北京邮电大学《高等数学》第08章-5节 三重积分-球面坐标系

2Rcos F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
10
解 (2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
z
0 r R
:
0
4
0 2
•
o
y
x
f ( x, y, z)dv
2
d
4 d
R F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
11
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
第八章 重积分
8.3 重积分的计算
8.3.4 球面坐标系下的三重积分的计算法
一、球面坐标
z
设M ( x, y, z)为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个
有次序的数r , , 来确定。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
o
x
z
y
x y P(x,y,0)
1
r为原点到M间的距离。
z
为有向线段OM与z轴
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
dv r 2 sindrdd
4
为了把三重积分
中的变量从直角坐
标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r =
常数， =常数， =常数把积分区域
分成许多小闭区域。
z dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的
0
0
0
2
d
0
2
d
2R cos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
59 R5。
480
17
z
解法二 用柱面坐标系
1
z2dv
RR
• •
2
d
3R
2 rdr
R2 r 2 z 2dz
0
0
R R2 r2
2
2 o
y
2
3R 2
r
1
[(
0
3
R2 r2 )3 (R
x
R2 r 2 )3 ]dr
xa
体积元素 dv abcr 2 sind ddr
23
x ar cos sin
y
br
sin
sin
z cr cos
dv abcr 2 sind ddr
z
c
o
by
1
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
)dv
xa
2
d
1
d
1 r 2 abcr 2 sindr
0
0
0
2abc
sind
1
•
2
o
I
2
d
2 d
2cos
r
2
cos2
r
2
x
sin
dr
0
0
0
y
2
2 0
cos2
sin
r5 [ 5
]2cos 0
d
64
5
cos8
8
2 0
8 。
5
20
解法二 用柱面坐标系
z
z2dv
2
1
1
d rdr
1 r 2
z 2dz
0
2
0
1 1r2
2
1
r
z3 3
dr 1 1r2
1 1r2
1 r 2 r 2dr
0
4abc (I2
I4 )
0
4abc
1 4
1 2
2
abc 2
4
。
24
类似地可求下列积分 :
(1) zdv
(
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1, z
0)
abc
2
d
2 d
1 cr cos r 2 sindr
abc2 。
0
0
0
4
(2)
(
x2 a2
y2 b2
z c
1
3
解 先求两曲面的交线方程
o
y
x
2
y2
z
R 2
3 4
R2
x
2
1 2
:0 :0
r r
R,0 ,0 2
2Rcos , 3 ,0
3
2
2
16
z
解法一 用球面坐标
1
z2dv
RR
• •
2
3
z2dv z2dv
2 o
y
1
2
x
2
d
3 d
R r 2 cos2 r 2 sindr
正向所夹的角。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
为从正z轴来看自x轴
按逆时针方向转到有向
o
x
xy
z
y
P(x,y,0)
线段OP的角度, 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
0 ,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
z
:0 r 1 ,
cos
1
0 arctan 1 ,0 2
k
f ( x, y, z)dv
o
x
y
2
d
arctan 1
k d
1
cos F (r, , )r 2 sindr。
0
0
0
12
例5 先将积分化为球面坐标的累次积分,
再求其积分值。
R
(1)I dx
R2 x2
dy
f ( x, y, z)dxdydz F (r, , )r 2 sindrdd
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos )。
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
的三次积分。
当原点在 内时,有
0 r r( , ),0 ,0 2 ,
R R
z
2
(R2
z2 )dz
z
2R
2 z2 (2Rz z2 )dz 0
59 R5。
480
R•
2
2 o
Dz 2
y
x
Dz2 : x2 y2 (2Rz z2 )
19
课内练习 二
z 2
求 z2dv, : x2 y2 z2 2z
解法一 用球面坐标系
: 0 r 2cos , 0 , 0 2
27
2 2
)dv
(
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1)
abc
2
d
d
1
r
2
r
2
s
indr
0
0
0
2abc
sin d
1 r 4dr
0
0
4abc 。
5
25
小结三重积分的计算方法： 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤：
(1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限
0
2
3
1
r[6
1 r2 2
(1 r 2)3 ]drx
o
y
0
4
3
1
(
1 2
)
[3
1 r2
(1 r 2)3 ]d(1 r 2)
0
4 ( 1 )0 [3u 32
u3 ]du
8 。
5
1
21
解法三 切片法
2
z2dv z2dz d
0
Dz
2
z2 (2z z2 )dz
0 2
(2z3 z4 )dz
0
0
15
13
(2)
x2 y2 z2 dv, : x2 y2 z2 z
解
:
0
r
cos, 0
2
,0
2
z
x2 y2 z2 dv
1
2
d
2 d
cos r r 2 sindr
0
0
0
•
2
2
sin
cos4
d
0
4
10
o
x
y
14
课内练习一
z
计算三重积分 ( x2 y2 )dv
: a2 x2 y2 z2 b2 , z 0。
26
坐标系 直角坐标
适用范围
长方体 四面体 任意形体
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域
球面坐标
球形体域 或其中一 部分
体积元素
dxdydz
rddrdz
变量代换
x x y y zz
x r cos y r sin
zz
r 2 sindddr
x r sin cos y r sin sin z r cos
(2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
9
z
(1) : x2 y2 (z R)2 R2 2R
0 r 2Rcos
:
0
2
,
0 2
R •
o
x
y
f ( x, y, z)dv
2
d
2 d
o
y
解
( x2 y2 )dv
:
a
r
x b,0
,0
2
2
d
2 d
b
r
2
sin2
r
2
sindr
2
0
0
a
2
2 sin3 d
b r 4dr
0
a
4 (b5 a5 )。
15
15
例6 求三重积分 z2dv
z
: x2 y2 z2 R2与x2 y2
z2 2Rz 所围的公共部分。
R• R• 2
( x R2 x 2 y 2
2
y2 )dz
R R2 x2
0
z
解 (1) 是以原点为球心,以R
为半径的上半球面与xoy面所围
成的空间区域。
: 0 r R,0 ,0 2
I
2
d
2 d
R
r
2
2 sin2
r
2
sin
x
dr
o
0
0
0
y
2
2 sin3 d
R r 4dr
4 R5
0 2 ②三组坐标面
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
3
③点M的直角坐标与
z
球面坐标的关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
M(r,,)
r • M(x,y,z)
o
0
(2 z4
4
1 5
z5
)
2 0
8 。
5
z 2
o x
Dz
y
Dz
Dz : x2 y2 (2z z2 )
22
例7 计算积分
1
(
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
)dv,
其中
:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
。
z
解 利用广义球面坐标系
c
x ar cos sin
y
br
sin
sin
o
by
z cr cos
六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方体。
5
经线方向的长为 rd,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
d
dr
纬线方向的宽为 rsind,
r sin
向径方向的高为 dr。
r
于是，小六面体的体积为 o
dv r 2 sindrdd x
d
这就是球面坐标系中的体积元素。
r sind
rd
d
y
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f (x, y, z)dv
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
7
例如，半径为R的球体的体积
V
dv
2
d
d
R r 2 sindr
0
0
0
2 2 R3 4 R3。
33
8
例4 将 f (x, y, z)dv化为球面坐标系下的
三次积分形式,其中为 : (1) : x2 y2 (z R)2 R2
y
(令r Rsint,dr Rcos tdt)
Dxy
59 R5
480
o
3R x
2
Dxy
:
x2
y2
3 4
R2
18
z
解法三 用切片法(先重后单)
z2dv z2dv z2dv
1
R •
2
Dz1
1
R R
z
2dz
dxdy
2
Dz1
R 2
o
y
2 z2dz dxdy x
0
Dz 2
Dz1 : x2 y2 (R2 z2 )