐(3x －1)n 的展开式的系数和⼤992，求? ?2x －1x 2n 的展开式中：(1)⼆项式系数最⼤的项； (2)系数的绝对值最⼤的项.解由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)? ?2x －1x 10的展开式中第6项的⼆项式系数最⼤，即T 6＝C 510·(2x )5·?－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最⼤，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·?－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k . ∴83≤k ≤113，∴k ＝3，故系数的绝对值最⼤的是第4项 T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。
高二数学杨辉三角
(1)对称性:
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
, Cnr，
,C
n n
.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较
后比较xn的系数得：
C
C0 n
nn
C
C1 n1
nn
C n2C nn 2
Cnn1Cn1
CnnCn0
C
n 2n
再由
C
m n
C nm n
得
(Cn0 )2
(C
1 n
)2
(C
2 n
)2
(C
n n
)2
C
n 2n
.
思考3
2答案
学习小结:
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
证明：在展开式Cn0an Cn1an1b Cnnbn中
令a=1，b=－1得
(1 1)n
即0
Cn0
Cn0
C
1 n
Cn2
C
2 n
新课标人教版课件系列
杨辉三角系数的规律公式
杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。
简单来讲，它就是一个三角形的数阵。
从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。
就像搭积木一样，一层一层地往下搭。
杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。
比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。
你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。
以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。
比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。
这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。
我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。
我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。
我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。
”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
再说说杨辉三角的对称性。
它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。
从中间画一条线，两边的数字完全一样。
这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。
而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。
比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。
这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。
杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。
杨辉三角的性质与应用2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
《杨辉三角的性质与应用》（第三课时）教学设计高数学探究课对于发展学生的思维能力，学会数学的思维方式，学会数学探究等具有重要作用。
前两课时学生已经通过搜集资料了解了杨辉三角的历史，分小组探究出了杨辉三角的性质，并选择某条性质探究它的应用，本节课就是展示同学们小组探究的成果。
下面从以下几个环节进行汇报：一、教材分析本节课选自人教A版选择性必修三第六章数学探究课的第三课时，是在学习过二项式定理后的一节数学探究课。
结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养.在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养.二、学情分析数学学习并不单纯是数学知识的学习，更重要的是通过学习数学知识所蕴令的丰富的数学思想方法提高学生的思维能力。
进入高二以后，从学生的知识结构来看，学生已学习了两个计数原理和二项式定理，这为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了知识基础。
从学生的心理特征来看，高二的学生已经具备了一定的分析、探究问题的能力，数学学习能力有了很大提高，特别是观察、探究能力也有了长足的进步，为学生探究杨辉三角的性质与应用奠定了能力基础。
三、重点、难点重点、难点是杨辉三角性质的应用.四、教学过程环节一、知识回顾简单回顾杨辉三角的历史背景、地位和作用，并梳理探究出来的杨辉三角的性质.环节二、小组展示课前开展学习活动，前两课时已经了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究了杨辉三角的性质，之后各小组选择某条性质来探究性质的应用，课上分小组进行成果展示.潜新组——探究杨辉三角在弹球游戏中的应用（见附表1）恒学组——探究杨辉三角在纵横图中的应用（见附表2）探源组——探究杨辉三角在堆垛术中的应用（见附表3）环节三、课堂小结通过三个课时的探究，同学们了解了杨辉三角的历史背景、地位和作用，探究出了杨辉三角的性质，并探究了性质在生活中的应用。
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
高二数学选修：杨辉三角
（1）每一斜行的每个数字有什么特点？
探究2.斜行观察
第0行
第1行 第2行 第3行
第4行 第5行 第6行 第7行
1
11 12 1 13 3 1
14 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
（2）从数列的角度观察每一斜行，有什么规律？
2 3
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C50
C
1 5
C52
C
3 5
C54 C55
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
（1）同行数字有什么规律？对应组合数的哪个性质？ （2）相邻两行数字之间有什么规律？对应组合数的 哪个性质？
探究1.横行观察
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
（3）每行数字之和存在什么规律？
探究1.横行观察
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14641
第5行 1 5 10 10 5 1
探究2.斜行观察 （3）计算斜线上各行数字之和，得到怎样的一个数列？
杨辉三角的规律公式(a+b)的n次方
杨辉三角的规律公式(a b)的n次方
杨辉三角的规律以及推导公式：
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n+1项。
4、第n行数字和为2^(n-1)（2的(n-1)次方）。
5、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质。
介绍：
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，在欧洲，帕斯卡
（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形，帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。
结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。
高二数学说课稿之杨辉三角与二项式系数
高二数学说课稿之杨辉三角与二项式系数
高中各科目的学习对同学们提高综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，小编为大家整理了高二数学说课稿之杨辉三角与二项式系数，希望同学们学业有成!
一、教材背景分析
1.教材的地位和作用
《杨辉三角与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A 版选修2-3 第1 章第3 节第2 课时. 教科书将二项式系数性质的讨论与杨辉三角结合起来，是因为杨辉三角蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，杨辉三角是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.
本节内容以前面学习的二项式定理为基础，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.。
杨辉三角形通项公式
杨辉三角形通项公式杨辉三角形，这可是数学领域里一个相当有趣的存在！对于很多同学来说，一听到数学公式可能就觉得头疼，但咱们今天要聊的杨辉三角形通项公式其实并没有那么可怕。
先来说说啥是杨辉三角形。
杨辉三角形长得就像一个层层堆叠的金字塔，从最顶层的 1 开始，然后每一层的数字都是由上一层相邻的两个数字相加得来的。
比如说，第二层是 1 1 ，第三层是 1 2 1 ，第四层是 1 3 3 1 ，以此类推。
那杨辉三角形的通项公式到底是啥呢？其实就是用来描述杨辉三角形中每个位置上的数字的规律的表达式。
咱们来看个具体的例子哈。
比如说在第 5 行，数字是 1 4 6 4 1 。
用通项公式就能算出每个位置上应该是啥数字，是不是感觉挺神奇的？我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小同学瞪着大眼睛，满脸疑惑地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑着跟他说：“这用处可大啦！”就拿我们平常做的排列组合的题目来说，杨辉三角形的通项公式就能帮上大忙。
比如说要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这时候杨辉三角形的通项公式就能快速算出答案。
还有啊，在概率论中，也经常能看到杨辉三角形的身影。
它能帮助我们计算各种概率问题，让那些看似复杂的情况变得清晰明了。
在实际生活中，杨辉三角形的通项公式也有不少应用呢。
比如说在建筑设计中，计算不同结构的受力情况；在经济领域，分析市场的变化趋势。
总之，杨辉三角形通项公式虽然看起来有点复杂，但只要我们认真去理解，多做几道题练练手，就能发现它的魅力所在。
同学们，别害怕数学里的这些公式和定理，它们就像是一把把神奇的钥匙，能帮我们打开知识的大门，探索更多未知的世界！让我们一起加油，把杨辉三角形通项公式这个小难关给攻克下来！。
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10 10 10 5 1 15 20 15 15 6 1
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一 不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及 Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2. 性质
联系函数
2 n
n
证明：在展开式C 0a n
n 0 n
C a
1 n
1 n1 n
2 n
1 n
b C b
3 n 1 n
3 n
n1
n n 中 n
n n n
(1 1) C C C C (1) C 0 2 3 即0 C n C n C C n
0 n
1 n
2 n
n n
n 1 C
0 1 2 n Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 1 2n1
n 2 2
n 2 (C C C C )
0 n 1 n 2 n n n n
nC 2 C
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
C C C C
0 n n n 1 n
n 1 n n n
C C
2 n 0 n
n 2 n
C
n 1 n
C C C C
1 n
n 2n
m n m 再由 Cn 得 Cn
(C ) (C ) (C ) (C ) C .
0 2 n 1 2 n 2 2 n n 2 n n 2n
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
0 n 1 n 2 n r n
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C , C , C ,, C ， , C .
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
m m m 1 这就是组合数的性质 2: Cn C C 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
0 1 2 r n Cn , Cn , Cn ,, Cn ， , Cn .
C
f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当 n=6时，其图象是右图中的7个孤立 点.
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(20-r) 得
2(21-r)>3r
2 2 7 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
1 n
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
r n 可看成是以r为自变量的函数
16108642-
. .. .. . .
3
6
9
r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性” 、 “增减性与最大值” ， 一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
0 即证：n
C C C C 2
2(21-r)>3r
8 20 12 8
得7 2 r 8 2 5 5
12 8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
r=5.
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可 设第2r-1项系数最大。（以下同2）
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新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C ( ) (A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
学习小结:
作业:课本 P A 组第 8 题 ,B 组第 2 题 43
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
C 2C 3C n 1 C n 2 2 思考:求证：
0 n 1 n 2 n n n
n1
证明：∵ 2 C 2C 3C n 1 C
C 2C 3C n 1 C
0 n 1 n 2 n n n 0 n
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考 本课小结
思考三
作业:课本 P A 组第 8 题 ,B 组第 2 题 43
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当 n依次取1，2，3，…时，可列成下表： 在我国,很早 1 就有人研究过二 1 1 1 (a+b) → 项式系数表 , 南 1 2 1 (a+b)2→ 宋数学家杨辉在 1 3 3 1 (a+b)3→ 其所著的《详解 1 4 6 4 1 九章算法》中就 (a+b)4→ (a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现. (a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1