指数函数及其图像与性质
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
指数函数的图象和性质
1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1
指数函数的定义图象及性质_图文
一张报纸折叠39次，其高度可到达月球
对折次数 1
2
3
所得纸 的层数
2
4＝
8＝
函数关系是
在以下关系中：
底为常数
指数为自变量
形如 的函数叫做指数函数.
幂为函数
其中 为自变量，定义域为
探究：为什么要规定
探讨:若不满足上述条件
会怎么样?
（1）若 则当x > 0时，
当x≤0时, 无意义.
（2）若
则对于x的某些数值，可使
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
x
… -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
…8 4 2
1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x
… -2.5 -2 -1
-0.5 0
0.5 1 2
2.5 …
… 0.06 0.1 0.3 0.6 1 1.7 1 0.6 0.3 0.1 0.06 …
()
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
性质
一般地，函数 y =a x （a >0,a ≠ 1, x ∈R) 具有如下的性质
（1）定义域是实数集R， 值域是正实数集；
y
y = ( )x y = ( )x
y = 3x y = 2x
（2）函数的图象都通过点( 0, 1 ).
（3）当a > 1时，这个函数是增 函数，当x > 0 ,y > 1 ,当x < 0 时 ， 0 < y <1 ;
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
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指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式
指数函数的图象与性质•指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（∞，+∞）上是减函数在（∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1 当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1•底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。
利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，•指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.根式的性质2．有理指数幂考点1：指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2：指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ，【1，1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．总结思想与方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较。
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数图象及其性质
x 2 x
(0 y 2)
补充练习
1.下图是①y=ax ②y=bx ③y=cx ④y=dx的图像,则 a,b,c,d与1的大小关系是 (B) A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d
①
②
y③
B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c
④
1
O 1
x
2.若函数f ( x) (2a 1) 是减函数, 则a的取值范围是 . 1 x 1 3.函数y ( ) 的定义域是 , 2 值域是 .
-2
0.25 0.11
-1
0.5 0.33
0 1 1
1 2 3
2 4 9
3 8 27
...
10
1 024 59 049
... ...
... ... ...
做一做
描点画出图像 (1)当x<0时,总有2x > 3x; (2)当x>0时,总有2x < 3x; (3)当x>0时,y=3x比y=2x的函 数值增长得快.
例题讲解
4 x 2由于 2 , 则y a 是减函数 , 所以 5 0 a 1.
(1) y 3 ; (2) y (0.25) (3) y 0.4
1 x 1
2
例2.求下列函数的定义域、值域： 1 x
2 x 1
;
; (4) y 2 1;
x
1 (5) y 2
y 3x
y 2x
例题讲解 例1 (1)求使不等式4x>32成立的x的集合;
已知a
x
4 5
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
指数函数图象及性质
mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 2x 的图象的关系，
⑴ y 2x1 与 y 2x2
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑴列出函数数据表,作出图像
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( 1 0,且 1 1)
a
a
探究2:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y=-4x
(4) y=(-3)x
(5) y=xx
(6) y=3×4x
(7) y=3x+1
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
随堂练习：
函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的 值.
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为 [0.5，+∞）。
；
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
(1)(1)x2 8 32x 3
(2) ax22x ( 1 )x2 (a 0且a 1) a
例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；
指数函数的图象及性质
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
指数函数图像和性质_课件
0.4
2.5
10 20.2
比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值（常用的特殊值是0和1），再利用单调性比较大小
a>1
图
6
0<a<1
6
5
5
4
4
3
3
象
1
-4 -2
2
2
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
0
-1
2
4
6
1.定义域：R
性
2.值域：（0，+∞） 3.过点（0，1），即x=0时，y=1
x
x
-2
-1
0 1
1 2
2 4
3 8
2
1 2 x
1 8 8 1 27 1 27
1 4
4
1 2 2 1 3 3
1
1 1
3
1 3
x
1 9 9
1 2 3 1 3
1 4 9 1 9
1 8 27 1 27
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
x>0时，0<y<1 x<0时， y>1 在R上是减函数
比较下列各题中两个值的大小： ①
1 .7
2 .5
，
1.7
3
解 ：利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值；
5
；
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 在R上是增函数， 而2.5<3，所以，
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
指数函数的图像及性质 PPT
知新益能
1．指数函数定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__指__数__函__数___，其
中__x_为自变量，函数的定义域为_R__.
注意：
1.底数为常数，指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数？
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图 象
定义域为_R_；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性 质
根据指数函数的概念，求函数解析式． 例1 指数函数 f ( x) 的图象过点 （3 , 27)，求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解：设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ，即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ，即_x_＝__0_时，__y＝__1_ 若x>0，则__y_＞__1_； 若x>0，则_0_＜__y_＜__1_； 若x<0，则_0_＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9
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指数函数及其图像与性质
⑵能使用指数函数的图像及性质判断指数函数的单调性；
学习目标:
通过本情境的学习，你应该：
1、能理解指数函数的概念、图像及性质；
2、能在老师的指导下会画出指数函数的简图；
3、能在老师的指导下熟练使用指数函数图象及性质判断指数函数的单调性；
任务实施
引导问题6：通过看指数函数
y =2x
和y =1()2
x
的图像你能抽象出指数函数的图像具有什么性质？
引导问题7：完成下面的表格，完成之后请同学们互相对照。
指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的性质 指数函数y=a x
(a>0且a ≠1)
0<a<1 a>1
定义域 值域
当x=0时 函数值y= 函数值y= 单调性
引导问题8:完成下列例题：`
例1 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性： (1)
4x
y =； （2）3x
y -=； （3）
3
2x y =
例2已知指数函数()x
f x a =的图像过点92,4⎛⎫
⎪⎝⎭
，求(1.2)f 的值(精确到0.01)．
引导问题9：完成练习：
1． 判断下列函数在(),-∞+∞内的单调性： (1) 0.9
x
y =； (2)
π2x
y -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
； (3)
2
3x y =
．
2． 已知指数函数()x
f x a =满足条件8
(3)27f -=，求f (0.13)
的值(精确到0.001)．
3． 求下列函数的定义域： (1)
321
x y =
-；
(2)
y ．
成果展示与汇报
1、汇报时间：每小组给5分钟.
2、解说员：由小组成员推荐，组长选定。
3、汇报内容：
（1）先展示本组作业成果。
（2）判断一个函数是否为指数函数的过程中出现的问题，是如何解决的。
（3）小组成员中每个人的表现情况及学习情况。
4、汇报总结：由教师对学生提出的未解决问题进行逐一讲解，并对本次学习情境进行总结。
检查与评价
（以抽签的形式确定互评对象）。