奥数题 等差数列求和及应用一

等差数列求和及应用一

等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫

做末项。（以下公式要求熟记）

基本公式：和=（首项+末项）×项数÷2末项

=首项+（项数-1）×公差

项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项

数-1）×公差

公差=

1

--项数首项

末项

例1、 计算：1+2+3+4+…+99+100=？ 例2、 计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=？ 例3、 数列4，9，14，19，…的第80项是多

少？

例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，…这数列中前100个数的和是多少？ 例5、 求100至200之间被7除余2的所有三

位数的和是多少？

例6、 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛？⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？ 例7、 小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。问小红家的门

牌是几号？全胡同里共有几家？ 例8、 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。问：共有多少个

盒子？ 家庭作业：

【1】计算⑴2+4+6+8…+198+200⑵

3+10+17+24+31+…+94 ⑶77+74+71+……+11+8+5

【2】已知等差数列3，7，11，15， (195)

问这个数列共有多少项？

【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的

第25项是多少？第36项是多少？ 【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末

项为154，这个数的首项是多少？ 【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，

公差是6，这列数的总和是多少？ 【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数

的前50个数的和是多少？

【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91

场比赛，有多少人参加了选拔赛？ 【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多

少米？

【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。问：共

有多少个同学？我报的数是几？

【10】7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？ 【11】编号为1—9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖。如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？如果3号盒子里放了23粒糖呢？

体育比赛中的数学问题

例1、 三年级一班组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投5个球，投进了3个，那么他应该得多少分？ 例2、 甲、乙、丙3人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同，问第一名胜了

几场？

例3、 甲、乙、丙、丁等4人进行乒乓球比赛，每2人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，问丁胜了多少场？ 例4、 甲、乙、丙、丁与小华等5个人参加乒乓球比赛，每2人都要比赛1盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了

2盘，丁赛了1盘，小华赛了几盘？ 例5、 ⑴世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛。每场比赛胜队得3分，败队得0分。平局时两队各得1分，各小组之间全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。如果积分相同，要按小分排序。问一个队至少要积几分才能保证本队出线？简

述理由。

（2）在上述世界杯足球小组赛中，若有一个

队总积3分，问：这个队有可能出线吗？为什么？ 例6、有A,B,C 三个足球队,两两比赛1场,一

例7、A ，B ，C ，D ，E 等五人参加乒乓球比赛。

每两个人都要赛一场，并且只赛一场，规定

胜者得2分，负者得0分，已知比赛得结果

如下：⑴A 与B 并列第一名；（2）C 是第三名；

⑶D 和E 并列第四名。求C 的得分。

例8、六个足球队进行单循环比赛，每两队都

要比赛一场。如果踢平，每队各得1分，否

则胜队得3分，负队得0分。现在比赛已进

行了四轮（每队都已与4个队比赛过），各队

4场得分之和都互不相同。已知总分居第三

位的队共得7分，并且有场球赛踢成平局，

总得分居第五位的队最多可得分，最少可得

分。

例9、 在某市举行的一次乒乓球比赛中，有6

名选手参赛。其中专业选手与业余选手各3

名。比赛采用单循环方式进行，就是说每两

名选手都要比赛一场。为公平起见，用以下

方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底

分，每赛一场，胜者加分，负者扣分；每胜

专业选手一场的加2分，每胜业余选手一场

的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余

选手每负一场扣1分。现问：一位业余选手

至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？

家庭作业：

【1】三年级六个班举行拔河循环赛，每个班

要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？

【2】在一次排球联赛中，所有参赛队每两队

都要赛1场，共赛21场，问有多少个队参加？

【3】某校五年级五个班各派一队参加小足球

比赛，每两队都要比赛一场，到现在为止，一

班赛了4场，二班赛了3场，三班赛了1场，

那么五班赛了场。

【4】甲、乙、丙、丁与小明等五位同学进入

象棋比赛。每两人都要比赛1盘，每胜1盘得

2分，和1盘得1分，输一盘得0分。到现在

为止，甲赛了4盘，共得2分；乙赛了3盘，

得了4分；丙赛了2盘，得了1分，丁赛了1

盘，得了2分，那么小明现在已赛了盘，得分。

【5】五所小学进行足球赛，每两所学校赛一

场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平

各和1分。已知四所小学的得分分别为8、7、

4、1，第五所小学的得分最多是。

（排队赛1分，输队得0分）；且B 队名列第四。试问：在A 、B 赛，每一队与另外两队各赛一场，现在知道：⑴意大利队总进球数是0，并且有一场平局；⑵荷兰队总进取球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。按规定，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，那么德国队共得分。 【8】德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球赛，每队与另外两队各比赛一场。现在知道： ⑴意大利总进球是0。并且有一场打了平局。 ⑵荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且经恰好胜过1场。 按照规则胜1场得2分，平一场得1分，负一场得0分。那么，德国队得了分。 【9】四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。比赛结果各队得分恰好是连续自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？ 【10】四名棋手进行循环比赛，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。如果各人得的总分不同，第一名不是全胜，那么至少多有局是平局。 【11】1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支足球队分在同一小组。在小组赛中这4支队伍中的每支队伍都要与其他3队比赛1场，根据规定：每场比赛胜队可得3分，负队得0分，如果双方踢平，两队各记1分。已知：⑴这4支队比赛得总得分为4个连续奇数；⑵乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。根据以上条件可以推断：总分排在第四位的是队。 图形的切拼

例1、 用两块相同的直角三角板（不等腰）可以拼成哪几种图形？ 例2、 长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小形状都相等的两块，并使它们拼成一个正方形。 例3、 把下面16个小方体方格分成两块，然