分块矩阵及其运算
§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
分块矩阵及其运算
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
矩阵分块法
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵及其运算
F
0
I
D
CF F
C
I
=
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得
线
k 0 k 3k
2 2 1 3
kA 0 k
2k
4k
,
A
B
2
1
2 4 性
0 0 k 0
0 0
0
k
=
WC+YB I2 , 将W 0代入 Y B1,
所以
D1
A1
0
A1CB1
B1
=
返回
线
性
谢谢观赏
代
数
=
=
矩阵X
0 C
A
0
也可逆, 且X
1
0
A1
C1
0
线
解：设X
1
B1
B3
B2 B4
,
XX
1
AB3
CB1
AB4 CB2
I1
0
0
I
2
性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I2为与C同阶的单位阵,
则 AB3 I1 B3 A1, AB4 0 B4 0,
B1s
B2
s
代
Bts
数
=
, Btj的行数
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
2.5 分块矩阵的运算
求A
1
解
2 3 A 0 0 0
3 0 0 0 6 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 2 0 0 7 5
则
2 3 A1 3 6
A2 4
3 2 A3 7 5
A1 A
其中Aij与Bij的行数相同,
列数相同, 则
A11 B11 A1r B1r A B A B A B sr sr s1 s1
A11 A1r 2 设 A A A sr s1 为数, 则
A11 A 0
A11 0
1
A11 A12 A22 1 A22
1 1
1
A12 A11 A22 0
A11 A12 A22 1 A22
1 1
A11 A11 0
1
A11 A11 A12 A22 A12 A22 1 A22 A22
2.5 分块矩阵的运算 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵为了 简化运算，常采用分块法， 使大矩阵运算化成小矩阵的运算 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每个小矩阵称为
A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵. a 1 0 0 例
0 a 0 0 A 1 0 b 1 0 1 1 b
0 0 1 b
A1 A2 A3 A4
二、分块矩阵的运算法则
1 设A与B的行数相同, 列数相同,
采用相同的分块法, 有
A11 A A s1 B11 B B s1
A1r Asr B1r Bsr
§4 矩阵分块法
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 1 C 3 C4 b
19 June 2018
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B1 0 B2 b B 3 b
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
19 June 2018
3 3
第二章 矩阵及其运算
a 0 又如 A 1 0
19 June 2018
9 9
第二章 矩阵及其运算
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A1 A2 As .
A1 6设 A A2 , As
o
o
A21
若 Ai 0 i 1, 2,
A11 A 1
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a a 0 A4 ,其中 A2 4 1 3 0 1 b 1 b 0
5 5
© 2009, Henan Polytechnic University §4 矩阵分块法
第四节 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、矩阵分块的运算法则
1
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的
运算. 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线
分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
第二章分块矩阵
分块矩阵1 分块矩阵及其运算对矩阵进行＂分块＂是处理较高阶矩阵的一种常用技巧，分块矩阵的运算能使矩阵间的一些关系更清楚地反映出来．将n m ⨯矩阵A ()n m kl a ⨯=作如下分块s tm m m n st t t n s n s A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==()ts ij A ⨯其中ij A 是j i n m ⨯矩阵（s i ,,2,1 =，t j ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n tj j =∑=1．这里A 既是以数kl a 为元素的n m ⨯数字矩阵，又是以矩阵ij A 为元素的t s ⨯分块矩阵．注: 在分块矩阵中,每一行小矩阵有相同的行数,每一列小矩阵有相同的列数,在对一个矩阵进行分块时,一定要注意这一点.不能把分块矩阵简单地理解为“以矩阵为元素的矩阵”.比如: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 其中()()98,7,63,542122211211==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A A ,不是⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A 的分块.分块矩阵的运算数字矩阵的运算可以用分块矩阵进行操作，换句话说，数字矩阵的运算可以转化为分块矩阵的运算．所以分块矩阵的运算不是矩阵的新运算，只不过是数字矩阵运算的一种新的运算方法，其运算的结果与数字矩阵的运算结果是一致的．加法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，()ts ijn m B B ⨯⨯=，其中ij ij B A ,是j i n m ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n n tj j =∑=1，则()ts ij ij B A B A ⨯+=+．乘法 设()ts ijn m A A ⨯⨯=,()rt jkl n B B ⨯⨯=，其中ij A 是j i n m ⨯矩阵，jk B 是k j l n ⨯矩阵（s i .,2,1 =；t j ,,2,1 =；r k ,,2,1 =），m msi i=∑=1，n n t j j =∑=1，l l rk k =∑=1，则()r s ik C AB ⨯=C =，其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =）．数乘 设()ts ijn m A A ⨯⨯=，则()ts ijkA kA ⨯=．分块矩阵的运算规则可以用一句话概括成“只要运算有意义，分块矩阵的运算可以按照数字矩阵的运算规则进行运算”．这里的“运算有意义”是指运算对矩阵行数、列数的相应要求，它包含三层意思：第一 分块之前的两数字矩阵运算要有意义（相加时两矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一矩阵的列数要等于后一矩阵的行数）；第二 分块以后的两个分块矩阵的运算要有意义（相加时两分块矩阵的行、列数分别相同；相乘时前一分块矩阵的列数要等于后一分块矩阵的行数）；第三 各对子矩阵的运算要有意义（各对相加的子矩阵的行、列数分别相同；各对相乘的子矩阵中前一子矩阵的列数要等于后一子矩阵的行数）．要保证运算有意义，只需把握住分块环节即可，具体地说：在用分块方法作矩阵加法时，两数字矩阵行和列的分法应当分别一致；在用分块方法作矩阵乘法时，前一数字矩阵列的分法与后一数字矩阵行的分法应一致．注意：在分块矩阵的乘法中，各子矩阵的先后顺序不能随意颠倒，应与其母矩阵的先后顺序一致．下边证明分块矩阵的上述乘法规则．矩阵()nm ija A ⨯=的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块（也称为A 的子矩阵，A叫该子矩阵的母矩阵）记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r j j j i i i A 2121，以后总假定s r j j j i i i <<<<<< 2121,． 例如：由元素ij a 构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=j i A a ij ； 由A 的第i 行元素构成的子块为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n i A a a a in i i 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----i A ）； 由A 的第j 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛j m A a a a mj j j 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j A ）； 由A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n i i i A r 1221（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----r i i i A 21）；由A 的第s j j j ,,,21 列元素构成的子块为⎭⎬⎫⎩⎨⎧s j j j m A 2112（简记为⎭⎬⎫⎩⎨⎧----s j j j A 21）． 由矩阵的乘法可知，AB 的),(j i 元等于A 的第i 行与B 第j 列元素的对应乘积之和，即： ))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j B iA j i AB ．由此易得 ))(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j B i i i A j j j i i i AB ，即：AB 的位于r i i i ,,,21 行、s j j j ,,,21 列的子块等于A 的第r i i i ,,,21 行元素构成的子块与B 第s j j j ,,,21 列元素构成的子块的乘积． 特别地 B i A B i A i AB )())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，即：AB 的第i 行元素构成的子块等于A 的第i 行元素构成的子块与B 的乘积．)())(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧--------=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j B A j B A j AB ，即：AB 的第j 列元素构成的子块等于A 与B 的第j 列元素构成的子块的乘积．进一步有 ]))[(()(21212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧s r s r j j j HK B i i i A j j j i i i HK AB))()((2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=s r j j j K H B i i i A ．特别地 ))()(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j K H B i A j i HK AB ，))(()(HK B i A i HK AB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----，))(()(⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----j K H AB j HK AB ．下边证明分块矩阵乘法的计算规则：=ABt rtt n n n l tr r r l t l t n st t t n s n s m m m B B B B B B B B B A A A A A A A A A }}}{{{21212121212221212111212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s rm m m l sr r r l s l s C C C C C C C C C }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= C =其中tk it k i k i ik B A B A B A C +++= 2211 （s i .,2,1 =；r k ,,2,1 =），m m si i =∑=1，n ntj j=∑=1，l l rk k =∑=1．只需证明C 与AB 对应位置的元素相同．设C 的),(j i 元为ij c ，则ij c 必在C 的某个子块th kt h k h k kh B A B A B A C +++= 2211之中，设ij c 是kh C 的),(j i ''元，则 i m m i k '+++=-11 ，j l l j h '+++=-11 ，这里k m i ≤'≤1，h l j ≤'≤1．由于ij c 是th kt h k h k B A B A B A ,,,2211 的),(j i ''元之和．而ph kp B A 的),(j i ''元为kp A 的i '行与ph B 的j '列元素的对应乘积之和：))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ．但是，kp A 的第i '行恰为A 的第i 行，kp A 所处的列恰为A 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 列；ph B 的第j '列恰为B 的第j 列，ph B 所处的行恰为B 的第p p p p n n n n n n n +++++++++---111111,,2,1 行．（参看下图）i i n m m kt p k n st p k kp p k p n p k n k k k pp A A A A A A A A A ''-++----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛}})1()1()1(1)1(11111}}，p p j h l j h n n n pr h p th h p ph h p h l h p l p B B B B B B B B B }}}1111)1()1()1(1)1(1-'-'-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--所以))((⎭⎬⎫⎩⎨⎧'----⎭⎬⎫⎩⎨⎧----'j B i A ph kp ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++++++++++++++++------j n n n j n n j n n n n n i n n i n n i p p p p p p p p b b b a a a )()2()1()()2()1(111111111111),,,(jn n n n i j n n n n i j n n n n i p p p p p p b a b a b a )()()2()2()1()1(1111111111+++++++++++++++++++=---- ， 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧'---⎭⎬⎫⎩⎨⎧---'=))(())(())((2211j B i A j B i A j B i A c th kt h k h k ij )()()()()()1()1()()()1()1(1111111121211111j n n n n i j n n n n i j n n n n i j n n i j n in i i t t t t b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++=--nj in j i j i b a b a b a +++= 2211，恰为AB 的),(j i 元，故C AB =．转置 设()ts ijA A ⨯=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''='st t ts s A A A A A A A A A A 212221212111对分块对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A A A A21，其中iA 是方阵，s i ,,2,1 =．有：１、s A A A A 21=；２、A 可逆当且仅当s A A A ,,,21 均可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----112111s A A A A ； ３、A 的秩等于s A A A ,,,21 的秩之和．（此结论当i A 不是方阵时亦然）利用矩阵分块可以将矩阵乘积中的一些关系反映得更清楚，比如： 设()()l n jk nm ijb B a A ⨯⨯==,．对,A B 作如下分块，A 的每个元素为一块，B 的每一行为一块，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n mn m m n n n n n mn m m n n B a B a B a B a B a B a B a B a B a B B B a a aa a a a a a AB22112222121121211121212222111211， 由此可见，AB 的每个行向量是B 的行向量的线性组合．对,A B 作如下分块，A 的每一列为一块，B 的每个元素为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nl n n l l n b b b b b b b b b A A A AB 21222211121121()n nl l l n n n n A b A b A b A b A b A b A b A b A b +++++++++= 221122221121221111由此可见，AB 的每个列向量是A 的列向量的线性组合．当0=AB 时，对,A B 作如下分块，A 整个作为一块，B 的每个列为一块，可得 ()()()()0002121===l l AB AB AB B B B A AB即有0=j AB （l j ,,2,1 =）．由此可见，B 的每个列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组0=Ax 的解．若对,A B 作下述分块，A 的每一行作为一块，B 整个为一块，可得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001121 B A B A B A B A A A AB m m即有0=B A i ，亦即0=''i A B （m i ,,2,1 =）．由此可见，A 的每个行向量是以B '为系数矩阵的齐次线性方程组0='x B 的解．例１ A 是n m ⨯矩阵，证明：（１） 存在矩阵0≠B 使⇔=0AB 秩n A <)(； （２） 存在矩阵0≠C 使⇔=0CA 秩m A <)(．证明：只证明（１），（２）的证法类似．（１）⇒：0=AB ，B ∴的每个列向量是齐次线性方程组0=Ax 的解．而0≠B ，可知0=Ax 有非零解，所以系数矩阵A 的秩＜未知量的个数n ，即：秩n A <)(．⇐：因为秩n A <)(，所以齐次线性方程组0=Ax 有非零解．以0=Ax 的若干非零解为列向量构造矩阵B ，则0≠B 且有分块矩阵的乘法可知0=AB ．2 分块矩阵的初等变换类似于数字矩阵，分块矩阵也有其初等变换和初等矩阵，而且它们之间的联系也与数字矩阵中两者之间的联系类似．广义初等变换下述三种变换称为广义初等行（列）变换： １、对换分块矩阵中两行（列）的位置；２、用一个非退化的矩阵D 左（右）乘分块矩阵某一行（列）中的所有元素； ３、用一个非零矩阵C 左（右）乘分块矩阵的某一行（列）后加于另一行（列）．注: ① 行变换左乘,列变换右乘.② 根据所作变换中矩阵运算的需要,对用来左乘或右乘的矩阵应有行、列上的自然要求.比如: 要将分块矩阵j i jt j j it i i m m A A A A A A j i A }}2121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=的第j 行左乘非零矩阵C 后加于第i 行,为了保证乘法可行,C 的列数就必须等于A 的第j 行子矩阵的行数j m ;而为了保证之后的加法可行,C 的行数就必须等于A 的第i 行子矩阵的行数i m ,所以C 应该是j i m m ⨯矩阵.广义初等矩阵对分块单位矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=r n n n n E E E E21 （n nri i=∑=1）施行一次广义初等变换所得到的分块矩阵叫做广义初等矩阵．广义初等矩阵共有六类，它们是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ：交换分块单位矩阵j i ,两行的位置所得到的广义初等矩阵； ()j iP ：交换分块单位矩阵j i ,两列的位置所得到的广义初等矩阵；()i D P )(：用非奇异矩阵D 左乘分块单位矩阵的第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(D i P ：用非奇异矩阵D 右乘分块单位矩阵的第i 列所得到的广义初等矩阵；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(：将分块单位矩阵的第j 行左乘C 后加于第i 行所得到的广义初等矩阵； ())(C j iP ：将分块单位矩阵的第j 列右乘C 后加于第i 列所得到的广义初等矩阵．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j ij i ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-111110()j iP j i E E E E E E E E ji n n n n n n n n r j jj i ii ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-11111()i D P )(i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111())(D i P i E E DE E in n n n r i i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j C i P )(j i E E CE E ji n n n n r j i⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 ())(C j iP j i E E CE E ji n n n n r ji⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1 由此可见这六类广义初等矩阵之间的关系：⎪⎪⎭⎫⎝⎛j i P ()j i P '=，()i D P )(＝())(D i P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛j C i P )(＝())(C i j P ．广义初等矩阵的转置：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'j i P ＝()j i P ，()j iP '＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛j i P ；()()i D P i D P )()('='，()())()(D i P D i P '='；⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'i C j P j C i P )()(，()())()(C i j P C j i P '='．广义初等矩阵的逆：广义初等矩阵的行列式不为零，故可逆，且()j i P j i P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-j i P j iP 1；()()i D P i D P )()(11--=，()())()(11--=D i P D i P ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-j C i P j C i P )()(1，()())()(1C j i P C j i P -=-．广义初等变换与广义初等矩阵间的关系：对分块矩阵施行一次广义初等行变换相当于在其左边乘上一个相应的广义初等矩阵；对分块矩阵施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个相应的广义初等矩阵．注: ① 这里相应的广义初等矩阵是指将所作初等变换作用到分块单位矩阵上所得到的广义初等矩阵.此结果的证明与数字矩阵相应结果的证明相仿. ② 对应于n m ⨯数字矩阵A 的分块矩阵s tm m m n st t t n s n s nm A A A A A A A A A A }}}2121212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯,n n m m t j j s i i ==∑∑==11,,相应的分块单位矩阵有两个,它们是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s m m m m E E E E21和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t n n n n E E E E21.对A 施行一次广义初等行变换,等于在A 的左边乘上一个由m E 经过相应的广义初等行变换得到的广义初等矩阵；对A 施行一次广义初等列变换相当于在其右边乘上一个由n E 经过相应的广义初等列变换得到的广义初等矩阵.③ 数字矩阵的初等变换和初等矩阵是广义初等变换和广义初等矩阵的特例,广义初等变换可以用若干次数字矩阵的初等变换来实现,所以在数字矩阵的初等变换下矩阵的不变性质在广义初等变换下也不变.例2 A 是n s ⨯实矩阵，证明：秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．证明： 构造矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=n sE A A EB ，下边用两种方法化为对角分块矩阵求秩． 用s E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E E A E E A A E E A E n sn s n s n s0000，所以秩=)(B 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-A A E E n s0秩+)(s E 秩+='-s A A E n )(秩)(A A E n '-．用n E 将A '和A 化为０，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n s n sn s n s E A A E E A E E A A E E A E 0000，所以 秩=)(B +n 秩)(A A E s '-．比较上两式即得： 秩-'-)(A A E n 秩s n A A E s -='-)(．例３ C B A ,,是同阶方阵，证明Frobenius 不等式：秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000AB BC B ABC AB B ABC B， ∴秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0AB BC B ． 而 秩=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ABC B0秩+)(B 秩)(ABC ， 秩⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0ABBC B≥秩+)(AB 秩)(BC -＝秩+)(AB 秩)(BC ①． 所以： 秩+)(B 秩≥)(ABC 秩+)(AB 秩)(BC ．① 秩≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0C B A 秩+)(B 秩)(C 的证明：设 秩1)(r B =,秩2)(r C =，则B 中有一个1r 级子式1B 不为0，C 中有一个2r 级子式1C 不为0．于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0C B A 中由11,C B 所在的行和列确定的21r r +级子式不为0，所以秩=+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛210r r C B A 秩+)(B 秩)(C ．对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A BC A B A CB 0,0,0的分块矩阵也有类似的结果．一般地，对三角形分块矩阵此结论亦然．比如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛rr r r A A A A A A21222111的秩∑=≥ri iiA 1）秩（（三角形分块矩阵的秩大于等于其主对角线上块的秩之和）．3 标准单位向量n 维列向量j e j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00100 行 n j ,,2,1 =称为（第j 个）n 维标准单位向量．基本性质： 设()nm ija A ⨯=的行向量组为m ααα,,,21 ，列向量组为n βββ,,,21 ．１、⎩⎨⎧≠==='j i ji e e ij j i 01δ；2、i i A e α='，j j Ae β=，ij j i a Ae e ='； 由此，再利用分块矩阵的乘法规则可得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''r r i i i i i i A e e e ααα 2121，()()t t j jj j j je e e A βββ 2121= (1)()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''t r j j j i i i j j j i i i A e e e A e e e t r 21212121 (2)上述基本性质表明，可以利用标准单位向量将矩阵A 的任意一行、任意一列、任意一个元素、任意一个子矩阵用A 与标准单位向量的乘积表达出来，这对很多问题的讨论将带来帮助．通过以下几个例子能体会到这一点．例４ 设A 是n m ⨯矩阵，证明：若对任意n 维列向量x ，恒有0=Ax ，则0=A ． 证明 由已知，对标准单位向量n e e e ,,,21 ，有0=j Ae n j ,,2,1 =，而j j Ae β=是A 的第j 个列向量，即A 的每个列向量均为0，故0=A ．例５ 若对任意n 维列向量x ，恒有0='Ax x ，则A 是反对称矩阵．证明 取i e x =，则ii i i a Ae e ='=0 n i ,,2,1 =．再取j i e e x +=（j i ≠），则有ji ij i j j i j i j i a a Ae e Ae e e e A e e +='+'=+'+=)()(0，所以ji ij a a -=．总之A 是反对称矩阵．例６ 证明：与任意n 阶可逆矩阵可交换的矩阵必是数量矩阵．证明 设()nn ij a A ⨯=与任意可逆矩阵可交换，其行向量组和列向量组分别是nαα,,1 和n ββ,,1 ．取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n e e e ne e e n B2121221则BA AB =，即()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n αααβββ 212122比较等号两端矩阵的),(j i 元可得ij ij ja ia =，所以当j i ≠时，0=ij a ，即A 的主对角线以外的元素均为0，故A 为对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A2211()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==n nn n nn e a e a e a e a e a e a 222111222111．取()n j i j i j i e e e e e e e e P 11111+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+-+-n j i j i j i e e e e e e e e 11111),(j i P =则PA AP =，由(1)式即得()n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a ea111111111111111+++---+++---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''=+++---+++---n nn j j j i ii j j j i i i j jj i i i e a e a e a e a e a e a e a e a111111********* 比较等号两端矩阵的),(j i 元可得jj ii a a =，即nn a a a === 2211，所以E a A 11=是数量矩阵．例７ 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯0001n n n EA ，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000k n k E A 1,,2,1-=n k ，0=nA．证明 ()032ne e e A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''=-1210n e e e ，对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设m k =时结论成立（11-<≤n m ），即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-000m n mEA ()0021 n m m e e e ++=． 考虑1+m 的情况，有=+1m A()()003232n m m m n m e A e A e A e e e A =．由性质２，j me A 是mA 的第j 个列向量，所以()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+-+++00000)1(321m n n m m m E e e e A． 又：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-00000000001111A e A e A EA AA n n （A e 1'是A 的第一个行向量故为０）．例8 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0001100001000100101 n E A 叫n 阶基础循环矩阵．证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00k k n k E E A ，1,,2,1-=n k ；n nE A=．证明 ()121-=n ne e e e A ，由本节性质２，有n e Ae =1，1-=j j e Ae n j ,,3,2 =． （*） 下边对k （11-≤≤n k ）作归纳： 1=k 时，结论自然成立．假设结论对1-k 成立（111-<-≤n k ），即 ()121321)1(100+-+-+-----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k n n k n k n k k n k e e e e e e E E A． 由分块矩阵的乘法及（*），()121321+-+-+--==k n n k n k n k k e e e e e e A AA A()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---+-+-0021121k k n k n nn k n k n E E e e e e e e e ． 由（＊）()()n n n n n n n E e e e e e e e e A E A AAA ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛==---12113211010 ． 上边例７、例8的结果是应该熟悉的结果．例９ 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---14322154312211321c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c C nn n nn n的矩阵叫循环矩阵．证明：两个循环矩阵的乘积仍是循环矩阵．证明 C 是循环矩阵当且仅当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-----01000000101221223121n n n n n n n E c E E c EE c E c E c C ． 利用上题结果，此式可写为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E c E c E c E c E c C ．如果D 是另一个循环矩阵，由上可知D 亦可表为11211213121010010010010-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E d E d E d E d E d D ．由上题结果，CD 形如11211213121010010010001-------⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n n n n n n E b E b E b E b E b CD ，可见CD 是循环矩阵．例10 形如=F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------121100010001000a a a a n n n的矩阵叫Frobenius 矩阵．(1) 求kF ，这里n k ≤≤2；(2) 证明：对满足n s <≤1的任意正整数s ，以及任意1+s 个不全为０的数s b b b ,,,10 ，均有00111≠++++--E b F b F b F b s s s s ．解 (1) ()αn e e e F 32= ，其中()'---=-11a a a n nα．由基本性质２1-=i i Fe e n i ,,3,2 =，n Fe =α (1)又： ,)(,)(,4312133211221e Fe e F F e F e Fe Fe F e F e Fe =======，如此可得11e F e i i -= n i ,,3,2 =． (2) 设()n kF βββ 21=，则111)1()()(---====j j k j k j kj Fe e F F Fe F e F βn j ,,3,2 =． (3)又：当n k =时，αβ)1()2(1111)(====-n n nFe e FF e F , (4)当1-≤n k 时，1)2(11+==k ke e F β． (5) 于是，当k 给定后，先由(4)或(5)求得1β，再由(3)逐个求得n βββ,,,32 ，从而得到()n k F βββ 21=．(2) 令E b F b F b A ss 01+++= ，下边证明A 有一个列不为０．101111111Ee b Fe b e F b e F b Ae s s s s ++++=--()00010102111)2(≠'=++++=-+ s s s s s b b b e b e b e b e b即A 的第一列01≠Ae ，故0≠A ．标准单位向量的定义及结论虽然简单，但在矩阵问题的处理中，却是不可忽视的基本功．。
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
分块矩阵的概念及运算
19
2.3.3 分块初等阵
分块单位阵 一次初等变换 分块初等阵
Em
En
(1)
0 Em
En 0
或
0 En
Em 0
换法:
倍法:
(2)
P 0
0 En
或
Em 0
0 P
消法:
(3)
Em K
0 En
或
Em 0
K En
20
对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵：
30
例5
1 x1 y1
计算 x2 y1
x1 y2 1 x2 y2
x1 yn x2 yn
解
1 x1 y1 x1 y2 x2 y1 1 x2 y2
xn y1 xn y2
xn y1
xn y2
x1 yn
x1 y1
x2 yn
En
x2
y1
1 xn yn
xn
y1
1 xn yn
x1 y2
x1 yn
1.
3A AB
0 5B
3A 5B
33 A (5)3 B 234 53
2.
0 AB
3A 5B
(1)33
3A 5B
0 AB
(1)33
3A
AB
33 A (1)3 A B 235
14
尤其要注意 AmpBpn 0 时的特殊情况:
*例4
AB A(B1, B2 , , Bn ) A为一子块
(AB1, AB2, , ABn)
A21
A12
A22
a31 a32 a33 a34
特殊 A ——视为一个子块
分块矩阵
高等代数
2. 按行分块
对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：
a11 a12 a1n 1T T a a a 21 22 2n 2 A . a T a a mn m m1 m 2
A1 A A2 , As
其中 Ai ( i = 1, 2, … , s ) 都是方阵,那么称 A 为分块 对角矩阵.
高等代数
分块对角矩阵的性质:
1)
2)
|A| = |A1| |A2| … |As| ;
若 |Ai| 0 ( i = 1, 2, … , s) , 则 |A| 0, 且
(1)
Ax = b .
1T 1T x b1 , b1 T T 2 2 x b2 , b2 x 或 T b T m m m x bm ,
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数,那么
高等代数
C11 AB C s1
t
C1r , C sr
其中
Cij Aik Bkj i 1, ,s; j 1, ,r .
k 1
高等代数
例1 设
1 0 A 1 1
求 AB.
0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 ,B 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
高等代数
4.分块矩阵的转置
T 1 1 T 2 1
T 1 2 T 2 2
分块矩阵的各种运算
分块矩阵是一种将矩阵分割成若干个子矩阵的特殊矩阵。
通过对分块矩阵进行运算，我们可以更方便地处理一些大规模的矩阵问题。
以下是分块矩阵的几种常见运算：
分块矩阵的加法
分块矩阵的加法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相加，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1+B1,A2+B2,...,An+Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的减法
分块矩阵的减法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相减，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1-B1,A2-B2,...,An-Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的乘法
分块矩阵的乘法是指将两个同型分块矩阵的对应子矩阵分别相乘，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设两个同型的分块矩阵 A 和 B，其分块形式相同，则新的分块矩阵 C 可以表示为 C=(A1B1,A2B2,...,An*Bn)，其中 Ai 和 Bi 是 A 和 B 的对应子矩阵。
分块矩阵的转置
分块矩阵的转置是指将分块矩阵的子矩阵分别进行转置，得到一个新的分块矩阵。
具体地，设一个分块矩阵 A，其分块形式为 (A1,A2,...,An)，则 A 的转置矩阵 AT 可以表示为(A1T,A2T,...,AnT)。
通过对分块矩阵进行以上几种运算，我们可以更好地处理大规模的矩阵问题。
同时，这些运算也具有很好的递推性质，可以通过递归的方式进行计算，进一步降低了计算的复杂度。
分块矩阵的13个公式
分块矩阵的13个公式分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以让我们更简洁、高效地处理复杂的矩阵运算。
下面就来给大家讲讲分块矩阵的13 个公式。
咱们先来说说分块矩阵的加法公式。
假设我们有两个分块矩阵 A 和B ，它们的分块方式相同，那么对应块相加就得到了A + B 。
比如说，A 中有个块是[1 2; 3 4]，B 中对应的块是[5 6; 7 8]，那相加之后这个块就变成了[6 8; 10 12]。
再来看分块矩阵的数乘公式。
如果有一个数 k ，乘以分块矩阵 A ，那么就是每个块都乘以这个数 k 。
就像你有一堆水果，每个水果的价格都乘以一个倍数，总价也就相应地变化啦。
接着说分块矩阵的乘法公式。
这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
分块矩阵相乘时，要保证左边矩阵的列的分块方式和右边矩阵行的分块方式一致。
比如说 A 是 m×n 的矩阵，分块成 A11、A12 等，B 是n×p 的矩阵，分块成 B11、B12 等。
那么 A 乘以 B 时，就是 A11B11 +A12B21 等等这样的运算。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲分块矩阵的乘法，有个学生怎么都理解不了。
我就拿教室座位打比方，把每个座位看成矩阵的元素，不同的排和列看成分块。
经过这样形象的解释，他终于恍然大悟，那种成就感真的很棒！分块矩阵的转置公式也很重要。
就是把每个块都转置，然后调整一下位置。
这个就像是把书架上的书换个方向摆放，位置也变一变。
还有分块对角矩阵的乘法公式。
如果是分块对角矩阵相乘，那就简单多了，对应对角线上的块相乘就行。
分块矩阵的逆公式也有讲究。
如果一个分块矩阵可逆，那么它的逆矩阵也是分块矩阵，而且每个块的逆也有特定的规律。
分块矩阵求行列式的公式也不能忘。
这需要根据具体的分块情况来计算，有时候可以通过分块简化行列式的计算。
再说说分块矩阵的秩的公式。
通过分块，可以更方便地判断矩阵的秩。
分块矩阵的伴随矩阵公式也有它的特点。
分块矩阵及其运算
线
0 B22 性
代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
乘法
线 性
Am×n , Bn× p , 设对A关于列的分法与对B关于行的分法 相同, 分别得分块矩阵 A11 A 21 A= Ar1 A12 A22 Ar 2 A1t B11 B A2t , B = 21 Art Bt1 B12 B1s B22 B2 s Bt 2 Bts
A22
A11 = Amm
n n
ij
A22
n
n Amm
ij
线 性 代 数
其中A (I=1,2,…,m) ,m)均为方阵 其中Aii(I=1,2,…,m)均为方阵
例 1 . 13 . 设 A = ( a 则 Ab 的第 j 列为 )
m × n
, B = (b
线 性 代 数
k 0 kA = 0 0
0
k
k 2k 0 k 0 0
7 1 14 2 AB = 6 3 0 2
3k 2 2 2 1 4k , A+ B = 6 3 0 k 0 2 1 3 2 4 1 0 0 1
1 3 2 4 0 0 0 0
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 1 2
线 性 代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例
设A,C分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：
0 矩阵X = C A 0 C 1 也可逆, 且X 1 = 1 0 0 A
线
B1 1 解： X = 设 B 3
B2 AB3 1 , XX = CB B4 1
第四节 分块矩阵
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
上页 下页 返回 结束
例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
上页
下页
返回
结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分 块 矩 阵
分块矩阵
3. 分块矩阵的乘积
设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，即 AB有意义．在对A，B进行分块时，为使 分块矩阵的乘积AB有意义，要使左乘矩阵 A的列的分法与右乘矩阵B的行的分法相同， 至于A的行的分法与B的列的分法则无任何 要求．即
分块矩阵
【例2-18】
分块矩阵
把A分成具有特殊子块的分块矩阵，并求分块矩阵 A与B的乘积．
分块矩阵
其中E3和E2分别表示3阶和2阶单位矩阵，而 上述矩阵也可以采用另外的分块方法．例如，令
分块矩阵
则有
矩阵的分块方式可以是任意的，但要根据原矩阵的结 构特点和运算内容的需要来选择适当的分块方法，既要使 子块在参与运算时有意义，又要为运算的方便考虑，这才 是矩阵分块的目的．
分块矩阵
二、 分块矩阵的基本运算
分块矩阵
分块矩阵
为使分块乘积AB有意义，把B分块成
分块矩阵分块矩阵4. 分 Nhomakorabea矩阵的转置
求分块矩阵的转置时，不但要把分块矩阵的行与列互换， 同时每一个子块也要做转置．
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
分块矩阵
上述对角分块矩阵具备下列运算规律： （1）同结构的对角分块矩阵的和、积仍是对角分块矩阵．
分块矩阵
（2）对角分块矩阵的行列式具有下述性质：
分块矩阵
【例2-19】
分块矩阵
谢谢聆听
分块矩阵
分块矩阵
为了计算简便或理论研究的需要，有 时我们需要将一个行数和列数较多的大型矩 阵划分为若干块小矩阵，使大矩阵的运算问 题转化成小矩阵的运算问题，这种做法称为 矩阵分块．它是矩阵运算中的一种简化技巧， 也是处理阶数较高的矩阵的重要方法．
分块矩阵
一、 分块矩阵的概念
分块矩阵
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1 13
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
称为组合系数。
说明(1). 对于线性方程组Ax = b，利用这样的分块 方式，可以得到线性方程组的向量形式
x11 x22 xnn b
说明(2). 如果记 ei 是第i个分量为1，其余分量为0 的列向量，则
Aei i (i 1,2,, n) 同样记εi 是第i个分量为1，其余分量为0的行向量， 则εi A表示A的第i个行向量。
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1,, s; w 1,,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
A11
A
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵