知识点——集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。
集合与常用逻辑用语集合课件理
逻辑用语与集合运算的关系
逻辑用语和集合运算之间存在密切的关系。在数理逻辑中，逻辑运算符（如“和 ”、“或”、“非”等）可以用来对集合进行运算，从而引出集合论中的一些运 算和概念。
例如，“A和B的并集”可以看作是集合{A,B}的一个子集，因此可以用集合论中 的并集概念来研究逻辑运算符“和”。
05
集合与常用逻辑用语的学 习方法与技巧
常用符号
常用大写英文字母A、B、C等表示 集合，用小写英文字母a、b、c等表 示集合的元素。
描述法
用朴素的语言描述集合，例如{x|x是 1到100的整数}。
列举法
将集合的元素逐一列出，例如{1, 2, 3, ..., 100}。
集合的运算
并集
交集
将两个或多个集合的所有元素合并在一起， 形成一个新的集合。
含有有限个元素的集合称 为有限集。
无限集
含有无限个元素的集合称 为无限集。
02
常用逻辑用语
命题及其关系
命题
一个完整的、可以判断真 假的陈述句。
命题的否定
对命题的真实性进行否定 。
命题的否命题
对命题的否定进行否定， 与原命题等价。
命题及其关系
命题的逆否命题：将原命题的 条件和结论进行互换，并同时 对它们进行否定。
学习逻辑联结词
掌握“或”、“且”、“非”等逻辑联结 词的含义及使用方法。
学习充分条件与必要条件
理解充分条件与必要条件的定义及判定方 法。
学习量词
理解全称量词和存在量词的含义及使用方 法。
如何将集合与逻辑用语结合学习
理解命题的集合表 示
学习如何使用集合表示命题，了 解命题与集合之间的对应关系。
学习集合的逻辑运 算
集合与常用逻辑用语知识点汇总
集合与常用逻辑用语知识点汇总知识点一集合的概念与运算（一）、集合的基本概念1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；自然数集记作N；正整数集记作*N或N .+A B（四）、集合关系与运算的重要结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.n2n22.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) .知识点二 命题及其关系、充分条件与必要条件（一）、命题的定义可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（二）、四种命题及其相互关系 1.四种命题间的关系2.四种命题的真假关系（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关. （三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义1.若p q ；则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
2.若p q 且q p,则p 是q 的充要条件。
3.若有p q ，无q p ,则称p 是q 的充分不必要条件。
4.若有q p , 无p q ,则称p 是q 的必要不充分条件。
5.若无p q 且无q p,则p 是q 的非充分非必要条件。
（四）、充分、必要、充要条件的判断方法1.定义法根据p q ，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。
2.转化法根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转化为其逆否命题再进行判断，适用于条件和结论带有否定词语的命⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒题。
3.集合法根据p、q成立对象的集合间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母范围的推断问题。
《常用逻辑用语》集合与常用逻辑用语
用逻辑用语2023-11-07CATALOGUE目录•集合与常用逻辑用语概述•集合的表示方法与集合之间的关系•常用逻辑用语的基本概念和基本逻辑关系•常用逻辑用语的基本推理形式和方法•集合的常用逻辑用语在实际应用中的案例分析•总结与展望01集合与常用逻辑用语概述什么是集合集合的特性确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊的边界。
无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
互异性：集合中的元素是互不相同的，没有重复的元素。
定义：集合是由一组具有共同特征的元素组成的，这些元素可以是具体的也可以是抽象的。
集合的常用逻辑用语定义子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
符号表示为A ⊆B。
并集如果一个集合包含了两个或多个其他集合的所有元素，那么这个集合是这些集合的并集。
符号表示为A∪B。
补集如果一个集合的所有元素都不在另一个集合中，那么这个集合是另一个集合的补集。
符号表示为Ac。
集合符号通常用大写字母A、B、C等表示集合，并用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
真子集如果一个集合是另一个集合的子集，并且它们不相等，那么这个集合是真子集。
符号表示为A ⊄B。
交集如果一个集合只包含两个或多个其他集合的公共元素，那么这个集合是这些集合的交集。
符号表示为A∩B。
010203040506通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以更清晰地描述现实世界中的各种概念和现象。
描述组织推导使用集合的常用逻辑用语可以帮助我们组织和分类信息，以便更好地理解和处理数据。
通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以进行逻辑推理和推导，从而得出新的结论和发现。
03集合的常用逻辑用语的作用020102集合的表示方法与集合之间的关系将集合中的元素一一列举出来，例如{1, 2, 3, 4, 5}。
列举法用概括性的语言描述集合中的元素，例如{x|x是矩形}。
描述法用特定的符号表示集合，例如A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6}。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全单选题1、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .4、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.7、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N∗，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N∗时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.8、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a =−3时，A ={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a =−3满足要求．综上，a =2或a =−3．故选：D ．多选题9、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.10、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误. 由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD11、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD12、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．13、对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．a=b是ac=bc的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a>b是a2>b2的充要条件D．a<5是a<3的必要条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.填空题14、已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：a<－4或a>2分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.①当a>3即2a>a＋3时，A＝∅，满足A⊆B；.②当a≤3即2a≤a＋3时，若A⊆B，则有{2a≤a+3a+3〈−1或2a〉4，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.所以答案是：a<－4或a>215、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．16、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.答案：∉∉∉∈∈分析：由元素与集合的关系求解即可因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.解答题17、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p与q一真一假，然后分p真q假，p假q真，求解即可；（2）由p是q的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m>01−m≤−11+m≥5，从而可求出实数m的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).18、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤23.综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。
高中数学集合与常用逻辑用语知识点总结PPT课件
【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种 性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线 都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在 量词，并用符号“图片”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有 的”等； （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝ B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些 元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存 在”、“有一个”等特征都是存在量词命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“图片”， 读作“非p”或p的否定．
知识点5 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫作全称量词，并用符号“图片”表示．
【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有 题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词 语是“都” （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命 题．
知识点-集合与常用逻辑用语
知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊊B(或B⊋A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ⊋B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．【必会习题】1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于() A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，A∪(∁U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．7．给出以下四个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； ②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C8．设U 为全集，对集合A ，B 定义运算“*”，A *B ＝∁U (A ∩B )，若X ，Y ，Z 为三个集合，则(X *Y )*Z 等于( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z 答案 B解析 ∵X *Y ＝∁U (X ∩Y )，∴对于任意集合X ，Y ，Z ， ( X *Y )*Z ＝∁U (X ∩Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝(X ∩Y )∪∁U Z .9．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5， ∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。
集合与常用逻辑用语知识点
1集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示，元素三大性质：互异性，确定性，无序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示． 3集合相等：两个集合B A ,的元素一样，记作B A =．4元素与集合的关系：①属于：A a ∈;②不属于：A a ∉．5常用的数集及其记法：自然数集N ；正整数集+N N 或*；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ． 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中所有具有共同特征)(x P 的元素x 所组成的集合表示为})(|{x P A x ∈的方法；③图示法(Venn 图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．7集合间的基本关系：子集：对于两个集合B A ,，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合A 的子集，记作，读作A 包含于B ；真子集：如果B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ，读作A 真包含于B ． 8空集：不含任何元素的集合，用∅表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子集．9集合的基本运算：并集},|{B x A x x B A ∈∈=或 ；交集},|{B x A x x B A ∈∈=且 ； 补集},|{A x U x x A C U ∉∈=且(U 为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)． 运算性质：B A B B A ⊆⇔= ；B A A B A ⊆⇔= ；A A =∅ ；∅=∅ A ；∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)(，)()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==． 10充分条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，p 可以推出q ，记作q p ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：若q q p ,⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p p q ,⇒q ，则p 是q 的必要充分不条件；若q p ⇔，则p 是q 的充要条件； 若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．11全称量词及全称量词命题：短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号∀表示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．。
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》知识点总结
必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》1.元素 把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：···a b c 、、） 2.集合把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：···A B C 、、） 3.元素的特征 确定性、互异性、无序性. ①求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性. 4.元素与集合的关系 ①属于：a A ∈；②不属于：a A ∉.5.常用数集①自然数集 N （包含0和正整数） ②正整数集 *N 或+N③整数集 Z ④有理数集 Q ⑤实数集 R6.集合的分类 ①有限集；②无限集；③空集.7.集合的表示方法①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用{}括起来.例如{}1,3,5,7、{}2,4,6,8⋅⋅⋅，②描述法：把集合A 中所有具有共同特征()P x 的元素x 所组成的集合表示为{}()x A P x ∈.例如{}1020x x ∈<<Z 、{}21,x x k k =+∈Z③图示法（Veen 图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.例如8.常见集合的表示方法①方程的解集：{}230x x +=②不等式的解集：{}230x x +>③奇数集：{}21,x x n n =+∈Z ④偶数集：{}2,x x n n =∈Z⑤函数图象上的点构成的集合：(){},23x y y x =+⑥方程组的解： 或{}(1,1)①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集···），以及元素的范围（x ∈N 、*N 、Z 、R ···）.9.子集 集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素.记作：A B ⊆或B A ⊇ 读作：A 包含于B 或B 包含A①任何一个集合是它本身的子集.②若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆.10.集合相等若A B ⊆，且B A ⊆，则A B =.①若A B =，且B C =，则A C =. ②欲证A B =，只需证A B ⊆，且B A ⊆.11.真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A .记作：A ⫋B 读作：A 真包含于B 或B 真包含A()2,0x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭①若A ⫋B ，且B ⫋C ，则A ⫋C ②若A B ⊆，且A B ≠，则A ⫋B .③⊆和⫋用于集合和集合之间，∈和∉用于元素和集合之间.12.空集 不含任何元素的集合. 符号：∅①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解决有关A B =∅、A B ⊆等问题时，一定要先考虑∅ 的情况，以防漏解.13.子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有()n n *∈N 个元素,则其子集个数是2n ，真子集个数是21n -，非空子集个数是21n -，非空真子集个数是22n -.14.交集 属于集合A 且属于集合B .（A 和B 的公共部分）记作：A B 读作：A 交B 含义：{},A B x x A x B =∈∈且①A B B A =；②A A A =；③A A ∅=∅=∅；④()A B A ⊆；⑤()A B B ⊆；⑥A B A B A ⊆⇔=.15.并集属于集合A 或属于集合B .（包含A 和B 的所有元素）记作：A B 读作：A 并B 含义：{},A B x x A x B =∈∈或①A B B A =；②A A A =；③A A A ∅=∅=；④()A A B ⊆；⑤()B A B ⊆；⑥A B A B B ⊆⇔=.16.全集 研究问题中涉及的所有元素. 符号：U17.补集 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合.符号：A C U 含义：{}A U A C U ∉∈=χχχ，且①U A C U ∈；②Φ=U C U ；③U C U =φ；④A A C C U U =)(；⑤U A C A U=⋃； ⑥φ=⋂A C A U ；⑦)()()(B A C B C A C U U U =；⑧)()()(B A C B C A C UU U =. ⑨注意补集思想在解题中的运用，“正难则反”.18.命题可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.表示：“若p ，则q ”、“如果p ，那么q ”.其中p 为命题的条件,q 为命题的结论.19.充分条件与必要条件①“若p ，则q ”是真命题，即p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②“若p ，则q ”是假命题，即p q ⇒，则p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.判断充分条件、必要条件的三种方法：①定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假；②集合法：利用集合的包含关系判断；③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若12p p ⇒，23p p ⇒，则13p p ⇒.20.充要条件如果“若p ，则q ”和“若q ，则p ”都是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，则可记作p q ⇔，这时称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.充分条件、必要条件的判断：①p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的充分不必要条件 ②p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的必要不充分条件③p q ⇔ p 是q 的充要条件 ④p q ⇒且q p ⇒ p 是q 的既不充分也不必要条件21.全称量词 短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词. 符号：∀ 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.“对M 中任意一个x ，()p x 成立”用符号记为：,()x M p x ∀∈22.存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词. 符号：∃ 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.“存在M 中元素的x ，()p x 成立”用符号记为：,()x M p x ∃∈23.全称量词命题和存在量词命题的否定①全称量词命题,()x M p x ∀∈的否定为：,()x M p x ∃∈⌝.②存在量词命题,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝.①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.②全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.③一个命题和它的否定，只能是一真一假.【常见考法】一 集合的含义及表示1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．42．下列集合中，表示方程组 的解集的是（ ） 31x y x y +=⎧⎨-=⎩A ．{}2,1B ．{}2,1x y ==C ．(){}2,1D ．(){}1,23．已知集合{}1,2,3,4,5A =，()(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．下列各式中，正确的个数是:①{0}{0,1,2}∈；②{0,1,2}{2,1,0}⊆；③{0,1,2}∅⊆；④{0}∅=；⑤{0,1}{(0,1)}=；⑥0{0}=.A ．1B ．2C ．3D ．4二 集合间的基本关系1．已知集合{}22A x x x =∈-≤Z ∣，{1,}B a =，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1,1,0,2}-B ．{1,0,2}-C ．{1,1,2}-D ．{0,2}2．已知(){}ln A x y a x ==-，{}2540B x x x =-+<，若B C A U ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(],4-∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞3．集合，{}21,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为 A ．5 B ．8 C ．3 D ．24．已知集合{}2|230A x N x x *=∈--<，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为A ．2B ．3C ．4D ．85．已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．(],2-∞-C ．()2+∞，D ．[)2+∞，三 集合间的基本 运算 1．已知集合{}2log 1A x x =<，集合{B y y ==，则A B =（ ）A ．()0,∞+B ．[)0,2C ．()0,2D ．[)0,+∞ 2．已知集合{|A x x =是1~20以内的所有素数}，{}8B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}3,5,7B ．{}2,3,5,7C ．{}1,2,3,5,7D ．{}0,1,2,3,5,73．已知集合||32M x x =-<<∣， ，则（ ） A ．(2,2)M N ⋂=- B ．(3,2)M N ⋂=-C ．[2,)M N ⋃=-+∞D ．()3,M N ⋃=-+∞103x A x Z x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭1|42x N x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭4．设集合()(){}10A x x x a =--≥，{}1B x x a =≥-，若A B R =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],2-∞C ．1, D ．[)2,+∞ 5．已知集合(){}22,1A x y x y =+=，(){},1B x y x y =+=，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．∅ C ．(){}1,0 D ．()(){}0,1,1,06.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0},且N ⊆M,则实数a 的值为7.设集合A={x|a-2≤x ≤2a+3},B={x|x2-6x+5≤0}.(1)若A ∩B=B,求实数a 的取值范围;（2）若φ=)(B C A R ，求实数a 的取值范围；四 充分条件与必要条件1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断2．已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 3．设,m n R ∈，则“m n >”是 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知,a b 为实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知 p ：0≤2x -1≤1， q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数112m n -⎛⎫< ⎪⎝⎭a 的取值范围是( )A ．[0，12] B ．(0，12) C ．(－∞，0]∪[12，＋∞) D ．(－∞，0)∪(12，＋∞) 6．若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________．7．已知集合{}|A x x a =<，{}2|540B x x x =-+≥，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______.8．已知命题p ： ，q ：B ＝{x |x ﹣a ＜0}，若命题p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_____.9．已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.10．设集合{}2|320A x x x =++=，(){}2|10B x x m x m =+++=；（1）用列举法表示集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的充分条件，求实数m 的值.11．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤.（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.五 全称量词与存在量词1．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）2|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭A ．4a ≥B ．4a ≤C ．5a ≥D ．5a ≤2．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（ ）A ．所有能被2整除的正数都是偶数B ．存在三角形的一个内角，其余弦值为C ．m ∃∈R ，210x mx ++=无解D ．x ∀∈N ，32x x >3．将“222x y xy +≥对任意实数,x y 恒成立”改写成符号形式为（ ）．A ．,x y ∀∈R ，222x y xy +≥B ．,x y ∃∈R ，222x y xy +≥C ．0x ∀>，0y >，222x y xy +≥D ．0x ∃<，0y <，222x y xy +≥ 4．已知:R p x ∃∈，220mx +≤，:R q x ∀∈，2210x mx +>﹣，若q p 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}1m m ≥B ．{}1m m ≤-C ．{}2m m ≤-D ．{}11m m -≤≤5．若命题“∃x ∈R ，使2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．(][,13,)-∞-⋃+∞ 6．下列命题中，真命题的个数是（ ） ① 的最小值是22；②x N ∃∈，2x x ≤；③若x A B ∈，则x A B ∈；④集合{}210A x kx x =-+=中只有一个元素的充要条件是14k =. A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．下列叙述正确的是（ ）A ．已知0x >，则 的最小值是2B ．已知a ，b 为实数，则a b >是 的充要条件C ．已知,x y R ∈，“1xy <”是“x ，y 都小于1”的必要不充分条件D ．若命题p ：1,x ∀>213x +>，则p 的否定是：1,x ∃>213x +≤8．命题“x R ∀∈，使20x a -≥”是真命题，则a 的范围是________.9．四个命题：①x R ∀∈，2320x x -+>恒成立；②0x Q ∃∈，202x =；③0x R ∃∈，2010x +≠；④x R ∀∈，224213x x x >-+.其中真命题为________.10.设命题P ：实数x 满足，命题q ：实数x 满足 若 a=3 且 q p 为真，求实数 x 的取值范围；32224y x +42x x ++11a b<12．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根．．。
第一章集合与常用逻辑用语高考知识点复习
第一章 集合与常用逻辑用语
一 集合的含义与表示
1. 集合的含义
一般地，由若干研究对象组成的总体叫做集合，研究对象叫做集合的元素。
2. 元素与集合的关系
① 元素属于集合，记为：a A ∈
② 元素不属于集合，记为：a A ∉
3. 集合中的元素特征
①确定性:一个集合一但确定，集合中的元素也是确定的.
②互异性：集合中的元素必须是互异性
③无序性：集合与其元素的排列顺序无关.
4. 集合的分类
有限集无限集
⎧⎨⎩ 特别：把不含任何元素的集合称为空集，记为
5.名称
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N *N 或N + Z Q R
6. 集合的表示方法
列举法、描述法、Venn 图表法
二 集合间的基本关系
1. 子集
文字语言：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集。
符号语言：B A ⊆或A B ⊇。
图形语言：
Venn 图.
特别:1)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ
2）空集是任何空集合的子集
3）任何集合都是它本身的子集
2.真子集
如果集合A B ⊆，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真
B A
子集，记作A B (或B A)。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义课件
[解] ∵-3∈A,∴—3=a—3 若 — 3=a—3,
或 — 3=2a—1,
则a=0,
此时集合A 中含有两个元素 — 3, — 1,符合题意；
若 — 3=2a—1, 则 a=—1,
此时集合A 中含有两个元素 — 4, — 3,符合题意.
综上所述，a=0 或 a=—1.
第一章 集合 常用逻辑用语
1.1 合 的 概 念
第 1 课 时 集合的含义
学
2. 掌 握 集 合 中
素与集 住常用数集的表示 点 、易混点)
核心素养
合概念的学习，逐步 抽象素养. 集合中元素的互异性
由
培养逻辑推理素养.
自主预
新
新知初探
1.元素与集合的相关概念
(1)元素： 一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母
个 集 合 .B项，方程x²—9=0 在实数范围 内的解，元素具有确定性、互异性、无序 性，能构成一个集合.C 项 ，√3的近似值 的全体，元素不具有确定性，不能构成一 个集合 .D 项，某校身高深过170厘米的同 学，同学身高具有确定性、互异性、无序 性，能构成一个集合.故选C.]
解析答案
4. 已知集合 A 含有两个元素a—3 和 2a—1, 若一3∈A, 试求实数a 的值.
(2)集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A, 有6—a∈A,a=2∈A,6—a =4∈A,
所以a=2, 或者a=4∈A,6—a=2∈A, 所以a=4, 综上所述，a=2 或4.故选B.]
判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知 集合中是否出现即可.
提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.
课 堂 小结 1.判断一组对象的全体能否构成集合的根据是元素的确定性，若考 查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合. 2.集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围) 时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求. 3.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的 意识.
高三数学集合与常用逻辑用语知识点框架
高三数学集合与常用逻辑用语知识点框架一、集合1. 集合的概念集合就像是一个大盒子，把一些特定的东西都装在里面。
比如说，一个班级里所有同学就可以看成一个集合。
集合里的这些东西呢，就叫做元素。
元素可不能随便乱塞哦，它得有一定的确定性。
就像你不能说“那些比较高的同学”是一个集合，因为“比较高”这个标准不明确，但是“这个班级里身高超过170厘米的同学”就可以是一个集合啦。
集合的表示方法也挺有趣的。
有列举法，就像把集合里的元素一个一个列出来，比如{1,2,3}，这就表示一个由1、2、3这三个元素组成的集合。
还有描述法，就像{x x是大于5的整数}，这就是说这个集合里的元素x是满足“大于5的整数”这个条件的。
2. 集合间的关系子集就像是小盒子放在大盒子里。
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那A就是B的子集，记作A⊆B。
比如说{1,2}是{1,2,3}的子集。
还有真子集呢，如果A是B的子集，但是A不等于B，那A就是B的真子集，就像{1,2}是{1,2,3}的真子集，记作A⊂B。
集合相等也很有意思。
如果集合A和集合B的元素完全一样，那A就等于B，这时候A⊆B而且B⊆A。
3. 集合的运算交集就像是找两个集合的共同部分。
比如说集合 A = {1,2,3}，集合B = {2,3,4}，那A和B的交集A∩B = {2,3}。
就好比两个朋友圈，交集就是那些两个朋友圈里都有的朋友。
并集呢，就是把两个集合的所有元素都放在一起组成一个新的集合。
还是上面那两个集合，A和B的并集A∪B = {1,2,3,4}。
这就像是把两个朋友圈的人都拉到一个大群里。
补集就有点像找剩下的部分。
如果有一个全集U，集合A是U 的子集，那A在U中的补集就是在U里但不在A里的元素组成的集合。
比如U = {1,2,3,4,5}，A = {1,2}，那A在U中的补集∁UA = {3,4,5}。
二、常用逻辑用语1. 命题命题就像是一个有明确判断的句子。
比如说“三角形的内角和是180度”这就是一个命题，它要么是对的，要么是错的。
集 合 常用逻辑用语知识
集合常用逻辑用语知识集合与常用逻辑用语是数学中非常基础且重要的概念，它们在我们解决各种数学问题以及理解和表达逻辑关系时发挥着关键作用。
集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。
比如，我们班所有同学就可以构成一个集合，这个集合里的元素就是每一位同学。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
确定性指的是对于一个对象，能明确它是不是属于这个集合；互异性就是集合里的元素不能重复；无序性意味着集合中元素的排列顺序不影响集合本身。
集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一一列出来，像{1, 2, 3, 4, 5}就是用列举法表示的集合。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
图示法常见的有韦恩图，它能很直观地展示集合之间的关系。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么 A 就是 B 的子集，记作 A⊆B。
要是 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不在 A 中，A 就是 B 的真子集，记作A⊂B。
当两个集合的元素完全一样时，它们就相等。
集合的运算有交集、并集和补集。
交集就是两个集合中共同的元素组成的集合，记作A∩B。
并集则是把两个集合中的所有元素放在一起组成的集合，记作 A∪B。
补集是在给定的全集 U 中，属于 U 但不属于集合 A 的元素组成的集合，记作∁UA。
常用逻辑用语包括命题、充分条件、必要条件、充要条件等。
命题是可以判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”，这就是一个命题。
充分条件指的是如果有条件 A 能推出结论 B，那么 A 就是 B 的充分条件。
比如说“如果一个数是偶数，那么它能被 2 整除”，“一个数是偶数”就是“能被 2 整除”的充分条件。
必要条件则是如果由结论 B 能推出条件 A，那么 A 就是 B 的必要条件。
还拿刚才的例子，“能被 2 整除”就是“一个数是偶数”的必要条件。
01第一章 集合与常用逻辑用语(精编版)
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合知识回顾1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N *或N + Z Q R①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．高频考点高频考点一：集合的含义与表示1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ）A ．{x |x =1}B ．{x |x =2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,43．集合*63A Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（ ）A ．{}3,6B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6----高频考点二：集合间的基本关系1．已知集合3{|3}A x N x -∈≤≤＝，则有（ ）A ．1A -∈B ．0A ∈C ．3A ∈D ．2A ∈2．已知集合{}13,A x x x N =-<<∈，则集合A 的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．163．已知集合{}()(){}3,4,30,M N x x x a a ==-+=∈R ∣， 若M N ， 则=a （ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-高频考点三：集合的基本运算1．已知集合{}1A x x =≥-，{}11B x x =-≤≤，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅2．已知全集{}0,1,2,3,4U =，设集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则()=A C B U （）A ．{}3B ．∅C ．{}1,2D ．{}03．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,4A =，则=A C U （ ）A ．{}2,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,44．已知集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则A B ⋃=（ ）A ．{}1,0,1,3-B ．{}1,1-C ．{}1,0,3-D ．{}15．已知集合{}{}1,2,1,3A B ==，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．∅6．设全集{}0,1,2,3,4U =，已知集合{}{}0,1,2,0,2,3A B ==，则如图所示的阴影部分的集合等于（ ）A ．{}0,2B ．{}3C ．{}3,4D ．{}1,47．已知集合A ＝{}123x m x m -≤≤+， ．(1)当m ＝1时，求A B ，(A C R )B ；(2)若A B ＝A ，求实数m 的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．① 函数2()4f x x =-+的定义域为集合B ；② 不等式2x ≤的解集为B ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1.2常用逻辑用语知识回顾1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；（2）若p q ⇒且p q ≠>，则p 是q 的充分不必要条件；（3）若q p ≠>且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（4） 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；（5）若q p ≠>且p q ≠>，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.（2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（3）全称量词命题及其否定①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈.②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝.（4）存在量词命题及其否定①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈.②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝.高频考点高频考点一：充分条件与必要条件1．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“存在R x ∈，20x +≤”的否命题是：“存在R x ∈，20x +>”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“存在R x ∈，使得210x x +-<”的否定是：“任意R x ∈，均有210x x +->”D ．命题“若sin sin x y ≠，则x y ≠”的为真命题2．“0<x <2”成立是“2x <”成立的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．设R x ∈，则“4x >”是“4x >”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．条件p ：－2<x <4，条件q ：(x ＋2)(x ＋a )<0；若q 是p 的必要而不充分条件，则a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．(－∞，－4) C ．(－∞，－4] D ．[4，＋∞)5．已知集合{|211}A x a x a =-≤≤+，{|03}B x x =≤≤．(1)若a ＝1，求A B ；(2)给出以下两个条件：①A ∪B ＝B ；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a 的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）高频考点二：全称量词与存在量词1．命题：“()1,x ∀∈+∞，210x ->”的否定是（ ）A ．()1,x ∃∈+∞，210x ->B ．()1,x ∃∈+∞，210x -≤C ．()1,x ∀∈+∞，210x -<D ．()1,x ∀∈+∞，210x -≤2．已知命题:R p x ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝是（ ）A ．R x ∀∉，ln 10x x -+≥B ．R x ∀∈，ln 10x x -+≥C ．R x ∃∉，ln 10x x -+≥D ．R x ∃∈，ln 10x x -+≥3．已知命题:0,20x p x e x ∃>+->，则p 的否定是（ ）A ．0,20x x e x ∃>+-≤B ．0,20x x e x ∃≤+->C ．0,20x x e x ∀>+-≤D ．0,20x x e x ∀≤+->4．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.5．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______.1.3集合与常用逻辑用语实战 一、单选题 1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．上课迟到的学生B ．小于π的正整数C ．2022年高考数学试卷上的难题D ．所有有理数2．下列结论不正确的是（ ）A ．0∈NB ．12∈Q C ．2R D ．1-∈Z3．以下五个写法中：①{}{}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆ ；③{}0∅∈；④{}{}0,1,22,0,1= ；⑤0∈∅；正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．命题“[]1,2x ∀∈，2320x x -+≤”的否定为（ ）A ．[]1,2x ∀∈，2320x x -+>B ．[]01,2x ∃∈，200320x x -+≤C ．[]01,2x ∃∈，200320x x -+> D ．[]01,2x ∃∉，200320x x -+>5．已知集合{}{}2,0,1,0,1,2A B =-=，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．2,0,1C ．{}0,1,2D ．2,0,1,26．设x ∈R ，则“12x <<”是“2230x x --<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设集合M ={5，x 2}，N ={5x ，5}．若M =N ，则实数x 的值组成的集合为（ ）A ．{5}B ．{1}C ．{0，5}D ．{0，1}8．命题“()0,x ∀∈+∞，()ln 3sin x x +>”的否定为（ ）A ．()0,x ∀∉+∞，()ln 3sin x x +≤B ．()0,x ∃∉+∞，()ln 3sin x x +≤C ．()0,x ∃∈+∞，()ln 3sin x x +≤D ．()0,x ∀∈+∞，()ln 3sin x x +≤9．设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题10．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3A =，集合A 与B 的关系如图，则集合B 可能是（ ）A ．{}2,4,5B ．{}1,3C ．{}1,6D ．{}2,311．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）A ．R x ∃∈，2104x x -+<B ．所有的正方形都是矩形C ．R x ∃∈，2220x x ++=D ．至少有一个实数x ，使310x += 13．命题“∀1≤x ≤3，2x －a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥9B ．a ≥11C ．a ≥10D ．a ≤10三、填空题14．若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.（写出满足题意的一个即可）15．用列举法表示6N N 1a a ⎧⎫∈∈=⎨⎬-⎩⎭∣__________________． 16．已知集合[)3,6A =-，(),B a =-∞，若A B =∅是假命题，则实数a 的取值范围是______． 17．已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________.。
知识点——集合与常用逻辑用语
知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.3.1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；(3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若AB 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 【必会习题】1．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或3 答案 B解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A ，∴m ∈{1,3，m }，∴m ＝1或m ＝3或m ＝m ， 由集合中元素的互异性易知m ＝0或m ＝3.2．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ?B ，则a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤2} 答案 A解析若A?B，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5}答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4．满足条件{a}?A?{a，b，c}的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(?U B)等于()A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，A∪(?U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．7．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A．①B．②C．③D．④答案 C8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝?U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z等于()A．(X∪Y)∩?U Z B．(X∩Y)∪?U Z C．(?U X∪?U Y)∩Z D．(?U X∩?U Y)∪Z答案 B解析∵X*Y＝?U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z，( X*Y )*Z＝?U(X∩Y)*Z＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪?U Z.9．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5?M ，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5， ∴5?M 时，a <－2或a ≥5.10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1?－1≤x ＋12－1≤1?0≤x ＋12≤2?－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)?[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0?1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理1.集合是由一组对象组成的整体。
A set is a whole composed of a group of objects.2.如果A是B的子集，则B包含A的所有元素。
If A is a subset of B, then B contains all elements of A.3.并集是指集合中所有元素的总集合。
The union is the total set of all elements in a set.4.交集是指集合中共同元素的集合。
The intersection is the set of common elements in a set.5.补集是指所有不属于该集合的元素的集合。
The complement is the set of all elements not belonging to that set.6.空集是不包含任何元素的集合。
The empty set is a set with no elements.7.子集个数为n的集合，其幂集的元素个数为2的n次方。
For a set with n elements, the number of elements in its power set is 2 to the power of n.8.逻辑与表示同时满足两个条件。
Logic AND represents the satisfaction of two conditions simultaneously.9.逻辑或表示满足其中一个条件即可。
Logic OR represents the satisfaction of one condition.10.逻辑非表示条件的否定。
Logic NOT represents the negation of a condition.11.逻辑等价表示两个条件具有相同的真值。
Logic equivalence indicates that two conditions have the same truth value.12.逻辑蕴含表示如果条件A成立，则条件B一定成立。
集合与常用逻辑语课件
目录
• 集合基本概念及性质 • 常用逻辑用语介绍 • 逻辑推理方法论述 • 集合在解决实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
集合基本概念及性质
集合定义及表示方法
集合定义
集合是具有某种特定性质的事物 的总体，事物称为元素。
表示方法
集合通常用大写字母表示，如A、 B、C等。元素用小写字母表示， 如a、b、c等。若元素a属于集合A， 则记作a∈A。
2 解析
首先解出集合A的元素为{1,2}，然后根据B⊆A，分别讨论 B为空集、单元素集、双元素集的情况，求出a的取值范围。
3 例题2
设集合M={x|x=k/2+1/4,k∈Z}， N={x|x=k/4+1/2,k∈Z}，则（ ）
4 解析
通过观察可知，集合M中的元素可以表示为N中的形式， 但N中的元素不一定能表示为M中的形式，因此M⊆N。
“且”的性质
当且仅当两个简单命题都为真时 ，复合命题才为真。
“非”的性质
简单命题为真时，复合命题为假 ；简单命题为假时，复合命题为 真。
01
逻辑联结词
用于连接简单命题，构成复合命 题的词。常见的逻辑联结词有“ 且”、“或”、“非”等。
02
03
04
“或”的性质
只要两个简单命题中有一个为真 ，复合命题就为真。
03
逻辑推理方法论述
直接证明法
定义
直接证明法是一种通过直接推导出结论的方 式来证明某个命题的方法。
适用范围
适用于那些可以通过简单推理或计算就能得 出结论的命题。
步骤
首先明确要证明的命题，然后寻找支持该命 题的证据或理由，最后根据这些证据或理由 推导出结论。
集合与常用逻辑用语重要知识点
集合与简易逻辑重要知识点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾： （一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅）4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②，且21≠≠y x 3≠+y x . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间）则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解的讨论.0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2.分式不等式的解法原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
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知识点——集合与常用逻辑用
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知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】
一、集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.
3.
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.
2．ABA∩B＝AA∪B＝B.
3．A∩(U A)＝；A∪(U A)＝U；U(U A)＝A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件
(1)如果pq ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果pq ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果pq ，且qp ，则p 是q 的充要条件； (4)如果qp ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件；
(5)如果p
q ，且q
p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若AB ，则p 是q 的充分条件； (2)若AB ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若AB ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若AB ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A
B 且AB ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【易错提醒】
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，，{0}：0是一个实数；是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0，而{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
4．空集是任何集合的子集．由条件AB ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝的情况．
5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．
6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
【必会习题】
1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()
A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3
答案 B
解析∵A∪B＝A，∴BA，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若AB，则a的取值范围是()
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案 A
解析若AB，则a≥2，故选A.
3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()
A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C
解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.
4．满足条件{a}A{a，b，c}的所有集合A的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．
5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(U B)等于()
A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
A∪(U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，
∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．
7．给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；
②若a>b，则am2>bm2；
③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；
④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()
A．① B．② C．③ D．④
答案 C
8．设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝U(A∩B)，若X，Y，Z为三个集合，则(X*Y)*Z等于()
A．(X∪Y)∩U Z B．(X∩Y)∪U Z C．(U X∪U Y)∩Z D．(U X∩U Y)∪Z
答案 B
解析∵X*Y＝U(X∩Y)，∴对于任意集合X，Y，Z，
( X*Y )*Z＝U(X∩Y)*Z＝U[U(X∩Y)∩Z]＝(X∩Y)∪U Z.
9．已知M是不等式ax＋10
ax－25≤0的解集且5M，则a的取值范围是________________．答案(－∞，－2)∪[5，＋∞)
解析若5∈M，则5a＋10
5a－25
≤0，
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a＜5，
∴5M时，a<－2或a≥5.
10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案(－∞，－4]
解析由命题q：实数x满足x2＋2x－8>0，得x<－4或x>2，
由命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，得(x－3a)(x－a)<0，∵a<0，∴3a<x<a，
∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．
11．已知命题p ：⎪⎪⎪
⎪⎪⎪1－
x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)
解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1－x ＋12≤1－1≤x ＋12－1≤10≤x ＋12≤2－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；
∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)[x －(1－m )][x －(1＋m )]<01－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，
∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧
1－m <－1，
1＋m >3，
解得m >2.。